ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਉੱਚੇ ਮੂਲਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਉੱਚੇ ਮੂਲਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਉੱਚੇ ਮੂਲਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਉੱਚੇ ਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਓ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 9.18
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
ਸਰਲ ਕਰੋ: y5y4y5y4। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 6.18 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 9.19
ਸਰਲ ਕਰੋ: (n2)6(n2)6। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 6.22 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 9.20
ਸਰਲ ਕਰੋ: x8x3x8x3। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 6.59 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਉੱਚੇ ਮੂਲਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਵਰਗਾਂ ਅਤੇ ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਆਪਣਾ ਕੰਮ ਉੱਚੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਅਤੇ ਉੱਚੇ ਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਧਾਵਾਂਗੇ।
ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਕੁਝ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੀਏ।
'ਵਰਗ' ਅਤੇ 'ਘਣ' ਸ਼ਬਦ ਇੱਕ ਵਰਗ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਇੱਕ ਘਣ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਤੋਂ ਆਉਂਦੇ ਹਨ।
-5 ਤੋਂ 5 ਤੱਕ ਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਹੋਣਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋਵੇਗਾ। ਚਿੱਤਰ 9.4 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 9.4: -5 ਤੋਂ 5 ਤੱਕ ਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੀਆਂ ਪਹਿਲੀ ਤੋਂ ਪੰਜਵੀਂ ਘਾਤਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 9.4 ਵਿੱਚ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ। ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਬੇਸ਼ੱਕ। ਪਰ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮ ਘਾਤਾਂ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਟਾਂਕ ਘਾਤਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਦੇਖਣ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਡੀ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ -2 ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੀ ਕਤਾਰ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਕਾਪੀ ਕਰਾਂਗੇ।
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਰਗ ਮੂਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਸੀ।
ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਮੁੱਖ ਵਰਗ ਮੂਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ mm ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ m≥0 ਹਮੇਸ਼ਾ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਉੱਚੇ ਮੂਲਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਵਾਂਗੇ।
ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਦਾ nth ਮੂਲ
ਜੇ bn=abn=a, ਤਾਂ bb, a ਸੰਖਿਆ ਦਾ n-ਵਾਂ ਮੂਲ ਹੈ।
a ਦਾ ਮੁੱਖ n-ਵਾਂ ਮੂਲ anan ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
n ਨੂੰ ਰੈਡੀਕਲ ਦਾ ਸੂਚਕਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਮੂਲ ਲਈ ਸੂਚਕਾਂਕ ਨਹੀਂ ਲਿਖਦੇ। ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ b3b3 ਲਈ 'ਕਿਊਬਡ' ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ a3a3 ਲਈ 'ਕਿਊਬ ਰੂਟ' ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਉੱਚੇ ਮੂਲ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 9.4 ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਕੀ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਸਮ (even) ਮੂਲ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਨਹੀਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗ ਮੂਲ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹੀ ਗੱਲ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮ ਮੂਲ ਲਈ ਸੱਚ ਹੈ। ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮ ਮੂਲ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਟਾਂਕ (odd) ਮੂਲ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
a n a n ਦੇ ਗੁਣ
ਜਦੋਂ nn ਇੱਕ ਸਮ ਸੰਖਿਆ ਹੋਵੇ ਅਤੇ
a≥0a≥0, ਤਾਂ anan ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ
a<0a<0, ਤਾਂ anan ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ
ਜਦੋਂ nn ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆ ਹੋਵੇ, anan ਸਾਰੇ aa ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 9.88
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 8383 ⓑ 814814 ⓒ 325325.
ਹੱਲ
ⓐ
ਸਤਰ: 8383
ਸਤਰ: ਕਿਉਂਕਿ (2)3=8.(2)3=8. | 22
ⓑ
ਸਤਰ: 814814
ਸਤਰ: ਕਿਉਂਕਿ (3)4=81.(3)4=81. | 33
ⓒ
ਸਤਰ: 325325
ਸਤਰ: ਕਿਉਂਕਿ (2)5=32.(2)5=32. | 22
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 9.175
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 273273 ⓑ 25642564 ⓒ 24352435.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 9.176
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 1000310003 ⓑ 164164 ⓒ 325325.
