ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਨੈਗੇਟਿਵ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਇੱਕ ਅਸਲੀ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਹਰ ਪੌਜ਼ੀਟਿਵ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਦੋ ਵਰਗਮੂਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇੱਕ ਪੌਜ਼ੀਟਿਵ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨੈਗੇਟਿਵ। ਪੌਜ਼ੀਟਿਵ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਪੌਜ਼ੀਟਿਵ ਵਰਗਮੂਲ ਮੁੱਖ ਵਰਗਮੂਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਨੇੜਲੇ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲੈਣ ਲਈ ਰੈਡੀਕਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ x≥0x≥0 ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਮੁੱਖ ਵਰਗਮੂਲ ਮਿਲੇ।
ਸਰਲ ਵਰਗਮੂਲ aa ਨੂੰ ਸਰਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ aa ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਾ ਹੋਵੇ।
ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ: ਜੇਕਰ a, b ਗੈਰ-ਨੈਗੇਟਿਵ ਅਸਲੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ ab=a·bab=a·b
ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨਾ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ: ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨ ਲਈ: ਕਦਮ 1. ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭੋ। ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਨੂੰ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। ਕਦਮ 2. ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਦੋ ਰੈਡੀਕਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਕਦਮ 3. ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਗੁਣ: ਜੇਕਰ a, b ਗੈਰ-ਨੈਗੇਟਿਵ ਅਸਲੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ b≠0b≠0, ਤਾਂ ab=abab=ab
ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨਾ ਭਾਗਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ: ਭਾਗਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨ ਲਈ: ਕਦਮ 1. ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਵਿੱਚ ਭਿੰਨ ਨੂੰ, ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ, ਸਰਲ ਕਰੋ। ਕਦਮ 2. ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਦੋ ਰੈਡੀਕਲਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਕਦਮ 3. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਰੈਡੀਕਲਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਮਾਨ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ ਲਈ, ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਰੱਖੋ।
ਕਈ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਅਜਿਹੇ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਮਾਨ ਰੈਡੀਕਲ ਨਹੀਂ ਜਾਪਦੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਸਮਾਨ ਰੈਡੀਕਲ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ: ਜੇਕਰ a, b ਗੈਰ-ਨੈਗੇਟਿਵ ਅਸਲੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ ab=a·banda·b=abab=a·banda·b=ab
ਬਾਇਨੋਮੀਅਲਾਂ ਅਤੇ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਫਾਰਮੂਲੇ: (a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)(a+b)=a2−b2(a−b)2=a2−2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)(a+b)=a2−b2(a−b)2=a2−2ab+b2
FOIL ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਰੈਡੀਕਲਾਂ ਵਾਲੇ ਬਾਇਨੋਮੀਅਲਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਗੁਣ: ਜੇਕਰ a, b ਗੈਰ-ਨੈਗੇਟਿਵ ਅਸਲੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ b≠0b≠0, ਤਾਂ ab=abandab=abab=abandab=ab
ਸਰਲ ਵਰਗਮੂਲ: ਇੱਕ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਭਿੰਨ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਭਿੰਨ ਦੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵਰਗਮੂਲ ਨਾ ਹੋਵੇ।
ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ: ਕਦਮ 1. ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਵੱਖ ਕਰੋ। ਕਦਮ 2. ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰੋ। ਕਦਮ 3. ਨਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਕਦਮ 4. ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੁਝ ਹੱਲ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨਾਲ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ: ਕਦਮ 1. ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਪੜ੍ਹੋ ਅਤੇ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਸਾਰੇ ਸ਼ਬਦ ਅਤੇ ਵਿਚਾਰ ਸਮਝੇ ਗਏ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਢੁਕਵਾਂ ਹੋਵੇ, ਇੱਕ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨਾਲ ਲੇਬਲ ਕਰੋ। ਕਦਮ 2. ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਕਦਮ 3. ਇਸਨੂੰ ਨਾਮ ਦਿਓ ਜੋ ਅਸੀਂ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਇਸਦੀ ਨੁਮਾਇੰਦਗੀ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਚੁਣ ਕੇ। ਕਦਮ 4. ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਢੁਕਵੇਂ ਫਾਰਮੂਲੇ ਜਾਂ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਲਿਖ ਕੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ। ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ। ਕਦਮ 5. ਚੰਗੀਆਂ ਅਲਜਬਰਾ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਕਦਮ 6. ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਅਤੇ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਇਹ ਸਮਝਦਾਰ ਹੈ। ਕਦਮ 7. ਇੱਕ ਪੂਰੇ ਵਾਕ ਨਾਲ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦਾ ਉੱਤਰ ਦਿਓ।
ਇੱਕ ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
ਡਿੱਗਣ ਵਾਲੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ: ਧਰਤੀ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਨੂੰ hh ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੋਂ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜ਼ਮੀਨ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਲੱਗਣ ਵਾਲਾ ਸਮਾਂ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਫਾਰਮੂਲਾ t=h4t=h4 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਕਿਡ ਮਾਰਕਸ ਅਤੇ ਕਾਰ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ: ਜੇਕਰ ਸਕਿਡ ਮਾਰਕਸ ਦੀ ਲੰਬਾਈ d ਫੁੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ ਬ੍ਰੇਕ ਲਗਾਉਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਾਰ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ, s, ਫਾਰਮੂਲਾ s=24ds=24d ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਗੁਣ:
1. ਜਦੋਂ n ਇੱਕ ਸਮ ਸੰਖਿਆ ਹੋਵੇ ਅਤੇ a≥0, ਤਾਂ aⁿ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇ a<0, ਤਾਂ aⁿ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਜਦੋਂ n ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ aⁿ ਸਾਰੇ a ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ n≥2 ਲਈ, ਜਦੋਂ n ਟਾਂਕ ਹੋਵੇ, aⁿ = a। ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ n≥2 ਲਈ, ਜਦੋਂ n ਸਮ ਹੋਵੇ, aⁿ = |a|।
2. aⁿ ਨੂੰ ਸਰਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇ a ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਗੁਣਕ mn ਨਾ ਹੋਵੇ।
3. nਵੇਂ ਮੂਲ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ: abⁿ = aⁿ ⋅ bⁿ ਅਤੇ aⁿ ⋅ bⁿ = abⁿ
4. nਵੇਂ ਮੂਲ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਗੁਣ: abⁿ = aⁿ / bⁿ ਅਤੇ aⁿ / bⁿ = abⁿ
5. ਸਮਾਨ ਰੇਡੀਕਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ, ਸਿਰਫ਼ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਜਦੋਂ ਕਿ ਰੇਡੀਕਲ ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰੱਖੋ।
6. ਘਾਤਾਂਕ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਸਾਰ
7. ਜੇ a, b ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ m, n ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ: ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ: aᵐ ⋅ aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ਘਾਤ ਗੁਣ: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ ਘਾਤ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ: (ab)ᵐ = aᵐbᵐ ਭਾਗਫਲ ਗੁਣ: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, a≠0, m>n aᵐ / aⁿ = 1 / aⁿ⁻ᵐ, a≠0, n>m ਸਿਫਰ ਘਾਤ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ: a⁰ = 1, a≠0 ਘਾਤ ਦਾ ਭਾਗਫਲ: (a/b)ᵐ = aᵐ / bᵐ, b≠0