ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨ-ਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨਾ
ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨਾ
ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨਾ
ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਧੀ ਚੁਣਨਾ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 7.11
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
ਸਰਲ ਕਰੋ: (12x)2.(12x)2। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 6.23 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 7.12
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (m+4)2.(m+4)2। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 6.47 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 7.13
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (p−9)2.(p−9)2। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 6.48 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 7.14
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (k+3)(k−3).(k+3)(k−3)। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 6.52 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਲਈ ਰਣਨੀਤੀ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਵਿਕਸਤ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਉਹ ਤੁਹਾਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ, ਤਿੰਨ-ਪਦੀਆਂ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪਦਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਾਰਗਦਰਸ਼ਨ ਕਰੇਗੀ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕੁਝ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਅਤੇ ਤਿੰਨ-ਪਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ—ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਸਿੱਖਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲ ਪੈਟਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨ-ਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ
ਕੁਝ ਤਿੰਨ-ਪਦੀਆਂ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਹ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਤੁਸੀਂ FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਪਰ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵਰਗ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਸੀ, ਇੱਕ ਕਦਮ ਬਚਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਆਓ FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਕੇ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵਰਗ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੀਏ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਦੋ-ਪਦੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਹੈ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਆਖਰੀ ਦਾ ਵਰਗ ਹੈ। ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਪਦ ਦੋ-ਪਦੀ ਦੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਦੁੱਗਣਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਤਿੰਨ-ਪਦੀ 9x2 + 24 +16 ਨੂੰ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੋ-ਪਦੀ 3x+4 ਦਾ ਵਰਗ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਵਿੱਚ ਸੰਦਰਭ ਵਜੋਂ ਵਰਤਣ ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵਰਗ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਇੱਥੇ ਦੁਹਰਾਵਾਂਗੇ।
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵਰਗ ਪੈਟਰਨ
ਜੇਕਰ a ਅਤੇ b ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ,
ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖ ਰਹੇ ਹੋ—ਹੁਣ, ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋਗੇ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇਸਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋਗੇ।
ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਦੱਸੇ ਢੰਗਾਂ ਨਾਲ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ax2 + bx + c ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਪਰ ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਪਛਾਣ ਲੈਂਦੇ ਹੋ ਕਿ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਵਰਗ ਹਨ ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਬੈਠਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਆਪਣਾ ਬਹੁਤ ਸਾਰਾ ਕੰਮ ਬਚਾ ਲਵੋਗੇ।
ਇਹ ਨਮੂਨਾ ਹੈ—ਬਿਨੋਮੀਅਲ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਉਲਟਾ।
ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਨਮੂਨਾ
ਜੇਕਰ a ਅਤੇ b ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ,
ਇਸ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਹ ਪਛਾਣਨਾ ਪਵੇਗਾ ਕਿ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਇਸ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਬੈਠਦੀ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਮੋਹਰੀ ਗੁਣਾਂਕ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ, a2a2। ਅੱਗੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਆਖਰੀ ਪਦ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ, b2b2। ਫਿਰ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਪਦ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ—ਕੀ ਇਹ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਦੁੱਗਣਾ ਹੈ, 2ab? ਜੇਕਰ ਸਭ ਕੁਝ ਠੀਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.42
ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ: 9x2+12x+49x2+12x+4।
ਹੱਲ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.83
ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ: 4x2+12x+94x2+12x+9।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.84
ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ: 9y2+24y+169y2+24y+16।
ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਪਦ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਿਹੜਾ ਨਮੂਨਾ ਵਰਤਾਂਗੇ। ਜਦੋਂ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਪਦ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ a2−2ab+b2a2−2ab+b2 ਨਮੂਨਾ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ (a−b)2(a−b)2 ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਦਮ ਇੱਥੇ ਸਾਰਾਂਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਕੀ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਬੈਠਦੀ ਹੈ?a2+2ab+b2a2−2ab+b2• ਕੀ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ?(a)2(a)2 ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵਰਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।• ਕੀ ਆਖਰੀ ਪਦ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ?(a)2(b)2(a)2(b)2 ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵਰਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।• ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਪਦ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਕੀ ਇਹ 2ab ਹੈ? (a)2↘2·a·b↙(b)2(a)2↘2·a·b↙(b)2 ਕਦਮ 2. ਬਿਨੋਮੀਅਲ ਦਾ ਵਰਗ ਲਿਖੋ।(a+b)2(a−b)2 ਕਦਮ 3. ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਕਦਮ 1. ਕੀ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਬੈਠਦੀ ਹੈ?a2+2ab+b2a2−2ab+b2• ਕੀ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ?(a)2(a)2 ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵਰਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।• ਕੀ ਆਖਰੀ ਪਦ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ?(a)2(b)2(a)2(b)2 ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵਰਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।• ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਪਦ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਕੀ ਇਹ 2ab ਹੈ? (a)2↘2·a·b↙(b)2(a)2↘2·a·b↙(b)2 ਕਦਮ 2. ਬਿਨੋਮੀਅਲ ਦਾ ਵਰਗ ਲਿਖੋ।(a+b)2(a−b)2 ਕਦਮ 3. ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿੱਥੇ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਪਦ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.43
ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ: 81y2−72y+1681y2−72y+16।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਵਰਗ ਹਨ। ਦੇਖੋ ਕਿ ਕੀ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਪਦ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਬੈਠਦਾ ਹੈ। ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਪਦ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਬਿਨੋਮੀਅਲ ਵਰਗ (a−b)2(a−b)2 ਹੋਵੇਗਾ।
ਕਤਾਰ: ਕੀ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹਨ?
1. ਕਤਾਰ: ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਕੀ ਇਹ (a−b)2(a−b)2 ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ? ਹਾਂ।
1. ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਵਰਗ ਨੂੰ ਲਿਖੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾਂ ਰਾਹੀਂ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
1. (9y−4)2(9y−4)2
1. (9y)2−2⋅9y⋅4+42(9y)2−2⋅9y⋅4+42
81y² − 72y + 16
1. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.85
64y2−80y+25 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.86
16ਜ਼^2 - 72ਜ਼ + 81
ਅਗਲਾ ਉਦਾਹਰਨ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਹੋਵੇਗਾ।
7.44 | 7.44
36x² + 84xy + 49y² ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ।
1. ਹੱਲ
1. ਕਤਾਰ: ਹਰ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਪਰਖ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਨਮੂਨਾ ਸਹੀ ਹੋਵੇ।
1. ਕਤਾਰ: ਕਾਰਕ।
1. ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਚੈੱਕ ਕਰੋ।
1. (ਛੇਕਸ ਜੋੜ ਸੱਤਵਾਈ) ਦੋ (ਛੇਕਸ ਜੋੜ ਸੱਤਵਾਈ) ਦੋ
6x ਦੀ ਦੋ ਘਾਤ ਜਮਾ 2 ਗੁਣਾ 6x ਗੁਣਾ 7y ਜਮਾ 7y ਦੀ ਦੋ ਘਾਤ
1. 36x² + 84xy + 49y²
1. ਇਹਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.87
49x² + 84xy + 36y² ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.88
64m2+112mn+49n2 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.45
9x2+50x+25 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
9x2+50x+25
ਕੀ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹਨ? | (3x)2 (5)2
ਦਰਮਿਆਨੀ ਪਦ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ—ਕੀ ਇਹ 2ab ਹੈ? | (3x)2 ↘ 2(3x)(5) 30x ↙ (5)2
ਨਹੀਂ! 30x ≠ 50x | ਇਹ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਨਹੀਂ ਬੈਠਦਾ!
