ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਵਿਲੋਪਨ ਦੁਆਰਾ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਵਿਲੋਪਨ ਦੁਆਰਾ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਵਿਧੀ ਚੁਣੋ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 5.8
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
−5(6−3a)−5(6−3a) ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.136 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 5.9
ਸਮੀਕਰਨ 13x+58=312413x+58=3124 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 2.48 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਅਤੇ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਉਦੋਂ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਵੇਰੀਏਬਲ ਗੁਣਾਂਕ ਛੋਟੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਹੱਲ ਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਉਦੋਂ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਭਿੰਨਾਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ।
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਤੀਜਾ ਤਰੀਕਾ ਵਿਲੋਪਨ ਵਿਧੀ (Elimination Method) ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕੀਤੀ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਤੱਕ ਘਟਾ ਦਿੱਤਾ। ਇਹ ਉਹ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਵਿਲੋਪਨ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਵੀ ਕਰਾਂਗੇ, ਪਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਉੱਥੇ ਪਹੁੰਚਣ ਦਾ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਤਰੀਕਾ ਹੋਵੇਗਾ।
ਵਿਲੋਪਨ ਦੁਆਰਾ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਵਿਲੋਪਨ ਵਿਧੀ ਸਮਾਨਤਾ ਦੇ ਜੋੜ ਗੁਣ (Addition Property of Equality) 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਹੈ। ਸਮਾਨਤਾ ਦਾ ਜੋੜ ਗੁਣ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਮਾਤਰਾ ਜੋੜਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਅਜੇ ਵੀ ਸਮਾਨਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਮਾਨਤਾ ਦੇ ਜੋੜ ਗੁਣ ਨੂੰ ਵਧਾਵਾਂਗੇ ਇਹ ਕਹਿਣ ਲਈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਬਰਾਬਰ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਜੋੜਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਨਤੀਜੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ a, b, c, ਅਤੇ d ਲਈ,
ਵਿਲੋਪਨ ਦੁਆਰਾ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ (standard form) ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਵੇਰੀਏਬਲ ਖਤਮ ਕਰਨਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਹੋਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ? ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਵਿਰੋਧੀ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਜੋੜ ਸਕੀਏ ਅਤੇ ਉਸ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਸਕੀਏ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ:
y's ਜ਼ੀਰੋ ਤੱਕ ਜੋੜਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਆਓ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੀਏ:
ਇਸ ਵਾਰ ਅਸੀਂ ਕੋਈ ਅਜਿਹਾ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨਹੀਂ ਦੇਖਦੇ ਜਿਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ 'ਤੇ ਤੁਰੰਤ ਖਤਮ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
ਪਰ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ x ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਵਿਰੋਧੀ ਬਣਾ ਦੇਵਾਂਗੇ। ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਹਰ ਇੱਕ ਪਦ ਨੂੰ −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਵਿਰੋਧੀ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ x ਖਤਮ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
ਆਪਣੇ ਆਪ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ—ਨਤੀਜਾ −3y = −6 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਤੇ ਇਹ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਆਸਾਨ ਲੱਗਦਾ ਹੈ, ਹੈ ਨਾ? ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕਰਾਂਗੇ:
ਇਹ ਪ੍ਰਤੀਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਪਰਿਮਾਣ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਵਿਰੋਧੀ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਅਸੀਂ ਭਿੰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾ ਕਰੀਏ। ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਸਾਨੂੰ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ।
ਅਸੀਂ x ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਵਿਰੋਧੀ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ 3 ਨਾਲ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਨੂੰ −4 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ 12x ਅਤੇ −12x ਮਿਲਦੇ ਹਨ।
ਇਸ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਦੋ ਨਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਲਦੇ ਹਨ:
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ,
x ਖਤਮ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ −29y = 58 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਪਰਿਮਾਣ ਵਾਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਉਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਪਾ ਕੇ ਬਾਕੀ ਰਹਿੰਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਤੇ, ਹਮੇਸ਼ਾ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਅਤੇ ਸਥਾਪਨਾ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਖਾਤਮੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.25
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਖਾਤਮੇ ਦੁਆਰਾ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਖਾਤਮੇ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕਰੋ। {2x+y=7x−2y=6{2x+y=7x−2y=6
ਹੱਲ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.49
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਖਾਤਮੇ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕਰੋ। {3x+y=52x−3y=7{3x+y=52x−3y=7
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.50
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਖਾਤਮੇ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕਰੋ। {4x+y=−5−2x−2y=−2{4x+y=−5−2x−2y=−2
