ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ
ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਲੱਭਣਾ
ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਅਧਿਕਤਮ ਅਤੇ ਨਿਊਨਤਮ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 10.13
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
y=3x−5y=3x−5 ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਬਣਾਓ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 4.11 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 10.14
2x2+4x−12x2+4x−1 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ x=−3x=−3। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.57 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 10.15
−b2a−b2a ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ a=13a=13 ਅਤੇ b=56b=56। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.89 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ
ਅਸੀਂ Ax+By=CAx+By=C ਰੂਪ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਇਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸਿੱਧੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਹੁਣ, ਅਸੀਂ y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c ਰੂਪ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਵਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ
ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ, ਜਿੱਥੇ a,b,ਅਤੇca,b,ਅਤੇc ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ a≠0a≠0, ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਅਸੀਂ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਕਰਾਂਗੇ।
ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ y=x2y=x2 ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ। ਅਸੀਂ −2−2 ਅਤੇ 2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ xx ਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਮੁੱਲ ਚੁਣਾਂਗੇ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ yy ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਾਂਗੇ। ਸਾਰਣੀ 10.1 ਦੇਖੋ।
ਸਤਰ: y=x2y=x2
ਸਤਰ: xx | yy
ਸਤਰ: 0 | 0
1. ਕਤਾਰ: 1 | 1
2. ਕਤਾਰ: −1−1 | 1
3. ਕਤਾਰ: 2 | 4
4. ਕਤਾਰ: −2−2 | 4
5. ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ x=1 ਅਤੇ x=−1 ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ y ਲਈ ਇੱਕੋ ਮੁੱਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
6. ਇਹੀ ਗੱਲ ਉਦੋਂ ਹੋਈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ x=2 ਅਤੇ x=−2 ਲਿਆ।
7. ਹੁਣ, ਅਸੀਂ y=x2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਾਂਗੇ। ਚਿੱਤਰ 10.2 ਦੇਖੋ।
8. ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਪਰਵਲੈ (parabola) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਰ ਦੂਜੇ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
9. ਉਦਾਹਰਨ 10.43 ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ ਕੁਝ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਅਭਿਆਸ ਕਰੋਗੇ।
10. ਉਦਾਹਰਨ 10.43
11. y=x2−1 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
12. ਹੱਲ
13. ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਵਾਂਗੇ।
14. ਕਤਾਰ: x ਲਈ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਮੁੱਲ ਚੁਣੋ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
15. ਕਤਾਰ: ਆਰਡਰ ਕੀਤੇ ਜੋੜਿਆਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਚਾਰਟ ਵਿੱਚ ਦਰਜ ਕਰੋ।
16. ਕਤਾਰ: ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਨਾਲ ਜੋੜੋ। ਨਤੀਜਾ y=x2−1 ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੋਵੇਗਾ।
17. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.85
18. y=−x2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
19. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.86
20. y=x2+1 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
21. y=x2 ਅਤੇ y=x2−1 ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀ ਅੰਤਰ ਹੈ? ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀ ਅੰਤਰ ਹੈ? ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਿਵੇਂ ਸਮਾਨ ਹਨ?
22. y=ax2+bx+c ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਸਾਰੇ ਪਰਵਲੈ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 10.3 ਦੇਖੋ।
23. ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਅੰਤਰ ਚਿੱਤਰ 10.3 ਵਿੱਚ ਦੂਜੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x2 ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੈ। ਜਦੋਂ x2 ਪਦ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਰਵਲੈ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਦੋਂ x2 ਪਦ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਰਵਲੈ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
24. ਪਰਵਲੈ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ y=ax2+bx+c ਲਈ, ਜੇਕਰ:
ਉਦਾਹਰਨ 10.44
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਪਰਵਾਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ:
ⓐ y=−3x2+2x−4 ⓑ y=6x2+7x−9
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ⓐ "a" ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। | ਕਿਉਂਕਿ "a" ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਪਰਵਾਲਾ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹੇਗਾ।
ਸਤਰ: ⓑ "a" ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। | ਕਿਉਂਕਿ "a" ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਪਰਵਾਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹੇਗਾ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 10.87
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਪਰਵਾਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ:
ⓐ y=2x2+5x−2 ⓑ y=−3x2−4x+7
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 10.88
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਪਰਵਾਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ:
ⓐ y=−2x2−2x−3 ⓑ y=5x2−2x−1
ਪਰਵਾਲੇ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਚਿੱਤਰ 10.3 ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਦੇਖੋ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਪਰਵਾਲੇ ਨੂੰ ਅੱਧਾ ਮੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਦੂਜੇ ਉੱਤੇ ਆ ਜਾਵੇਗਾ? ‘ਮੋੜਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ’ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਪਰਵਾਲੇ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਨੂੰ ਨੀਲੇ ਰੰਗ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਦੋ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 10.4 ਦੇਖੋ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਉਤਪਤੀ ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਸਿੱਧੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। y=ax2+bx+c ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x=−b2a ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ, ਉੱਪਰ ਦਰਸਾਏ ਪਰਵਾਲਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲਾ x=−b2a ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਾਂਗੇ।
ਚਿੱਤਰ 10.4 ਵੱਲ ਵਾਪਸ ਦੇਖੋ। ਕੀ ਇਹ ਡੈਸ਼ਡ ਲਾਲ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ?