"ac" ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ। | 9x2+50x+25
ਨੋਟ: ac = 9·25 = 225 ਅਤੇ 5+45=50
ਦਰਮਿਆਨੀ ਪਦ ਨੂੰ ਵੰਡੋ। ਸਮੂਹ ਬਣਾ ਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ। | 9x2+5x+45x+25 x(9x+5)+5(9x+5) (9x+5)(x+5)
ਜਾਂਚ ਕਰੋ। (9x+5)(x+5) = 9x2+45x+5x+25 = 9x2+50x+25 ✓
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.89
16r2+30rs+9s2 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.90
9u2+87u+100 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਸਾਡੀ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਕੀ ਸੀ? ਇਹ ਪੁੱਛਣਾ ਸੀ ਕਿ "ਕੀ ਕੋਈ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ?" ਅਤੇ, ਜੇਕਰ ਸੀ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ GCF ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਦੇ ਹੋ। ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨੋਂ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ GCF ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਬਾਹਰ ਕੱਢਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਤੇ, ਕਈ ਵਾਰ, GCF ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਲਵੋਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.46
36x2y−48xy+16y ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
36x2y−48xy+16y
ਕੀ ਕੋਈ GCF ਹੈ? ਹਾਂ, 4y, ਇਸ ਲਈ ਇਸਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ। | 4y(9x2−12x+4)
ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਹੈ?
ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
row: Factor. | 4y(3x−2)24y(3x−2)2
row: Remember: Keep the factor 4y in the final product.
row: Check.
row: 4y(3x−2)24y(3x−2)2
row: 4y[(3x)2−2·3x·2+22]4y[(3x)2−2·3x·2+22]
row: 4y(9x)2−12x+44y(9x)2−12x+4
row: 36x2y−48xy+16y✓36x2y−48xy+16y✓
Try It 7.91
Factor: 8x2y−24xy+18y8x2y−24xy+18y.
Try It 7.92
Factor: 27p2q+90pq+75q27p2q+90pq+75q.
Factor Differences of Squares
The other special product you saw in the previous chapter was the Product of Conjugates pattern. You used this to multiply two binomials that were conjugates. Here’s an example:
Remember, when you multiply conjugate binomials, the middle terms of the product add to 0. All you have left is a binomial, the difference of squares.
Multiplying conjugates is the only way to get a binomial from the product of two binomials.
Product of Conjugates Pattern
If a and b are real numbers
The product is called a difference of squares.
To factor, we will use the product pattern “in reverse” to factor the difference of squares. A difference of squares factors to a product of conjugates.
Difference of Squares Pattern
If a and b are real numbers,
Remember, “difference” refers to subtraction. So, to use this pattern you must make sure you have a binomial in which two squares are being subtracted.
Example 7.47
How to Factor Differences of Squares
1. ਗੁਣਨਖੰਡ: x²−4x²−4.
2. ਹੱਲ
3. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.93
4. ਗੁਣਨਖੰਡ: h²−81h²−81.
5. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.94
6. ਗੁਣਨਖੰਡ: k²−121k²−121.
7. ਕਿਵੇਂ
8. ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
9. ਕਦਮ 1. ਕੀ ਦੋਪਦੀ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ? a²−b² • ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਹੈ? ____−____ • ਕੀ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹਨ? ਕਦਮ 2. ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵਰਗਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। (a)²−(b)² ਕਦਮ 3. ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਲਿਖੋ। (a−b)(a+b) ਕਦਮ 4. ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਕਦਮ 1. ਕੀ ਦੋਪਦੀ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ? a²−b² • ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਹੈ? ____−____ • ਕੀ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹਨ? ਕਦਮ 2. ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵਰਗਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। (a)²−(b)² ਕਦਮ 3. ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਲਿਖੋ। (a−b)(a+b) ਕਦਮ 4. ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
10. ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਕੋਈ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹਨ ਜੋ ਇਕੱਠੇ ਗੁਣਾ ਹੋ ਕੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਬਣਾ ਸਕਣ। ਕੋਈ ਵੀ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਹਟਾਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਪਦ a²+b²a²+b² ਅਭਾਜ ਹੈ!
11. ਇਹ ਨਾ ਭੁੱਲੋ ਕਿ 1 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ।
12. ਉਦਾਹਰਨ 7.48
13. ਗੁਣਨਖੰਡ: 64y²−164y²−1.
