ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਤਿੰਨਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 6.6
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
ਵੰਡੋ: 2(x+3).2(x+3). ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆ ਦਿੱਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.132 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 6.7
ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ: x2+9x+7x+63.x2+9x+7x+63. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆ ਦਿੱਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.24 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ 2(x−3)2(x−3) ਵਰਗੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਬਰੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋਵੇਂ ਪਦ, xand3xand3, ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ, ਜਿਸ ਨਾਲ 2x−62x−6 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਇਆ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਨਵੇਂ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਨਾਲ, ਤੁਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ, x−3x−3, ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੋਨੋਮੀਅਲ, 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰ ਰਹੇ ਸੀ।
ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਕੁਝ ਨਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹੈ! ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ:
ਉਦਾਹਰਨ 6.28
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: 4(x+3).4(x+3).
ਹੱਲ
row: ਵੰਡੋ।
row: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਾਸ ਕਰੋ 6.55
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: 5(x+7).5(x+7).
ਪ੍ਰਯਾਸ ਕਰੋ 6.56
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: 3(y+13).3(y+13).
ਉਦਾਹਰਨ 6.29
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: y(y−2).y(y−2).
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਵੰਡੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.57
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: x(x−7).x(x−7).
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.58
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: d(d−11).d(d−11).
ਉਦਾਹਰਨ 6.30
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: 7x(2x+y).7x(2x+y).
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਵੰਡੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.59
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: 5x(x+4y).5x(x+4y).
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.60
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: 2p(6p+r).2p(6p+r).
ਉਦਾਹਰਨ 6.31
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: −2y(4y2+3y−5).−2y(4y2+3y−5).
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਵੰਡੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.61
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: −3y(5y2+8y−7).−3y(5y2+8y−7).
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.62
4x2(2x2−3x+5) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।4x2(2x2−3x+5) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.32
2x3(x2−8x+1) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।2x3(x2−8x+1) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਵੰਡੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.63
4x(3x2−5x+3) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।4x(3x2−5x+3) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.64
−6a3(3a2−2a+6) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।−6a3(3a2−2a+6) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.33
(x+3)p. ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।(x+3)p. ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਦੂਜਾ ਗੁਣਕ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਵੰਡੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.65
(x+8)p. ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।(x+8)p. ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.66
(a+4)p. ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।(a+4)p. ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕੇ ਹਨ, ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਈ ਵਿਧੀਆਂ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਵੰਡ ਗੁਣ (Distributive Property) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ।
ਵੰਡ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
ਉਦਾਹਰਨ 6.33 ਦੇਖੋ, ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਸੀ।
1. ਕਤਾਰ: ਅਸੀਂ ਵੰਡਿਆ p ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ:
2. ਕਤਾਰ: ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ p ਦੀ ਬਜਾਏ (x + 7) ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਕੀ?
3. ਕਤਾਰ: (x + 7) ਨੂੰ ਵੰਡੋ।
4. ਕਤਾਰ: ਦੁਬਾਰਾ ਵੰਡੋ।
5. ਕਤਾਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
6. ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਚਾਰ ਪਦ ਸਨ। ਤੁਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਦੋ-ਪਦੀ ਦੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦੋ-ਪਦੀ ਦੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ—ਚਾਰ ਗੁਣਾ।
7. ਉਦਾਹਰਨ 6.34
8. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (y+5)(y+8)।(y+5)(y+8)।
9. ਹੱਲ
10. ਕਤਾਰ: (y + 8) ਨੂੰ ਵੰਡੋ।
11. ਕਤਾਰ: ਦੁਬਾਰਾ ਵੰਡੋ
12. ਕਤਾਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
13. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.67
14. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+8)(x+9)।(x+8)(x+9)।
15. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.68
16. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (5x+9)(4x+3)।(5x+9)(4x+3)।
17. ਉਦਾਹਰਨ 6.35
18. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (2y+5)(3y+4)।(2y+5)(3y+4)।
19. ਹੱਲ
20. ਕਤਾਰ: (3y + 4) ਨੂੰ ਵੰਡੋ।
21. ਕਤਾਰ: ਦੁਬਾਰਾ ਵੰਡੋ
22. ਕਤਾਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
23. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.69
24. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (3b+5)(4b+6)।(3b+5)(4b+6)।
1. ਪਰਖੋ 6.70
2. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (a+10)(a+7).(a+10)(a+7).