ਪਰਵਾਲੇ ਉੱਤੇ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਜੋ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਉੱਤੇ ਹੈ, ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਲਾ ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲਾ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪਰਵਾਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਸਿਖਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਸਿਖਰ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਉੱਤੇ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦਾ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ −b2a ਹੈ। ਸਿਖਰ ਦੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਅਤੇ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਸਿਖਰ
y=ax2+bx+c ਸਮੀਕਰਨ ਵਾਲੇ ਪਰਵਾਲੇ ਲਈ:
ਪਰਵਾਲੇ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਰੇਖਾ x=−b2a ਹੈ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਉੱਤੇ ਸਿਖਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਦਾ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ −b2a−b2a ਹੈ।
ਸਿਖਰ ਦਾ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x=−b2ax=−b2a ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.45
y=3x2−6x+2y=3x2−6x+2 ਪਰਵਲੈ ਲਈ ਪਤਾ ਕਰੋ: ⓐ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਅਤੇ ⓑ ਸਿਖਰ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ⓐ
ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਰੇਖਾ x=−b2ax=−b2a ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ a, b ਦੇ ਮੁੱਲ ਬਦਲੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ। | x=1x=1
ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਰੇਖਾ x=1x=1 ਹੈ।
ਸਤਰ: ⓑ
ਸਿਖਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਦਾ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ x=1x=1 ਹੋਵੇਗਾ।
ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x=1x=1 ਬਦਲੋ ਅਤੇ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਇਹ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਹੈ। | y=−1y=−1ਸਿਖਰ (1,−1).(1,−1) ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 10.89
y=2x2−8x+1y=2x2−8x+1 ਪਰਵਲੈ ਲਈ ਪਤਾ ਕਰੋ: ⓐ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਅਤੇ ⓑ ਸਿਖਰ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 10.90
y=2x2−4x−3y=2x2−4x−3 ਪਰਵਲੈ ਲਈ ਪਤਾ ਕਰੋ: ⓐ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਅਤੇ ⓑ ਸਿਖਰ।
ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ, ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਲਈ x- ਅਤੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸੀ। ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪਤਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਪਰਵਲੈ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵੀ ਮਦਦ ਮਿਲੇਗੀ।
ਯਾਦ ਰੱਖੋ, y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉੱਤੇ xx ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x=0x=0 ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ।
ਆਓ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਦੋ ਪਰਵਲੈ ਦੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰੀਏ।
x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉੱਤੇ, yy ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ y=0y=0 ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ xx ਲਈ 0=ax2+bx+c0=ax2+bx+c ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ।
But solving quadratic equations like this is exactly what we have done earlier in this chapter.
We can now find the x-intercepts of the two parabolas shown in Figure 10.5.
First, we will find the x-intercepts of a parabola with equation y=x2+4x+3y=x2+4x+3.
row: Let y=0y=0.
row: Factor.
row: Use the zero product property.
row: Solve.
row: The x intercepts are (−1,0)(−1,0) and (−3,0).(−3,0).
Now, we will find the x-intercepts of the parabola with equation y=−x2+4x+3y=−x2+4x+3.
row: Let y=0y=0.
row: This quadratic does not factor, so we use the Quadratic Formula.
row: a=−1a=−1, b=4b=4, c=3c=3
row: Simplify.
row: The x intercepts are (2+7,0)(2+7,0) and (2−7,0)(2−7,0).
We will use the decimal approximations of the x-intercepts, so that we can locate these points on the graph.