14. ਹੱਲ
15. ਕਤਾਰ: ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਹੈ? ਹਾਂ।
16. ਕਤਾਰ: ਕੀ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹਨ?
17. ਕਤਾਰ: ਹਾਂ - ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵਰਗਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
18. ਕਤਾਰ: ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
19. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
20. ਕਤਾਰ: (8y−1)(8y+1)(8y−1)(8y+1)
21. ਕਤਾਰ: 64y²−1✓64y²−1✓
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.95
23. ਗੁਣਨਖੰਡ: m²−1m²−1.
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.96
81y2−181y2−1
ਉਦਾਹਰਨ 7.49
121x2−49y2121x2−49y2
ਹੱਲ
121 x 2 − 49 y 2 ਕੀ ਇਹ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ? ਹਾਂ। ( 11 x ) 2 − ( 7 y ) 2 ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। ( 11 x − 7 y ) ( 11 x + 7 y ) ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ( 11 x − 7 y ) ( 11 x + 7 y ) 121 x 2 − 49 y 2 ✓ 121 x 2 − 49 y 2 ਕੀ ਇਹ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ? ਹਾਂ। ( 11 x ) 2 − ( 7 y ) 2 ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। ( 11 x − 7 y ) ( 11 x + 7 y ) ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ( 11 x − 7 y ) ( 11 x + 7 y ) 121 x 2 − 49 y 2 ✓
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.97
196m2−25n2196m2−25n2
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.98
144p2−9q2144p2−9q2
ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦੋਪਦੀ "ਪਿੱਛੇ" ਵਾਂਗ ਲੱਗ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਅਜੇ ਵੀ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.50
100−h2100−h2
ਹੱਲ
ਸਤਰ: 100−h2100−h2
ਸਤਰ: ਕੀ ਇਹ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ? ਹਾਂ। | (10)2−(h)2(10)2−(h)2
ਸਤਰ: ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। | (10−h)(10+h)(10−h)(10+h)
ਸਤਰ: ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। (10−h)(10+h)100−h2✓(10−h)(10+h)100−h2✓
ਸਤਰ: ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ h2−100h2−100 ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਨਾ ਲਿਖਣ ਦਾ ਧਿਆਨ ਰੱਖੋ।
ਆਪਣੇ ਆਪ h2−100h2−100 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਫਿਰ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਨਤੀਜਾ (10−h)(10+h)(10−h)(10+h) ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.99
144−x2144−x2
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.100
169−p2169−p2
ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਵਾਂਗੇ!
7.51 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਗੁਣਨਖੰਡ: x⁴−y⁴
ਹੱਲ
ਸਤਰ: x⁴−y⁴
ਸਤਰ: ਕੀ ਇਹ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ? ਹਾਂ। | (x²)²−(y²)²
ਸਤਰ: ਇਸਨੂੰ ਸੰਯੁਗਮੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। | (x²−y²)(x²+y²)
ਸਤਰ: ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪਹਿਲਾ ਦੋਪਦੀ ਵੀ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ! | ((x)²−(y)²)(x²+y²)
ਸਤਰ: ਇਸਨੂੰ ਸੰਯੁਗਮੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। ਆਖਰੀ ਗੁਣਨਖੰਡ, ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ, ਨੂੰ ਹੋਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। | (x−y)(x+y)(x²+y²)
ਸਤਰ: ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। (x−y)(x+y)(x²+y²) = (x²−y²)(x²+y²) = x⁴−y⁴✓
7.101 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਗੁਣਨਖੰਡ: a⁴−b⁴
7.102 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਗੁਣਨਖੰਡ: x⁴−16
ਜਦੋਂ ਵੀ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੋਈ ਵਿਅੰਜਨ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ "ਛੁਪਾ" ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਪਛਾਣ ਨਹੀਂ ਆਉਣਗੇ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਤੁਸੀਂ GCF ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਬਣਾ ਲੈਂਦੇ।
7.52 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਗੁਣਨਖੰਡ: 8x²y−98y
ਹੱਲ
ਸਤਰ: 8x²y−98y
ਸਤਰ: ਕੀ ਕੋਈ GCF ਹੈ? ਹਾਂ, 2y—ਇਸਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ! | 2y(4x²−49)
ਸਤਰ: ਕੀ ਦੋਪਦੀ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ? ਹਾਂ। | 2y((2x)²−(7)²)
ਸਤਰ: ਸੰਯੁਗਮੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। | 2y(2x−7)(2x+7)
ਸਤਰ: ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। 2y(2x−7)(2x+7) = 2y[(2x−7)(2x+7)] = 2y(4x²−49) = 8x²y−98y✓
7.103 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਗੁਣਨਖੰਡ: 7xy²−175x
ਇਸ ਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.104
ਗੁਣਨਖੰਡ: 45a²b - 80b⁴
ਉਦਾਹਰਨ 7.53
ਗੁਣਨਖੰਡ: 6x² + 96
ਹੱਲ
ਸਤਰ: 6x² + 96
ਸਤਰ: ਕੀ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਵੱਡਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ? ਹਾਂ, 6—ਇਸ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ! | 6(x² + 16)
ਸਤਰ: ਕੀ ਦੋਪਦੀ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ? ਨਹੀਂ, ਇਹ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ। ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ!
