ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਪਰਿਮੇਯ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਖਾਸ ਚਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 8.19
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਕੋਈ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚ ਜਾਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਸੂਚੀਬੱਧ ਭਾਗ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਓ ਅਤੇ ਸਮੱਗਰੀ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਹੱਲ ਕਰੋ: 16x+12=13.16x+12=13। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚ ਗਏ ਹੋ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 2.48 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 8.20
ਹੱਲ ਕਰੋ: n2−5n−36=0.n2−5n−36=0। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚ ਗਏ ਹੋ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 7.73 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 8.21
xx ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ yy ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ: 5x+2y=105x+2y=10 y ਲਈ। y। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚ ਗਏ ਹੋ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 2.65 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਫਾਊਂਡੇਸ਼ਨਜ਼ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਸ਼ਬਦਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਪੁਸਤਕ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਹੈ ਅਤੇ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਹੁਣ ਤੱਕ ਕਈ ਪਰਿਮੇਯ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ।
ਪਰਿਮੇਯ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਫਾਊਂਡੇਸ਼ਨਜ਼ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਪਰਿਮੇਯ ਸਮੀਕਰਨ
ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸਮੀਕਰਨ ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨਾਂ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੁਆਰਾ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਹਨ।
ਤੁਹਾਨੂੰ ਪਰਿਮੇਯ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਪਰਿਮੇਯ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਜਾਣਨਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਮੇਯ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਭਿੰਨਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੀਆਂ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ LCD (ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ) ਲੱਭਿਆ ਅਤੇ ਫਿਰ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ "ਸਾਫ਼" ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ LCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ।
ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਕੀਤੀ ਸੀ:
ਸਤਰ: ਅਸੀਂ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ LCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ।
ਸਤਰ: ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਵੰਡਿਆ।
ਸਤਰ: ਅਸੀਂ ਸਰਲ ਕੀਤਾ—ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਬਿਨਾਂ ਭਿੰਨਾਂ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਸੀ।
ਸਤਰ: ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਉਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ।
ਅਸੀਂ ਤਰਕਸੰਗਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸੇ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ LCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ। ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੋਵੇਗਾ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਤਰਕਸੰਗਤ ਵਿਅੰਜਨ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸਾਡੇ ਲਈ ਬਹੁਤ ਸੌਖਾ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
ਪਰ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਹਰ (variable) ਹਰ (denominator) ਵਿੱਚ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹਿਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੇ ਹੱਲ 'ਤੇ ਨਾ ਪਹੁੰਚੀਏ ਜੋ ਹਰ (denominator) ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣਾ ਦੇਵੇ।
ਇਸ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ ਤਰਕਸੰਗਤ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਜਾਂਚਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਉਹ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਸਕੀਏ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹਰ (denominator) ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣਾ ਦੇਣਗੇ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕੋਈ ਤਰਕਸੰਗਤ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋਵਾਂਗੇ ਕਿ ਕੀ ਕੋਈ ਅਜਿਹੇ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਹੱਲ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਾਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ।
ਤਰਕਸੰਗਤ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਹੱਲ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਰਕਸੰਗਤ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ (undefined) ਬਣਾ ਦੇਵੇ, ਉਸਨੂੰ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਹੱਲ (extraneous solution) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਤਰਕਸੰਗਤ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਹੱਲ
ਤਰਕਸੰਗਤ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਹੱਲ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਹੱਲ ਹੈ ਜੋ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ (undefined) ਬਣਾ ਦੇਵੇਗਾ।
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਭਾਵੀ ਬਾਹਰੀ ਹੱਲਾਂ, c, ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਅੱਗੇ x≠cx≠c ਲਿਖ ਕੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.59
ਤਰਕਸੰਗਤ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਹੱਲ ਕਰੋ: 1x+13=56.1x+13=56.
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.117
ਹੱਲ ਕਰੋ: 1y+23=15.1y+23=15.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.118
ਹੱਲ ਕਰੋ: 23+15=1x.23+15=1x.
ਇਸ ਵਿਧੀ ਦੇ ਕਦਮ ਹੇਠਾਂ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਤਰਕਸੰਗਤ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਕਿਸੇ ਵੀ ਚੱਲ (variable) ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹਰ (denominator) ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣਾ ਦੇਵੇ।
ਕਦਮ 2. ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਹਰਾਂ (denominators) ਦਾ ਲਘੂਤਮ ਸਮਾਪਵਰਤਕ (least common denominator) ਲੱਭੋ।
ਕਦਮ 3. ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ LCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਭਿੰਨਾਂ (fractions) ਨੂੰ ਹਟਾਓ।
ਕਦਮ 4. ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 5. ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਕਦਮ 1 ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਗਏ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਹੱਲ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿਓ। ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਪਰਖੋ।
ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਉਨ੍ਹਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹਰ (denominator) ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣਾ ਦੇਣਗੇ।
8.60 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਹੱਲ ਕਰੋ: 1−5y=−6y2.1−5y=−6y2.
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਨੋਟ ਕਰੋ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਬਣਾ ਦੇਵੇ।
ਸਤਰ: ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰਾਂ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝਾ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ (LCD) ਲੱਭੋ। LCD y2y2 ਹੈ।
ਸਤਰ: LCD ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਪਹਿਲਾਂ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਸਤਰ: ਫੈਕਟਰ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਜ਼ੀਰੋ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਪ੍ਰੋਪਰਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਹੱਲ ਵਜੋਂ 0 ਨਹੀਂ ਮਿਲਿਆ।
8.119 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਹੱਲ ਕਰੋ: 1−2a=15a2.1−2a=15a2.
8.120 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਹੱਲ ਕਰੋ: 1−4b=12b2.1−4b=12b2.
8.61 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਹੱਲ ਕਰੋ: 53u−2=32u.53u−2=32u.
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਨੋਟ ਕਰੋ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਬਣਾ ਦੇਵੇ।
ਸਤਰ: ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰਾਂ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝਾ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ (LCD) ਲੱਭੋ। LCD 2u(3u−2)2u(3u−2) ਹੈ।
ਸਤਰ: LCD ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ।
1. ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਹਟਾਓ।
2. ਸਰਲ ਕਰੋ।
3. ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
4. ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
5. ਸਾਨੂੰ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਹੱਲਾਂ ਵਜੋਂ 0 ਜਾਂ 2323 ਨਹੀਂ ਮਿਲਿਆ।
6. ਯਤਨ ਕਰੋ 8.121
7. ਹੱਲ ਕਰੋ: 1x−1=23x.
8. ਯਤਨ ਕਰੋ 8.122
9. ਹੱਲ ਕਰੋ: 35n+1=23n.
10. ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਇੱਕ ਹਰ (denominator) ਦੋ ਘਾਤੀ (quadratic) ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝਾ ਹਰ (LCD) ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਸਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ ਯਾਦ ਰੱਖੋ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 8.62
12. ਹੱਲ ਕਰੋ: 2p+2+4p−2=p−1p2−4.
13. ਹੱਲ
14. ਕੋਈ ਵੀ ਚੱਲ (variable) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨੋਟ ਕਰੋ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣਾ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇ।
15. ਸਾਰੇ ਹਰਾਂ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝਾ ਹਰ (LCD) ਲੱਭੋ। LCD (p+2)(p−2) ਹੈ।
16. ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ LCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਓ।
17. ਵੰਡੋ।
18. ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਹਟਾਓ।
19. ਸਰਲ ਕਰੋ।
20. ਵੰਡੋ।
21. ਹੱਲ ਕਰੋ।
22. ਸਾਨੂੰ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਹੱਲਾਂ ਵਜੋਂ 2 ਜਾਂ -2 ਨਹੀਂ ਮਿਲਿਆ।
23. ਯਤਨ ਕਰੋ 8.123
24. ਹੱਲ ਕਰੋ: 2x+1+1x−1=1x2−1.
Try It 8.124
Solve: 5y+3+2y−3=5y2−9.5y+3+2y−3=5y2−9.
Example 8.63
Solve: 4q−4−3q−3=1.4q−4−3q−3=1.
Solution
row: Note any value of the variable that would make any denominator zero.
row: Find the least common denominator of all denominators in the equation. The LCD is(q−4)(q−3)(q−4)(q−3).
row: Clear the fractions by multiplying both sides of the equation by the LCD.
row: Distribute.
row: Remove common factors.
row: Simplify.
row: Simplify.
row: Combine like terms.
row: Solve. First write in standard form.
row: Factor.
row: Use the Zero Product Property.
row: We did not get 4 or 3 as algebraic solutions.
Try It 8.125
Solve: 2x+5−1x−1=1.2x+5−1x−1=1.
Try It 8.126
Solve: 3x+8−2x−2=1.3x+8−2x−2=1.
Example 8.64
Solve: m+11m2−5m+4=5m−4−3m−1.m+11m2−5m+4=5m−4−3m−1.