Do these results agree with our graphs? See Figure 10.6.
How To
Find the intercepts of a parabola.
To find the intercepts of a parabola with equation y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c:
Example 10.46
Find the intercepts of the parabola y=x2−2x−8y=x2−2x−8.
Solution
row: To find the y-intercept, let x=0x=0 and solve for y.
row: When x=0x=0, then y=−8y=−8.The y-intercept is the point (0,−8)(0,−8).
1. x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (x-intercept) ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, y=0y=0 ਮੰਨੋ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
2. ਗੁਣਨ-ਖੰਡ (factoring) ਰਾਹੀਂ ਹੱਲ ਕਰੋ।
3. ਜਦੋਂ y=0y=0 ਹੋਵੇ, ਤਾਂ x=4orx=−2x=4orx=−2। x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਬਿੰਦੂ (4,0)(4,0) ਅਤੇ (−2,0)(−2,0) ਹਨ।
4. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.91
5. ਪਰਵਲਯ (parabola) y=x2+2x−8.y=x2+2x−8. ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ।
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.92
7. ਪਰਵਲਯ (parabola) y=x2−4x−12.y=x2−4x−12. ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ।
8. ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ਰੂਪ ਦੇ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (quadratic equations) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ xx ਲਈ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਸਨ।
9. ਅਸੀਂ ਹੁਣ y=ax2+bx+c=ax2+bx+c ਰੂਪ ਦੇ ਦੋ ਚਲਾਂ (variables) ਵਿੱਚ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (quadratic equations) ਨੂੰ ਦੇਖ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪਰਵਲਯ (parabolas) ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਪਰਵਲਯਾਂ (parabolas) ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ y=0y=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
10. ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ:
11. ਦੋ-ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ (quadratic equation) ਦੇ ਹੱਲ, x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ (x-intercepts) ਦੇ xx ਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
12. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (quadratic equations) ਦੇ 2, 1, ਜਾਂ 0 ਹੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇਹਨਾਂ ਤਿੰਨ ਮਾਮਲਿਆਂ ਲਈ ਪਰਵਲਯਾਂ (parabolas) ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (x-intercepts) ਦਿੰਦੇ ਹਨ, x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ (x-intercepts) ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੱਲਾਂ (solutions) ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
13. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ਰੂਪ ਦੇ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ (quadratic equation) ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਵੇਚਕ (discriminant) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਵਿਵੇਚਕ (discriminant) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਕਿੰਨੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (x-intercepts) ਹਨ।
14. x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ (x-intercepts) ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ (quadratic equation) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਤੁਸੀਂ ਕਿੰਨੇ ਹੱਲ (solutions) ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਨੀ ਹੈ ਇਹ ਜਾਣਨ ਲਈ ਵਿਵੇਚਕ (discriminant) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹ ਸਕਦੇ ਹੋ।
15. ਉਦਾਹਰਨ 10.47
16. ਪਰਵਲਯ (parabola) y=5x2+x+4y=5x2+x+4. ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ।
17. ਹੱਲ
18. y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (y-intercept) ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, x=0x=0 ਮੰਨੋ ਅਤੇ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। | ਜਦੋਂ x=0x=0 ਹੋਵੇ, ਤਾਂ y=4y=4। y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (y-intercept) ਬਿੰਦੂ (0,4)(0,4) ਹੈ।
19. x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (x-intercept) ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, y=0y=0 ਮੰਨੋ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
20. ਹੱਲਾਂ (solutions) ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ (x-intercepts) ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਿਵੇਚਕ (discriminant) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। | b2−4ac12−4⋅5⋅41−80−79b2−4ac12−4⋅5⋅41−80−79
21. ਕਿਉਂਕਿ ਵਿਵੇਚਕ (discriminant) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ (negative) ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਅਸਲ ਹੱਲ (real solution) ਨਹੀਂ ਹੈ। | ਕੋਈ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (x-intercepts) ਨਹੀਂ ਹਨ।
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.93
23. ਪਰਵਲਯ (parabola) y=3x2+4x+4.y=3x2+4x+4. ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ।
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.94
y=x2−4x−5 ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.48