ਉਦਾਹਰਨ 9.89
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ −643−643 ⓑ −164−164 ⓒ −2435−2435.
ਹੱਲ
ⓐ
ਸਤਰ: −643−643
ਸਤਰ: ਕਿਉਂਕਿ (−4)3=−64. (−4)3=−64. | −4−4
ⓑ
ਸਤਰ: −164−164
ਸਤਰ: ਸੋਚੋ, (?)4=−16. (?)4=−16. ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਦੀ ਚੌਥੀ ਘਾਤ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। | ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ।
ⓒ
ਸਤਰ: −2435−2435
ਸਤਰ: ਕਿਉਂਕਿ (−3)5=−243. (−3)5=−243. | −3−3
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 9.177
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ −1253−1253 ⓑ −164−164 ⓒ −325−325.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 9.178
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ −2163−2163 ⓑ −814−814 ⓒ −10245−10245.
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਮੂਲ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਸੀ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਰੇਡੀਕੈਂਡ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੁੰਦੇ ਸਨ, ਅਸੀਂ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨੂੰ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਦੇ ਸੀ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇਸ ਪਾਬੰਦੀ ਨੂੰ ਹਟਾ ਦੇਵਾਂਗੇ।
ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਿਸ਼ਮ ਮੂਲ (odd root) ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ −643=−4−643=−4।
ਪਰ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਸਮ ਮੂਲ (even root) ਹਮੇਸ਼ਾ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ nth ਰੂਟ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ।
ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ a=−5a=−5 ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ −5 ਦੀ ਚੌਥੀ ਘਾਤ, (−5)4(−5)4 ਦਾ ਚੌਥਾ ਮੂਲ 5 ਹੋਵੇ? ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਗੁਣ ਵਿੱਚ ਦੇਖਾਂਗੇ।
ਵਿਸਮ ਅਤੇ ਸਮ ਮੂਲਾਂ ਦਾ ਸਰਲੀਕਰਨ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ n≥2 ਲਈ,
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਚੱਲ (variable) ਵਾਲੇ ਪਦ ਦੇ ਮੂਲ (radical) ਦਾ ਸਮ ਮੂਲ (even root) ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ (absolute value) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 9.90
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ x2 ⓑ n3 ⓒ p4 ⓓ y5.
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੂਲ (positive root) ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋ ਸਕੇ।
ⓐ
ਪੰਕਤੀ: x2
ਪੰਕਤੀ: ਕਿਉਂਕਿ (x)2=x2 ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੂਲ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। | |x|
ⓑ
ਪੰਕਤੀ: n3
ਪੰਕਤੀ: ਕਿਉਂਕਿ (n)3=n3। ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਸਮ ਮੂਲ (odd root) ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੀ ਕੋਈ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। | n
ⓒ
ਪੰਕਤੀ: p4
ਪੰਕਤੀ: ਕਿਉਂਕਿ (p)4=p4 ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੂਲ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। | |p|
ⓓ
ਪੰਕਤੀ: y5
ਪੰਕਤੀ: ਕਿਉਂਕਿ (y)5=y5। ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਸਮ ਮੂਲ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੀ ਕੋਈ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। | y
ਪ੍ਰਯਾਸ ਕਰੋ 9.179
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ b2 ⓑ w3 ⓒ m4 ⓓ q5.
ਪ੍ਰਯਾਸ ਕਰੋ 9.180
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ y2 ⓑ p3 ⓒ z4 ⓓ q5.
ਉਦਾਹਰਨ 9.91
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ y183y183 ⓑ z84z84.
ਹੱਲ
ⓐ
ਸਤਰ: y183y183
ਸਤਰ: ਕਿਉਂਕਿ (y6)3=y18.(y6)3=y18. | (y6)33(y6)33
ਸਤਰ: y6y6
ⓑ
ਸਤਰ: z84z84
ਸਤਰ: ਕਿਉਂਕਿ (z2)4=z8.(z2)4=z8. | (z2)44(z2)44
ਸਤਰ: ਕਿਉਂਕਿ z2z2 ਧਨ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। | z2z2
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.181
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ u124u124 ⓑ v153v153.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.182
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ c205c205 ⓑ d246d246.