ਸਤਰ: ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। 6(x² + 16) = 6x² + 96 ✓
ਇਸ ਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.105
ਗੁਣਨਖੰਡ: 8a² + 200
ਇਸ ਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.106
ਗੁਣਨਖੰਡ: 36y² + 81
ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ
ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਪੈਟਰਨ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਨਹੀਂ ਵਰਤਿਆ ਸੀ। ਇਹ ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਪੈਟਰਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹਨਾਂ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨੂੰ ਲਿਖਾਂਗੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਤੁਹਾਡੇ 'ਤੇ ਛੱਡ ਦੇਵਾਂਗੇ।
ਸਤਰ: ਵੰਡੋ।
ਸਤਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | a³ - a²b + ab² + a²b - ab² + b³
ਸਤਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। | a³ + b³
ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਪੈਟਰਨ
ਦੋਵੇਂ ਪੈਟਰਨ ਬਹੁਤ ਸਮਾਨ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਹੈ ਨਾ? ਪਰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ। ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਮੂਲ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਤੇ ਤਿੰਨਪਦੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਪਦ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਮੂਲ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਉਲਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਲੈਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਇਹ ਤੁਹਾਨੂੰ ਪੈਟਰਨ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨਪਦੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ।
ਇਹ ਬਹੁਤ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ 1 ਤੋਂ 10 ਤੱਕ ਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਘਣਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਸਿੱਖ ਲੈਂਦੇ ਹੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਵਰਗਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ 1 ਤੋਂ 10 ਤੱਕ ਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਘਣਾਂ ਨੂੰ ਸਾਰਣੀ 7.2 ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10
1. ਕਤਾਰ: n3n3 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1000
2. ਮਿਸਾਲ 7.54
3. ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
4. ਗੁਣਨਖੰਡ: x3+64x3+64.
5. ਹੱਲ
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.107
7. ਗੁਣਨਖੰਡ: x3+27x3+27.
8. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.108
9. ਗੁਣਨਖੰਡ: y3+8y3+8.
10. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
11. ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
12. ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਨ ਲਈ:
13. ਕਦਮ 1. ਕੀ ਦੋ-ਪਦੀ ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਬੈਠਦੀ ਹੈ? ਕੀ ਇਹ ਜੋੜ ਹੈ ਜਾਂ ਘਟਾਓ? ਕੀ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹਨ?
14. ਕਦਮ 2. ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਘਣਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
15. ਕਦਮ 3. ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
16. ਕਦਮ 4. ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
17. ਕਦਮ 5. ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
18. ਮਿਸਾਲ 7.55
19. ਗੁਣਨਖੰਡ: x3−1000x3−1000.
