ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵਰਗ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਨਾ
ਕੰਜੂਗੇਟਸ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੰਜੂਗੇਟਸ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਢੁਕਵੇਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਅਤੇ ਵਰਤਣਾ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 6.8
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 9292 ⓑ (−9)2(−9)2 ⓒ −92.−92. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਖੁੰਝ ਗਏ ਹੋ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.50 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵਰਗ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਨਾ
ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਪੈਟਰਨਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਉਦਾਹਰਨ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲਾਂ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਲਿਖ ਕੇ ਅਤੇ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਦੀਆਂ ਵਿਧੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਸਿੱਖਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਘੱਟ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਆਓ (x+9)2(x+9)2 ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
ਸਤਰ: ਇਸਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ? | (x+9)2(x+9)2
ਸਤਰ: ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ (x+9)(x+9) ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ। | (x+9)(x+9)(x+9)(x+9)
ਸਤਰ: ਫਿਰ, FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ: | x2+9x+9x+81x2+9x+9x+81
ਸਤਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ 'ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ: | x2+18x+81x2+18x+81
ਸਤਰ: ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਹੈ: | (y−7)2(y−7)2
ਸਤਰ: (y−7)(y−7) ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | (y−7)(y−7)(y−7)(y−7)
ਸਤਰ: FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ: | y2−7y−7y+49y2−7y−7y+49
ਸਤਰ: ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ 'ਤੇ: | y2−14y+49y2−14y+49
ਸਤਰ: ਅਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ: | (2x+3)2(2x+3)2
ਸਤਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | (2x+3)(2x+3)(2x+3)(2x+3)
ਸਤਰ: FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: | 4x2+6x+6x+94x2+6x+6x+9
ਸਤਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। | 4x2+12x+94x2+12x+9
ਇਹਨਾਂ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕੋਈ ਪੈਟਰਨ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ?
1. ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਬਾਰੇ ਕੀ? ਹਰੇਕ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਦਾ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਤਿੰਨਪਦੀ ਸੀ।
2. ਹੁਣ ਹਰੇਕ ਨਤੀਜੇ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵੱਲ ਦੇਖੋ। ਇਹ ਕਿੱਥੋਂ ਆਇਆ?
3. ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਦੋਪਦੀਆਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਹਨ, ਇਹ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਹੀ ਹੈ!
4. ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
5. ਆਖਰੀ ਪਦ ਕਿੱਥੋਂ ਆਇਆ? ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵੱਲ ਦੇਖੋ ਅਤੇ ਨਮੂਨਾ ਲੱਭੋ।
6. ਆਖਰੀ ਪਦ ਆਖਰੀ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਆਖਰੀ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਹੈ।
7. ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਆਖਰੀ ਪਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਆਖਰੀ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
8. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਪਦ ਵੱਲ ਦੇਖੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ "ਬਾਹਰੀ" ਅਤੇ "ਅੰਦਰੂਨੀ" ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੋਂ ਆਇਆ ਹੈ—ਜੋ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ! ਇਸ ਲਈ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਪਦ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਦੁੱਗਣਾ ਹੈ।
9. ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਪਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕਰੋ।
10. ਸਭ ਕੁਝ ਇਕੱਠੇ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ:
11. ਦੋਪਦੀ ਵਰਗ ਨਮੂਨਾ
12. ਜੇਕਰ a ਅਤੇ b ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ,
13. ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਨ ਲਈ:
14. ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ
15. ਆਖਰੀ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ
16. ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕਰੋ
17. ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਉਦਾਹਰਨ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦੀ ਹੈ।
18. ਕਤਾਰ: (10+4)2(10+4)2
19. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ। | 102+___+102+___+
20. ਕਤਾਰ: ਆਖਰੀ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ। | 102+___+42102+___+42
21. ਕਤਾਰ: ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕਰੋ। | 102+2·10·4+42102+2·10·4+42
22. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 100+80+16100+80+16
23. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 196196
24. (10+4)2(10+4)2 ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਤੁਸੀਂ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋਗੇ।
1. ਇਹ ਢੰਗ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ!