ਉਦਾਹਰਨ 9.92
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 64p6364p63 ⓑ 16q12416q124.
ਹੱਲ
ⓐ
ਸਤਰ: 64p6364p63
ਸਤਰ: 64p6 ਨੂੰ (4p2)3.64p6as(4p2)3. ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | (4p2)33(4p2)33
ਸਤਰ: ਘਣ ਮੂਲ ਲਓ। | 4p24p2
ⓑ
ਸਤਰ: 16q12416q124
ਸਤਰ: ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਨੂੰ ਚੌਥੀ ਸ਼ਕਤੀ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | (2q3)44(2q3)44
1. ਕਤਾਰ: ਚੌਥਾ ਮੂਲ ਲਵੋ।
2. ਯਤਨ ਕਰੋ 9.183
3. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 27x27327x273 ⓑ 81q28481q284.
4. ਯਤਨ ਕਰੋ 9.184
5. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 125p93125p93 ⓑ 243q255243q255.
6. ਉੱਚੇ ਮੂਲਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
7. ਅਸੀਂ ਉੱਚੇ ਮੂਲਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਰਲ ਬਣਾਵਾਂਗੇ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਸੀ। ਇੱਕ nਵੇਂ ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸ ਵਿੱਚ mnmn ਦਾ ਕੋਈ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਾ ਹੋਵੇ।
8. ਸਰਲ ਕੀਤਾ nਵਾਂ ਮੂਲ
9. anan ਨੂੰ ਸਰਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ aa ਵਿੱਚ mnmn ਦਾ ਕੋਈ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਾ ਹੋਵੇ।
10. ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ n≥2n≥2 ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਲਈ ਆਮ ਬਣਾਵਾਂਗੇ।
11. nਵੇਂ ਮੂਲਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ
12. ਜਦੋਂ anan ਅਤੇ bnbn ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੋਣ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ n≥2n≥2 ਲਈ
13. ਉਦਾਹਰਨ 9.93
14. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ x43x43 ⓑ x74x74.
15. ਹੱਲ
16. ⓐ
17. ਕਤਾਰ: x43x43
18. ਕਤਾਰ: ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | x3·x3x3·x3
19. ਕਤਾਰ: ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਦੋ ਰੈਡੀਕਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | x33·x3x33·x3
20. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | xx3xx3
21. ⓑ
22. ਕਤਾਰ: x74x74
23. ਕਤਾਰ: ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸੰਪੂਰਨ ਚੌਥੇ ਘਾਤ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | x4·x34x4·x34
24. ਕਤਾਰ: ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਦੋ ਰੈਡੀਕਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | x44·x34x44·x34
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.185
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ y64y64 ⓑ z53z53.
ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.186
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ p85p85 ⓑ q136q136.
ਉਦਾਹਰਨ 9.94
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 163163 ⓑ 24342434.
ਹੱਲ
ⓐ
ਸਰਲ ਕਰੋ: 163163
ਸਰਲ ਕਰੋ: 243243
ਕਰਨੀਆਂ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਗੁਣਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 23·2323·23
ਕਰਨੀਆਂ ਨੂੰ ਦੋ ਕਰਨੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 233·23233·23
ਸਰਲ ਕਰੋ। | 223223
ⓑ
ਸਰਲ ਕਰੋ: 24342434
ਸਰਲ ਕਰੋ: 354354
ਕਰਨੀਆਂ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸੰਪੂਰਨ ਚੌਥੇ ਘਾਤ ਗੁਣਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 34·3434·34
ਕਰਨੀਆਂ ਨੂੰ ਦੋ ਕਰਨੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 344·34344·34
ਸਰਲ ਕਰੋ। | 334334
ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.187
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 813813 ⓑ 644644.
ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.188
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 62536253 ⓑ 72947294.
ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਅਭਿਅਕਤੀ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਪਰਿਮਾਪ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਉਸ ਅਭਿਅਕਤੀ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਲੈਣਾ ਨਾ ਭੁੱਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 9.95
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 24x7324x73 ⓑ 80y14480y144.