3. ਮਿਸਾਲ 6.36
4. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (4y+3)(2y−5).(4y+3)(2y−5).
5. ਹੱਲ
6. ਕਤਾਰ: ਵੰਡੋ।
7. ਕਤਾਰ: ਮੁੜ ਵੰਡੋ।
8. ਕਤਾਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
9. ਪਰਖੋ 6.71
10. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (5y+2)(6y−3).(5y+2)(6y−3).
11. ਪਰਖੋ 6.72
12. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (3c+4)(5c−2).(3c+4)(5c−2).
13. ਮਿਸਾਲ 6.37
14. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x-2)(x−y).(x-2)(x−y).
15. ਹੱਲ
16. ਕਤਾਰ: ਵੰਡੋ।
17. ਕਤਾਰ: ਮੁੜ ਵੰਡੋ।
18. ਕਤਾਰ: ਜੋੜਨ ਲਈ ਕੋਈ ਸਮਾਨ ਪਦ ਨਹੀਂ ਹਨ।
19. ਪਰਖੋ 6.73
20. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (a+7)(a−b).(a+7)(a−b).
21. ਪਰਖੋ 6.74
22. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+5)(x−y).(x+5)(x−y).
23. ਦੋ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀ ਨਾਲ FOIL ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
24. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਦੋ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਚਾਰ ਪਦ ਮਿਲਦੇ ਹਨ। ਕਈ ਵਾਰ ਤੁਸੀਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਪਰ ਕਈ ਵਾਰ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਮਿਸਾਲ 6.37 ਵਿੱਚ, ਜੋੜਨ ਲਈ ਕੋਈ ਸਮਾਨ ਪਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ।
1. ਆਓ ਆਪਾਂ ਆਖ਼ਰੀ ਮਿਸਾਲ ਨੂੰ ਮੁੜ ਵੇਖੀਏ ਅਤੇ ਇਸ ਗੱਲ ਵੱਲ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਧਿਆਨ ਦੇਈਏ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਚਾਰ ਸ਼ਬਦ ਕਿਵੇਂ ਮਿਲੇ।
2. ਪਹਿਲਾ ਸ਼ਬਦ, x2x2, ਕਿੱਥੋਂ ਆਇਆ?
3. ਅਸੀਂ "ਪਹਿਲਾ, ਬਾਹਰੀ, ਅੰਦਰੂਨੀ, ਆਖ਼ਰੀ" ਨੂੰ FOIL ਵਜੋਂ ਸੰਖੇਪ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅੱਖਰ 'ਪਹਿਲਾ, ਬਾਹਰੀ, ਅੰਦਰੂਨੀ, ਆਖ਼ਰੀ' ਲਈ ਖੜ੍ਹੇ ਹਨ। FOIL ਸ਼ਬਦ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਆਸਾਨ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਸਾਰੇ ਚਾਰ ਗੁਣਨਫਲ ਮਿਲ ਜਾਣ।
4. ਆਓ (x+3)(x+7)(x+3)(x+7) ਨੂੰ ਵੇਖੀਏ।
5. ਕਤਾਰ: ਵਿਤਰਨ ਗੁਣ | FOIL
6. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਤੀਜੀ ਕਤਾਰ ਦੇ ਸ਼ਬਦ FOIL ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਫਿੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
7. ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਮਿਸਾਲ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ FOIL ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
8. ਮਿਸਾਲ 6.38
9. ਦੋ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀ ਨਾਲ FOIL ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਹੈ
10. FOIL ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+5)(x+9).(x+5)(x+9)।
11. ਹੱਲ
12. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.75
13. FOIL ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+6)(x+8).(x+6)(x+8)।
14. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.76
15. FOIL ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (y+17)(y+3).(y+17)(y+3)।
16. ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ FOIL ਵਿਧੀ ਦੇ ਕਦਮਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। FOIL ਵਿਧੀ ਸਿਰਫ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਹੋਰ ਬਹੁ-ਪਦੀਆਂ 'ਤੇ ਨਹੀਂ!
17. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
18. FOIL ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
19. ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ FOIL ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਲਾਈਨਾਂ ਖਿੱਚਣ ਨਾਲ ਤੁਹਾਡੇ ਦਿਮਾਗ ਨੂੰ ਨਮੂਨੇ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਮਿਲੇਗੀ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
20. ਮਿਸਾਲ 6.39
21. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (y−7)(y+4).(y−7)(y+4)।
22. ਹੱਲ
23. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.77
24. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x−7)(x+5).(x−7)(x+5)।
1. ਅਜ਼ਮਾਓ 6.78
2. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (b−3)(b+6).(b−3)(b+6).
3. ਮਿਸਾਲ 6.40
4. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (4x+3)(2x−5).(4x+3)(2x−5).
5. ਹੱਲ
6. ਅਜ਼ਮਾਓ 6.79
7. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (3x+7)(5x−2).(3x+7)(5x−2).
8. ਅਜ਼ਮਾਓ 6.80
9. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (4y+5)(4y−10).(4y+5)(4y−10).
10. ਪਿਛਲੇ ਚਾਰ ਮਿਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਤਿਮ ਗੁਣਨਫਲ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਸਨ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਦੋ ਮੱਧਮ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਸਾਂ। ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸੱਚ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
11. ਮਿਸਾਲ 6.41
12. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (3x−y)(2x−5).(3x−y)(2x−5).
13. ਹੱਲ
14. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲੇ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
15. ਕਤਾਰ: ਬਾਹਰਲੇ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
16. ਕਤਾਰ: ਅੰਦਰਲੇ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
17. ਕਤਾਰ: ਅੰਤਿਮ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
18. ਕਤਾਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ—ਕੋਈ ਨਹੀਂ ਹੈ।
19. ਅਜ਼ਮਾਓ 6.81
20. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (10c−d)(c−6).(10c−d)(c−6).
21. ਅਜ਼ਮਾਓ 6.82
22. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (7x−y)(2x−5).(7x−y)(2x−5).
23. ਅਗਲੀ ਮਿਸਾਲ ਵਿੱਚ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਧਿਆਨ ਰੱਖੋ।
24. ਮਿਸਾਲ 6.42
Multiply: (n2+4)(n−1).(n2+4)(n−1).
Solution
row: Multiply the First.
row: Multiply the Outer.
row: Multiply the Inner.
row: Multiply the Last.
row: Combine like terms—there are none.
Try It 6.83
Multiply: (x2+6)(x−8).(x2+6)(x−8).
Try It 6.84
Multiply: (y2+7)(y−9).(y2+7)(y−9).
Example 6.43
Multiply: (3pq+5)(6pq−11).(3pq+5)(6pq−11).
Solution
row: Multiply the First.
row: Multiply the Outer.
row: Multiply the Inner.
row: Multiply the Last.
row: Combine like terms—there are none.
Try It 6.85
Multiply: (2ab+5)(4ab−4).(2ab+5)(4ab−4).
Try It 6.86
Multiply: (2xy+3)(4xy−5).(2xy+3)(4xy−5).