Solution
1. ਸਾਰਿਆਂ ਹਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ, ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਚੱਲ ਦੀ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਨੋਟ ਕਰ ਸਕੀਏ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣਾ ਦੇਵੇ।
2. ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਹਰਾਂ ਦਾ ਲਘੁਤਮ ਸਮਾਪਵਰਤਕ (LCD) ਪਤਾ ਕਰੋ। LCD (m−4)(m−1)(m−4)(m−1) ਹੈ।
3. ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਓ।
4. ਵੰਡੋ।
5. ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਟਾਓ।
6. ਸਰਲ ਕਰੋ।
7. ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਏ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
8. ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਇਕੱਲਾ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਹੱਲ 4 ਸੀ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਕਿਹਾ ਸੀ ਕਿ 4 ਕਿਸੇ ਹਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣਾ ਦੇਵੇਗਾ। ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਹੱਲ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਹੱਲ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
9. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.127
10. ਹੱਲ ਕਰੋ: x+13x2−7x+10=6x−5−4x−2।
11. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.128
12. ਹੱਲ ਕਰੋ: y−14y2+3y−4=2y+4+7y−1।
13. ਉਦਾਹਰਨ 8.64 ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਜਿਹੜਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਉਸਦਾ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਹੱਲ ਸੀ, ਪਰ ਉਹ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਹੱਲ ਸੀ। ਇਸ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਬਚਿਆ। ਕੁਝ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 8.65
15. ਹੱਲ ਕਰੋ: n12+n+33n=1n।
16. ਹੱਲ
17. ਕਤਾਰ: ਚੱਲ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਨੋਟ ਕਰੋ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣਾ ਦੇਵੇ।
18. ਕਤਾਰ: ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਹਰਾਂ ਦਾ ਲਘੁਤਮ ਸਮਾਪਵਰਤਕ (LCD) ਪਤਾ ਕਰੋ। LCD 12n ਹੈ।
19. ਕਤਾਰ: ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ LCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਓ।
20. ਕਤਾਰ: ਵੰਡੋ।
21. ਕਤਾਰ: ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਟਾਓ।
22. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
23. ਕਤਾਰ: ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਏ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
24. ਕਤਾਰ: ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
row: n=0n=0 is an extraneous solution.
Try It 8.129
Solve: x18+x+69x=23x.x18+x+69x=23x.
Try It 8.130
Solve: y+55y+y15=1y.y+55y+y15=1y.
Example 8.66
Solve: yy+6=72y2−36+4.yy+6=72y2−36+4.
Solution
row: Factor all the denominators, so we can note any value of the variable that would make any denominator zero.
row: Find the least common denominator. The LCD is(y−6)(y+6)(y−6)(y+6).
row: Clear the fractions.
row: Simplify.
row: Simplify.
row: Solve the resulting equation.
row: Check.
row: y=−6y=−6 is an extraneous solution.
Try It 8.131
Solve: xx+4=32x2−16+5.xx+4=32x2−16+5.
Try It 8.132
Solve: yy+8=128y2−64+9.yy+8=128y2−64+9.
Example 8.67
Solve: x2x−2−23x+3=5x2−2x+912x2−12.x2x−2−23x+3=5x2−2x+912x2−12.
Solution
row: We will start by factoring all denominators, to make it easier to identify extraneous solutions and the LCD.
row: Note any value of the variable that would make any denominator zero.
row: Find the least common denominator.The LCD is 12(x−1)(x+1)12(x−1)(x+1)
row: Clear the fractions.
row: Simplify.
row: Simplify.
row: Solve the resulting equation.
row: Check.
row: x=1x=1 and x=−1x=−1 are extraneous solutions. The equation has no solution.
Try It 8.133
Solve: y5y−10−53y+6=2y2−19y+5415y2−60.y5y−10−53y+6=2y2−19y+5415y2−60.
Try It 8.134
Solve: z2z+8−34z−8=3z2−16z−168z2+16z−64.z2z+8−34z−8=3z2−16z−168z2+16z−64.
Solve a Rational Equation for a Specific Variable
When we solved linear equations, we learned how to solve a formula for a specific variable. Many formulas used in business, science, economics, and other fields use rational equations to model the relation between two or more variables. We will now see how to solve a rational equation for a specific variable.
We’ll start with a formula relating distance, rate, and time. We have used it many times before, but not usually in this form.
Example 8.68
Solve: DT=RforT.DT=RforT.
Solution
row: Note any value of the variable that would make any denominator zero.
row: Clear the fractions by multiplying both sides of the equations by the LCD, T.
row: Simplify.
row: Divide both sides by R to isolate T.
row: Simplify.
Try It 8.135
Solve: AL=WAL=W for L.L.
Try It 8.136
Solve: FA=MFA=M for A.A.
Example 8.69 uses the formula for slope that we used to get the point-slope form of an equation of a line.
Example 8.69
Solve: m=x−2y−3fory.m=x−2y−3fory.
Solution
row: Note any value of the variable that would make any denominator zero.
row: Clear the fractions by multiplying both sides of the equations by the LCD, y−3y−3.
row: Simplify.
row: Isolate the term with y.
row: Divide both sides by m to isolate y.
row: Simplify.
Try It 8.137
Solve: y−2x+1=23y−2x+1=23 for x.x.
Try It 8.138
Solve: x=y1−yx=y1−y for y.y.
Be sure to follow all the steps in Example 8.70. It may look like a very simple formula, but we cannot solve it instantly for either denominator.
Example 8.70
Solve 1c+1m=1forc.1c+1m=1forc.
Solution
row: Note any value of the variable that would make any denominator zero.
row: Clear the fractions by multiplying both sides of the equations by the LCD, cmcm.
row: Distribute.
row: Simplify.
row: Collect the terms with c to the right.
1. ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ।
2. c ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨ ਲਈ, ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ m−1m−1 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ।
3. ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾ ਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
4. ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਭਾਵੇਂ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚੋਂ c=0ਅਤੇm=0c=0ਅਤੇm=0 ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਰੱਖਿਆ ਸੀ, ਸਾਨੂੰ ਹੁਣ ਇਹ ਵੀ ਦੱਸਣਾ ਪਵੇਗਾ ਕਿ m≠1m≠1 ਹੈ।
5. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.139
6. ਹੱਲ ਕਰੋ: 1a+1b=c1a+1b=c, a ਲਈ।
7. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.140
8. ਹੱਲ ਕਰੋ: 2x+13=1y2x+13=1y, y ਲਈ।
9. ਅਭਿਆਸ ਨਾਲ ਪਰਪੱਕਤਾ ਆਉਂਦੀ ਹੈ
10. ਅਨੁਪਾਤਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
11. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੱਲ ਕਰੋ।
12. 1 a + 2 5 = 1 2
13. 5 6 + 3 b = 1 3
14. 5 2 − 1 c = 3 4
15. 6 3 − 2 d = 4 9
16. 4 5 + 1 4 = 2 v
17. 3 7 + 2 3 = 1 w
18. 7 9 + 1 x = 2 3
19. 3 8 + 2 y = 1 4
20. 1 − 2 m = 8 m 2
21. 1 + 4 n = 21 n 2
22. 1 + 9 p = −20 p 2
23. 1 − 7 q = −6 q 2
24. 1 r + 3 = 4 2 r
3 t − 6 = 1 t 3 t − 6 = 1 t
5 3 v − 2 = 7 4 v 5 3 v − 2 = 7 4 v
8 2 w + 1 = 3 w 8 2 w + 1 = 3 w
3 x + 4 + 7 x − 4 = 8 x 2 − 16 3 x + 4 + 7 x − 4 = 8 x 2 − 16
5 y − 9 + 1 y + 9 = 18 y 2 − 81 5 y − 9 + 1 y + 9 = 18 y 2 − 81
8 z − 10 + 7 z + 10 = 5 z 2 − 100 8 z − 10 + 7 z + 10 = 5 z 2 − 100
9 a + 11 + 6 a − 11 = 7 a 2 − 121 9 a + 11 + 6 a − 11 = 7 a 2 − 121
1 q + 4 − 2 q − 2 = 1 1 q + 4 − 2 q − 2 = 1
3 r + 10 − 4 r − 4 = 1 3 r + 10 − 4 r − 4 = 1
1 t + 7 − 5 t − 5 = 1 1 t + 7 − 5 t − 5 = 1
2 s + 7 − 3 s − 3 = 1 2 s + 7 − 3 s − 3 = 1
v − 10 v 2 − 5 v + 4 = 3 v − 1 − 6 v − 4 v − 10 v 2 − 5 v + 4 = 3 v − 1 − 6 v − 4
w + 8 w 2 − 11 w + 28 = 5 w − 7 + 2 w − 4 w + 8 w 2 − 11 w + 28 = 5 w − 7 + 2 w − 4
x − 10 x 2 + 8 x + 12 = 3 x + 2 + 4 x + 6 x − 10 x 2 + 8 x + 12 = 3 x + 2 + 4 x + 6
y − 3 y 2 − 4 y − 5 = 1 y + 1 + 8 y − 5 y − 3 y 2 − 4 y − 5 = 1 y + 1 + 8 y − 5
z 16 + z + 2 4 z = 1 2 z z 16 + z + 2 4 z = 1 2 z
