Learning Objectives
By the end of this section, you will be able to:
Simplify fractions
Multiply and divide fractions
Add and subtract fractions
Use the order of operations to simplify fractions
Evaluate variable expressions with fractions
Be Prepared 1.3
A more thorough introduction to the topics covered in this section can be found in the Elementary Algebra 2e chapter, Foundations.
Simplify Fractions
A fraction is a way to represent parts of a whole. The fraction 2323 represents two of three equal parts. See Figure 1.5. In the fraction 23,23, the 2 is called the numerator and the 3 is called the denominator. The line is called the fraction bar.
Figure 1.5: In the circle, 2323 of the circle is shaded—2 of the 3 equal parts.
Fraction
A fraction is written ab,ab, where b≠0b≠0 and
a is the numerator and b is the denominator.
A fraction represents parts of a whole. The denominator bb is the number of equal parts the whole has been divided into, and the numerator aa indicates how many parts are included.
Fractions that have the same value are equivalent fractions. The Equivalent Fractions
Property allows us to find equivalent fractions and also simplify fractions.
Equivalent Fractions Property
If a, b, and c are numbers where b≠0,c≠0,b≠0,c≠0,
then ab=a·cb·cab=a·cb·c and a·cb·c=ab.a·cb·c=ab.
A fraction is considered simplified if there are no common factors, other than 1, in its numerator and denominator.
For example,
2323 is simplified because there are no common factors of 2 and 3.3.
10151015 ਨੂੰ ਸਰਲ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਕਿਉਂਕਿ 5, 10 ਅਤੇ 15 ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਾਂ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾ ਕੇ। ਕੋਈ ਭਿੰਨ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਸਰਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਾਰੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਹਟਾ ਨਾ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਸਮੀਕਰਨ ਭਿੰਨਾਂ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਰਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਭਿੰਨਾਂ ਸਰਲ ਨਾ ਹੋ ਜਾਣ।
ਕਈ ਵਾਰ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਲੱਭਣਾ ਆਸਾਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਜਦੋਂ ਅਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਵਿਚਾਰ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਸਮਾਨ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਹਟਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.24
ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਸਰਲ ਕਰੋ: −315770.−315770.
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 1.47
ਸਰਲ ਕਰੋ: −69120.−69120.
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 1.48
ਸਰਲ ਕਰੋ: −120192.−120192.
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਉਹਨਾਂ ਕਦਮਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਤੁਹਾਨੂੰ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਾਲਣ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 2. ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਸਮਾਨ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 3. ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰੋ
ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਲੋਕ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣ ਨਾਲੋਂ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਸਮਝਦੇ ਹਨ।
ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਭਿੰਨ ਗੁਣਾ
ਜੇਕਰ a, b, c, ਅਤੇ d ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ b≠0,b≠0, ਅਤੇ d≠0,d≠0, ਤਾਂ
ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਧਰਮ ਅਜੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਬੇਸ਼ੱਕ। ਗੁਣਫਲ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਕਦਮ ਵਜੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਵਿਚਾਰ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1.25 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ, ਇਸ ਲਈ ਗੁਣਫਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇਗਾ।
ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਨੂੰ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕੋਈ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ, 'a', ਨੂੰ a/1 ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 3=3/1।
ਉਦਾਹਰਨ 1.25
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: −125(−20x)।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਚਿੰਨ੍ਹ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਗੁਣਨਫਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਚਿੰਨ੍ਹ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: 20x ਨੂੰ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਸਾਰਣੀ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਾਰਣੀ: 20 ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ 5 ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਵੰਡੋ।
ਸਾਰਣੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 1.49
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: 113(−9a)।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 1.50
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: 137(−14b)।
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਵੰਡਣ ਲਈ ਲਗਭਗ ਤਿਆਰ ਹਾਂ। ਇਸ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਹ ਕਰ ਸਕੀਏ, ਸਾਨੂੰ ਕੁਝ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਭਿੰਨ ਦਾ ਉਲਟਾ (reciprocal) ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਕੇ, ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਹਰ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਰੱਖ ਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 2/3 ਦਾ ਉਲਟਾ 3/2 ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ 4 ਨੂੰ ਭਿੰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ 4/1 ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, 4 ਦਾ ਉਲਟਾ 1/4 ਹੈ।
ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਵੰਡਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੀ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਦੇ ਉਲਟੇ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਭਿੰਨ ਵੰਡ
ਜੇਕਰ a, b, c, ਅਤੇ d ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ b≠0, c≠0, ਅਤੇ d≠0, ਤਾਂ
ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਵੰਡਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੀ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਦੇ ਉਲਟੇ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਨੂੰ b≠0, c≠0, ਅਤੇ d≠0 ਕਹਿਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਸਿਫ਼ਰ ਨਾਲ ਵੰਡ ਨਾ ਕਰੀਏ!