ਸੌਖੀ ਸੰਦਰਭ ਲਈ ਕਦਮ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਖਾਤਮੇ ਦੁਆਰਾ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਕਦਮ 1. ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਗੁਣਾਂਕ ਭਿੰਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਾਫ਼ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 2. ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਪਰਿਮਾਣ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਵਿਰੋਧੀ ਬਣਾਓ। ਫੈਸਲਾ ਕਰੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜਾ ਪਰਿਮਾਣ ਖਤਮ ਕਰੋਗੇ। ਉਸ ਪਰਿਮਾਣ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਵਿਰੋਧੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 3. ਇੱਕ ਪਰਿਮਾਣ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਕਦਮ 2 ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਕਦਮ 4. ਬਾਕੀ ਰਹਿੰਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 5. ਕਦਮ 4 ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੱਲ ਨੂੰ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਪਾਓ। ਫਿਰ ਦੂਜੇ ਪਰਿਮਾਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 6. ਹੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
7. ਇਹ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਦੋਵੇਂ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।
2. ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਤੁਰੰਤ ਖਤਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
5.26 ਉਦਾਹਰਨ
ਵਿਲੋਪਨ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। {x+y=10x−y=12{x+y=10x−y=12
ਹੱਲ
row: ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ।
row: y ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਵਿਰੋਧੀ ਹਨ।
row: y ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ 1 ਵੇਰੀਏਬਲ, x ਹੈ।
row: x, ਬਾਕੀ ਵੇਰੀਏਬਲ, ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। x = 11 ਨੂੰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।
row: ਦੂਜੇ ਵੇਰੀਏਬਲ, y, ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
row: ਹੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। | ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ (11, −1) ਹੈ।
row: ਇਹ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਦੋਵੇਂ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।x+y=1011+(−1)=?1010=10✓x−y=1211−(−1)=?1212=12✓x+y=1011+(−1)=?1010=10✓x−y=1211−(−1)=?1212=12✓
row: ਹੱਲ (11, −1) ਹੈ।
Try It 5.51
ਵਿਲੋਪਨ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। {2x+y=5x−y=4{2x+y=5x−y=4
Try It 5.52
ਵਿਲੋਪਨ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। {x+y=3−2x−y=−1{x+y=3−2x−y=−1
ਉਦਾਹਰਨ 5.27 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਵਿਰੋਧੀ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵਾਂਗੇ।
5.27 ਉਦਾਹਰਨ
ਵਿਲੋਪਨ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। {3x−2y=−25x−6y=10{3x−2y=−25x−6y=10
ਹੱਲ
row: ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ।
row: ਕੋਈ ਵੀ ਗੁਣਾਂਕ ਵਿਰੋਧੀ ਨਹੀਂ ਹਨ।
row: ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ −3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ y ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਵਿਰੋਧੀ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪੰਗਤੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪੰਗਤੀ: y ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਪੰਗਤੀ: ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਚੱਲ, x, ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। x = −4 ਨੂੰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਪੰਗਤੀ: y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਪੰਗਤੀ: ਹੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। | ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ (−4, −5) ਹੈ।
ਪੰਗਤੀ: ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਦੋਵੇਂ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ। 3x−2y=−23(−4)−2(−5)=?−2−12+10=?−2−2y=−2✓5x−6y=103(−4)−6(−5)=?10−20+30=?1010=10✓3x−2y=−23(−4)−2(−5)=?−2−12+10=?−2−2y=−2✓5x−6y=103(−4)−6(−5)=?10−20+30=?1010=10✓
ਪੰਗਤੀ: ਹੱਲ (−4, −5) ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 5.53
ਲੋਪ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। {4x−3y=15x−9y=−4{4x−3y=15x−9y=−4
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 5.54
ਲੋਪ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। {3x+2y=26x+5y=8{3x+2y=26x+5y=8
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਉਦਾਹਰਨ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਲ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਵਿਰੋਧੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.28
ਲੋਪ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। {4x−3y=97x+2y=−6{4x−3y=97x+2y=−6
ਹੱਲ
ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵਿਰੋਧੀ ਗੁਣਾਂਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਵਿਰੋਧੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਰਣਨੀਤਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ।
ਪੰਗਤੀ: ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ। y ਦੇ ਵਿਰੋਧੀ ਗੁਣਾਂਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ 3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ।
ਪੰਗਤੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪੰਗਤੀ: y ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਪੰਗਤੀ: x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। x = 0 ਨੂੰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਪੰਗਤੀ: y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਪੰਗਤੀ: ਹੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। | ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ (0, −3) ਹੈ।
ਪੰਗਤੀ: ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਦੋਵੇਂ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।4x−3y=94(0)−3(−3)=?99=9✓7x+2y=−67(0)+2(−3)=?−6−6=−6✓4x−3y=94(0)−3(−3)=?99=9✓7x+2y=−67(0)+2(−3)=?−6−6=−6✓
ਪੰਗਤੀ: ਹੱਲ (0, −3) ਹੈ।
1. ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹੜੇ ਹੋਰ ਸਥਿਰਾਂਕ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਸੀ? ਕੀ ਹੱਲ ਉਹੀ ਹੁੰਦਾ?
2. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 5.55
3. ਵਿਲੋਪਨ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। {3x−4y=−95x+3y=14
4. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 5.56
5. ਵਿਲੋਪਨ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। {7x+8y=43x−5y=27
6. ਜਦੋਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਭਿੰਨਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸਦੇ LCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪਹਿਲਾਂ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਾਂਗੇ।
7. ਉਦਾਹਰਨ 5.29
8. ਵਿਲੋਪਨ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। {x+12y=632x+23y=172
9. ਹੱਲ
10. ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਭਿੰਨਾਂ ਹਨ। ਸਾਡਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸਦੇ LCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ।
11. ਕਤਾਰ: ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸਦੇ LCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
12. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
13. ਕਤਾਰ: ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ।
14. ਕਤਾਰ: ਅਸੀਂ ਉੱਪਰਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ −4 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ y ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
15. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਜੋੜੋ। x = 3 ਨੂੰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
16. ਕਤਾਰ: y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
17. ਕਤਾਰ: ਹੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਆਰਡਰਡ ਜੋੜੇ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। | ਆਰਡਰਡ ਜੋੜਾ (3, 6) ਹੈ।
18. ਕਤਾਰ: ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਆਰਡਰਡ ਜੋੜਾ ਦੋਵੇਂ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।x+12y=63+12(6)=?63+3=?66=6✓32x+23y=17232(3)+23(6)=?17292+4=?17292+82=?172172=172✓x+12y=63+12(6)=?63+3=?66=6✓32x+23y=17232(3)+23(6)=?17292+4=?17292+82=?172172=172✓
19. ਕਤਾਰ: ਹੱਲ (3, 6) ਹੈ।
20. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 5.57
21. ਵਿਲੋਪਨ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। {13x−12y=134x−y=52
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 5.58
23. ਵਿਲੋਪਨ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। {x+35y=−15−12x−23y=56
24. ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦਾ ਇੱਕੋ ਆਰਡਰਡ ਜੋੜਾ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਜਦੋਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਰੇਖਾ ਸਨ, ਤਾਂ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਸਨ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸੁਸੰਗਤ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਕਿਹਾ। ਜਦੋਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੀਆਂ ਸਨ, ਤਾਂ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਸੀ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਅਸੰਗਤ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਕਿਹਾ।
Example 5.30
Solve the system by elimination. {3x+4y=12y=3−34x{3x+4y=12y=3−34x
Solution
row: {3x+4y=12y=3−34x{3x+4y=12y=3−34x
row: Write the second equation in standard form. | {3x+4y=1234x+y=3{3x+4y=1234x+y=3
row: Clear the fractions by multiplying the second equation by 4. | {3x+4y=12 4(34x+y)=4(3){3x+4y=12 4(34x+y)=4(3)
row: Simplify. | {3x+4y=123x+4y=12{3x+4y=123x+4y=12
row: To eliminate a variable, we multiply the second equation by −1−1. Simplify and add. | {3x+4y=12−3x−4y=−12________________0=0{3x+4y=12−3x−4y=−12________________0=0
This is a true statement. The equations are consistent but dependent. Their graphs would be the same line. The system has infinitely many solutions.
After we cleared the fractions in the second equation, did you notice that the two equations were the same? That means we have coincident lines.
Try It 5.59
Solve the system by elimination. {5x−3y=15y=−5+53x{5x−3y=15y=−5+53x
Try It 5.60
Solve the system by elimination. {x+2y=6y=−12x+3{x+2y=6y=−12x+3
Example 5.31
Solve the system by elimination. {−6x+15y=102x−5y=−5{−6x+15y=102x−5y=−5
Solution
row: The equations are in standard form. | {−6x+15y=102x−5y=−5{−6x+15y=102x−5y=−5
row: Multiply the second equation by 3 to eliminate a variable. | {−6x+15y=103(2x−5y)=3(−5) {−6x+15y=103(2x−5y)=3(−5)
row: Simplify and add. | {−6x+15y=106x−15y=−15__________________0≠−5{−6x+15y=106x−15y=−15__________________0≠−5
This statement is false. The equations are inconsistent and so their graphs would be parallel lines.
The system does not have a solution.
Try It 5.61
Solve the system by elimination. {−3x+2y=89x−6y=13{−3x+2y=89x−6y=13
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 5.62
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਵਿਲੋਪਨ (elimination) ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ। {7x−3y=−2−14x+6y=8{7x−3y=−2−14x+6y=8
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਵਿਲੋਪਨ (elimination) ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਕੁਝ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਸਿੱਧੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ (standard form) ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਹੋ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਲੋਪਨ (elimination) ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤੇ ਸੰਗਠਿਤ ਰਹਿਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਲਈ ਆਪਣੀ ਸਮੱਸਿਆ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ (Problem Solving Strategy) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.32
ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 39 ਹੈ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ 9 ਹੈ। ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
row: ਕਦਮ 1. ਸਮੱਸਿਆ ਪੜ੍ਹੋ।
row: ਕਦਮ 2. ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ। | ਅਸੀਂ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ।
row: ਕਦਮ 3. ਨਾਮ ਦਿਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਉਸ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਚੁਣੋ। | ਮੰਨ ਲਓ n = ਪਹਿਲੀ ਸੰਖਿਆ। m = ਦੂਜੀ ਸੰਖਿਆ।
row: ਕਦਮ 4. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ। ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੈ: | ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 39 ਹੈ। n+m=39n+m=39 ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ 9 ਹੈ। n−m=9 {n+m=39n−m=9 n−m=9 {n+m=39n−m=9
row: ਕਦਮ 5. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਵਿਲੋਪਨ (elimination) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ (standard form) ਵਿੱਚ ਹਨ ਅਤੇ m ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ (coefficients) ਵਿਰੋਧੀ ਹਨ। ਜੋੜੋ। n ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ n=24n=24 ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ m ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। | {n+m=39 n−m=9____________ 2n=48n=24 n+m=39 24+m=39 m=15 {n+m=39 n−m=9____________ 2n=48n=24 n+m=39 24+m=39 m=15
row: ਕਦਮ 6. ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। | ਕਿਉਂਕਿ 24+15=3924+15=39 ਅਤੇ 24−15=924−15=9, ਜਵਾਬ ਜਾਂਚੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
row: ਕਦਮ 7. ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦਿਓ। | ਸੰਖਿਆਵਾਂ 24 ਅਤੇ 15 ਹਨ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 5.63
ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 42 ਹੈ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ 8 ਹੈ। ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 5.64
ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ −15 ਹੈ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ −35 ਹੈ। ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.33
ਜੋਅ ਕੰਮ 'ਤੇ ਜਾਂਦੇ ਸਮੇਂ ਹਰ ਰੋਜ਼ ਇੱਕ ਬਰਗਰ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟ 'ਤੇ ਰੁਕਦਾ ਹੈ। ਸੋਮਵਾਰ ਉਸਨੇ ਮੱਧਮ ਫਰਾਈਜ਼ (medium fries) ਦਾ ਇੱਕ ਆਰਡਰ ਅਤੇ ਦੋ ਛੋਟੇ ਸੋਡਾ (small sodas) ਲਏ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ 620 ਕੈਲੋਰੀਆਂ ਸਨ। ਮੰਗਲਵਾਰ ਉਸਨੇ ਮੱਧਮ ਫਰਾਈਜ਼ (medium fries) ਦੇ ਦੋ ਆਰਡਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਸੋਡਾ (small soda) ਲਿਆ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ 820 ਕੈਲੋਰੀਆਂ ਸਨ। ਇੱਕ ਆਰਡਰ ਮੱਧਮ ਫਰਾਈਜ਼ (medium fries) ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀਆਂ ਕੈਲੋਰੀਆਂ ਹਨ? ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਸੋਡਾ (small soda) ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀਆਂ ਕੈਲੋਰੀਆਂ ਹਨ?