2. ਮਿਸਾਲ 6.47
3. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+5)2.(x+5)2.
4. ਹੱਲ
5. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
6. ਕਤਾਰ: ਆਖਰੀ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
7. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦੁਗਣਾ ਕਰੋ।
8. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
9. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.93
10. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+9)2.(x+9)2.
11. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.94
12. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (y+11)2.(y+11)2.
13. ਮਿਸਾਲ 6.48
14. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (y−3)2.(y−3)2.
15. ਹੱਲ
16. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
17. ਕਤਾਰ: ਆਖਰੀ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
18. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦੁਗਣਾ ਕਰੋ।
19. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
20. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.95
21. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x−9)2.(x−9)2.
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.96
23. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (p−13)2.(p−13)2.
24. ਮਿਸਾਲ 6.49
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (4x+6)2.(4x+6)2.
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 6.97
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (6x+3)2.(6x+3)2.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 6.98
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (4x+9)2.(4x+9)2.
ਉਦਾਹਰਨ 6.50
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (2x−3y)2.(2x−3y)2.
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 6.99
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (2c−d)2.(2c−d)2.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 6.100
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (4x−5y)2.(4x−5y)2.
ਉਦਾਹਰਨ 6.51
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (4u3+1)2.(4u3+1)2.
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 6.101
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (2x2+1)2.(2x2+1)2.
6.102 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (3y3+2)2.(3y3+2)2.
ਸੰਯੁਗਮੀਆਂ ਨੂੰ ਸੰਯੁਗਮੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਹੀ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਵਰਗੀਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਦੋਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਗੁਣਨਫਲ ਲਈ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਹੈ। ਪਰ ਇਸ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚੀਏ, ਸਾਨੂੰ ਕੁਝ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਪੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਤੁਸੀਂ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਇਹਨਾਂ ਜੋੜਿਆਂ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੇਖਦੇ ਹੋ?
ਹਰੇਕ ਜੋੜੇ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਦੇਖੋ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਜੋੜੇ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਸਮਾਨ ਹਨ।
ਹਰੇਕ ਜੋੜੇ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਆਖਰੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖੋ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਜੋੜੇ ਵਿੱਚ ਆਖਰੀ ਪਦ ਸਮਾਨ ਹਨ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਜੋੜੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਜੋੜ ਅਤੇ ਇੱਕ ਘਟਾਓ ਹੈ।
ਦੋਪਦੀਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇੱਕ ਜੋੜ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਘਟਾਓ ਹੈ, ਉਸਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਨਾਮ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਸੰਯੁਗਮੀ ਜੋੜਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ (a−b),(a+b)(a−b),(a+b) ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸੰਯੁਗਮੀ ਜੋੜਾ
ਇੱਕ ਸੰਯੁਗਮੀ ਜੋੜਾ ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਇਸ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ
ਦੋਪਦੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹਰੇਕ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਜੋੜ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਘਟਾਓ ਹੈ।
ਸੰਯੁਗਮੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਵਧੀਆ ਪੈਟਰਨ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ, ਬੇਸ਼ੱਕ, ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ FOIL ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਪਰ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਨਾਲ ਤੁਹਾਡਾ ਕੰਮ ਆਸਾਨ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਆਓ ਕੁਝ ਸੰਯੁਗਮੀ ਜੋੜਿਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੀਏ।
ਹਰੇਕ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਇਹ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਹੈ।
ਆਖਰੀ ਪਦ ਆਖਰੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਆਇਆ ਹੈ, ਆਖਰੀ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ।
ਤੁਸੀਂ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੇਖਦੇ ਹੋ?
ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਵੀ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਹੈ! FOIL ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਗੁਣਨਫਲ ਤਿੰਨਪਦੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਮੱਧਮ ਪਦ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੈ? ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ FOIL ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਦੋ ਮੱਧਮ ਪਦ ਹਰ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ 0 ਬਣਦੇ ਹਨ, ਇੱਕ ਜੋੜ ਅਤੇ ਇੱਕ ਘਟਾਓ ਦਾ ਨਤੀਜਾ।
ਸੰਯੁਗਮੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹਮੇਸ਼ਾ a2−b2a2−b2 ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਪੈਟਰਨ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਸੰਯੁਗਮੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਪੈਟਰਨ
1. ਜੇਕਰ 'a' ਅਤੇ 'b' ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ,
2. ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
3. ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ, ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
4. ਆਓ ਇਸ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਉਦਾਹਰਨ ਨਾਲ ਪਰਖੀਏ।
5. ਕਤਾਰ: (10−2)(10+2)(10−2)(10+2)
6. ਕਤਾਰ: ਇਹ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਨਤੀਜਾ ਦੋ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੋਵੇਗਾ। | ____−________−____
7. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ। | 102−____102−____
8. ਕਤਾਰ: ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ। | 102−22102−22
9. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 100−4100−4
10. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 9696
11. ਕਤਾਰ: ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕੀ ਮਿਲਦਾ ਹੈ?
12. ਕਤਾਰ: (10−2)(10+2)(8)(12)96(10−2)(10+2)(8)(12)96
13. ਨੋਟ ਕਰੋ, ਨਤੀਜਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੈ!
14. ਉਦਾਹਰਨ 6.52
15. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x−8)(x+8).(x−8)(x+8).
16. ਹੱਲ
17. ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸਨੂੰ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣੋ। ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਜੋੜ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਘਟਾਓ ਹੈ।
18. ਕਤਾਰ: ਇਹ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਬੈਠਦਾ ਹੈ।
19. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲੇ ਪਦ, x, ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
20. ਕਤਾਰ: ਅੰਤਿਮ ਪਦ, 8, ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
21. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਨਫਲ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ।
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.103
23. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x−5)(x+5).(x−5)(x+5).
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.104
1. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (w−3)(w+3).(w−3)(w+3).
2. ਮਿਸਾਲ 6.53
3. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (2x+5)(2x−5).(2x+5)(2x−5).
4. ਹੱਲ
5. ਕੀ ਦੋਪਦੀਆਂ ਸੰਯੁਗਮ ਹਨ?
6. ਕਤਾਰ: ਇਹ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ।
7. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲੇ ਪਦ, 2x ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
8. ਕਤਾਰ: ਆਖਰੀ ਪਦ, 5 ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
9. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। ਗੁਣਨਫਲ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ।
10. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.105
11. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (6x+5)(6x−5).(6x+5)(6x−5).
12. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.106
13. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (2x+7)(2x−7).(2x+7)(2x−7).
14. ਅਗਲੀ ਮਿਸਾਲ ਵਿੱਚ ਦੋਪਦੀਆਂ ਪਿੱਛੇ ਨੂੰ ਲੱਗ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ – ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੂਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਪਰ ਦੋਵੇਂ ਦੋਪਦੀਆਂ ਅਜੇ ਵੀ ਸੰਯੁਗਮ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਉਸੇ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
15. ਮਿਸਾਲ 6.54
16. ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: (3+5x)(3−5x).(3+5x)(3−5x).
17. ਹੱਲ
18. ਕਤਾਰ: ਇਹ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ।
19. ਕਤਾਰ: ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
20. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
21. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.107
22. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (7+4x)(7−4x).(7+4x)(7−4x).
23. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.108
24. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (9−2y)(9+2y).(9−2y)(9+2y).