y=4x2−12x+9 ਪਰਬਲ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਸਤਹ: y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣ ਲਈ, x=0 ਲਓ ਅਤੇ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਜਦੋਂ x=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ y=9 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਬਿੰਦੂ (0,9) ਹੈ।
ਸਤਹ: x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣ ਲਈ, y=0 ਲਓ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ। | b2−4ac22−4⋅4⋅9144−1440b2−4ac22−4⋅4⋅9144−1440
ਕਿਉਂਕਿ ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ ਦਾ ਮੁੱਲ 0 ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਅਸਲ ਹੱਲ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਿਰਫ ਇੱਕ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੈ।
ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਜ਼ੀਰੋ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਜਦੋਂ y=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ 32=x ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਬਿੰਦੂ (32,0) ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 10.95
y=−x2−12x−36 ਪਰਬਲ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 10.96
y=9x2+12x+4 ਪਰਬਲ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭੋ।
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਿੱਚ ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ
ਹੁਣ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਸਾਰੇ ਟੁਕੜੇ ਹਨ। ਸਾਨੂੰ ਬੱਸ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.49
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ ਹੈ
y=x2−6x+8 ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.97
2. ਪਰਵਲੈ y=x^2+2x−8.y=x^2+2x−8. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
3. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.98
4. ਪਰਵਲੈ y=x^2−8x+12.y=x^2−8x+12. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
5. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
6. ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
7. ਕਦਮ 1. ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ y ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਰੱਖ ਕੇ ਲਿਖੋ।
8. ਕਦਮ 2. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਪਰਵਲੈ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ।
9. ਕਦਮ 3. ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਲੱਭੋ।
10. ਕਦਮ 4. ਸਿਖਰ ਲੱਭੋ।
11. ਕਦਮ 5. y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਲੱਭੋ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਪਾਰ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਦਾ ਸਮਰੂਪ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ।
12. ਕਦਮ 6. x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਲੱਭੋ।
13. ਕਦਮ 7. ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
14. ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਕੇ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਲੱਭਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਏ ਸੀ। ਅਸੀਂ ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਵੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਕੇ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
15. ਉਦਾਹਰਨ 10.50
16. ਪਰਵਲੈ y=−x^2+6x−9y=−x^2+6x−9. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
17. ਹੱਲ
18. ਕਤਾਰ: ਸਮੀਕਰਨ y ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਹੈ।
19. ਕਤਾਰ: ਕਿਉਂਕਿ a −1−1 ਹੈ, ਪਰਵਲੈ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਲੱਭਣ ਲਈ, x=−b2ax=−b2a ਲੱਭੋ। | ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ x=3.x=3 ਹੈ। ਸਿਖਰ x=3.x=3 ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹੈ।
20. ਕਤਾਰ: ਜਦੋਂ x=3.x=3 ਹੋਵੇ ਤਾਂ y ਲੱਭੋ। | ਸਿਖਰ (3,0).(3,0) ਹੈ।
21. ਕਤਾਰ: y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x=0.x=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। x=0.x=0 ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ। ਸਰਲ ਬਣਾਓ। ਬਿੰਦੂ (0,−9)(0,−9) ਸਮਰੂਪਤਾ ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹੈ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਬਿੰਦੂ (6,−9).(6,−9) ਹੈ। y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਦਾ ਸਮਰੂਪ ਬਿੰਦੂ (6,−9)(6,−9) ਹੈ | y-ਅੰਤਰਖੰਡ (0,−9).(0,−9) ਹੈ।
22. ਕਤਾਰ: x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ y=0.y=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
23. ਕਤਾਰ: y=0.y=0 ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।
24. ਕਤਾਰ: GCF ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਪਰਬਲੈ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.99
ਪਰਬਲੈ y=−3x2+12x−12.y=−3x2+12x−12. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.100
ਪਰਬਲੈ y=25x2+10x+1.y=25x2+10x+1. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
y=−x2+6x−9y=−x2+6x−9 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਲਈ, ਸਿਖਰ ਅਤੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਇੱਕੋ ਬਿੰਦੂ ਸਨ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ? ਸਮੀਕਰਨ 0=−x2+6x−90=−x2+6x−9 ਦਾ ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ 0 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਪਰਬਲੈ ਦਾ ਸਿਖਰ ਹੈ।
ਤੁਸੀਂ y=x2+4x+5y=x2+4x+5 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਕਿੰਨੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਦੇਖਣ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰੋਗੇ?
