ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਮਾਡਲ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 7.19
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
ਹੱਲ ਕਰੋ: 5y−3=05y−3=0। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 2.27 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 7.20
ਹੱਲ ਕਰੋ: 10a=010a=0। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 2.13 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 7.21
ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ: 12x2−6x+4x12x2−6x+4x। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.24 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 7.22
n3−9n2−22nn3−9n2−22n ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 7.32 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ax+by=cax+by=c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਚਲਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਘਾਤ ਅੰਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਉਹ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਚਲ ਦਾ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ:
ਆਖਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਚਲ ਦਾ ਵਰਗ ਨਹੀਂ ਜਾਪਦਾ, ਪਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਾਂਗੇ ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ n2+nn2+n ਮਿਲੇਗਾ।
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ax2+bx+c=0, ਜਿੱਥੇ a≠0ax2+bx+c=0, ਜਿੱਥੇ a≠0 ਹੈ।
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ
ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ਦੇ ਰੂਪ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਵਿਧੀਆਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਿਧੀਆਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਸਨ। ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਦੇਖਾਂਗੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਬਾਅਦ ਦੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਕਈ ਹੋਰ।
ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੁਝ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇ ਦੋ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਸਿਫਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ ਕਿ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ ਸਿਫਰ ਹੋਵੇ। ਸਿਫਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਸਿਫਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ
ਜੇ a·b=0a·b=0, ਤਾਂ ਜਾਂ ਤਾਂ a=0a=0 ਜਾਂ b=0b=0 ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.69
ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੂਜੇ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਤਰੀਕਾ
ਹੱਲ ਕਰੋ: (x+1)(x−4)=0
ਹੱਲ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.137
ਹੱਲ ਕਰੋ: (x−3)(x+5)=0
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.138
ਹੱਲ ਕਰੋ: (y−6)(y+9)=0
ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਏ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਇਸ ਆਖਰੀ ਉਦਾਹਰਨ ਨਾਲੋਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਜ਼ਿਆਦਾ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.70
ਹੱਲ ਕਰੋ: (5n−2)(6n−1)=0
ਹੱਲ
ਸਤਰ: (5n−2)(6n−1)=0
ਸਤਰ: ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਕ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ। | 5n−2=0 | 6n−1=0
ਸਤਰ: ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। | n=2/5 | n=1/6
ਸਤਰ: ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.139
ਹੱਲ ਕਰੋ: (3m−2)(2m+1)=0
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.140
ਹੱਲ ਕਰੋ: (4p+3)(4p−3)=0
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਨੇ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਸਿਫਰ ਬਣਾਇਆ। ਪਰ ਦੋਵਾਂ ਹੱਲਾਂ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਸਿਫਰ ਸੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.71
ਹੱਲ ਕਰੋ: 3p(10p+7)=0
ਹੱਲ
3p(10p+7)=0
3p=0 10p+7=0
p=0 10p=−7
p=−7/10
ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.141
ਹੱਲ ਕਰੋ: 2u(5u−1)=0
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.142
ਹੱਲ ਕਰੋ: w(2w+3)=0
ਇਹ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਣ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿ (y−8)2 ਦਾ ਮਤਲਬ (y−8)(y−8) ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.72
ਹੱਲ ਕਰੋ: (y−8)2=0
ਹੱਲ
(y−8)2=0
ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। (y−8)(y−8)=0
ਜ਼ੀਰੋ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਕ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ। y−8=0 y−8=0
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। y=8 y=8
ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਹੱਲ ਦੁਹਰਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋਹਰਾ ਰੂਟ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.143
ਹੱਲ ਕਰੋ: (x+1)2=0
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.144
ਹੱਲ ਕਰੋ: (v−2)2=0
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਰਾਹੀਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਤੱਕ ਜਿੰਨੀਆਂ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹੱਲ ਕੀਤੀਆਂ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੀ। ਸ਼ੁੱਨ੍ਹ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਧਰਮ (Zero Product Property) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ, ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਸ਼ੁੱਨ੍ਹ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ, ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0, ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.73
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਰਾਹੀਂ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਹੱਲ ਕਰੋ: x2+2x−8=0x2+2x−8=0.