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.55
ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: (5m−9n)(5m+9n)।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਇਹ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਬੈਠਦਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 6.109
ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: (4p−7q)(4p+7q)।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 6.110
ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: (3x−y)(3x+y)।
ਉਦਾਹਰਨ 6.56
ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: (cd−8)(cd+8)।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਇਹ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਬੈਠਦਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 6.111
ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: (xy−6)(xy+6)।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 6.112
ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: (ab−9)(ab+9)।
ਉਦਾਹਰਨ 6.57
ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: (6u^2−11v^5)(6u^2+11v^5)।
ਹੱਲ
row: This fits the pattern.
row: Use the pattern.
row: Simplify.
Try It 6.113
Find the product: (3x2−4y3)(3x2+4y3).(3x2−4y3)(3x2+4y3).
Try It 6.114
Find the product: (2m2−5n3)(2m2+5n3).(2m2−5n3)(2m2+5n3).
Recognize and Use the Appropriate Special Product Pattern
We just developed special product patterns for Binomial Squares and for the Product of Conjugates. The products look similar, so it is important to recognize when it is appropriate to use each of these patterns and to notice how they differ. Look at the two patterns together and note their similarities and differences.
Comparing the Special Product Patterns
row: Binomial Squares | Product of Conjugates
row: (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2 | (a−b)(a+b)=a2−b2(a−b)(a+b)=a2−b2
row: (a−b)2=a2−2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2
row: - Squaring a binomial | - Multiplying conjugates
row: - Product is a trinomial | - Product is a binomial
row: - Inner and outer terms with FOIL are the same. | - Inner and outer terms with FOIL are opposites.
row: - Middle term is double the product of the terms. | - There is no middle term.
Example 6.58
Choose the appropriate pattern and use it to find the product:
ⓐ (2x−3)(2x+3)(2x−3)(2x+3) ⓑ (8x−5)2(8x−5)2 ⓒ (6m+7)2(6m+7)2 ⓓ (5x−6)(6x+5)(5x−6)(6x+5)
Solution
ⓐ (2x−3)(2x+3)(2x−3)(2x+3) These are conjugates. They have the same first numbers, and the same last numbers, and one binomial is a sum and the other is a difference. It fits the Product of Conjugates pattern. This fits the pattern. Use the pattern. Simplify.
ⓑ (8x−5)2(8x−5)2 We are asked to square a binomial. It fits the binomial squares pattern. Use the pattern. Simplify.
ⓒ (6m+7)2(6m+7)2 Again, we will square a binomial so we use the binomial squares pattern. Use the pattern. Simplify.
(5x−6)(6x+5)(5x−6)(6x+5) ਇਹ ਗੁਣਨਫਲ ਪੈਟਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਬੈਠਦਾ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। (5x−6)(6x+5)(5x−6)(6x+5) FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। 30x^2+25x−36x−3030x^2+25x−36x−30 ਸਰਲ ਕਰੋ। 30x^2−11x−3030x^2−11x−30