ਉਦਾਹਰਨ 10.51
y=x2+4x+5y=x2+4x+5 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ y ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ a 1 ਹੈ, ਪਰਬਲੈ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਲੱਭਣ ਲਈ, x=−b2a.x=−b2a. ਲੱਭੋ। | ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ x=−2.x=−2. ਹੈ।
ਸਿਖਰ x=−2.x=−2. ਧੁਰੀ 'ਤੇ ਹੈ।
ਜਦੋਂ x=−2.x=−2. ਹੋਵੇ ਤਾਂ y ਲੱਭੋ। | ਸਿਖਰ (−2,1).(−2,1). ਹੈ।
y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x=0.x=0. ਹੁੰਦਾ ਹੈ। x=0.x=0. ਨੂੰ ਬਦਲੋ। ਸਰਲ ਕਰੋ। ਬਿੰਦੂ (0,5)(0,5) ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਤੋਂ ਦੋ ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੈ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਤੋਂ ਦੋ ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਬਿੰਦੂ (−4,5).(−4,5). ਹੈ। | y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,5).(0,5). ਹੈ। y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਬਿੰਦੂ (−4,5)(−4,5). ਹੈ।
x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ y=0.y=0. ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
y=0.y=0. ਨੂੰ ਬਦਲੋ। ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
b2−4acb2−4ac42−4⋅1542−4⋅1516−2016−20−4−4
ਕਿਉਂਕਿ ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਕੋਈ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਪਰਬਲੈ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਲਈ ਦੋ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣਨ ਦੀ ਇੱਛਾ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.101
ਪਰਬਲੈ y=2x2−6x+5.y=2x2−6x+5. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
1. ਇਸਨੂੰ 10.102 ਵਾਰ ਅਜ਼ਮਾਓ
2. ਪਰਬਲ y=−2x2−1.y=−2x2−1. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
3. ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x=0x=0 ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣਾ ਆਸਾਨ ਹੈ, ਹੈ ਨਾ? ਪਰ ਸਾਨੂੰ ਉਦਾਹਰਨ 10.51 ਵਿੱਚ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਈ। ਅਸੀਂ ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਫਿਰ ਤੋਂ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
4. ਉਦਾਹਰਨ 10.52
5. y=2x2−4x−3y=2x2−4x−3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
6. ਹੱਲ
7. ਕਤਾਰ: ਸਮੀਕਰਨ y ਦਾ ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ a 2 ਹੈ, ਪਰਬਲ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
8. ਕਤਾਰ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਲੱਭਣ ਲਈ, x=−b2ax=−b2a ਲੱਭੋ। | ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ x=1x=1 ਹੈ।
9. ਕਤਾਰ: x=1x=1 ਧੁਰੀ ਉੱਤੇ ਸਿਖਰ।
10. ਕਤਾਰ: ਜਦੋਂ x=1x=1 ਹੋਵੇ ਤਾਂ y ਲੱਭੋ। | ਸਿਖਰ (1,−5)(1,−5) ਹੈ।
11. ਕਤਾਰ: y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x=0.x=0।
12. ਕਤਾਰ: x=0.x=0 ਬਦਲੋ।
13. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,−3)(0,−3) ਹੈ।
14. ਕਤਾਰ: ਬਿੰਦੂ (0,−3)(0,−3) ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹੈ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਦੂਰ ਬਿੰਦੂ (2,−3)(2,−3) ਹੈ। | y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਦਾ ਸਮਰੂਪ ਬਿੰਦੂ (2,−3).(2,−3) ਹੈ।
15. ਕਤਾਰ: x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ y=0y=0।
16. ਕਤਾਰ: y=0y=0 ਬਦਲੋ।
17. ਕਤਾਰ: ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
18. ਕਤਾਰ: a, b, c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
19. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
20. ਕਤਾਰ: ਰੈਡੀਕਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
21. ਕਤਾਰ: ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
22. ਕਤਾਰ: GCF ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
23. ਕਤਾਰ: ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਟਾਓ।
24. ਕਤਾਰ: ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ।
2. ਕਤਾਰ: x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਾਜ਼ੇ ਵਾਲੇ ਮੁੱਲ (2.5,0) ਅਤੇ (−0.6,0) ਹਨ।
3. ਕਤਾਰ: ਲੱਭੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਰਵਲੈ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
4. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.103
5. ਪਰਵਲੈ y=5x^2+10x+3 ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.104
7. ਪਰਵਲੈ y=−3x^2−6x+5 ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
8. ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
9. ਇਹ ਜਾਣਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਸਿਖਰ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਲਾ ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲਾ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਸਿਖਰ ਦਾ y-ਸੰਯੋਜਕ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ y-ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ y-ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 10.7 ਦੇਖੋ।
10. ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ
11. ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਸਿਖਰ ਦਾ y-ਸੰਯੋਜਕ ਹੈ
12. ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਜੇ ਪਰਵਲੈ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
13. ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਜੇ ਪਰਵਲੈ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 10.53
15. ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ y=x^2+2x−8 ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