ਹੱਲ
row: ਕਦਮ 1. ਸਮੱਸਿਆ ਪੜ੍ਹੋ।
row: ਕਦਮ 2. ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ। | ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਆਰਡਰ ਮੱਧਮ ਫਰਾਈਜ਼ (medium fries) ਅਤੇ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਸੋਡਾ (small soda) ਵਿੱਚ ਕੈਲੋਰੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ।
row: ਕਦਮ 3. ਨਾਮ ਦਿਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ। | ਮੰਨ ਲਓ f = 1 ਆਰਡਰ ਮੱਧਮ ਫਰਾਈਜ਼ (medium fries) ਵਿੱਚ ਕੈਲੋਰੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ। s = 1 ਛੋਟੇ ਸੋਡਾ (small soda) ਵਿੱਚ ਕੈਲੋਰੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ।
row: Step 4. Translate into a system of equations: | one medium fries and two small sodas had atotal of 620 calories
row: two medium fries and one small soda had atotal of 820 calories.
row: Our system is:
row: Step 5. Solve the system of equations.To solve the system of equations, useelimination. The equations are in standardform. To get opposite coefficients of f,multiply the top equation by −2.
row: Simplify and add.
row: Solve for s.
row: Substitute s = 140 into one of the originalequations and then solve for f.
row: Step 6. Check the answer. | Verify that these numbers make sensein the problem and that they aresolutions to both equations.We leave this to you!
row: Step 7. Answer the question. | The small soda has 140 calories andthe fries have 340 calories.
Try It 5.65
Malik stops at the grocery store to buy a bag of diapers and 2 cans of formula. He spends a total of $37. The next week he stops and buys 2 bags of diapers and 5 cans of formula for a total of $87. How much does a bag of diapers cost? How much is one can of formula?
Try It 5.66
To get her daily intake of fruit for the day, Sasha eats a banana and 8 strawberries on Wednesday for a calorie count of 145. On the following Wednesday, she eats two bananas and 5 strawberries for a total of 235 calories for the fruit. How many calories are there in a banana? How many calories are in a strawberry?
Choose the Most Convenient Method to Solve a System of Linear Equations
When you will have to solve a system of linear equations in a later math class, you will usually not be told which method to use. You will need to make that decision yourself. So you’ll want to choose the method that is easiest to do and minimizes your chance of making mistakes.
Example 5.34
For each system of linear equations decide whether it would be more convenient to solve it by substitution or elimination. Explain your answer.
ⓐ {3x+8y=407x−4y=−32{3x+8y=407x−4y=−32 ⓑ {5x+6y=12y=23x−1{5x+6y=12y=23x−1
Solution
ⓐ {3x+8y=407x−4y=−32{3x+8y=407x−4y=−32 Since both equations are in standard form, using elimination will be most convenient.
ⓑ {5x+6y=12y=23x−1{5x+6y=12y=23x−1
>Since one equation is already solved for y, using substitution will be most convenient.
Try It 5.67
For each system of linear equations, decide whether it would be more convenient to solve it by substitution or elimination. Explain your answer.
ⓐ {4x−5y=−323x+2y=−1{4x−5y=−323x+2y=−1 ⓑ {x=2y−13x−5y=−7{x=2y−13x−5y=−7
Try It 5.68
For each system of linear equations, decide whether it would be more convenient to solve it by substitution or elimination. Explain your answer.
ⓐ {y=2x−13x−4y=−6{y=2x−13x−4y=−6 ⓑ {6x−2y=123x+7y=−13{6x−2y=123x+7y=−13
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with solving systems of linear equations by elimination.