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.145
ਹੱਲ ਕਰੋ: x2−x−12=0x2−x−12=0.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.146
ਹੱਲ ਕਰੋ: b2+9b+14=0b2+9b+14=0.
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਰਾਹੀਂ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ, ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0, ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਕਦਮ 2. ਦੋ ਘਾਤੀ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 3. ਸ਼ੁੱਨ੍ਹ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਧਰਮ (Zero Product Property) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 4. ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 5. ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.74
ਹੱਲ ਕਰੋ: 2y2=13y+452y2=13y+45.
ਹੱਲ
ਸਤਰ: 2y2=13y+452y2=13y+45
ਸਤਰ: ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। | 2y2−13y−45=02y2−13y−45=0
ਸਤਰ: ਦੋ ਘਾਤੀ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰੋ। | (2y+5)(y−9)=0(2y+5)(y−9)=0
ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਰੋ। | 2y+5=0 | y−9=0
ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। | y=−52 | y=9
ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.147
ਹੱਲ ਕਰੋ: 3c2=10c−8.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.148
ਹੱਲ ਕਰੋ: 2d2−5d=3.
ਉਦਾਹਰਨ 7.75
ਹੱਲ ਕਰੋ: 5x2−13x=7x.
ਹੱਲ
5x2−13x=7x
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। | 5x2−20x=0
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। | 5x(x−4)=0
ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਰੋ। | 5x=0 | x−4=0
ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। | x=0 | x=4
ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.149
ਹੱਲ ਕਰੋ: 6a2+9a=3a.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.150
ਹੱਲ ਕਰੋ: 45b2−2b=−17b.
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਕੇ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਨਾਲ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਸਿੱਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਦੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਹੋਵੇਗੀ! ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਪਛਾਣਦੇ ਹੋ?
ਉਦਾਹਰਨ 7.76
ਹੱਲ ਕਰੋ: 144q2=25.
ਹੱਲ
1. ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
2. ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। ਇਹ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ।
3. ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣ ਲਈ ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਨੂੰ ਵਰਤੋਂ। | 12q–5=0 12q–5=0 | 12q+5=0 12q+5=0
4. ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। | 12q=5 q=512 12q=5 q=512 | 12q=–5 q=–512 12q=–5 q=–512
5. ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.151
7. ਹੱਲ ਕਰੋ: 25p2=4925p2=49।
8. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.152
9. ਹੱਲ ਕਰੋ: 36x2=12136x2=121।
10. ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਹੈ, ਪਰ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ ਸਿਫਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਨੂੰ ਵਰਤਣ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਸਿਫਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਾਂਗੇ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 7.77
12. ਹੱਲ ਕਰੋ: (3x−8)(x−1)=3x(3x−8)(x−1)=3x।
13. ਹੱਲ
14. ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। | (3x−8)(x−1)=3x(3x−8)(x−1)=3x
15. ਦੋਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 3x2−11x+8=3x3x2−11x+8=3x
16. ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। | 3x2−14x+8=03x2−14x+8=0
17. ਤਿੰਨਪਦੀ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। | (3x−2)(x−4)=0(3x−2)(x−4)=0
18. ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣ ਲਈ ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਨੂੰ ਵਰਤੋਂ। ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। | 3x−2=0x−4=03x=2x=4x=233x−2=0x−4=03x=2x=4x=23
19. ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। | ਜਾਂਚ ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਛੱਡੀ ਗਈ ਹੈ!
20. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.153
21. ਹੱਲ ਕਰੋ: (2m+1)(m+3)=12m(2m+1)(m+3)=12m।
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.154
23. ਹੱਲ ਕਰੋ: (k+1)(k−1)=8(k+1)(k−1)=8।
24. ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਤਿੰਨ ਜਾਂ ਵਧੇਰੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਗੁਣਨਫਲ ਸਿਫਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਸਿਫਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਘਾਤ ਵਾਲੀਆਂ ਕੁਝ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਸੀ।
7.78 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਹੱਲ ਕਰੋ: 9m3+100m=60m29m3+100m=60m2.