ਹੱਲ
ⓐ
ਸਤਰ: 24x7324x73
ਸਤਰ: ਮੂਲ ਅੰਕ ਨੂੰ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਗੁਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | 23x6·3x323x6·3x3
ਸਤਰ: ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਦੋ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | 23x63·3x323x63·3x3
ਸਤਰ: ਪਹਿਲੇ ਮੂਲ ਅੰਕ ਨੂੰ (2x2)3.(2x2)3 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | (2x2)33·3x3(2x2)33·3x3
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 2x23x32x23x3
ⓑ
ਸਤਰ: 80y14480y144
ਸਤਰ: ਮੂਲ ਅੰਕ ਨੂੰ ਸੰਪੂਰਨ ਚੌਥੀ ਘਾਤ ਗੁਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | 24y12·5y2424y12·5y24
ਸਤਰ: ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਦੋ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | 24y124·5y2424y124·5y24
ਸਤਰ: ਪਹਿਲੇ ਮੂਲ ਅੰਕ ਨੂੰ (2y3)4.(2y3)4 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | (2y3)44·5y24(2y3)44·5y24
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 2|y3|5y242|y3|5y24
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 9.189
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 54p10354p103 ⓑ 64q10464q104.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 9.190
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 128m113128m113 ⓑ 162n74162n74.
ਉਦਾਹਰਨ 9.96
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ −273−273 ⓑ −164−164.
ਹੱਲ
ⓐ
1. ਪੰਕਤੀ: −273−273
1. ਘਾਤ ਅੰਕ ਨੂੰ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | (−3)33(−3)33
1. ਘਣਮੂਲ ਕੱਢੋ।
1. ⓑ
1. ਕਤਾਰ: −164−164
1. ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਅਜਿਹੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ 'n' ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ n⁴ = -16 ਹੋਵੇ। | ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ।
1. ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਮਨੁੱਖ ਆਪਣੀ ਮਰਜ਼ੀ ਨਾਲ, ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਬਾਹਰੀ ਦਬਾਅ ਦੇ, ਆਪਣੀ ਇੱਛਾ ਅਨੁਸਾਰ ਕੋਈ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਨੂੰ "ਕਰਨ ਵਾਲਾ" ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪਰ ਜੇਕਰ ਉਹ ਕੰਮ ਕਿਸੇ ਬਾਹਰੀ ਸ਼ਕਤੀ ਦੁਆਰਾ ਕਰਵਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਨੂੰ "ਕਰਵਾਉਣ ਵਾਲਾ" ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
1. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ −1083−1083 ⓑ −484−484.
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.192
1. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ −6253−6253 ⓑ −3244−3244.
ਉੱਚੇ ਮੂਲਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਅਸੀਂ ਉੱਚੇ ਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਭਾਗਫਲਾਂ ਨਾਲ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਰਲ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਸੀ। ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਰੈਡੀਕਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
1. ਉਦਾਹਰਨ 9.97
1. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ ਏ ਏ ਏ ਏ ⓑ ਬੀ ਬੀ ਬੀ ਬੀ।
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਏਥੇ ਕੋਈ ਵੀ ਚੀਜ਼ ਅਸਲੀ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਸਭ ਕੁਝ ਨਕਲੀ ਹੈ।
1. ਕਤਾਰ: ਅਠਾਹ ਅਠਾਹ
1. ਕਾਣੇ ਅੰਦਰਲੇ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਸਰਲ ਕਰੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
1. ⓑ
1. ਕਤਾਰ: ਅ10ਆ24ਅ10ਆ24
1. ਕਲਮ ਅੰਦਰਲੇ ਅੰਕ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਸਰਲ ਕਰੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਮੂਲ ਨੂੰ ਚੌਥੀ ਘਾਤ ਦੇ ਸੰਪੂਰਨ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨਾਲ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | (a2)44(a2)44
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | a2a2
Try It 9.193
Simplify: ⓐ x7x34x7x34 ⓑ y17y54y17y54.
Try It 9.194
Simplify: ⓐ m13m73m13m73 ⓑ n12n25n12n25.
Previously, we used the Quotient Property ‘in reverse’ to simplify square roots. Now we will generalize the formula to include higher roots.