16. ਹੱਲ
17. ਕਤਾਰ: ਕਿਉਂਕਿ 'a' ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਪਰਵਲੈ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
18. ਕਤਾਰ: ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
19. ਕਤਾਰ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਲੱਭੋ। | ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ x=−1 ਹੈ।
20. ਕਤਾਰ: ਸਿਖਰ x=−1 ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹੈ।
21. ਕਤਾਰ: ਜਦੋਂ x=−1 ਹੋਵੇ ਤਾਂ y ਲੱਭੋ। | ਸਿਖਰ (−1,−9) ਹੈ।
22. ਕਤਾਰ: ਕਿਉਂਕਿ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸਿਖਰ ਦਾ y-ਸੰਯੋਜਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ y-ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
23. ਕਤਾਰ: ਦੋਘਾਤੀ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ −9 ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x=−1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
24. ਕਤਾਰ: ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਿਖਾਓ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.105
2. ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ y=x2−8x+12y=x2−8x+12 ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
3. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.106
4. ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ y=−4x2+16x−11y=−4x2+16x−11 ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
5. ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ
6. ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ, hh, ਗਿਣਨ ਲਈ, ਜਿਸਨੂੰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੇਗ, v0v0, ਨਾਲ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸੁੱਟਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, tt ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ।
7. ਇਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਚੱਲ tt ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਪਰਵਾਲਾ ਹੈ। ਸਿਖਰ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਆਪਣੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ। ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
8. ਉਦਾਹਰਨ 10.54
9. ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ h=−16t2+v0t+h0h=−16t2+v0t+h0 176 ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਦੇ ਵੇਗ ਨਾਲ 4 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੋਂ ਸਿੱਧਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਮਾਰੀ ਗਈ ਵਾਲੀਬਾਲ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ।
10. ⓐ ਵਾਲੀਬਾਲ ਨੂੰ ਆਪਣੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਸਕਿੰਟ ਲੱਗਣਗੇ?
11. ⓑ ਵਾਲੀਬਾਲ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
12. ਹੱਲ
13. h = −16 t 2 + 176 t + 4 h = −16 t 2 + 176 t + 4
14. ਕਿਉਂਕਿ a ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਪਰਵਾਲਾ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ।
15. ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
16. ⓐ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਲੱਭੋ। t=−b2at=−1762(−16)t=5.5 ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ t=5.5 ਹੈ। ਸਿਖਰ ਲਾਈਨ t=5.5 'ਤੇ ਹੈ। ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ t=5.5 ਸਕਿੰਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਲੱਭੋ। t=−b2at=−1762(−16)t=5.5 ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ t=5.5 ਹੈ। ਸਿਖਰ ਲਾਈਨ t=5.5 'ਤੇ ਹੈ। ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ t=5.5 ਸਕਿੰਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
17. ⓑ ਜਦੋਂ t=5.5t=5.5 ਹੋਵੇ ਤਾਂ h ਲੱਭੋ। ਸਰਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਸਿਖਰ (5.5,488)(5.5,488) ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਇੱਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸਿਖਰ ਦਾ h-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ y-ਮੁੱਲ ਹੈ। ਦੋ ਘਾਤੀ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ 488 ਫੁੱਟ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ t=5.5t=5.5 ਸਕਿੰਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
18. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.107
19. ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ h=−16t2+128t+32h=−16t2+128t+32 ਦੀ ਵਰਤੋਂ 32 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੋਂ 128 ft/sec ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸੁੱਟੇ ਗਏ ਪੱਥਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਪੱਥਰ ਨੂੰ ਆਪਣੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ? ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਕੀ ਹੋਵੇਗੀ? ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
20. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.108
21. 208 ft/sec ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸੁੱਟੀ ਗਈ ਇੱਕ ਖਿਡੌਣਾ ਰਾਕਟ ਦਾ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ h=−16t2+208th=−16t2+208t ਹੈ। ਰਾਕਟ ਆਪਣੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਕਦੋਂ ਪਹੁੰਚੇਗਾ? ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਕੀ ਹੋਵੇਗੀ? ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
22. ਮੀਡੀਆ
23. ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ:
24. ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਦੇ ਹੋ?