a 9 + a + 3 3 a = 1 a a 9 + a + 3 3 a = 1 a
b + 3 3 b + b 24 = 1 b b + 3 3 b + b 24 = 1 b
c + 3 12 c + c 36 = 1 4 c c + 3 12 c + c 36 = 1 4 c
d d + 3 = 18 d 2 − 9 + 4 d d + 3 = 18 d 2 − 9 + 4
m m + 5 = 50 m 2 − 25 + 6 m m + 5 = 50 m 2 − 25 + 6
n n + 2 = 8 n 2 − 4 + 3 n n + 2 = 8 n 2 − 4 + 3
p p + 7 = 98 p 2 − 49 + 8 p p + 7 = 98 p 2 − 49 + 8
q 3 q − 9 − 3 4 q + 12 q 3 q − 9 − 3 4 q + 12 = 7 q 2 + 6 q + 63 24 q 2 − 216 = 7 q 2 + 6 q + 63 24 q 2 − 216
r 3 r − 15 − 1 4 r + 20 r 3 r − 15 − 1 4 r + 20 = 3 r 2 + 17 r + 40 12 r 2 − 300 = 3 r 2 + 17 r + 40 12 r 2 − 300
s 2 s + 6 − 2 5 s + 5 s 2 s + 6 − 2 5 s + 5 = 5 s 2 − s − 18 10 s 2 + 40 s + 30 = 5 s 2 − s − 18 10 s 2 + 40 s + 30
t 6 t − 12 − 5 2 t + 10 t 6 t − 12 − 5 2 t + 10 = t 2 − 23 t + 70 12 t 2 + 36 t − 120 = t 2 − 23 t + 70 12 t 2 + 36 t − 120
Solve a Rational Equation for a Specific Variable
In the following exercises, solve.
C r = 2 π for r C r = 2 π for r
I r = P for r I r = P for r
V h = l w for h V h = l w for h
2 A b = h for b 2 A b = h for b
v + 3 w − 1 = 1 2 for w v + 3 w − 1 = 1 2 for w
x + 5 2 − y = 4 3 for y x + 5 2 − y = 4 3 for y
a = b + 3 c − 2 for c a = b + 3 c − 2 for c
m = n 2 − n for n m = n 2 − n for n
1 p + 2 q = 4 for p 1 p + 2 q = 4 for p
3 s + 1 t = 2 for s 3 s + 1 t = 2 for s
2 v + 1 5 = 3 w for w 2 v + 1 5 = 3 w for w
6 x + 2 3 = 1 y for y 6 x + 2 3 = 1 y for y
m + 3 n − 2 = 4 5 for n m + 3 n − 2 = 4 5 for n
E c = m 2 for c E c = m 2 for c
3 x − 5 y = 1 4 for y 3 x − 5 y = 1 4 for y
R T = W for T R T = W for T
r = s 3 − t for t r = s 3 − t for t
c = 2 a + b 5 for a c = 2 a + b 5 for a
Everyday Math
1. ਅਲੇਨ ਇੱਕ ਘਰ ਨੂੰ 4 ਦਿਨਾਂ ਵਿੱਚ ਰੰਗ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਪੀਰੋ ਉਸੇ ਘਰ ਨੂੰ ਰੰਗਣ ਲਈ 7 ਦਿਨ ਲਵੇਗਾ। ਜੇ ਉਹ ਇਕੱਠੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਤਾਂ ਘਰ ਨੂੰ ਰੰਗਣ ਲਈ ਲੱਗਣ ਵਾਲੇ ਦਿਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 14+17=1t14+17=1t ਨੂੰ t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
2. ਏਰੀ ਆਪਣੀ ਕਿਸ਼ਤੀ ਨੂੰ ਧਾਰਾ ਦੇ ਨਾਲ 18 ਮੀਲ ਉਸੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਚਲਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿੰਨੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਧਾਰਾ ਦੇ ਵਿਰੁੱਧ 10 ਮੀਲ ਚਲਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਕਿਸ਼ਤੀ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ 7 ਨੌਟ ਹੈ, ਤਾਂ ਧਾਰਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 187+c=107−c187+c=107−c ਨੂੰ c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
3. ਲਿਖਣ ਦੇ ਅਭਿਆਸ
4. ਸਮੀਕਰਨ 3x−2=5x−23x−2=5x−2 ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੈ?
5. ਪੀਟ ਸੋਚਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ yy+6=72y2−36+4yy+6=72y2−36+4 ਦੇ ਦੋ ਹੱਲ ਹਨ, y=−6andy=4y=−6andy=4। ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਪੀਟ ਗਲਤ ਕਿਉਂ ਹੈ।
6. ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
7. ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
8. ⓑ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਤੁਸੀਂ ਸਾਰੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀ ਕਰੋਗੇ?