Multiply a Binomial by a Binomial Using the Vertical Method
ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ FOIL ਵਿਧੀ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਤੇਜ਼ ਵਿਧੀ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਕੇਵਲ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਲਈ ਹੀ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਬਹੁ-ਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ (ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦਾ ਗੁਣ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਿਧੀ ਜੋ ਸਾਰੀਆਂ ਬਹੁ-ਪਦੀਆਂ ਲਈ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਉਹ ਵਰਟੀਕਲ ਵਿਧੀ (ਖੜ੍ਹਵੀਂ ਵਿਧੀ) ਹੈ। ਇਹ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ ਜਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਤੁਸੀਂ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਦੇ ਹੋ। ਦੋ-ਅੰਕੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਦੇਖੋ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸੇ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.44
ਖੜ੍ਹਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (3y−1)(2y−6)।
ਹੱਲ
ਇਸ ਨਾਲ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ ਕਿ ਕਿਹੜੀ ਦੋ-ਪਦੀ ਉੱਪਰ ਰੱਖੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
3y − 1 ਨੂੰ −6 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। 3y − 1 ਨੂੰ 2y ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। 3 y − 1 × 2 y − 6 ________ −18 y + 6 6 y 2 − 2 y _____________ 6 y 2 − 20 y + 6 ਅੰਸ਼ਿਕ ਗੁਣਨਫਲ ਅੰਸ਼ਿਕ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣਨਫਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅੰਸ਼ਿਕ ਗੁਣਨਫਲ FOIL ਵਿਧੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.87
ਖੜ੍ਹਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (5m−7)(3m−6)।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.88
ਖੜ੍ਹਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (6b−5)(7b−3)।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿੰਨ ਵਿਧੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਹਰੇਕ ਵਿਧੀ ਦਾ ਅਭਿਆਸ ਕਰਨਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ, ਅਤੇ ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ ਕਿ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਿਹੜੀ ਪਸੰਦ ਹੈ। ਇਹ ਵਿਧੀਆਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਥੇ ਇਕੱਠੀਆਂ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਵਰਤੋ:
ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ (ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦਾ ਗੁਣ)
FOIL Method
ਖੜ੍ਹਵੀਂ ਵਿਧੀ
ਯਾਦ ਰੱਖੋ, FOIL ਕੇਵਲ ਤਾਂ ਹੀ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇ।
ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਮੋਨੋਮੀਅਲ (ਇੱਕ-ਪਦੀ) ਨੂੰ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ, ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ (ਬਹੁ-ਪਦੀ) ਨਾਲ, ਅਤੇ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, FOIL ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਨਹੀਂ ਕਰੇਗਾ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ (ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦਾ ਗੁਣ) ਜਾਂ ਖੜ੍ਹਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ (ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦਾ ਗੁਣ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.45
ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ (ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦਾ ਗੁਣ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (b+3)(2b2−5b+8)।
ਹੱਲ
ਪੰਕਤੀ: ਵੰਡੋ।
ਗੁਣਾ ਕਰੋ
ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ
6.89 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦੇ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (y−3)(y2−5y+2).(y−3)(y2−5y+2).
6.90 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦੇ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+4)(2x2−3x+5).(x+4)(2x2−3x+5).
ਹੁਣ ਆਓ ਇਸੇ ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਖੜਵੀਂ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਕਰੀਏ।
6.46 ਉਦਾਹਰਨ
ਖੜਵੀਂ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (b+3)(2b2−5b+8).(b+3)(2b2−5b+8).
ਹੱਲ
ਘੱਟ ਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਰੱਖਣਾ ਸੌਖਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਾਨੂੰ ਘੱਟ ਅੰਸ਼ਿਕ ਗੁਣਨਫਲ ਮਿਲਦੇ ਹਨ।
(2b2 − 5b + 8) ਨੂੰ 3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
(2b2 − 5b + 8) ਨੂੰ b ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
6.91 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਖੜਵੀਂ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (y−3)(y2−5y+2).(y−3)(y2−5y+2).
6.92 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਖੜਵੀਂ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+4)(2x2−3x+5).(x+4)(2x2−3x+5).