ਦੋ-ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਅਭਿਆਸ ਪਰਪੱਕਤਾ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ
ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ:
y = x² + 3
y = −x² + 1
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਪਰਵਾਲਾ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
y = −2x² − 6x − 7
y = 6x² + 2x + 3
y = 4x² + x − 4
y = −9x² − 24x − 16
ਪਰਵਾਲੇ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ⓐ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਅਤੇ ⓑ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ।
y = x² + 8x − 1
y = x² + 10x + 25
y = −x² + 2x + 5
y = −2x² − 8x − 3
ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, x- ਅਤੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ।
y = x² + 7x + 6
y = x² + 10x − 11
y = −x² + 8x − 19
y = x² + 6x + 13
y = 4 x 2 − 20 x + 25
y = − x 2 − 14 x − 49
ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ, ਵਰਟੈਕਸ, ਅਤੇ ਅਕਸ਼ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
y = x 2 + 6 x + 5
y = x 2 + 4 x − 12
y = x 2 + 4 x + 3
y = x 2 − 6 x + 8
y = 9 x 2 + 12 x + 4
y = − x 2 + 8 x − 16
y = − x 2 + 2 x − 7
y = 5 x 2 + 2
y = 2 x 2 − 4 x + 1
y = 3 x 2 − 6 x − 1
y = 2 x 2 − 4 x + 2
y = −4 x 2 − 6 x − 2
y = − x 2 − 4 x + 2
y = x 2 + 6 x + 8
y = 5 x 2 − 10 x + 8
y = −16 x 2 + 24 x − 9
y = 3 x 2 + 18 x + 20
y = −2 x 2 + 8 x − 10
ਮਹੱਤਮ ਅਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਮਹੱਤਮ ਜਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
y = 2 x^2 + x − 1
y = −4 x^2 + 12 x − 5
y = x^2 − 6 x + 15
y = − x^2 + 4 x − 5
y = −9 x^2 + 16
y = 4 x^2 − 49
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੱਲ ਕਰੋ। ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਤੀਰ ਨੂੰ 45 ਫੁੱਟ ਉੱਚੇ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਤੋਂ 168 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਮਾਰਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤੀਰ ਨੂੰ ਆਪਣੀ ਅਧਿਕਤਮ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਧਿਕਤਮ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ h=−16t^2+168t+45h=−16t^2+168t+45 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਪੱਥਰ ਨੂੰ 20 ਫੁੱਟ ਉੱਚੇ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਤੋਂ 160 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪੱਥਰ ਨੂੰ ਆਪਣੀ ਅਧਿਕਤਮ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਧਿਕਤਮ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ h=−16t^2+160t+20h=−16t^2+160t+20 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਸਟੋਰ ਦਾ ਮਾਲਕ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਕੰਪਿਊਟਰ ਲਈ xx ਡਾਲਰ ਚਾਰਜ ਕਰਕੇ, ਉਹ ਹਰ ਹਫ਼ਤੇ 40−x40−x ਕੰਪਿਊਟਰ ਵੇਚ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੀ ਵਿਕਰੀ ਕੀਮਤ xx ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਆਮਦਨ, RR, ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ R=−x^2+40xR=−x^2+40x ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਹ ਵਿਕਰੀ ਕੀਮਤ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਉਸਨੂੰ ਅਧਿਕਤਮ ਆਮਦਨ ਦੇਵੇਗੀ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਧਿਕਤਮ ਆਮਦਨ ਦੀ ਰਕਮ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਬੈਕਪੈਕ ਵੇਚਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਰਿਟੇਲਰ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ xx ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਤੀ ਵੇਚ ਕੇ, ਉਹ ਮਹੀਨੇ ਵਿੱਚ 100−x100−x ਬੈਕਪੈਕ ਵੇਚ ਸਕੇਗਾ। ਜਦੋਂ ਬੈਕਪੈਕ ਦੀ ਵਿਕਰੀ ਕੀਮਤ xx ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣ ਵਾਲੀ RR, ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ R=−x^2+100xR=−x^2+100x ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਹ ਵਿਕਰੀ ਕੀਮਤ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਉਸਨੂੰ ਅਧਿਕਤਮ ਆਮਦਨ ਦੇਵੇਗੀ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਧਿਕਤਮ ਆਮਦਨ ਦੀ ਰਕਮ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਪਸ਼ੂ ਚਕਿਤਸਕ ਕੁੱਤਿਆਂ ਲਈ ਆਪਣੇ ਕੋਲ ਰੱਖੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਕੁੱਤਿਆਂ ਲਈ ਆਪਣੇ ਬਿਲਡਿੰਗ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੇ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਹਰੀ ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਬੰਦ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉਸਨੂੰ 240 ਫੁੱਟ ਵਾੜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਨਦੀ ਦੇ ਨਾਲ ਖੇਤਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ x,x, ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਖੇਤਰ, AA, ਲਈ ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ A=x(240−2x)A=x(240−2x) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਨਦੀ ਦੇ ਨਾਲ ਖੇਤਰ ਦੀ ਉਹ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਅਧਿਕਤਮ ਖੇਤਰ ਦੇਵੇਗੀ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਧਿਕਤਮ ਖੇਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਪਸ਼ੂ ਚਕਿਤਸਕ ਕੁੱਤਿਆਂ ਲਈ ਆਪਣੇ ਕੋਲ ਰੱਖੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਕੁੱਤਿਆਂ ਲਈ ਆਪਣੇ ਬਿਲਡਿੰਗ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੇ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਹਰੀ ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਬੰਦ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉਸਨੂੰ 100 ਫੁੱਟ ਵਾੜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਬਿਲਡਿੰਗ ਦੀ ਲੰਬਾਈ xx, ਜੋ ਕਿ ਕੁੱਤੇ ਦੇ ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਹੈ, ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੁੱਤੇ ਦੇ ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ, AA, ਲਈ ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ A=x(100−2x)A=x(100−2x) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਬਿਲਡਿੰਗ ਦੀ ਉਹ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਕੁੱਤੇ ਦੇ ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਅਧਿਕਤਮ ਖੇਤਰ ਮਿਲੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਕੁੱਤੇ ਦੇ ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਧਿਕਤਮ ਖੇਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਗਣਿਤ
ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ R=−x^2+40xR=−x^2+40x ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਸੀ ਜੋ xx ਡਾਲਰ ਦੀ ਕੀਮਤ 'ਤੇ ਕੰਪਿਊਟਰ ਵੇਚਣ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਈ ਆਮਦਨ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਉਹ ਵਿਕਰੀ ਕੀਮਤ ਪਾਈ ਸੀ ਜੋ ਅਧਿਕਤਮ ਆਮਦਨ ਦੇਵੇਗੀ ਅਤੇ ਅਧਿਕਤਮ ਆਮਦਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਹੁਣ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਮਾਡਲ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖੋਗੇ। ⓐ ਸਮੀਕਰਨ R=−x^2+40xR=−x^2+40x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। ⓑ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਦੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ R=−x^2+100xR=−x^2+100x ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਸੀ ਜੋ xx ਡਾਲਰ ਦੀ ਕੀਮਤ 'ਤੇ ਬੈਕਪੈਕ ਵੇਚਣ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਈ ਆਮਦਨ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਉਹ ਵਿਕਰੀ ਕੀਮਤ ਪਾਈ ਸੀ ਜੋ ਅਧਿਕਤਮ ਆਮਦਨ ਦੇਵੇਗੀ ਅਤੇ ਅਧਿਕਤਮ ਆਮਦਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਹੁਣ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਮਾਡਲ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖੋਗੇ। ⓐ ਸਮੀਕਰਨ R=−x^2+100xR=−x^2+100x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। ⓑ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਦੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਲਿਖਤੀ ਕਸਰਤਾਂ
ਕਸਰਤ 10.205 ਅਤੇ ਕਸਰਤ 10.209 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਆਮਦਨ ਮਾਡਲ ਲਈ, ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਕੰਪਿਊਟਰ ਸਟੋਰ ਦੇ ਮਾਲਕ ਲਈ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ।
ਕਸਰਤ 10.206 ਅਤੇ ਕਸਰਤ 10.210 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਆਮਦਨ ਮਾਡਲ ਲਈ, ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਬੈਕਪੈਕ ਰਿਟੇਲਰ ਲਈ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ।
ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
ⓐ ਕਸਰਤਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓑ ਇਹ ਚੈਕਲਿਸਟ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੱਸਦੀ ਹੈ? ਸੁਧਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੇ ਕਦਮ ਚੁੱਕੋਗੇ?