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਸਾਰੇ ਪਦ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ ਤਾਂ ਜੋ ਦੂਜਾ ਪਾਸਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋ ਜਾਵੇ।
ਸਤਰ: ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) ਕੱਢੋ।
ਸਤਰ: ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
ਸਤਰ: ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ (Zero Product Property) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। | ਜਾਂਚ ਤੁਹਾਡੇ 'ਤੇ ਛੱਡੀ ਗਈ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 7.155
ਹੱਲ ਕਰੋ: 8x3=24x2−18x8x3=24x2−18x.
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 7.156
ਹੱਲ ਕਰੋ: 16y2=32y3+2y16y2=32y3+2y.
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਅਗਲੀ ਮਿਸਾਲ ਵਿੱਚ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਵਾਂਗੇ ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਤਿੰਨ ਗੁਣਨਖੰਡ ਮਿਲਣਗੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਪਹਿਲਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਹ ਗੁਣਨਖੰਡ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ।
7.79 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਹੱਲ ਕਰੋ: 4x2=16x+844x2=16x+84.
ਹੱਲ
ਸਤਰ: 4x2=16x+844x2=16x+84
ਸਤਰ: ਦੋ-ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। | 4x2−16x−84=04x2−16x−84=0
ਸਤਰ: ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) ਕੱਢੋ। | 4(x2−4x−21)=04(x2−4x−21)=0
ਸਤਰ: ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। | 4(x−7)(x+3)=04(x−7)(x+3)=0
ਸਤਰ: ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ (Zero Product Property) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। | 4≠0x−7=0x+3=04≠0x=7x=−34≠0x−7=0x+3=04≠0x=7x=−3
ਸਤਰ: ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। | ਜਾਂਚ ਤੁਹਾਡੇ 'ਤੇ ਛੱਡੀ ਗਈ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 7.157
ਹੱਲ ਕਰੋ: 18a²−30=−33a
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 7.158
ਹੱਲ ਕਰੋ: 123b=−6−60b².
ਦੁਆਰਾ ਵਰਗ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਸਮੱਸਿਆ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਵਰਤੀ ਸੀ, ਵਰਗ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਵੀ ਓਨੀ ਹੀ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰੇਗੀ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਸੰਦਰਭ ਲਈ ਵਰਤਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣ ਲਈ ਸਮੱਸਿਆ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਨੂੰ ਇੱਥੇ ਕਾਪੀ ਕਰਾਂਗੇ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਸ਼ਬਦ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਸਮੱਸਿਆ ਪੜ੍ਹੋ। ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਸਾਰੇ ਸ਼ਬਦ ਅਤੇ ਵਿਚਾਰ ਸਮਝੇ ਗਏ ਹਨ।
ਕਦਮ 2. ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਕਦਮ 3. ਨਾਮ ਦਿਓ ਜੋ ਅਸੀਂ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਉਸ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਚੁਣੋ।
ਕਦਮ 4. ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ। ਇਹ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਰੀ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੇ ਨਾਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਕ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਦੱਸਿਆ ਜਾਵੇ। ਫਿਰ, ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਾਕ ਦਾ ਅਲਜਬਰਾ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 5. ਚੰਗੀਆਂ ਅਲਜਬਰਾ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 6. ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਅਤੇ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਇਹ ਸਮਝਦਾਰ ਹੈ।
ਕਦਮ 7. ਇੱਕ ਪੂਰੇ ਵਾਕ ਨਾਲ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦਾ ਉੱਤਰ ਦਿਓ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਰਗ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸ਼ਬਦਾਂ ਦਾ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਨ ਦਾ ਅਭਿਆਸ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਸਮੱਸਿਆ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.80
ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 132 ਹੈ। ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
row: ਕਦਮ 1. ਸਮੱਸਿਆ ਪੜ੍ਹੋ।
row: ਕਦਮ 2. ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ। | ਅਸੀਂ ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ।
row: ਕਦਮ 3. ਨਾਮ ਦਿਓ ਜੋ ਅਸੀਂ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ। | ਮੰਨ ਲਓ n = ਪਹਿਲਾ ਪੂਰਨ ਅੰਕ, n+1 = ਅਗਲਾ ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ।
row: ਕਦਮ 4. ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ। ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਕ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਦੱਸੋ। | ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 132 ਹੈ।
row: ਪਹਿਲਾ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਗੁਣਾ ਅਗਲਾ ਪੂਰਨ ਅੰਕ 132 ਹੈ।
row: ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ। | n(n+1)=132
1. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 5. ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰੋ। | n2+n=132n2+n=132
2. ਕਤਾਰ: ਸਾਰੇ ਪਦ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਲਿਆਓ। | n2+n−132=0n2+n−132=0
3. ਕਤਾਰ: ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। | (n−11)(n+12)=0(n−11)(n+12)=0
4. ਕਤਾਰ: ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਵਰਤੋ। ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰੋ। | n−11=0n+12=0n=11n=−12n−11=0n+12=0n=11n=−12
5. ਕਤਾਰ: ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਹੱਲ ਲਈ n ਦੇ ਦੋ ਮੁੱਲ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਦੋ ਸਮੂਹ ਹਨ ਜੋ ਕੰਮ ਕਰਨਗੇ।
6. ਕਤਾਰ: ਜੇ ਪਹਿਲਾ ਪੂਰਨ ਅੰਕ n=11 ਹੈ, ਤਾਂ ਅਗਲਾ ਪੂਰਨ ਅੰਕ n+1 ਹੈ। 11+1=12। ਜੇ ਪਹਿਲਾ ਪੂਰਨ ਅੰਕ n=−12 ਹੈ, ਤਾਂ ਅਗਲਾ ਪੂਰਨ ਅੰਕ n+1 ਹੈ। −12+1=−11।
7. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 6. ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
8. ਕਤਾਰ: ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ 11,12 ਅਤੇ −11,−12 ਹਨ। ਗੁਣਨਫਲ 11·12=132 ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ −11(−12)=132 ਹੈ। ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਜੋੜੇ ਹੱਲ ਹਨ।
9. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 7. ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦਿਓ। ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ 11,12 ਅਤੇ −11,−12 ਹਨ।
10. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.159
11. ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 240 ਹੈ। ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਲੱਭੋ।
12. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.160
13. ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 420 ਹੈ। ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਲੱਭੋ।
14. ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਤੋਂ ਹੈਰਾਨ ਹੋਏ ਸੀ ਜੋ ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ? ਦੋ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਦੋ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਦੋਵੇਂ 132 ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
15. ਕੁਝ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੱਲ ਅਲਜਬਰਾ ਤੋਂ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਣਗੇ, ਪਰ ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਯਥਾਰਥਵਾਦੀ ਨਹੀਂ ਹੋਣਗੇ।
16. ਉਦਾਹਰਨ 7.81
17. ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 15 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਬਾਗ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਚੌੜਾਈ ਤੋਂ ਦੋ ਫੁੱਟ ਵੱਧ ਹੈ। ਬਾਗ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਲੱਭੋ।
18. ਹੱਲ
19. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 1. ਸਮੱਸਿਆ ਪੜ੍ਹੋ। ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਚਿੱਤਰਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਕੈਚ ਤੁਹਾਨੂੰ ਸਥਿਤੀ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।
20. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 2. ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹੋ। | ਅਸੀਂ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ।
21. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 3. ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਨਾਮ ਦਿਓ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹੋ। ਲੰਬਾਈ ਚੌੜਾਈ ਤੋਂ ਦੋ ਫੁੱਟ ਵੱਧ ਹੈ। | ਮੰਨ ਲਓ W = ਬਾਗ ਦੀ ਚੌੜਾਈ। W + 2 = ਬਾਗ ਦੀ ਲੰਬਾਈ।
22. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 4. ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ। ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਕ ਵਿੱਚ ਦੁਹਰਾਓ। | ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 15 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ।
23. ਕਤਾਰ: ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ। | A=L·WA=L·W
24. ਕਤਾਰ: ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ। | 15=(W+2)W15=(W+2)W
1. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 5. ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਪਹਿਲਾਂ ਵੰਡੋ। | 15=W2+2W15=W2+2W
2. ਕਤਾਰ: ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲਿਆਓ। | 0=W2+2W−150=W2+2W−15
3. ਕਤਾਰ: ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। | 0=(W+5)(W−3)0=(W+5)(W−3)
4. ਕਤਾਰ: ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | 0=W+50=W+5 | 0=W−30=W−3
5. ਕਤਾਰ: ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰੋ। | −5=W−5=W | 3=W3=W
6. ਕਤਾਰ: ਕਿਉਂਕਿ W ਬਾਗ਼ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣਾ ਕੋਈ ਮਾਇਨੇ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦਾ। ਅਸੀਂ W ਦੇ ਇਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। | −5=W−5=WW=3W=3 | 3=W3=Wਚੌੜਾਈ 3 ਫੁੱਟ ਹੈ।
7. ਕਤਾਰ: ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। | W+2=lengthW+2=length
8. 3+23+2
9. 55 | ਲੰਬਾਈ 5 ਫੁੱਟ ਹੈ।
10. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 6. ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਕੀ ਜਵਾਬ ਸਹੀ ਹੈ?
11. ਕਤਾਰ: ਹਾਂ, ਇਹ ਸਹੀ ਹੈ।
12. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 7. ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦਿਓ। | ਬਾਗ਼ ਦੀ ਚੌੜਾਈ 3 ਫੁੱਟ ਹੈ ਅਤੇ ਲੰਬਾਈ 5 ਫੁੱਟ ਹੈ।
13. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.161
14. ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 30 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਨਿਸ਼ਾਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਚੌੜਾਈ ਤੋਂ ਇੱਕ ਫੁੱਟ ਵੱਧ ਹੈ। ਨਿਸ਼ਾਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
15. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.162
16. ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਵਿਹੜੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 180 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਵਿਹੜੇ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਲੰਬਾਈ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਫੁੱਟ ਘੱਟ ਹੈ। ਵਿਹੜੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
17. ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਥਿਊਰਮ (a2+b2=c2)(a2+b2=c2) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਇਸ ਨੇ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਲੱਤਾਂ ਅਤੇ ਕਾਰਨ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦਿੱਤਾ ਸੀ।
18. ਅਸੀਂ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਕਰਾਂਗੇ।
19. ਉਦਾਹਰਨ 7.82
20. ਜਸਟੀਨ ਆਪਣੇ ਵਿਹੜੇ ਦੇ ਕੋਨੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਡੈੱਕ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਕਾਰਨ 17 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਤੋਂ 7 ਫੁੱਟ ਘੱਟ ਹੋਵੇਗੀ। ਡੈੱਕ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
21. ਹੱਲ
22. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 1. ਸਮੱਸਿਆ ਪੜ੍ਹੋ।
23. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 2. ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹੋ। | ਅਸੀਂ ਡੈੱਕ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ।
24. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 3. ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹੋ ਉਸਨੂੰ ਨਾਮ ਦਿਓ। ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਦੂਜੇ ਤੋਂ 7 ਘੱਟ ਹੈ। | ਮੰਨ ਲਓ x = ਡੈੱਕ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈx − 7 = ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
1. ਸਤਰ: ਕਦਮ 4. ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸੀਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। | a2+b2=c2a2+b2=c2
2. ਸਤਰ: ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | x2+(x−7)2=172x2+(x−7)2=172
3. ਸਤਰ: ਕਦਮ 5. ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। | x2+x2−14x+49=289x2+x2−14x+49=289
4. ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 2x2−14x+49=2892x2−14x+49=289
5. ਸਤਰ: ਇਹ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ। | 2x2−14x−240=02x2−14x−240=0
6. ਸਤਰ: ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਕੱਢੋ। | 2(x2−7x−120)=02(x2−7x−120)=0
7. ਸਤਰ: ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। | 2(x−15)(x+8)=02(x−15)(x+8)=0
8. ਸਤਰ: ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਨੂੰ ਵਰਤੋ। | 2≠02≠0 | x−15=0x−15=0 | x+8=0x+8=0
9. ਸਤਰ: ਹੱਲ ਕਰੋ। | 2≠02≠0 | x=15x=15 | x=−8x=−8
10. ਸਤਰ: ਕਿਉਂਕਿ x ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਹੈ, x=−8x=−8 ਦਾ ਕੋਈ ਮਤਲਬ ਨਹੀਂ ਹੈ। | 2≠02≠0 | x=15x=15 | x=−8x=−8
11. ਸਤਰ: ਦੂਜੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
12. ਸਤਰ: ਜੇ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
13. ਸਤਰ: ਤਾਂ ਦੂਜੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ
14. ਸਤਰ: 8 ਦੂਜੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ।
15. ਸਤਰ: ਕਦਮ 6. ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਕੀ ਇਹ ਅੰਕ ਸਹੀ ਹਨ?
16. ਸਤਰ: ਕਦਮ 7. ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦਿਓ। | ਡੈੱਕ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ 8, 15, ਅਤੇ 17 ਫੁੱਟ ਹਨ।
17. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.163
18. ਇੱਕ ਕਿਸ਼ਤੀ ਦਾ ਸਫ਼ੈਦ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਹੈ। ਸਫ਼ੈਦ ਦੀ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੂਜੀ ਭੁਜਾ ਨਾਲੋਂ 7 ਫੁੱਟ ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੈ। ਕਰਨ 13 ਹੈ। ਸਫ਼ੈਦ ਦੀਆਂ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
19. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.164
20. ਇੱਕ ਧਿਆਨ ਬਾਗ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੀ ਇੱਕ ਲੱਤ 7 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਕਰਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੂਜੀ ਲੱਤਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਤੋਂ ਇੱਕ ਵੱਧ ਹੈ। ਕਰਨ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਲੱਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
21. ਅਭਿਆਸ ਪਰਫੈਕਟ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ
22. ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਨੂੰ ਵਰਤੋ
23. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੱਲ ਕਰੋ।
24. ( x − 3 ) ( x + 7 ) = 0 ( x − 3 ) ( x + 7 ) = 0
( y − 11 ) ( y + 1 ) = 0
( 3 a − 10 ) ( 2 a − 7 ) = 0
( 5 b + 1 ) ( 6 b + 1 ) = 0
6 m ( 12 m − 5 ) = 0
2 x ( 6 x − 3 ) = 0
( y − 3 ) 2 = 0
( b + 10 ) 2 = 0
( 2 x − 1 ) 2 = 0
( 3 y + 5 ) 2 = 0
ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੁਆਰਾ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੱਲ ਕਰੋ।
x 2 + 7 x + 12 = 0
y 2 − 8 y + 15 = 0
5 a 2 − 26 a = 24
4 b 2 + 7 b = −3
4 m 2 = 17 m − 15
n 2 = 5 n − 6
7 a 2 + 14 a = 7 a
12 b 2 − 15 b = −9 b
49 m 2 = 144
625 = x 2
( y − 3 ) ( y + 2 ) = 4 y
( p − 5 ) ( p + 3 ) = −7
( 2 x + 1 ) ( x − 3 ) = −4 x