Quotient Property of nth Roots
when anandbnare real numbers,b≠0,and for any integern≥2anandbnare real numbers,b≠0,and for any integern≥2
Example 9.98
Simplify: ⓐ −108323−108323 ⓑ 96x743x2496x743x24.
Solution
ⓐ
row: −108323−108323
row: Neither radicand is a perfect cube, so use the Quotient Property to write as one radical. | −10823−10823
row: Simplify the fraction under the radical. | −543−543
row: Rewrite the radicand as a product using perfect cube factors. | (−3)3·23(−3)3·23
row: Rewrite the radical as the product of two radicals. | (−3)33·23(−3)33·23
row: Simplify. | −323−323
ⓑ
row: 96x743x2496x743x24
row: Neither radicand is a perfect fourth power, so use the Quotient Property to write as one radical. | 96x73x2496x73x24
row: Simplify the fraction under the radical. | 32x5432x54
row: Rewrite the radicand as a product using perfect fourth power factors. | 24x4·2x424x4·2x4
row: Rewrite the radical as the product of two radicals. | (2x)44·2x4(2x)44·2x4
row: Simplify. | 2|x|2x42|x|2x4
Try It 9.195
Simplify: ⓐ −532323−532323 ⓑ 486m1143m54486m1143m54.
Try It 9.196
Simplify: ⓐ −192333−192333 ⓑ 324n742n34324n742n34.
If the fraction inside the radical cannot be simplified, we use the first form of the Quotient Property to rewrite the expression as the quotient of two radicals.
Example 9.99
Simplify: ⓐ 24x7y3324x7y33 ⓑ 48x10y8448x10y84.
Solution
ⓐ
row: 24x7y3324x7y33
row: The fraction in the radicand cannot be simplified. Use the Quotient Property to write as two radicals. | 24x73y3324x73y33
row: Rewrite each radicand as a product using perfect cube factors. | 8x6·3x3y338x6·3x3y33
row: Rewrite the numerator as the product of two radicals. | (2x2)333x3y33(2x2)333x3y33
row: Simplify. | 2x23x3y2x23x3y
ⓑ
row: 48x10y8448x10y84
row: The fraction in the radicand cannot be simplified. Use the Quotient Property to write as two radicals. | 48x104y8448x104y84
row: Rewrite each radicand as a product using perfect fourth power factors. | 16x8·3x24y8416x8·3x24y84
row: Rewrite the numerator as the product of two radicals. | (2x2)443x24(y2)44(2x2)443x24(y2)44
row: Simplify. | 2x23x24y22x23x24y2
Try It 9.197
Simplify: ⓐ 108c10d63108c10d63 ⓑ 80x10y5480x10y54.
Try It 9.198
Simplify: ⓐ 40r3s340r3s3 ⓑ 162m14n124162m14n124.
ਉੱਚੇ ਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ
ਅਸੀਂ ਉੱਚੇ ਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ ਅਤੇ ਘਟਾਇਆ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਮੂਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਰਸਮੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਮਾਨ ਮੂਲ
ਸਮਾਨ ਸੂਚਕਾਂਕ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਰੇਡਿਕੈਂਡ ਵਾਲੇ ਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਸਮਾਨ ਮੂਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਮਾਨ ਮੂਲਾਂ ਦਾ ਸੂਚਕਾਂਕ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਰੇਡਿਕੈਂਡ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
942x4942x4 ਅਤੇ −242x4−242x4 ਸਮਾਨ ਮੂਲ ਹਨ।
5125x35125x3 ਅਤੇ 6125y36125y3 ਸਮਾਨ ਮੂਲ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਰੇਡਿਕੈਂਡ ਵੱਖਰੇ ਹਨ।
21000q521000q5 ਅਤੇ −41000q4−41000q4 ਸਮਾਨ ਮੂਲ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਸੂਚਕਾਂਕ ਵੱਖਰੇ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜੋੜਦੇ ਅਤੇ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਅਤੇ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ 942x4+(−242x4)942x4+(−242x4) ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਨਤੀਜਾ 742x4742x4 ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 9.100
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 4x3+4x34x3+4x3 ⓑ 484−284484−284।
ਹੱਲ
ⓐ
ਸਤਰ: 4x3+4x34x3+4x3
ਸਤਰ: ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। | 24x324x3
ⓑ
ਸਤਰ: 484−284484−284
ਸਤਰ: ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। | 284284
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 9.199
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 3x5+3x53x5+3x5 ⓑ 393−93393−93।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 9.200
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 10y4+10y410y4+10y4 ⓑ 5326−33265326−3326।
ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਸਮੀਕਰਨ ਸਮਾਨ ਮੂਲਾਂ ਵਾਲਾ ਨਾ ਲੱਗੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਮੂਲ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਸਰਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਕਈ ਵਾਰ ਇਹ ਸਮਾਨ ਮੂਲਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 9.101
Simplify: ⓐ 543−163543−163 ⓑ 484+2434484+2434.