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.115
1. ਢੁਕਵਾਂ ਨਮੂਨਾ ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਉਤਪਾਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
1. ⓐ (9ਬ−2)(2ਬ+9)(9ਬ−2)(2ਬ+9) ⓑ (9ਪ−4)2(9ਪ−4)2 ⓒ (7ਯ+1)2(7ਯ+1)2 ⓓ (4ਰ−3)(4ਰ+3)(4ਰ−3)(4ਰ+3)
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.116
1. ਢੁਕਵਾਂ ਨਮੂਨਾ ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਉਤਪਾਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
1. ⓐ (6x+7)⁴ ⓑ (3x−4)²(3x+4)² ⓒ (2x−5)²(5x−2)² ⓓ (6n−1)⁴
1. ਮੀਡੀਆ
1. ਇਨ੍ਹਾਂ ਆਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ, ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਉਤਪਾਦਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ:
1. ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਉਤਪਾਦ
ਅਭਿਆਸ ਨਾਲ ਨਿਪੁੰਨਤਾ ਆਉਂਦੀ ਹੈ
ਦੋ-ਪਦੀ ਦੇ ਵਰਗ ਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀ ਵਰਗ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਨਾਲ ਵਰਗ ਕਰਨਾ
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੋਪਦੀ ਵਰਗ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਦੋਪਦੀ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
(ਡਬਲਯੂ + 4) 2 (ਡਬਲਯੂ + 4) 2
1. ( ਕ + 12 ) 2 ( ਕ + 12 ) 2
1. (ਯ + ੧੪)੨ (ਯ + ੧੪)੨
( x + 2 3 ) 2 ( x + 2 3 ) 2
( b − 7 ) 2 ( b − 7 ) 2
( y − 6 ) 2 ( y − 6 ) 2
1. ( ਮੈਂ − ੧੫ ) ੨ ( ਮੈਂ − ੧੫ ) ੨
1. ( ਪੰਨਾ - 13 ) 2 ( ਪੰਨਾ - 13 ) 2
( 3 d + 1 ) 2 ( 3 d + 1 ) 2
( ੪ ਅ + ੧੦ ) ੨ ( ੪ ਅ + ੧੦ ) ੨
( 2 q + 1 3 ) 2 ( 2 q + 1 3 ) 2
1. (3z + 15)² (3z + 15)²
( 3 x − y ) 2 ( 3 x − y ) 2
( 2 y − 3 z ) 2 ( 2 y − 3 z ) 2
(15x - 17y)²
( 1 8 x − 1 9 y ) 2 ( 1 8 x − 1 9 y ) 2
( 3 x 2 + 2 ) 2 ( 3 x 2 + 2 ) 2
( 5 u 2 + 9 ) 2 ( 5 u 2 + 9 ) 2
( 4 y 3 − 2 ) 2 ( 4 y 3 − 2 ) 2
1. ( 8 ਪ 3 − 3 ) 2 ( 8 ਪ 3 − 3 ) 2
ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਜੋੜੇ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
1. ( m − 7 ) ( m + 7 ) ( m − 7 ) ( m + 7 )
( c − 5 ) ( c + 5 ) ( c − 5 ) ( c + 5 )
( x + 3 4 ) ( x − 3 4 ) ( x + 3 4 ) ( x − 3 4 )
( b + 6 7 ) ( b − 6 7 ) ( b + 6 7 ) ( b − 6 7 )
( 5 k + 6 ) ( 5 k − 6 ) ( 5 k + 6 ) ( 5 k − 6 )
( 64 j^2 − 16 )
(121k² - 16) (121k² - 16)
( 81c² - 25 ) ( 81c² - 25 )
( 121 − b^2 ) ( 121 − b^2 )
(169 - q^2) (169 - q^2)
( 5 − 3 x ) ( 5 + 3 x ) ( 5 − 3 x ) ( 5 + 3 x )
(16 - 36y^2)
(81c² - 4d²) (81c² - 4d²)
( 7 w + 10 x ) ( 7 w − 10 x ) ( 7 w + 10 x ) ( 7 w − 10 x )
( m + 2 3 n ) ( m − 2 3 n ) ( m + 2 3 n ) ( m − 2 3 n )
( p + 4 5 q ) ( p − 4 5 q ) ( p + 4 5 q ) ( p − 4 5 q )
( a b − 4 ) ( a b + 4 ) ( a b − 4 ) ( a b + 4 )
( x y − 9 ) ( x y + 9 ) ( x y − 9 ) ( x y + 9 )
( u v − 3 5 ) ( u v + 3 5 ) ( u v − 3 5 ) ( u v + 3 5 )
( r s − 2 7 ) ( r s + 2 7 ) ( r s − 2 7 ) ( r s + 2 7 )
( 2 x 2 − 3 y 4 ) ( 2 x 2 + 3 y 4 ) ( 2 x 2 − 3 y 4 ) ( 2 x 2 + 3 y 4 )
( 6 m 3 − 4 n 5 ) ( 6 m 3 + 4 n 5 ) ( 6 m 3 − 4 n 5 ) ( 6 m 3 + 4 n 5 )
( 12 p 3 − 11 q 2 ) ( 12 p 3 + 11 q 2 ) ( 12 p 3 − 11 q 2 ) ( 12 p 3 + 11 q 2 )
( 15 m 2 − 8 n 4 ) ( 15 m 2 + 8 n 4 ) ( 15 m 2 − 8 n 4 ) ( 15 m 2 + 8 n 4 )
Recognize and Use the Appropriate Special Product Pattern
In the following exercises, find each product.