ਉਦਾਹਰਨ 1.26
ਭਾਗਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: −718÷(−1427)।
ਹੱਲ
ਸਾਰਣੀ: ਵੰਡਣ ਲਈ, ਪਹਿਲੀ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਦੇ ਉਲਟੇ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
row: Determine the sign of the product, andthen multiply.
row: Rewrite showing common factors.
row: Remove common factors.
row: Simplify.
Try It 1.51
Divide: −727÷(−3536).−727÷(−3536).
Try It 1.52
Divide: −514÷(−1528).−514÷(−1528).
The numerators or denominators of some fractions contain fractions themselves. A fraction in which the numerator or the denominator is a fraction is called a complex fraction.
Complex Fraction
A complex fraction is a fraction in which the numerator or the denominator contains a fraction.
Some examples of complex fractions are:
To simplify a complex fraction, remember that the fraction bar means division. For example, the complex fraction 34583458 means 34÷58.34÷58.
Example 1.27
Simplify: x2xy6.x2xy6.
Solution
row: x2xy6x2xy6
row: Rewrite as division. | x2÷xy6x2÷xy6
row: Multiply the first fraction by the reciprocal of the second. | x2·6xyx2·6xy
row: Multiply. | x·62·xyx·62·xy
row: Look for common factors. | x·3·22·x·yx·3·22·x·y
row: Divide common factors and simplify. | 3y3y
Try It 1.53
Simplify: a8ab6.a8ab6.
1. 1.54 ਅਜ਼ਮਾਓ
2. ਸਰਲ ਕਰੋ: p2pq8.p2pq8.
3. ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ
4. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ ਲਈ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
5. ਭਿੰਨ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ
6. ਜੇਕਰ a, b, ਅਤੇ c ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ c≠0,c≠0, ਤਾਂ
7. ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ ਲਈ, ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਉੱਤੇ ਰੱਖੋ।
8. ਦੋ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ ਲਘੂਤਮ ਸਾਂਝਾ ਹਰ (LCD) ਉਹ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ LCD ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਹਰਾਂ ਦਾ ਲਘੂਤਮ ਸਮਾਪਵਰਤਕ (LCM) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
9. ਲਘੂਤਮ ਸਾਂਝਾ ਹਰ
10. ਦੋ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ ਲਘੂਤਮ ਸਾਂਝਾ ਹਰ (LCD) ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਹਰਾਂ ਦਾ ਲਘੂਤਮ ਸਮਾਪਵਰਤਕ (LCM) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
11. ਦੋ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ ਲਘੂਤਮ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਲੱਭਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ LCD ਵਾਲੀਆਂ ਸਮਾਨ ਭਿੰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਇਹਨਾਂ ਕਦਮਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਰੱਖਣ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਹਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੋਣਗੇ!
12. ਉਦਾਹਰਨ 1.28
13. ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਜੋੜਨਾ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣਾ ਹੈ
14. ਜੋੜੋ: 712+518.712+518.
15. ਹੱਲ
16. 1.55 ਅਜ਼ਮਾਓ
17. ਜੋੜੋ: 712+1115.712+1115.
18. 1.56 ਅਜ਼ਮਾਓ
19. ਜੋੜੋ: 1315+1720.1315+1720.
20. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
21. ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ।
22. ਕਦਮ 1. ਕੀ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਹੈ? ਹਾਂ—ਕਦਮ 2 'ਤੇ ਜਾਓ। ਨਹੀਂ—ਹਰੇਕ ਭਿੰਨ ਨੂੰ LCD (ਲਘੂਤਮ ਸਾਂਝਾ ਹਰ) ਨਾਲ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। LCD ਲੱਭੋ। ਹਰੇਕ ਭਿੰਨ ਨੂੰ LCD ਨੂੰ ਹਰ ਵਜੋਂ ਰੱਖ ਕੇ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਭਿੰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
23. ਕਦਮ 2. ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ।
24. ਕਦਮ 3. ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਸਰਲ ਕਰੋ।
We now have all four operations for fractions. Table 1.3 summarizes fraction operations.
row: Fraction Multiplication | Fraction Division
row: ab·cd=acbdab·cd=acbd | ab÷cd=ab·dcab÷cd=ab·dc
row: Multiply the numerators and multiply the denominators | Multiply the first fraction by the reciprocal of the second.
row: Fraction Addition | Fraction Subtraction
row: ac+bc=a+bcac+bc=a+bc | ac−bc=a−bcac−bc=a−bc
row: Add the numerators and place the sum over the common denominator. | Subtract the numerators and place the difference over the common denominator.
row: To multiply or divide fractions, an LCD is NOT needed.To add or subtract fractions, an LCD is needed.
When starting an exercise, always identify the operation and then recall the methods needed for that operation.
Example 1.29
Simplify: ⓐ 5x6−3105x6−310 ⓑ 5x6·310.5x6·310.
Solution
First ask, “What is the operation?” Identifying the operation will determine whether or not we need a common denominator. Remember, we need a common denominator to add or subtract, but not to multiply or divide.
ⓐ
row: What is the operation? The operation is subtraction.
row: Do the fractions have a common denominator? No. | 5x6−3105x6−310
row: Find the LCD of 6 and 10 | The LCD is 30.
row: 6=2·310=2·5___________LCD=2·3·5LCD=306=2·310=2·5___________LCD=2·3·5LCD=30
row: Rewrite each fraction as an equivalent fraction with the LCD. | 5x·56·5−3·310·35x·56·5−3·310·3
row: 25x30−93025x30−930
row: Subtract the numerators and place the difference over the common denominators. | 25x−93025x−930
row: Simplify, if possible. There are no common factors. The fraction is simplified.
ⓑ
row: What is the operation? Multiplication. | 5x6·3105x6·310
row: To multiply fractions, multiply the numerators and multiply the denominators. | 5x·36·105x·36·10
1. ਪੰਗਤੀ: ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਓ। ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਓ। | 5x·32·3·2·55x·32·3·2·5
2. ਪੰਗਤੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | x4x4
3. ਨੋਟ ਕਰੋ, ਸਾਨੂੰ 5x6−310,5x6−310 ਜੋੜਨ ਲਈ ਇੱਕ LCD ਦੀ ਲੋੜ ਸੀ, ਪਰ 5x6·310.5x6·310 ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਹੀਂ।
4. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 1.57
5. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 3a4−893a4−89 ⓑ 3a4·89.3a4·89.
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 1.58
7. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 4k5−164k5−16 ⓑ 4k5·16.4k5·16.
8. ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
9. ਭਿੰਨ ਵਿੱਚ ਭਿੰਨ ਬਾਰ ਸਮੂਹਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਂਗ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਕਾਰਜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਫਿਰ ਸਾਨੂੰ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨ ਅਤੇ ਫਿਰ ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
10. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
11. ਭਿੰਨ ਬਾਰ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
12. ਕਦਮ 1. ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। ਹਰ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
13. ਕਦਮ 2. ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
14. ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਭਿੰਨ ਵਿੱਚ ਕਿੱਥੇ ਜਾਂਦਾ ਹੈ? ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਭਿੰਨ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਤੁਸੀਂ ਕਦੇ-ਕਦੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅੰਸ਼ ਵਾਲੀ ਭਿੰਨ, ਜਾਂ ਕਦੇ-ਕਦੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹਰ ਵਾਲੀ ਭਿੰਨ ਦੇਖੋਗੇ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਭਿੰਨ ਭਾਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਭਾਗਫਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
15. ਭਿੰਨ ਵਿੱਚ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਾ ਸਥਾਨ
16. ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ a ਅਤੇ b ਲਈ,
17. ਉਦਾਹਰਨ 1.30
18. ਸਰਲ ਕਰੋ: 4(−3)+6(−2)−3(2)−2.4(−3)+6(−2)−3(2)−2.
19. ਹੱਲ
20. ਭਿੰਨ ਬਾਰ ਇੱਕ ਸਮੂਹਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਂਗ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਰਲ ਕਰੋ।
21. ਪੰਗਤੀ: 4(−3)+6(−2)−3(2)−24(−3)+6(−2)−3(2)−2
22. ਪੰਗਤੀ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | −12+(−12)−6−2−12+(−12)−6−2
23. ਪੰਗਤੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | −24−8−24−8
24. ਪੰਗਤੀ: ਭਾਗ ਕਰੋ। | 33
1. ੧.੫੯ ਅਜ਼ਮਾਓ
2. ਸਰਲ ਕਰੋ: ੮(−੨)+੪(−੩)−੫(੨)+੩.੮(−੨)+੪(−੩)−੫(੨)+੩.
3. ੧.੬੦ ਅਜ਼ਮਾਓ
4. ਸਰਲ ਕਰੋ: ੭(−੧)+੯(−੩)−੫(੩)−੨.੭(−੧)+੯(−੩)−੫(੩)−੨.
5. ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖਾਂਗੇ ਜਿੱਥੇ ਅੰਸ਼ ਜਾਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਪਦ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸਰਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਰਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਹਰ ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਭਿੰਨ ਰੇਖਾ ਦਾ ਅਰਥ ਭਾਗ ਹੈ।
6. ਉਦਾਹਰਨ ੧.੩੧
7. ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਸਰਲ ਕਰਨਾ ਹੈ
8. ਸਰਲ ਕਰੋ: (੧੨)੨੪+੩੨.(੧੨)੨੪+੩੨.
9. ਹੱਲ
10. ੧.੬੧ ਅਜ਼ਮਾਓ
11. ਸਰਲ ਕਰੋ: (੧੩)੨੨੩+੨.(੧੩)੨੨੩+੨.
12. ੧.੬੨ ਅਜ਼ਮਾਓ
13. ਸਰਲ ਕਰੋ: ੧+੪੨(੧੪)੨.੧+੪੨(੧੪)੨.
14. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
15. ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
16. ਕਦਮ ੧. ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
17. ਕਦਮ ੨. ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
18. ਕਦਮ ੩. ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਹਰ ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ। ਜੇ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਸਰਲ ਕਰੋ।
19. ਉਦਾਹਰਨ ੧.੩੨
20. ਸਰਲ ਕਰੋ: ੧੨+੨੩੩੪−੧੬.੧੨+੨੩੩੪−੧੬.
21. ਹੱਲ
22. ਇਹ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਬਰੈਕਟਾਂ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
23. ਕਤਾਰ: (੧੨+੨੩)(੩੪−੧੬)(੧੨+੨੩)(੩੪−੧੬)
24. ਕਤਾਰ: ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ (LCD = ੬) ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ (LCD = ੧੨)। | (੩੬+੪੬)(੯੧੨−੨੧੨)(੩੬+੪੬)(੯੧੨−੨੧੨)
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਹਰ ਨਾਲ ਵੰਡੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਵੰਡੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 1.63
ਸਰਲ ਕਰੋ: 13+1234−13.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 1.64
ਸਰਲ ਕਰੋ: 23−1214+13.
ਭਿੰਨਾਂ ਨਾਲ ਚੱਲ (variable) ਦੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਪਦਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਭਿੰਨਾਂ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਕਿਸੇ ਪਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਚੱਲ (variable) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਦ ਵਿੱਚ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.33
2x2y ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ x=14 ਅਤੇ y=−23।
ਹੱਲ
ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪਦ ਵਿੱਚ ਪਾਓ।
ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਗੁਣਾ ਕਰੋ; ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਵੰਡੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ 16 ਨੂੰ 2·2·4 ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਉਣਾ ਆਸਾਨ ਹੋ ਜਾਵੇ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 1.65
3ab2 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ a=−23 ਅਤੇ b=−12।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 1.66
4c3d ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ c=−12 ਅਤੇ d=−43।
ਮੀਡੀਆ
ਭਿੰਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਸ ਆਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਵੱਖਰੀਆਂ ਹਰਾਂ ਵਾਲੇ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜ
ਅਭਿਆਸ ਪਰਪੱਕਤਾ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ
ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਰਲ ਕਰੋ।
− 108 63 − 108 63
− 104 48 − 104 48
120 252 120 252
182 294 182 294
14 x 2 21 y 14 x 2 21 y
24 a 32 b 2 24 a 32 b 2
− 210 a 2 110 b 2 − 210 a 2 110 b 2
− 30 x 2 105 y 2 − 30 x 2 105 y 2
ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਕਿਰਿਆ ਕਰੋ।
− 3 4 ( − 4 9 ) − 3 4 ( − 4 9 )
− 3 8 · 4 15 − 3 8 · 4 15
( − 14 15 ) ( 9 20 ) ( − 14 15 ) ( 9 20 )
( − 9 10 ) ( 25 33 ) ( − 9 10 ) ( 25 33 )
( − 63 84 ) ( − 44 90 ) ( − 63 84 ) ( − 44 90 )
( − 33 60 ) ( − 40 88 ) ( − 33 60 ) ( − 40 88 )
3 7 · 21 n 3 7 · 21 n
5 6 · 30 m 5 6 · 30 m
3 4 ÷ x 11 3 4 ÷ x 11
2 5 ÷ y 9 2 5 ÷ y 9
5 18 ÷ ( − 15 24 ) = 5 18 × ( − 24 15 ) = − ( 5 × 24 ) / ( 18 × 15 ) = − 120 / 270 = − 12 / 27 = − 4 / 9
7/18 ÷ (-14/27) = 7/18 * (-27/14) = - (7*27) / (18*14) = - (1*3) / (2*2) = -3/4 7/18 ÷ (-14/27) = 7/18 * (-27/14) = - (7*27) / (18*14) = - (1*3) / (2*2) = -3/4
8 ਓ 15 ÷ 12 ਵ 25 8 ਓ 15 ÷ 12 ਵ 25
12 ਰ 25 ÷ 18 ਸ 35 12 ਰ 25 ÷ 18 ਸ 35
3 4 ÷ ( −12 ) 3 4 ÷ ( −12 )
−੧੫ ÷ (−੫/੩)
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਰਲ ਕਰੋ।
− ਅ ਞ ਞ ਞ − ਅ ਞ ਞ ਞ
1. − 9 16 33 40 − 9 16 33 40
− 4 5 2 − 4 5 2
1. ਪੰਜ ਤਿੰਨ ਦਸ ਪੰਜ ਤਿੰਨ ਦਸ
ਮਨੁੱਖੀ ਮਨੁੱਖਤਾ
− 3 8 − y 12 − 3 8 − y 12
ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ।
7 12 + 5 8 7 12 + 5 8
ਪੰਜ ਬਾਰਾਂ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਅੱਠ
7 12 − 9 16 7 12 − 9 16
7 16 − 5 12 7 16 − 5 12
− ੧੩ ੩੦ + ੨੫ ੪੨ − ੧੩ ੩੦ + ੨੫ ੪੨
− ੨੩ ੩੦ + ੫ ੪੮ − ੨੩ ੩੦ + ੫ ੪੮
− 39 56 − 22 35 − 39 56 − 22 35
− 33 49 − 18 35 − 33 49 − 18 35
1. − 2 3 − ( − 3 4 ) − 2 3 − ( − 3 4 )
− 3 4 − ( − 4 5 ) − 3 4 − ( − 4 5 )
x 3 + 1 4 x 3 + 1 4
x 5 − 1 4 x 5 − 1 4
ⓐ 23+1623+16ⓑ 23÷1623÷16
ⓐ −25−18−25−18 ⓑ −25·18−25·18