Solution
ⓐ
row: 543−163543−163
row: Rewrite each radicand using perfect cube factors. | 273·23−83·23273·23−83·23
row: Rewrite the perfect cubes. | (3)3323−(2)3323(3)3323−(2)3323
row: Simplify the radicals where possible. | 323−223323−223
row: Combine like radicals. | 2323
ⓑ
row: 484+2434484+2434
row: Rewrite using perfect fourth power factors. | 164·34+814·34164·34+814·34
row: Rewrite the perfect fourth powers. | (2)4434+(3)4434(2)4434+(3)4434
row: Simplify the radicals where possible. | 234+334234+334
row: Combine like radicals. | 534534
Try It 9.201
Simplify: ⓐ 1923−8131923−813 ⓑ 324+5124324+5124.
Try It 9.202
Simplify: ⓐ 1283−25031283−2503 ⓑ 645+4865645+4865.
Example 9.102
Simplify: ⓐ 24x43−−81x7324x43−−81x73 ⓑ 162y94+512y54162y94+512y54.
Solution
ⓐ
row: 24x43−−81x7324x43−−81x73
row: Rewrite each radicand using perfect cube factors. | 8x33·3x3−−27x63·3x38x33·3x3−−27x63·3x3
1. ਸੰਪੂਰਨ ਘਣਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | (2x)3−(−3x2)3
2. ਮੂਲ ਨੂੰ ਜਿੱਥੇ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | 2x3−(−3x2)
3. ⓑ
4. 162y94+512y54
5. ਹਰੇਕ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਨੂੰ ਸੰਪੂਰਨ ਚੌਥੀ ਘਾਤ ਦੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨਾਲ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 81y84·2y4+256y44·2y4
6. ਸੰਪੂਰਨ ਚੌਥੀ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | (3y2)44·2y4+(4y)44·2y4
7. ਮੂਲ ਨੂੰ ਜਿੱਥੇ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | 3y22y4+4|y|2y4
8. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.203
9. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 32y53−−108y83 ⓑ 243r114+768r104.
10. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.204
11. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 40z73−−135z43 ⓑ 80s134+1280s64.
12. ਮੀਡੀਆ
13. ਉੱਚੇ ਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
14. ਉੱਚੇ ਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ
15. ਉੱਚੇ ਸੂਚਕਾਂਕ ਵਾਲੇ ਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ/ਘਟਾਓ
16. ਅਭਿਆਸ ਸੰਪੂਰਨਤਾ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ
17. ਉੱਚੇ ਮੂਲਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
18. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
19. ⓐ 2163 ⓑ 2564 ⓒ 325
20. ⓐ 273 ⓑ 164 ⓒ 2435
21. ⓐ 5123 ⓑ 814 ⓒ 15
22. ⓐ 1253 ⓑ 12964 ⓒ 10245
23. ⓐ −83 ⓑ −814 ⓒ −325
24. ⓐ −643 ⓑ −164 ⓒ −2435
1. ⓐ −1253−1253 ⓑ −12964−12964 ⓒ −10245−10245
2. ⓐ −5123−5123 ⓑ −814−814 ⓒ −15−15
3. ⓐ u55u55 ⓑ v88v88
4. ⓐ a33a33
5.
6. ⓐ y44y44 ⓑ m77m77
7. ⓐ k88k88 ⓑ p66p66
8. ⓐ x93x93 ⓑ y124y124
9. ⓐ a105a105 ⓑ b273b273
10. ⓐ m84m84 ⓑ n205n205
11. ⓐ r126r126 ⓑ s303s303
12. ⓐ 16x8416x84 ⓑ 64y12664y126
13. ⓐ −8c93−8c93 ⓑ 125d153125d153
14. ⓐ 216a63216a63 ⓑ 32b20532b205
15. ⓐ 128r147128r147 ⓑ 81s24481s244
16. ਉੱਚੇ ਮੂਲਾਂ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
17. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
18. ⓐ r53r53 ⓑ s104s104
19. ⓐ u75u75 ⓑ v116v116
20. ⓐ m54m54 ⓑ n108n108
21. ⓐ p85p85 ⓑ q83q83
22. ⓐ 324324 ⓑ 647647
23. ⓐ 62536253 ⓑ 12861286
24. ⓐ 645645 ⓑ 25632563
੧. ⓐ ੩੧੨੫੪੩੧੨੫੪ ⓑ ੮੧੩੮੧੩
੨. ⓐ ੧੦੮x੫੩੧੦੮x੫੩ ⓑ ੪੮y੬੪੪੮y੬੪
੩. ⓐ ੯੬a੭੫੯੬a੭੫ ⓑ ੩੭੫b੪੩੩੭੫b੪੩
੪. ⓐ ੪੦੫m੧੦੪੪੦੫m੧੦੪ ⓑ ੧੬੦n੮੫੧੬੦n੮੫
੫. ⓐ ੫੧੨p੫੩੫੧੨p੫੩ ⓑ ੩੨੪q੭੪੩੨੪q੭੪
੬. ⓐ −੮੬੪੩−੮੬੪੩ ⓑ −੨੫੬੪−੨੫੬੪
੭. ⓐ −੪੮੬੫−੪੮੬੫ ⓑ −੬੪੬−੬੪੬
੮. ⓐ −੩੨੫−੩੨੫ ⓑ −੧੮−੧੮
੯. ⓐ −੮੩−੮੩ ⓑ −੧੬੪−੧੬੪
੧੦. ਉੱਚੇਰੀਆਂ ਜੜ੍ਹਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
੧੧. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਰਲ ਕਰੋ।
੧੨. ⓐ p੧੧p੨੩p੧੧p੨੩ ⓑ q੧੭q੧੩੪q੧੭q੧੩੪
੧੩. ⓐ d੧੨d੭੫d੧੨d੭੫ ⓑ m੧੨m੪੮m੧੨m੪੮
੧੪. ⓐ u੨੧u੧੧੫u੨੧u੧੧੫ ⓑ v੩੦v੧੨੬v੩੦v੧੨੬
੧੫. ⓐ r੧੪r੫੩r੧੪r੫੩ ⓑ c੨੧c੯੪c੨੧c੯੪
੧੬. ⓐ ੬੪੪੨੪੬੪੪੨੪ ⓑ ੧੨੮x੮੫੨x੨੫੧੨੮x੮੫੨x੨੫
੧੭. ⓐ −੬੨੫੩੫੩−੬੨੫੩੫੩ ⓑ ੮੦m੭੪੫m੪੮੦m੭੪੫m੪
੧੮. ⓐ ੧੨੫੦੨੩੧੨੫੦੨੩ ⓑ ੪੮੬y੯੨y੩੪੪੮੬y੯੨y੩੪
੧੯. ⓐ ੧੬੨੬੩੧੬੨੬੩ ⓑ ੧੬੦r੧੦੫r੩੪੧੬੦r੧੦੫r੩੪
੨੦. ⓐ ੫੪a੮b੩੩੫੪a੮b੩੩ ⓑ ੬੪c੫d੨੪੬੪c੫d੨੪
੨੧. ⓐ ੯੬r੧੧s੩੫੯੬r੧੧s੩੫ ⓑ ੧੨੮u੭v੩੬੧੨੮u੭v੩੬
੨੨. ⓐ ੮੧s੮t੩੩੮੧s੮t੩੩ ⓑ ੬੪p੧੫q੧੨੪੬੪p੧੫q੧੨੪
੨੩. ⓐ ੬੨੫u੧੦v੩੩੬੨੫u੧੦v੩੩ ⓑ ੭੨੯c੨੧d੮੪੭੨੯c੨੧d੮੪
੨੪. ਉੱਚੇਰੀਆਂ ਜੜ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਓ।
In the following exercises, simplify.
ⓐ 8p7+8p78p7+8p7 ⓑ 3253−2533253−253
ⓐ 15q3+15q315q3+15q3 ⓑ 2274−62742274−6274
ⓐ 39x5+79x539x5+79x5 ⓑ 83q7−23q783q7−23q7
ⓐ
ⓑ
ⓐ 813−1923813−1923 ⓑ 5124−3245124−324
ⓐ 2503−5432503−543 ⓑ 2434−187542434−18754
ⓐ 1283+25031283+2503 ⓑ 7295+9657295+965
ⓐ 2434+125042434+12504 ⓑ 20003+54320003+543
ⓐ 64a103−−216a12364a103−−216a123 ⓑ 486u74+768u34486u74+768u34
ⓐ 80b53−−270b3380b53−−270b33 ⓑ 160v104−1280v34160v104−1280v34
Mixed Practice
In the following exercises, simplify.
16 4 16 4
64 6 64 6
a 3 3 a 3 3
−8 c 9 3 −8 c 9 3
125 d 15 3 125 d 15 3
r 5 3 r 5 3
s 10 4 s 10 4
108 x 5 3 108 x 5 3
48 y 6 4 48 y 6 4
−486 5 −486 5
−64 6 −64 6
64 4 2 4 64 4 2 4
128 x 8 5 2 x 2 5 128 x 8 5 2 x 2 5
96 r 11 s 3 5 96 r 11 s 3 5
128 u 7 v 3 6 128 u 7 v 3 6
81 3 − 192 3 81 3 − 192 3
512 4 − 32 4 512 4 − 32 4
64 a 10 3 − −216 a 12 3 64 a 10 3 − −216 a 12 3
486 u 7 4 + 768 u 3 4 486 u 7 4 + 768 u 3 4
ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਗਣਿਤ
ਜਨਸੰਖਿਆ ਵਾਧਾ: 10·xn10·xn ਸਮੀਕਰਨ nn ਪੀੜ੍ਹੀਆਂ ਬਾਅਦ ਉੱਲੀ ਦੀ ਜਨਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ 10 ਸਪੋਰ (ਬੀਜਾਣੂ) ਸਨ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਦੇ xx ਬੱਚੇ ਸਨ। ਇਸ ਲਈ 10·x510·x5 ਪੰਜਵੀਂ ਪੀੜ੍ਹੀ ਵਿੱਚ ਬੱਚਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਪੰਜਵੀਂ ਪੀੜ੍ਹੀ ਵਿੱਚ 10,240 ਬੱਚੇ ਸਨ। ਹਰੇਕ ਬੀਜਾਣੂ ਦੇ ਬੱਚਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ 10,24010510,240105 ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਵਾਇਰਸ ਦਾ ਫੈਲਾਅ: 3·xn3·xn ਸਮੀਕਰਨ nn ਚੱਕਰਾਂ ਬਾਅਦ ਵਾਇਰਸ ਦੇ ਫੈਲਾਅ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਲੋਕ ਵਾਇਰਸ ਨਾਲ ਸੰਕਰਮਿਤ ਸਨ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਨੇ xx ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਸੰਕਰਮਿਤ ਕੀਤਾ। ਇਸ ਲਈ 3·x43·x4 ਚੌਥੇ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ ਸੰਕਰਮਿਤ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਚੌਥੇ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ 1875 ਲੋਕ ਸੰਕਰਮਿਤ ਹੋਏ ਸਨ। ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀ ਦੁਆਰਾ ਸੰਕਰਮਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ 187534187534 ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਲਿਖਣ ਅਭਿਆਸ
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ x105=x2x105=x2 ਹੈ।
ਸਮਝਾਓ ਕਿ −644−644 ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੈ ਪਰ −643−643 ਹੈ।
ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓑ ਇਹ ਚੈਕਲਿਸਟ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੱਸਦੀ ਹੈ? ਸੁਧਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੇ ਕਦਮ ਚੁੱਕੋਗੇ?