( x + 6 ) ( x − 3 ) = −8
16 ਪੀ 3 = 24 ਪੀ 2 - 9 ਪੀ
m 3 − 2 m 2 = − m m 3 − 2 m 2 = − m
20 x 2 − 60 x = −45
3 y 2 − 18 y = −27
ਦੁਵਿਘਾਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਅਰਜ਼ੀਆਂ
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 56 ਹੈ। ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 42 ਹੈ। ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਗਲੀਚੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 28 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਲੰਬਾਈ ਚੌੜਾਈ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਫੁੱਟ ਵੱਧ ਹੈ। ਗਲੀਚੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੋਕੀ ਕੰਧ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 15 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਕੰਧ ਦੀ ਉਚਾਈ ਉਸਦੀ ਲੰਬਾਈ ਤੋਂ ਦੋ ਫੁੱਟ ਘੱਟ ਹੈ। ਕੰਧ ਦੀ ਉਚਾਈ ਅਤੇ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. ਇੱਕ ਝੰਡਾ ਸੱਜੇ ਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਵਰਗਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਕਰਣ 10 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਝੰਡੇ ਦੀ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੂਜੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨਾਲੋਂ ਦੋ ਫੁੱਟ ਵੱਧ ਹੈ। ਝੰਡੇ ਦੀਆਂ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਤਲਾਅ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਕੰਧ ਦੇ ਨਾਲ ਹੈ। ਕੰਧ ਦੇ ਨਾਲ ਵਾਲੇ ਪਾਸੇ ਨਾਲੋਂ ਇਸਦਾ ਕੰਨ (hypotenuse) 9 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾ ਹੈ। ਤੀਜਾ ਪਾਸਾ ਕੰਧ ਦੇ ਨਾਲ ਵਾਲੇ ਪਾਸੇ ਨਾਲੋਂ 7 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਤਲਾਅ ਦੇ ਤਿੰਨਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਮਿਸ਼ਰਤ ਅਭਿਆਸ
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੱਲ ਕਰੋ।
( x + 8 ) ( x − 3 ) = 0
( 3 y − 5 ) ( y + 7 ) = 0
2p² + 12p + 11 = 0
ਕਿਊ ਵਰਗ − ੧੨ ਕਿਊ − ੧੩ = ੦
2m² - 6m - 16 = 0
4 ਨ 2 + 19 ਨ = 5 4 ਨ 2 + 19 ਨ = 5
1. 3a - 2a - 42a = 0 3a - 2a - 42a = 0
੪ ਬੀ ੨ − ੬੦ ਬੀ + ੨੨੪ = ੦
ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 110 ਹੈ। ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. ਇੱਕ ਸਮਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਨਾਲੋਂ ਤਿੰਨ ਫੁੱਟ ਵੱਧ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਰਨ 15 ਫੁੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਗਣਿਤ
3. ਵਿਹੜੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਵਿਹੜੇ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ 4 ਫੁੱਟ ਵਧਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਵਿਹੜੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 196 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ। ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ (s+4)2=196 ਨੂੰ s ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
4. ਤਰਬੂਜ਼ ਡ੍ਰੌਪ ਇੱਕ ਤਰਬੂਜ਼ ਨੂੰ ਇੱਕ ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਦਸਵੀਂ ਮੰਜ਼ਿਲ ਤੋਂ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤਰਬੂਜ਼ ਨੂੰ ਜ਼ਮੀਨ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਲੱਗਣ ਵਾਲੇ ਸਕਿੰਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ −16t2+144=0 ਨੂੰ t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
5. ਲਿਖਣ ਅਭਿਆਸ
6. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋ। ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਿੰਨੇ ਜਵਾਬ ਮਿਲਣ ਦੀ ਉਮੀਦ ਹੈ?
7. ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਓ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਜੀ.ਸੀ.ਐਫ. (GCF) ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਸਿਫ਼ਰ ਨਾ ਹੋਵੇ।
8. ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
9. ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
10. ⓑ ਕੁੱਲ ਮਿਲਾ ਕੇ, ਚੈਕਲਿਸਟ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਅਗਲੇ ਭਾਗ ਲਈ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਤਿਆਰ ਹੋ? ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ?