Learning Objectives
By the end of this section, you will be able to:
Solve quadratic equations using the quadratic formula
Use the discriminant to predict the number of solutions of a quadratic equation
Identify the most appropriate method to use to solve a quadratic equation
Be Prepared 10.7
Before you get started, take this readiness quiz.
Simplify: −20−510−20−510. If you missed this problem, review Example 1.74.
Be Prepared 10.8
Simplify: 4+1214+121. If you missed this problem, review Example 9.29.
Be Prepared 10.9
Simplify: 128128. If you missed this problem, review Example 9.12.
When we solved quadratic equations in the last section by completing the square, we took the same steps every time. By the end of the exercise set, you may have been wondering ‘isn’t there an easier way to do this?’ The answer is ‘yes.’ In this section, we will derive and use a formula to find the solution of a quadratic equation.
We have already seen how to solve a formula for a specific variable ‘in general’ so that we would do the algebraic steps only once and then use the new formula to find the value of the specific variable. Now, we will go through the steps of completing the square in general to solve a quadratic equation for x. It may be helpful to look at one of the examples at the end of the last section where we solved an equation of the form ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 as you read through the algebraic steps below, so you see them with numbers as well as ‘in general.’
row: We start with the standard form of a quadratic equationand solve it for x by completing the square. | ax2+bx+c=0a≠0ax2+bx+c=0a≠0
row: Isolate the variable terms on one side. | ax2+bx=−cax2+bx=−c
row: Make leading coefficient 1, by dividing by a. | ax2a+bax=−caax2a+bax=−ca
row: Simplify. | x2+bax=−cax2+bax=−ca
row: To complete the square, find (12·ba)2(12·ba)2 and add it to bothsides of the equation. (12ba)2=b24a2(12ba)2=b24a2 | x2+bax+b24a2=−ca+b24a2x2+bax+b24a2=−ca+b24a2
row: The left side is a perfect square, factor it. | (x+b2a)2=−ca+b24a2(x+b2a)2=−ca+b24a2
row: Find the common denominator of the right side and writeequivalent fractions with the common denominator. | (x+b2a)2=b24a2−c·4aa·4a(x+b2a)2=b24a2−c·4aa·4a
row: Simplify. | (x+b2a)2=b24a2−4ac4a2(x+b2a)2=b24a2−4ac4a2
row: Combine to one fraction. | (x+b2a)2=b2−4ac4a2(x+b2a)2=b2−4ac4a2
row: Use the square root property. | x+b2a=±b2−4ac4a2x+b2a=±b2−4ac4a2
row: Simplify. | x+b2a=±b2−4ac2ax+b2a=±b2−4ac2a
row: Add −b2a−b2a to both sides of the equation. | x=−b2a±b2−4ac2ax=−b2a±b2−4ac2a
row: Combine the terms on the right side. | x=−b±b2−4ac2ax=−b±b2−4ac2a
This last equation is the Quadratic Formula.
Quadratic Formula
The solutions to a quadratic equation of the form ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0, a≠0a≠0 are given by the formula:
To use the Quadratic Formula, we substitute the values of a,b,andca,b,andc into the expression on the right side of the formula. Then, we do all the math to simplify the expression. The result gives the solution(s) to the quadratic equation.
Example 10.28
How to Solve a Quadratic Equation Using the Quadratic Formula
Solve 2x2+9x−5=02x2+9x−5=0 by using the Quadratic Formula.
Solution
Try It 10.55
Solve 3y2−5y+2=03y2−5y+2=0 by using the Quadratic Formula.
Try It 10.56
Solve 4z2+2z−6=04z2+2z−6=0 by using the Quadratic Formula.
How To
Solve a quadratic equation using the Quadratic Formula.
Step 1. Write the Quadratic Formula in standard form. Identify the aa, bb, and cc values.
Step 2. Write the Quadratic Formula. Then substitute in the values of aa, bb, and c.c.
Step 3. Simplify.
Step 4. Check the solutions.
If you say the formula as you write it in each problem, you’ll have it memorized in no time. And remember, the Quadratic Formula is an equation. Be sure you start with ‘x=x=’.
Example 10.29
Solve x2−6x+5=0x2−6x+5=0 by using the Quadratic Formula.
1. ਹੱਲ
2. ਕਤਾਰ: ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
3. ਕਤਾਰ: a, b, c ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
4. ਕਤਾਰ: ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
5. ਕਤਾਰ: ਫਿਰ a, b, c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
6. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
7. ਕਤਾਰ: ਦੋ ਹੱਲ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
8. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
9. ਕਤਾਰ: ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
10. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.57
11. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ a²−2a−15=0a²−2a−15=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
12. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.58
13. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ b²+10b+24=0b²+10b+24=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
14. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਅਜਿਹੇ ਜਵਾਬ ਮਿਲਦੇ ਸਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰਣੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਸਨ। ਇਹ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਹੱਲ ਵਜੋਂ ਕਰਣੀ ਮਿਲਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੰਤਿਮ ਜਵਾਬ ਵਿੱਚ ਕਰਣੀ ਆਪਣੇ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
15. ਉਦਾਹਰਨ 10.30
16. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 4y²−5y−3=04y²−5y−3=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
17. ਹੱਲ
18. ਅਸੀਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਚੱਲ (variable) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ, ਭਾਵੇਂ ਇਸ ਦਾ ਨਾਮ ‘x’ ਹੋਵੇ ਜਾਂ ਨਾ।
19. ਕਤਾਰ: ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
20. ਕਤਾਰ: a, b, c ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
21. ਕਤਾਰ: ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
22. ਕਤਾਰ: ਫਿਰ a, b, c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
23. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
24. ਕਤਾਰ: ਦੋ ਹੱਲ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਸਫਾ: ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਤੁਹਾਡੇ 'ਤੇ ਛੱਡਦੇ ਹਾਂ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.59
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 2p2+8p+5=02p2+8p+5=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.60
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 5q2−11q+3=05q2−11q+3=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.31
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 2x2+10x+11=02x2+10x+11=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਫਾ: ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
a, b, c ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਫਿਰ a, b, c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਕਰਨੀ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਓ।
ਦੋ ਹੱਲ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਸਫਾ: ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਤੁਹਾਡੇ 'ਤੇ ਛੱਡਦੇ ਹਾਂ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.61
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 3m2+12m+7=03m2+12m+7=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.62
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 5n2+4n−4=05n2+4n−4=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਨਹੀਂ ਲੈ ਸਕਦੇ। ਇਸ ਲਈ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ aa, bb, ਅਤੇ cc ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਕਰਨੀ ਦੇ ਅੰਦਰ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਅਸਲ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦੇਖਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.32
3p^2+2p+9=03p^2+2p+9=0 ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
a, b, c ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਫਿਰ a, b, c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਕਰਨੀ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਨਹੀਂ ਲੈ ਸਕਦੇ। | ਕੋਈ ਅਸਲੀ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 10.63
4a^2−3a+8=04a^2−3a+8=0 ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 10.64
5b^2+2b+4=05b^2+2b+4=0 ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਤੱਕ ਜੋ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕੀਤੇ ਹਨ, ਉਹ ਸਾਰੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ, ax^2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਗਏ ਸਨ। ਕਈ ਵਾਰ, ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆਉਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਕੁਝ ਅਲਜਬਰਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.33
x(x+6)+4=0x(x+6)+4=0 ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆਉਣ ਲਈ ਵੰਡੋ।
ਸਤਰ: ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁਣ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਸਤਰ: a, b, c ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਸਤਰ: ਫਿਰ a, b, c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਕਰਨੀ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ ਮੂਲ ਨੂੰ।
ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਓ।
ਦੋ ਹੱਲ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਤੁਹਾਡੇ 'ਤੇ ਛੱਡਦੇ ਹਾਂ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.65
x(x+2)−5=0 ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.66
y(3y−1)−2=0 ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਭਿੰਨਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਸਨ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ LCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ 'ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਾਫ਼' ਕਰ ਦਿੰਦੇ ਸੀ। ਇਸ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਭਿੰਨਾਂ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਲ ਜਾਂਦੀ ਸੀ। ਅਸੀਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਵੀ ਇਹੀ ਰਣਨੀਤੀ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.34
12u^2+23u=13 ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਾਫ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ LCD, 6 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ 2 ਘਟਾਓ।
a, b, c ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਫਿਰ a, b, c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਓ।
ਦੋ ਹੱਲ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਪੰਕਤੀ: ਜਾਂਚ। ਜਾਂਚ ਅਸੀਂ ਤੁਹਾਡੇ ਉੱਤੇ ਛੱਡਦੇ ਹਾਂ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.67
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 14c2−13c=11214c2−13c=112 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.68
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 19d2−12d=−1219d2−12d=−12 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ (x−3)2=0(x−3)2=0 ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ। ਅਸੀਂ ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਫਲ ਸਿਧਾਂਤ ਤੋਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ: x=3x=3।
ਅਸੀਂ ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਹੱਲ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.35
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 4x2−20x=−254x2−20x=−25 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪੰਕਤੀ: ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆਉਣ ਲਈ 25 ਜੋੜੋ।
ਪੰਕਤੀ: a, b, c ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਪੰਕਤੀ: ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਪੰਕਤੀ: ਫਿਰ a, b, c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਪੰਕਤੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪੰਕਤੀ: ਕਰਣੀ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪੰਕਤੀ: ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪੰਕਤੀ: ਜਾਂਚ। ਜਾਂਚ ਅਸੀਂ ਤੁਹਾਡੇ ਉੱਤੇ ਛੱਡਦੇ ਹਾਂ।
ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਪਛਾਣਿਆ ਕਿ 4x2−20x+254x2−20x+25 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ?
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.69
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ r2+10r+25=0r2+10r+25=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.70
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 25t2−40t=−1625t2−40t=−16 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਪੂਰਵ-ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਿਵੇਚਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
When we solved the quadratic equations in the previous examples, sometimes we got two solutions, sometimes one solution, sometimes no real solutions. Is there a way to predict the number of solutions to a quadratic equation without actually solving the equation?
Yes, the quantity inside the radical of the Quadratic Formula makes it easy for us to determine the number of solutions. This quantity is called the discriminant.
Discriminant
In the Quadratic Formula x=−b±b2−4ac2ax=−b±b2−4ac2a, the quantity b2−4acb2−4ac is called the discriminant.
Let’s look at the discriminant of the equations in Example 10.28, Example 10.32, and Example 10.35, and the number of solutions to those quadratic equations.
row: Quadratic Equation (in standard form) | Discriminant b2−4acb2−4ac | Sign of the Discriminant | Number of real solutions
row: Example 10.28 | 2x2+9x−5=02x2+9x−5=0 | 92−4·2(−5)=12192−4·2(−5)=121 | + | 2
row: Example 10.35 | 4x2−20x+25=04x2−20x+25=0 | (−20)2−4·4·25=0(−20)2−4·4·25=0 | 0 | 1
row: Example 10.32 | 3p2+2p+9=03p2+2p+9=0 | 22−4·3·9=−10422−4·3·9=−104 | − | 0
When the discriminant is positive (x=−b±+2a)(x=−b±+2a) the quadratic equation has two solutions.
When the discriminant is zero (x=−b±02a)(x=−b±02a) the quadratic equation has one solution.
When the discriminant is negative (x=−b±−2a)(x=−b±−2a) the quadratic equation has no real solutions.
How To
Use the discriminant, b2−4acb2−4ac, to determine the number of solutions of a Quadratic Equation.
For a quadratic equation of the form ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0, a≠0a≠0,
if b2−4ac>0b2−4ac>0, the equation has two solutions.
if b2−4ac=0b2−4ac=0, the equation has one solution.
if b2−4ac<0b2−4ac<0, the equation has no real solutions.
Example 10.36
Determine the number of solutions to each quadratic equation:
ⓐ 2v2−3v+6=02v2−3v+6=0 ⓑ 3x2+7x−9=03x2+7x−9=0 ⓒ 5n2+n+4=05n2+n+4=0 ⓓ 9y2−6y+1=09y2−6y+1=0
Solution
To determine the number of solutions of each quadratic equation, we will look at its discriminant.
ⓐ
2v^2 - 3v + 6 = 0
1. ਕਤਾਰ: ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, a, b, c ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | a=2,b=−3,c=6a=2,b=−3,c=6
1. ਕਤਾਰ: ਵਿਵੇਚਕ ਲਿਖੋ। | b2−4acb2−4ac
1. ਕਤਾਰ: a, b, c ਦੇ ਮੁੱਲ ਬਦਲੋ। | (3)2−4·2·6(3)2−4·2·6
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 9−48−399−48−39
1. ਕਾਰਨ ਕਿ ਵਿਵੇਚਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਕੋਈ ਅਸਲ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹਨ।
1. ⓑ
3x2+7x−9=0
1. ਕਤਾਰ: ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, a, b, c ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | a=3,b=7,c=−9a=3,b=7,c=−9
1. ਮੂਲ ਲਿਖੋ। | b2−4ac
1. ਕਤਾਰ: a, b, c ਦੇ ਮੁੱਲ ਬਦਲੋ। | (7)2−4·3·(−9)(7)2−4·3·(−9)
1. ਪੰਕਤੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 49+10815749+108157
1. ਕਾਰਨ ਕਿ ਵਿਵੇਚਕ ਧਨ ਹੈ, ਦੋ ਹੱਲ ਹਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ।
1. ਠੀਕ ਹੈ।
1. ਕਤਾਰ: 5n² + n + 4 = 0
1. ਕਤਾਰ: ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, a, b, c ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | a=5,b=1,c=4a=5,b=1,c=4
1. ਕਤਾਰ: ਵਿਵੇਚਕ ਲਿਖੋ। | b2−4ac
1. ਕਤਾਰ: a, b, c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | (1)2−4·5·4(1)2−4·5·4
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 1−80−791−80−79
1. ਕਾਰਨ ਕਿ ਵਿਵੇਚਕ (discriminant) ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨ (equation) ਦੇ ਕੋਈ ਵੀ ਅਸਲ ਹੱਲ (real solutions) ਨਹੀਂ ਹਨ।
1. ⓓ
9y2−6y+1=0
1. ਕਤਾਰ: ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, a, b, c ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | a=9,b=−6,c=1
1. ਕਤਾਰ: ਵਿਵੇਚਕ ਲਿਖੋ। | b2−4acb2−4ac
row: Substitute in the values of a, b, c. | (−6)2−4·9·1(−6)2−4·9·1
row: Simplify. | 36−36036−360
row: Because the discriminant is 0, there is one solution to the equation.
Try It 10.71
Determine the number of solutions to each quadratic equation:
ⓐ 8m2−3m+6=08m2−3m+6=0 ⓑ 5z2+6z−2=05z2+6z−2=0 ⓒ 9w2+24w+16=09w2+24w+16=0 ⓓ 9u2−2u+4=09u2−2u+4=0
Try It 10.72
Determine the number of solutions to each quadratic equation:
ⓐ b2+7b−13=0b2+7b−13=0 ⓑ 5a2−6a+10=05a2−6a+10=0 ⓒ 4r2−20r+25=04r2−20r+25=0 ⓓ 7t2−11t+3=07t2−11t+3=0
Identify the Most Appropriate Method to Use to Solve a Quadratic Equation
We have used four methods to solve quadratic equations:
Factoring
Square Root Property
Completing the Square
Quadratic Formula
You can solve any quadratic equation by using the Quadratic Formula, but that is not always the easiest method to use.
How To
Identify the most appropriate method to solve a Quadratic Equation.
Step 1. Try Factoring first. If the quadratic factors easily, this method is very quick.
Step 2. Try the Square Root Property next. If the equation fits the form ax2=kax2=k or a(x−h)2=ka(x−h)2=k, it can easily be solved by using the Square Root Property.
Step 3. Use the Quadratic Formula. Any quadratic equation can be solved by using the Quadratic Formula.
What about the method of completing the square? Most people find that method cumbersome and prefer not to use it. We needed to include it in this chapter because we completed the square in general to derive the Quadratic Formula. You will also use the process of completing the square in other areas of algebra.
Example 10.37
Identify the most appropriate method to use to solve each quadratic equation:
ⓐ 5z2=175z2=17 ⓑ 4x2−12x+9=04x2−12x+9=0 ⓒ 8u2+6u=118u2+6u=11
Solution
ⓐ 5z2=175z2=17
Since the equation is in the ax2=kax2=k, the most appropriate method is to use the Square Root Property.
ⓑ 4x2−12x+9=04x2−12x+9=0
We recognize that the left side of the equation is a perfect square trinomial, and so Factoring will be the most appropriate method.
ⓒ 8u2+6u=118u2+6u=11
Put the equation in standard form. 8u2+6u−11=08u2+6u−11=0
While our first thought may be to try Factoring, thinking about all the possibilities for trial and error leads us to choose the Quadratic Formula as the most appropriate method
Try It 10.73
Identify the most appropriate method to use to solve each quadratic equation:
ⓐ x2+6x+8=0x2+6x+8=0 ⓑ (n−3)2=16(n−3)2=16 ⓒ 5p2−6p=95p2−6p=9
Try It 10.74
Identify the most appropriate method to use to solve each quadratic equation:
ⓐ 8a2+3a−9=08a2+3a−9=0 ⓑ 4b2+4b+1=04b2+4b+1=0 ⓒ 5c2=1255c2=125
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with using the Quadratic Formula:
Solving Quadratic Equations: Solving with the Quadratic Formula
How to solve a quadratic equation in standard form using the Quadratic Formula (example)
Solving Quadratic Equations using the Quadratic Formula—Example 3
Solve Quadratic Equations using Quadratic Formula
Practice Makes Perfect
Solve Quadratic Equations Using the Quadratic Formula
In the following exercises, solve by using the Quadratic Formula.
4 ਮ 2 + ਮ − 3 = 0
4 ਨ 2 − 9 ਨ + 5 = 0
2 ਪ 2 − 7 ਪ + 3 = 0
3 ਕ 2 + 8 ਕ − 3 = 0
ਪ 2 + 7 ਪ + 12 = 0
ਕ 2 + 3 ਕ − 18 = 0
ਰ 2 − 8 ਰ − 33 = 0
ਟ 2 + 13 ਟ + 40 = 0
3 ਉ 2 + 7 ਉ − 2 = 0
6 ਜ਼ 2 − 9 ਜ਼ + 1 = 0
2 ਏ 2 − 6 ਏ + 3 = 0
5 ਬੀ 2 + 2 ਬੀ − 4 = 0
2 ਐਕਸ 2 + 3 ਐਕਸ + 9 = 0
6 ਵਾਈ 2 − 5 ਵਾਈ + 2 = 0
ਵੀ ( ਵੀ + 5 ) − 10 = 0
3 ਡਬਲਯੂ ( ਡਬਲਯੂ − 2 ) − 8 = 0
1 3 ਮ 2 + 1 12 ਮ = 1 4
1 3 ਨ 2 + ਨ = − 1 2
16 ਸੀ 2 + 24 ਸੀ + 9 = 0
25 ਡੀ 2 − 60 ਡੀ + 36 = 0
5 ਮ 2 + 2 ਮ − 7 = 0
8 ਨ 2 − 3 ਨ + 3 = 0
ਪ 2 − 6 ਪ − 27 = 0
25 ਕ 2 + 30 ਕ + 9 = 0
4ਰ² + 3ਰ - 5 = 0
3ਤ(ਤ - 2) = 2 3ਤ(ਤ - 2) = 2