Instructional Video-Solving Systems of Equations by Elimination
Instructional Video-Solving by Elimination
Instructional Video-Solving Systems by Elimination
Practice Makes Perfect
Solve a System of Equations by Elimination
In the following exercises, solve the systems of equations by elimination.
{ 5 x + 2 y = 2 −3 x − y = 0 { 5 x + 2 y = 2 −3 x − y = 0
{ −3 x + y = −9 x − 2 y = −12 { −3 x + y = −9 x − 2 y = −12
{ 6 x − 5 y = −1 2 x + y = 13 { 6 x − 5 y = −1 2 x + y = 13
{ 3 x − y = −7 4 x + 2 y = −6 { 3 x − y = −7 4 x + 2 y = −6
{ x + y = −1 x − y = −5 { x + y = −1 x − y = −5
{ x + y = −8 x − y = −6 { x + y = −8 x − y = −6
{ 3 x − 2 y = 1 − x + 2 y = 9 { 3 x − 2 y = 1 − x + 2 y = 9
{ −7 x + 6 y = −10 x − 6 y = 22 { −7 x + 6 y = −10 x − 6 y = 22
{ 3 x + 2 y = −3 − x − 2 y = −19 { 3 x + 2 y = −3 − x − 2 y = −19
{ 5 x + 2 y = 1 −5 x − 4 y = −7 { 5 x + 2 y = 1 −5 x − 4 y = −7
{ 6 x + 4 y = −4 −6 x − 5 y = 8 { 6 x + 4 y = −4 −6 x − 5 y = 8
{ 3 x − 4 y = −11 x − 2 y = −5 { 3 x − 4 y = −11 x − 2 y = −5
{ 5 x − 7 y = 29 x + 3 y = −3 { 5 x − 7 y = 29 x + 3 y = −3
{ 6 x − 5 y = −75 − x − 2 y = −13 { 6 x − 5 y = −75 − x − 2 y = −13
{ − x + 4 y = 8 3 x + 5 y = 10 { − x + 4 y = 8 3 x + 5 y = 10
{ 2 x − 5 y = 7 3 x − y = 17 { 2 x − 5 y = 7 3 x − y = 17
{ 5 x − 3 y = −1 2 x − y = 2 { 5 x − 3 y = −1 2 x − y = 2
{ 7 x + y = −4 13 x + 3 y = 4 { 7 x + y = −4 13 x + 3 y = 4
{ −3 x + 5 y = −13 2 x + y = −26 { −3 x + 5 y = −13 2 x + y = −26
{ 3 x − 5 y = −9 5 x + 2 y = 16 { 3 x − 5 y = −9 5 x + 2 y = 16
{ 4 x − 3 y = 3 2 x + 5 y = −31 { 4 x − 3 y = 3 2 x + 5 y = −31
{ 4 x + 7 y = 14 −2 x + 3 y = 32 { 4 x + 7 y = 14 −2 x + 3 y = 32
{ 5 x + 2 y = 21 7 x − 4 y = 9 { 5 x + 2 y = 21 7 x − 4 y = 9
{ 3 x + 8 y = −3 2 x + 5 y = −3 { 3 x + 8 y = −3 2 x + 5 y = −3
{ 11 x + 9 y = −5 7 x + 5 y = −1 { 11 x + 9 y = −5 7 x + 5 y = −1
{ 3 x + 8 y = 67 5 x + 3 y = 60 { 3 x + 8 y = 67 5 x + 3 y = 60
{ 2 x + 9 y = −4 3 x + 13 y = −7 { 2 x + 9 y = −4 3 x + 13 y = −7
{ 1 3 x − y = −3 x + 5 2 y = 2 { 1 3 x − y = −3 x + 5 2 y = 2
{ x + 1 2 y = 3 2 1 5 x − 1 5 y = 3 { x + 1 2 y = 3 2 1 5 x − 1 5 y = 3
{ x + 1 3 y = −1 1 2 x − 1 3 y = −2 { x + 1 3 y = −1 1 2 x − 1 3 y = −2
{ 1 3 x − y = −3 2 3 x + 5 2 y = 3 { 1 3 x − y = −3 2 3 x + 5 2 y = 3
{ 2 x + y = 3 6 x + 3 y = 9 { 2 x + y = 3 6 x + 3 y = 9
{ x − 4 y = −1 −3 x + 12 y = 3 { x − 4 y = −1 −3 x + 12 y = 3
{ −3 x − y = 8 6 x + 2 y = −16 { −3 x − y = 8 6 x + 2 y = −16
{ 4 x + 3 y = 2 20 x + 15 y = 10 { 4 x + 3 y = 2 20 x + 15 y = 10
{ 3 x + 2 y = 6 −6 x − 4 y = −12 { 3 x + 2 y = 6 −6 x − 4 y = −12
{ 5 x − 8 y = 12 10 x − 16 y = 20 { 5 x − 8 y = 12 10 x − 16 y = 20
{ −11 x + 12 y = 60 −22 x + 24 y = 90 { −11 x + 12 y = 60 −22 x + 24 y = 90
{ 7 x − 9 y = 16 −21 x + 27 y = −24 { 7 x − 9 y = 16 −21 x + 27 y = −24
{ 5 x − 3 y = 15 y = 5 3 x − 2 { 5 x − 3 y = 15 y = 5 3 x − 2
{ 2 x + 4 y = 7 y = − 1 2 x − 4 { 2 x + 4 y = 7 y = − 1 2 x − 4
Solve Applications of Systems of Equations by Elimination
In the following exercises, translate to a system of equations and solve.
The sum of two numbers is 65. Their difference is 25. Find the numbers.
The sum of two numbers is 37. Their difference is 9. Find the numbers.
The sum of two numbers is −27. Their difference is −59. Find the numbers.
The sum of two numbers is −45. Their difference is −89. Find the numbers.
Andrea is buying some new shirts and sweaters. She is able to buy 3 shirts and 2 sweaters for $114 or she is able to buy 2 shirts and 4 sweaters for $164. How much does a shirt cost? How much does a sweater cost?
Peter is buying office supplies. He is able to buy 3 packages of paper and 4 staplers for $40 or he is able to buy 5 packages of paper and 6 staplers for $62. How much does a package of paper cost? How much does a stapler cost?
The total amount of sodium in 2 hot dogs and 3 cups of cottage cheese is 4720 mg. The total amount of sodium in 5 hot dogs and 2 cups of cottage cheese is 6300 mg. How much sodium is in a hot dog? How much sodium is in a cup of cottage cheese?
The total number of calories in 2 hot dogs and 3 cups of cottage cheese is 960 calories. The total number of calories in 5 hot dogs and 2 cups of cottage cheese is 1190 calories. How many calories are in a hot dog? How many calories are in a cup of cottage cheese?
Choose the Most Convenient Method to Solve a System of Linear Equations
In the following exercises, decide whether it would be more convenient to solve the system of equations by substitution or elimination.
ⓐ {8x−15y=−326x+3y=−5{8x−15y=−326x+3y=−5 ⓑ {x=4y−34x−2y=−6{x=4y−34x−2y=−6
ⓐ {y=7x−53x−2y=16{y=7x−53x−2y=16 ⓑ {12x−5y=−423x+7y=−15{12x−5y=−423x+7y=−15
ⓐ {y=4x+95x−2y=−21{y=4x+95x−2y=−21 ⓑ {9x−4y=243x+5y=−14{9x−4y=243x+5y=−14
ⓐ {14x−15y=−307x+2y=10{14x−15y=−307x+2y=10 ⓑ {x=9y−112x−7y=−27{x=9y−112x−7y=−27
Everyday Math
Norris can row 3 miles upstream against the current in 1 hour, the same amount of time it takes him to row 5 miles downstream, with the current. Solve the system. {r−c=3r+c=5{r−c=3r+c=5
ⓐ for rr, his rowing speed in still water.
ⓑ Then solve for cc, the speed of the river current.
Josie wants to make 10 pounds of trail mix using nuts and raisins, and she wants the total cost of the trail mix to be $54. Nuts cost $6 per pound and raisins cost $3 per pound. Solve the system {n+r=106n+3r=54{n+r=106n+3r=54 to find nn, the number of pounds of nuts, and rr, the number of pounds of raisins she should use.
Writing Exercises
Solve the system{x+y=105x+8y=56{x+y=105x+8y=56
ⓐ by substitution ⓑ by graphing ⓒ Which method do you prefer? Why?
Solve the system{x+y=−12y=4−12x{x+y=−12y=4−12x
ⓐ by substitution ⓑ by graphing ⓒ Which method do you prefer? Why?
Self Check
ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.
ⓑ What does this checklist tell you about your mastery of this section? What steps will you take to improve?