ⓐ (p−3)(p+3)(p−3)(p+3) ⓑ (t−9)2(t−9)2 ⓒ (m+n)2(m+n)2 ⓓ (2x+y)(x−2y)(2x+y)(x−2y)
ⓐ (2r+12)2(2r+12)2 ⓑ (3p+8)(3p−8)(3p+8)(3p−8) ⓒ (7a+b)(a−7b)(7a+b)(a−7b) ⓓ (k−6)2(k−6)2
ⓐ (a5−7b)2(a5−7b)2 ⓑ (x2+8y)(8x−y2)(x2+8y)(8x−y2) ⓒ (r6+s6)(r6−s6)(r6+s6)(r6−s6) ⓓ (y4+2z)2(y4+2z)2
ⓐ (x5+y5)(x5−y5)(x5+y5)(x5−y5) ⓑ (m3−8n)2(m3−8n)2 ⓒ (9p+8q)2(9p+8q)2 ⓓ (r2−s3)(r3+s2)(r2−s3)(r3+s2)
Everyday Math
Mental math You can use the product of conjugates pattern to multiply numbers without a calculator. Say you need to multiply 47 times 53. Think of 47 as 50−350−3 and 53 as 50+350+3.
ⓐ Multiply (50−3)(50+3)(50−3)(50+3) by using the product of conjugates pattern, (a−b)(a+b)=a2−b2(a−b)(a+b)=a2−b2.
ⓑ Multiply 47·5347·53 without using a calculator.
ⓒ Which way is easier for you? Why?
Mental math You can use the binomial squares pattern to multiply numbers without a calculator. Say you need to square 65. Think of 65 as 60+560+5.
ⓐ Multiply (60+5)2(60+5)2 by using the binomial squares pattern, (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2.
65 ਦਾ ਵਰਗ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਕਿਹੜਾ ਤਰੀਕਾ ਸੌਖਾ ਹੈ? ਕਿਉਂ?
ਲਿਖਣ ਦੇ ਅਭਿਆਸ
ਤੁਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦੇ ਹੋ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਪੈਟਰਨ ਵਰਤਣਾ ਹੈ?
(a+b)2(a+b)2 ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਕਿਉਂ ਬਣਦਾ ਹੈ, ਪਰ (a−b)(a+b)(a−b)(a+b) ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਕਿਉਂ ਬਣਦਾ ਹੈ?
ਮਾਰਟਾ ਨੇ ਆਪਣੇ ਹੋਮਵਰਕ ਪੇਪਰ 'ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਕੰਮ ਕੀਤਾ:
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਮਾਰਟਾ ਦੇ ਕੰਮ ਵਿੱਚ ਕੀ ਗਲਤੀ ਹੈ।
ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਿਖਾਓ ਕਿ (3+5)2(3+5)2 64 ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਸ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮਝਾਓ ਕਿ (a+b)2≠a2+b2(a+b)2≠a2+b2 ਕਿਉਂ ਹੈ।
ਆਪ-ਪੜਚੋਲ
ਅਭਿਆਸ ਪੂਰੇ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਚੈਕਲਿਸਟ 'ਤੇ ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਪ੍ਰਤੀਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਦੇ ਮੱਦੇਨਜ਼ਰ, 1-10 ਦੇ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਦਰਜਾ ਦਿਓਗੇ? ਤੁਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਸੁਧਾਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?