20. ਹੱਲ
21. ਕਤਾਰ: ਇਹ ਦੋ-ਪਦੀ ਇੱਕ ਘਟਾਓ ਹੈ। ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹਨ।
22. ਕਤਾਰ: ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਘਣਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
23. ਕਤਾਰ: ਘਣਾਂ ਦੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
24. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
2. ਯਤਨ ਕਰੋ 7.109
3. ਗੁਣਨਖੰਡ: u³−125u³−125।
4. ਯਤਨ ਕਰੋ 7.110
5. ਗੁਣਨਖੰਡ: v³−343v³−343।
6. ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਾਟ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਸਹੀ ਨਿਸ਼ਾਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹੋ।
7. ਉਦਾਹਰਨ 7.56
8. ਗੁਣਨਖੰਡ: 512−125p³512−125p³।
9. ਹੱਲ
10. ਕਤਾਰ: ਇਹ ਦੋਪਦੀ ਇੱਕ ਘਾਟ ਹੈ। ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹਨ।
11. ਕਤਾਰ: ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਘਣਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
12. ਕਤਾਰ: ਘਾਟ ਦੇ ਘਾਟ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
13. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
14. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। | ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਤੁਹਾਡੇ 'ਤੇ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
15. ਯਤਨ ਕਰੋ 7.111
16. ਗੁਣਨਖੰਡ: 64−27x³64−27x³।
17. ਯਤਨ ਕਰੋ 7.112
18. ਗੁਣਨਖੰਡ: 27−8y³27−8y³।
19. ਉਦਾਹਰਨ 7.57
20. ਗੁਣਨਖੰਡ: 27u³−125v³27u³−125v³।
21. ਹੱਲ
22. ਕਤਾਰ: ਇਹ ਦੋਪਦੀ ਇੱਕ ਘਾਟ ਹੈ। ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹਨ।
23. ਕਤਾਰ: ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਘਣਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
24. ਕਤਾਰ: ਘਾਟ ਦੇ ਘਾਟ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। | ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਤੁਹਾਡੇ ਉੱਤੇ ਛੱਡਾਂਗੇ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 7.113
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: 8x³−27y³
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 7.114
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: 1000m³−125n³
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ GCF ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.58
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: 5m³+40n³
ਹੱਲ
ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
ਇਹ ਦੋਪਦੀ ਇੱਕ ਜੋੜ ਹੈ। ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹਨ।
ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਘਣਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਫਿਰ ਉਸ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ 5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
5 ( m + 2 n ) ( m ² − 2 m n + 4 n ² )
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 7.115
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: 500p³+4q³
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 7.116
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: 432c³+686d³
ਮੀਡੀਆ
ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ
ਘਨਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
ਅਭਿਆਸ ਪਰਪੱਕਤਾ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ
ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
16 y² + 24 y + 9
25 v² + 20 v + 4
36 s² + 84 s + 49
49 s² + 154 s + 121
100 x² − 20 x + 1
64 z² − 16 z + 1
25 n² − 120 n + 144
4 p² − 52 p + 169
49 x² − 28 xy + 4 y²
25 r² − 60 rs + 36 s²