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਦੋ ਵਿਧੀਆਂ ਦੇਖੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਹਰੇਕ ਵਿਧੀ ਦਾ ਅਭਿਆਸ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਤੁਸੀਂ ਸ਼ਾਇਦ ਪਾਓਗੇ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਤਰੀਕੇ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਨਾਲੋਂ ਤਰਜੀਹ ਦਿੰਦੇ ਹੋ। ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਵਿਧੀਆਂ ਇੱਥੇ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤੀਆਂ ਹਨ, ਆਸਾਨ ਸੰਦਰਭ ਲਈ।
ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਇਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦਾ ਗੁਣ ਧਰਮ
ਖੜਵੀਂ ਵਿਧੀ
ਮੀਡੀਆ
ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਬਾਰੇ ਵਧੇਰੇ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ 1
ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ 2
ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ 3
ਅਭਿਆਸ ਪਰਪੱਕ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ
ਇੱਕ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
4 ( w + 10 )
6 ( b + 8 )
−3 ( a + 7 )
−5 ( p + 9 )
2 ( x − 7 )
7 ( y − 4 )
−3 ( k − 4 )
−8 ( j − 5 )
q ( q + 5 )
k ( k + 7 )
− b ( b + 9 )
− y ( y + 3 )
− x ( x − 10 )
− p ( p − 15 )
6 r ( 4 r + s )
5 c ( 9 c + d )
12 x ( x − 10 )
9m^2 - 99m
-27a^2 - 45a
-8p^2 - 28p
3p^2 + 30p + 75
6y^2 + 48y + 96
-8x^3 - 16x^2 + 120x
-5t^3 - 15t^2 + 90t
5q^6 - 10q^4 + 30q^3
4x^6 - 12x^4 + 28x^3
-8y^3 - 16y^2 + 120y
-5m^3 - 15m^2 + 90m
5q^5 - 10q^4 + 30q^3
9r^5 - 27r^4 + 45r^3
-12z^4 - 48z^3 + 4z^2
-21x^4 - 30x^3 + 3x^2
4m^2 - 18m
8j^2 - j
8w - 48
5k - 20
4x + 40
6y + 48
15r - 360
12v - 360
-3m - 33
-4p - 60 - 4p - 60
-8z + 40 - 8z + 40
-3x + 27 - 3x + 27
u² + 5u u² + 5u
q² + 7q q² + 7q
n³ - 3n² n³ - 3n²
s³ - 6s² s³ - 6s²
24x² + 6xy 24x² + 6xy
45a² + 5ab 45a² + 5ab
55p² - 25pq 55p² - 25pq
36u² - 48uv 36u² - 48uv
3v² + 30v + 75 3v² + 30v + 75
6x² + 48x + 96 6x² + 48x + 96
8n³ - 8n² + 2n 8n³ - 8n² + 2n
6r³ - 18r² + 6r 6r³ - 18r² + 6r
-8y³ - 16y² + 120y -8y³ - 16y² + 120y
-5m³ - 15m² + 90m -5m³ - 15m² + 90m
5q⁵ - 10q⁴ + 30q³ 5q⁵ - 10q⁴ + 30q³
9r⁵ - 27r⁴ + 45r³ 9r⁵ - 27r⁴ + 45r³
-12z⁴ - 48z³ + 4z² -12z⁴ - 48z³ + 4z²
-21x⁴ - 30x³ + 3x² -21x⁴ - 30x³ + 3x²
2y² - 9y 2y² - 9y
8b² - b 8b² - b
ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: ⓐ ਵੰਡਣ ਦੇ ਗੁਣ ⓑ FOIL ਵਿਧੀ ⓒ ਖੜ੍ਹੀ ਵਿਧੀ।
( w + 5 ) ( w + 7 )