ⓐ 5n6÷8155n6÷815ⓑ 5n6−8155n6−815
ⓐ 3a8÷7123a8÷712ⓑ 3a8−7123a8−712
ⓐ −4x9−56−4x9−56ⓑ −4k9·56−4k9·56
ⓐ −3y8−43−3y8−43ⓑ −3y8·43−3y8·43
ⓐ −5a3+(−106)−5a3+(−106)ⓑ −5a3÷(−106)−5a3÷(−106)
ⓐ 2b5+8152b5+815ⓑ 2b5÷8152b5÷815
ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਰਲ ਕਰੋ।
5 · 6 − 3 · 4 4 · 5 − 2 · 3 5 · 6 − 3 · 4 4 · 5 − 2 · 3
8 · 9 − 7 · 6 5 · 6 − 9 · 2 8 · 9 − 7 · 6 5 · 6 − 9 · 2
5 2 − 3 2 3 − 5 5 2 − 3 2 3 − 5
6 2 − 4 2 4 − 6 6 2 − 4 2 4 − 6
7 · 4 − 2 ( 8 − 5 ) 9 · 3 − 3 · 5 7 · 4 − 2 ( 8 − 5 ) 9 · 3 − 3 · 5
9 · 7 − 3 ( 12 − 8 ) 8 · 7 − 6 · 6 9 · 7 − 3 ( 12 − 8 ) 8 · 7 − 6 · 6
9 ( 8 − 2 ) − 3 ( 15 − 7 ) 6 ( 7 − 1 ) − 3 ( 17 − 9 ) 9 ( 8 − 2 ) − 3 ( 15 − 7 ) 6 ( 7 − 1 ) − 3 ( 17 − 9 )
8 ( 9 − 2 ) − 4 ( 14 − 9 ) 7 ( 8 − 3 ) − 3 ( 16 − 9 ) 8 ( 9 − 2 ) − 4 ( 14 − 9 ) 7 ( 8 − 3 ) − 3 ( 16 − 9 )
2 3 + 4 2 ( 2 3 ) 2 2 3 + 4 2 ( 2 3 ) 2
3 3 − 3 2 ( 3 4 ) 2 3 3 − 3 2 ( 3 4 ) 2
( 3 5 ) 2 ( 3 7 ) 2 ( 3 5 ) 2 ( 3 7 ) 2
( 3 4 ) 2 ( 5 8 ) 2 ( 3 4 ) 2 ( 5 8 ) 2
2 1 3 + 1 5 2 1 3 + 1 5
5 1 4 + 1 3 5 1 4 + 1 3
7 8 − 2 3 1 2 + 3 8 7 8 − 2 3 1 2 + 3 8
3 4 − 3 5 1 4 + 2 5 3 4 − 3 5 1 4 + 2 5
ਮਿਸ਼ਰਤ ਅਭਿਆਸ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਰਲ ਕਰੋ।
− 3 8 ÷ ( − 3 10 ) − 3 8 ÷ ( − 3 10 )
− 3 12 ÷ ( − 5 9 ) − 3 12 ÷ ( − 5 9 )
− 3 8 + 5 12 − 3 8 + 5 12
− 1 8 + 7 12 − 1 8 + 7 12
− 7 15 − y 4 − 7 15 − y 4
− 3 8 − x 11 − 3 8 − x 11
11 12 a · 9 a 16 11 12 a · 9 a 16
10 y 13 · 8 15 y 10 y 13 · 8 15 y
1 2 + 2 3 · 5 12 1 2 + 2 3 · 5 12
1 3 + 2 5 · 3 4 1 3 + 2 5 · 3 4
1 − 3 5 ÷ 1 10 1 − 3 5 ÷ 1 10
1 − 5 6 ÷ 1 12 1 − 5 6 ÷ 1 12
3 8 − 1 6 + 3 4 3 8 − 1 6 + 3 4
2 5 + 5 8 − 3 4 2 5 + 5 8 − 3 4
12 ( 9 20 − 4 15 ) 12 ( 9 20 − 4 15 )
8 ( 15 16 − 5 6 ) 8 ( 15 16 − 5 6 )
5 8 + 1 6 19 24 5 8 + 1 6 19 24
1 6 + 3 10 14 30 1 6 + 3 10 14 30
( 5 9 + 1 6 ) ÷ ( 2 3 − 1 2 ) ( 5 9 + 1 6 ) ÷ ( 2 3 − 1 2 )
( 3 4 + 1 6 ) ÷ ( 5 8 − 1 3 ) ( 3 4 + 1 6 ) ÷ ( 5 8 − 1 3 )
Evaluate Variable Expressions with Fractions
In the following exercises, evaluate.
710−w710−w whenⓐ w=12w=12 ⓑ w=−12w=−12
512−w512−w whenⓐ w=14w=14 ⓑ w=−14w=−14
2x2y32x2y3 whenx=−23x=−23 and y=−12y=−12
8u2v38u2v3 whenu=−34u=−34 and v=−12v=−12
a+ba−ba+ba−b whena=−3,b=8a=−3,b=8
r−sr+sr−sr+s whenr=10,s=−5r=10,s=−5
Writing Exercises
Why do you need a common denominator to add or subtract fractions? Explain.
How do you find the LCD of 2 fractions?
Explain how you find the reciprocal of a fraction.
Explain how you find the reciprocal of a negative number.
Self Check
ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.
ⓑ What does this checklist tell you about your mastery of this section? What steps will you take to improve?