25 n² + 25 n + 4
100 y² − 20 y + 1
64 m² − 16 m + 1
100 x² − 25 x + 1
10 k² + 80 k + 160
64 x² − 96 x + 36
75 u³ − 30 u²v + 3 uv²
90 p³ + 300 p²q + 250 pq²
ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
x² - 16x + 16
1. ਦੋ ਘਟ ਨੌਂ, ਦੋ ਘਟ ਨੌਂ
25 v 2 − 1 25 v 2 − 1
1. ਸੋਲ੍ਹਾਂ ਸੌ ਨੌਂ ਗੁਣਾਂ ਦੋ ਘਟਾ ਇੱਕ ਸੋਲ੍ਹਾਂ ਸੌ ਨੌਂ ਗੁਣਾਂ ਦੋ ਘਟਾ ਇੱਕ
੧੨੧ x ੨ − ੧੪੪ y ੨
49 x 2 − 81 y 2
1. 169 c 2 − 36 d 2 169 c 2 − 36 d 2
36 p 2 − 49 q 2
4 − 49 x 2 4 − 49 x 2
1. ੧੨੧ − ੨੫ ਸ ੨ ੧੨੧ − ੨੫ ਸ ੨
16 ζ 4 − 1 16 ζ 4 − 1
ਮੈਂ 4 - ਨਾਮ 4 - ਨਾਮ
1. ਪੰਜ ਕਾ ਦੋ ਘਟਾ ਚਾਰ ਪੰਜ ਕਾ ਦੋ ਘਟਾ ਚਾਰ
98 ਰ 3 − 72 ਰ 98 ਰ 3 − 72 ਰ
24 ਪ 2 + 54 24 ਪ 2 + 54
20 ਬ 2 + 140 20 ਬ 2 + 140
ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਗੁਣਕ
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
3 x 3 + 125 x 3 + 125
3 ਨ 3 + 512 ਨ 3 + 512
z 3 − 27 z 3 − 27
3 − 216
8 − 343 t 3 8 − 343 t 3
੧੨੫ − ੨੭ ਵ ੩ ੧੨੫ − ੨੭ ਵ ੩
8y³ − 125z³
27x³ − 64y³
7k³ + 56
6x³ − 48y³
2 − 16y³
−2x³ − 16y³
ਮਿਸ਼ਰਤ ਅਭਿਆਸ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
64a² − 25
121x² − 144
27q² − 3
4p² − 100
16x² − 72x + 81
36y² + 12y + 1
8p² + 2
81x² + 169
125 − 8y³
27u³ + 1000
45n² + 60n + 20
48q³ − 24q² + 3q
ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਗਣਿਤ
ਭੂ-ਦ੍ਰਿਸ਼ਟਿ: ਸੁਏ ਅਤੇ ਐਲਨ ਆਪਣੇ ਵਿਹੜੇ ਵਿੱਚ 15 ਫੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਤੈਰਾਕੀ ਪੂਲ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾ ਰਹੇ ਹਨ। ਉਹ ਪੂਲ ਨੂੰ ਹਰ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਚੌੜਾਈ ਵਾਲੇ ਟਾਈਲ ਵਾਲੇ ਡੈੱਕ ਨਾਲ ਘੇਰਨਗੇ। ਜੇਕਰ ਡੈੱਕ ਦੀ ਚੌੜਾਈ w ਹੈ, ਤਾਂ ਪੂਲ ਅਤੇ ਡੈੱਕ ਦਾ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਤ੍ਰਿਪਦੀ 4w²+60w+225 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
ਘਰ ਦੀ ਮੁਰੰਮਤ: ਬਾਰ੍ਹਾਂ ਫੁੱਟੀ ਪੌੜੀ ਇੱਕ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਪਾਸੇ ਕਿੰਨੀ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਪੌੜੀ ਦਾ ਅਧਾਰ ਇਮਾਰਤ ਤੋਂ b ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਹੈ, ਇਹ ਬਿਨੋਮਿਅਲ 144−b² ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਹੈ। ਬਿਨੋਮਿਅਲ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
ਲੇਖਨ ਅਭਿਆਸ
1. ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਾਰੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਦੋਪਦੀ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦਾ ਅਭਿਆਸ ਕਰਨਾ ਕਿਉਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸੀ?
2. ਤੁਸੀਂ ਦੋਪਦੀ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਛਾਣਦੇ ਹੋ?
3. ਸਮਝਾਓ ਕਿ n2+25≠(n+5)2 ਕਿਉਂ ਹੈ। ਅਲਜਬਰਾ, ਸ਼ਬਦਾਂ ਜਾਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4. ਮਾਰੀਬੇਲ ਨੇ y2−30y+81 ਨੂੰ (y−9)2 ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੀਤਾ। ਕੀ ਉਹ ਸਹੀ ਸੀ ਜਾਂ ਗਲਤ? ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਲੱਗਾ?
5. ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
6. ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
7. ⓑ ਚੈਕਲਿਸਟ 'ਤੇ ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਪ੍ਰਤੀਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਦੇ ਮੱਦੇਨਜ਼ਰ, ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਨੂੰ 1–10 ਦੇ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ ਤੁਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਦਰਜਾ ਦਿਓਗੇ? ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਸੁਧਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?