( y + 9 ) ( y + 3 )
( p + 11 ) ( p − 4 )
( q + 4 ) ( q − 8 )
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਕੋਈ ਵੀ ਵਿਧੀ ਵਰਤੋ।
( x + 8 ) ( x + 3 )
( y + 7 ) ( y + 4 )
( y − 6 ) ( y − 2 )
( x − 7 ) ( x − 2 )
( w − 4 ) ( w + 7 )
( q − 5 ) ( q + 8 )
( p + 12 ) ( p − 5 )
( m + 11 ) ( m − 4 )
( 6 p + 5 ) ( p + 1 )
( 7 m + 1 ) ( m + 3 )
( 2 t − 9 ) ( 10 t + 1 )
( 3 r − 8 ) ( 11 r + 1 )
( 5 x − y ) ( 3 x − 6 )
( 10 a − b ) ( 3 a − 4 )
( a + b ) ( 2 a + 3 b )
( r + s ) ( 3 r + 2 s )
( 4 z − y ) ( z − 6 )
( 5 x − y ) ( x − 4 )
( x 2 + 3 ) ( x + 2 ) ( x 2 + 3 ) ( x + 2 )
( y 2 − 4 ) ( y + 3 ) ( y 2 − 4 ) ( y + 3 )
( x 2 + 8 ) ( x 2 − 5 ) ( x 2 + 8 ) ( x 2 − 5 )
( y 2 − 7 ) ( y 2 − 4 ) ( y 2 − 7 ) ( y 2 − 4 )
( 5 a b − 1 ) ( 2 a b + 3 ) ( 5 a b − 1 ) ( 2 a b + 3 )
( 2 x y + 3 ) ( 3 x y + 2 ) ( 2 x y + 3 ) ( 3 x y + 2 )
( 6 p q − 3 ) ( 4 p q − 5 ) ( 6 p q − 3 ) ( 4 p q − 5 )
( 3 r s − 7 ) ( 3 r s − 4 ) ( 3 r s − 7 ) ( 3 r s − 4 )
Multiply a Trinomial by a Binomial
In the following exercises, multiply using ⓐ the Distributive Property ⓑ the Vertical Method.
( x + 5 ) ( x 2 + 4 x + 3 ) ( x + 5 ) ( x 2 + 4 x + 3 )
( u + 4 ) ( u 2 + 3 u + 2 ) ( u + 4 ) ( u 2 + 3 u + 2 )
( y + 8 ) ( 4 y 2 + y − 7 ) ( y + 8 ) ( 4 y 2 + y − 7 )
( a + 10 ) ( 3 a 2 + a − 5 ) ( a + 10 ) ( 3 a 2 + a − 5 )
In the following exercises, multiply. Use either method.
( w − 7 ) ( w 2 − 9 w + 10 ) ( w − 7 ) ( w 2 − 9 w + 10 )
( p − 4 ) ( p 2 − 6 p + 9 ) ( p − 4 ) ( p 2 − 6 p + 9 )
( 3 q + 1 ) ( q 2 − 4 q − 5 ) ( 3 q + 1 ) ( q 2 − 4 q − 5 )
( 6 r + 1 ) ( r 2 − 7 r − 9 ) ( 6 r + 1 ) ( r 2 − 7 r − 9 )
Mixed Practice
( 10 y − 6 ) + ( 4 y − 7 ) ( 10 y − 6 ) + ( 4 y − 7 )
( 15 p − 4 ) + ( 3 p − 5 ) ( 15 p − 4 ) + ( 3 p − 5 )
( x 2 − 4 x − 34 ) − ( x 2 + 7 x − 6 ) ( x 2 − 4 x − 34 ) − ( x 2 + 7 x − 6 )
( j 2 − 8 j − 27 ) − ( j 2 + 2 j − 12 ) ( j 2 − 8 j − 27 ) − ( j 2 + 2 j − 12 )
5 q ( 3 q 2 − 6 q + 11 ) 5 q ( 3 q 2 − 6 q + 11 )
8 t ( 2 t 2 − 5 t + 6 ) 8 t ( 2 t 2 − 5 t + 6 )
( s − 7 ) ( s + 9 ) ( s − 7 ) ( s + 9 )
( x − 5 ) ( x + 13 ) ( x − 5 ) ( x + 13 )
( y 2 − 2 y ) ( y + 1 ) ( y 2 − 2 y ) ( y + 1 )
( a 2 − 3 a ) ( 4 a + 5 ) ( a 2 − 3 a ) ( 4 a + 5 )
( 3 n − 4 ) ( n 2 + n − 7 ) ( 3 n − 4 ) ( n 2 + n − 7 )
( 6 k − 1 ) ( k 2 + 2 k − 4 ) ( 6 k − 1 ) ( k 2 + 2 k − 4 )
( 7 p + 10 ) ( 7 p − 10 ) ( 7 p + 10 ) ( 7 p − 10 )
( 3 y + 8 ) ( 3 y − 8 ) ( 3 y + 8 ) ( 3 y − 8 )
( 4 m 2 − 3 m − 7 ) m 2 ( 4 m 2 − 3 m − 7 ) m 2
( 15 c 2 − 4 c + 5 ) c 4 ( 15 c 2 − 4 c + 5 ) c 4
( 5 a + 7 b ) ( 5 a + 7 b ) ( 5 a + 7 b ) ( 5 a + 7 b )
( 3 x − 11 y ) ( 3 x − 11 y ) ( 3 x − 11 y ) ( 3 x − 11 y )
( 4 y + 12 z ) ( 4 y − 12 z ) ( 4 y + 12 z ) ( 4 y − 12 z )
Everyday Math
Mental math You can use binomial multiplication to multiply numbers without a calculator. Say you need to multiply 13 times 15. Think of 13 as 10+310+3 and 15 as 10+510+5.
ⓐ Multiply (10+3)(10+5)(10+3)(10+5) by the FOIL method.
ⓑ Multiply 13·1513·15 without using a calculator.
ⓒ Which way is easier for you? Why?
Mental math You can use binomial multiplication to multiply numbers without a calculator. Say you need to multiply 18 times 17. Think of 18 as 20−220−2 and 17 as 20−320−3.
ⓐ Multiply (20−2)(20−3)(20−2)(20−3) by the FOIL method.
ⓑ Multiply 18·1718·17 without using a calculator.
ⓒ Which way is easier for you? Why?
Writing Exercises
Which method do you prefer to use when multiplying two binomials: the Distributive Property, the FOIL method, or the Vertical Method? Why?
Which method do you prefer to use when multiplying a trinomial by a binomial: the Distributive Property or the Vertical Method? Why?
Multiply the following:
( x + 2 ) ( x − 2 ) ( y + 7 ) ( y − 7 ) ( w + 5 ) ( w − 5 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( y + 7 ) ( y − 7 ) ( w + 5 ) ( w − 5 )
Explain the pattern that you see in your answers.
Multiply the following:
( m − 3 ) ( m + 3 ) ( n − 10 ) ( n + 10 ) ( p − 8 ) ( p + 8 ) ( m − 3 ) ( m + 3 ) ( n − 10 ) ( n + 10 ) ( p − 8 ) ( p + 8 )
Explain the pattern that you see in your answers.
Multiply the following:
( p + 3 ) ( p + 3 ) ( q + 6 ) ( q + 6 ) ( r + 1 ) ( r + 1 ) ( p + 3 ) ( p + 3 ) ( q + 6 ) ( q + 6 ) ( r + 1 ) ( r + 1 )
Explain the pattern that you see in your answers.
Multiply the following:
( x − 4 ) ( x − 4 ) ( y − 1 ) ( y − 1 ) ( z − 7 ) ( z − 7 ) ( x − 4 ) ( x − 4 ) ( y − 1 ) ( y − 1 ) ( z − 7 ) ( z − 7 )
Explain the pattern that you see in your answers.
Self Check
ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.
ⓑ What does this checklist tell you about your mastery of this section? What steps will you take to improve?