੨ਅ^੨ + ੧੨ਅ + ੫ = ੦
4 d^2 - 7 d + 2 = 0
3 4 b 2 + 1 2 b = 3 8 3 4 b 2 + 1 2 b = 3 8
1. 1 9 ਗ 2 + 2 3 ਗ = 3 1 9 ਗ 2 + 2 3 ਗ = 3
੨ x ੨ + ੧੨ x − ੩ = ੦
੧੬y² + ੮y + ੧ = ੦
1. ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਪੂਰਬ-ਨਿਰਧਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਪੂਰਬ-ਅਨੁਮਾਨ
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
4x²−5x+16=0
36y² + 36y + 9 = 0
6m² + 3m - 5 = 0
18n²−7n+3=0
9ਵ² - 15ਵ + 25 = 0
ⓑ 100ਵ² + 60ਵ + 9 = 0
੫c² + ੭c - ੧੦ = ੦
15d² - 4d + 8 = 0
ⓐ 2r² + 12r + 36 = 0
8ਟ² - 11ਟ + 5 = 0
4u²−12u+9=0
3v²−5v−1=0
25p² + 10p + 1 = 0
⁷ਕ - ³ਕ - ⁶ = ⁰
7y^2+2y+8=0
25z^2−60z+36=0
द्वਿਘਾਤ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਢੁਕਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਢੁਕਵੀਂ ਵਿਧੀ (ਗੁਣਨਖੰਡਨ, ਵਰਗ ਮੂਲ, ਜਾਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਹੱਲ ਨਾ ਕਰੋ।
ⓐ x^2−5x−24=0 ⓑ (y+5)^2=12 ⓒ 14m^2+3m=11
ⓐ (8v+3)^2=81 ⓑ w^2−9w−22=0 ⓒ 4n^2−10=6
ⓐ 6a^2+14=20 ⓑ (x−14)^2=516 ⓒ y^2−2y=8
ⓐ 8b^2+15b=4 ⓑ 59v^2−23v=1 ⓒ (w+43)^2=29
ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਗਣਿਤ
ਇੱਕ ਫਲੇਅਰ ਨੂੰ ਸਮੁੰਦਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਜਹਾਜ਼ ਤੋਂ ਸਿੱਧਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਫਾਇਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 16(t^2−13t+40)=0 ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ ਫਲੇਅਰ ਦੇ 640 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਹੋਣ ਲਈ ਲੱਗਣ ਵਾਲੇ ਸਕਿੰਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ।
ਇੱਕ ਆਰਕੀਟੈਕਟ ਇੱਕ ਹੋਟਲ ਲਾਬੀ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉਹ ਇੱਕ ਐਟਰੀਅਮ ਵੱਲ ਦੇਖਣ ਵਾਲੀ ਤਿਕੋਣੀ ਖਿੜਕੀ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦੀ ਚੌੜਾਈ ਉਚਾਈ ਨਾਲੋਂ 6 ਫੁੱਟ ਵੱਧ ਹੈ। ਊਰਜਾ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਕਾਰਨ, ਖਿੜਕੀ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 140 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। 12h^2+3h=140 ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ h ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ ਖਿੜਕੀ ਦੀ ਉਚਾਈ ਹੈ।
ਲਿਖਤੀ ਅਭਿਆਸ
ਸਮੀਕਰਨ x^2+10x=200 ਨੂੰ ⓐ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ⓑ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ ⓒ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਤਰਜੀਹ ਦਿੰਦੇ ਹੋ? ਕਿਉਂ?
ਸਮੀਕਰਨ 12y^2+23y=24 ਨੂੰ ⓐ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ⓑ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ ⓒ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਤਰਜੀਹ ਦਿੰਦੇ ਹੋ? ਕਿਉਂ?
ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓑ ਇਹ ਚੈਕਲਿਸਟ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੱਸਦੀ ਹੈ? ਸੁਧਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੇ ਕਦਮ ਚੁੱਕੋਗੇ?