ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਅਤੇ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਪਛਾਣ, ਉਲਟ ਅਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 1.5
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦਾ ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਐਲੀਮੈਂਟਰੀ ਅਲਜਬਰਾ 2e ਅਧਿਆਇ, ਫਾਊਂਡੇਸ਼ਨਜ਼ ਵਿੱਚ ਮਿਲ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਅਤੇ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਕ੍ਰਮ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 8+9 ਜਾਂ 9+8 ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਤੀਜੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ—ਦੋਵੇਂ 17 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, 8+9=9+8। ਜਿਸ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਉਸ ਨਾਲ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ!
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜਦੋਂ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਕ੍ਰਮ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 9·8 ਜਾਂ 8·9 ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਤੀਜੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ—ਦੋਵੇਂ 72 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, 9·8=8·9। ਜਿਸ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਉਸ ਨਾਲ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ!
ਇਹ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ
ਜਦੋਂ ਜੋੜਦੇ ਜਾਂ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਕ੍ਰਮ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਨਤੀਜਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਦਾ ਸੰਬੰਧ ਕ੍ਰਮ ਨਾਲ ਹੈ। ਅਸੀਂ 9−8 ਅਤੇ 8−9 ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 9−8≠8−9। ਕਿਉਂਕਿ ਘਟਾਓ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਨਤੀਜਾ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦਾ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਘਟਾਓ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਭਾਗ ਵੀ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ 12÷3≠3÷12, ਭਾਗ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਨਤੀਜਾ ਨਹੀਂ ਮਿਲਿਆ। ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਗੁਣ ਸਿਰਫ਼ ਜੋੜ ਅਤੇ ਗੁਣਾ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ!
ਜੋੜ ਅਤੇ ਗੁਣਾ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਹਨ।
ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਜਦੋਂ ਤਿੰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਨਤੀਜਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, (7+8)+2=7+(8+2), ਕਿਉਂਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ 17 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਇਹ ਗੁਣਾ ਲਈ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, (5·13)·3=5·(13·3), ਕਿਉਂਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ 5 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਇਹ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ
ਜਦੋਂ ਜੋੜਦੇ ਜਾਂ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਨਤੀਜਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਦਾ ਸੰਬੰਧ ਸਮੂਹ ਨਾਲ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਸਮੂਹਿਕ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਰਹੇਗਾ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਤਿੰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਇੱਕੋ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਹਨ—ਸਿਰਫ਼ ਸਮੂਹ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਵੱਖਰਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਨਹੀਂ ਸਨ। ਉਹ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਵੀ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਵਿਚਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾਈ ਜਾਵੇ। ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਲਿਖਣ ਲਈ ਜੋੜ ਦੇ ਕ੍ਰਮ-ਬਦਲੀ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.45
ਸਰਲ ਬਣਾਓ: 18p+6q+15p+5q.
ਹੱਲ
ਸਤਰ: 18p+6q+15p+5q
ਸਤਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰਮ-ਬਦਲੀ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | 18p+15p+6q+5q
ਸਤਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। | 33p+11q
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 1.89
ਸਰਲ ਬਣਾਓ: 23r+14s+9r+15s.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 1.90
ਸਰਲ ਬਣਾਓ: 37m+21n+4m−15n.
ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਪਹਿਲਾਂ ਕ੍ਰਮ-ਬਦਲੀ ਗੁਣ ਜਾਂ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.46
ਸਰਲ ਬਣਾਓ: (513+34)+14.
ਹੱਲ
ਸਤਰ: (513+34)+14
ਸਤਰ: ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਆਖਰੀ 2 ਪਦਾਂ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਮੂਹ ਬਦਲੋ। | 513+(34+14)
ਸਤਰ: ਪਹਿਲਾਂ ਬਰੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। | 513+(44)
ਸਤਰ: ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | 513+1
ਸਤਰ: ਜੋੜੋ। | 1513
ਸਤਰ: ਇੱਕ ਅਣਉਚਿਤ ਭਿੰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। | 1813
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 1.91
ਸਰਲ ਬਣਾਓ: (715+58)+38.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 1.92
ਸਰਲ ਕਰੋ: (29+712)+512.(29+712)+512.
ਸਮਾਨਤਾ, ਉਲਟ ਅਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ 0 ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? 0 ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ। ਇਸ ਕਾਰਨ, ਅਸੀਂ 0 ਨੂੰ ਜੋੜਾਤਮਕ ਤਤਸਮ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਜੋੜ ਦਾ ਤਤਸਮ ਗੁਣ ਜੋ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a ਲਈ, a+0=a ਅਤੇ 0+a=a।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? 1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ 1 ਨੂੰ ਗੁਣਾਤਮਕ ਤਤਸਮ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਗੁਣਾ ਦਾ ਤਤਸਮ ਗੁਣ ਜੋ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a ਲਈ, a·1=a ਅਤੇ 1·a=a।
ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਤਤਸਮ ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਤਤਸਮ ਗੁਣ
ਕਿਹੜੀ ਸੰਖਿਆ 5 ਵਿੱਚ ਜੋੜਨ 'ਤੇ ਜੋੜਾਤਮਕ ਤਤਸਮ, 0 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ
ਗੁੰਮ ਹੋਈ ਸੰਖਿਆ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਉਲਟ ਸੀ!
ਅਸੀਂ −a ਨੂੰ a ਦਾ ਜੋੜਾਤਮਕ ਉਲਟ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਉਲਟ ਉਸਦਾ ਜੋੜਾਤਮਕ ਉਲਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ ਉਸਦਾ ਉਲਟ ਜੋੜਨ 'ਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਜੋੜਾਤਮਕ ਤਤਸਮ ਹੈ। ਇਹ ਜੋੜ ਦੇ ਉਲਟ ਗੁਣ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a ਲਈ, a+(−a)=0।
ਕਿਹੜੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ 23 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਤਤਸਮ, 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, 23 ਨੂੰ ਕਿਸ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ
ਗੁੰਮ ਹੋਈ ਸੰਖਿਆ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਕਰ ਸੀ!
ਅਸੀਂ 1/a ਨੂੰ a ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਕਰ ਉਸਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਗੁਣਾ ਦੇ ਉਲਟ ਗੁਣ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a, a≠0 ਲਈ, a·(1/a)=1।
ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਉਲਟ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੱਸਾਂਗੇ।
ਉਲਟ ਗੁਣ
ਜੋੜ ਦਾ ਤਤਸਮ ਗੁਣ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ 0 ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਉਹੀ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ 0 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? 0 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਿਫ਼ਰ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨਾ? 0÷3 ਕੀ ਹੈ? ਇੱਕ ਅਸਲ ਉਦਾਹਰਨ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ: ਜੇਕਰ ਕੂਕੀ ਜਾਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਕੂਕੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ 3 ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀਆਂ ਕੂਕੀਆਂ ਮਿਲਦੀਆਂ ਹਨ? ਸਾਂਝਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਈ ਕੂਕੀ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀ ਨੂੰ 0 ਕੂਕੀਆਂ ਮਿਲਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, 0÷3=0।
ਅਸੀਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਗੁਣਾ ਤੱਥ ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 0÷3=0 ਕਿਉਂਕਿ 0·3=0।
ਹੁਣ ਸਿਫ਼ਰ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ। 4 ਨੂੰ 0 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਕੀ ਹੈ? ਸੰਬੰਧਿਤ ਗੁਣਾ ਤੱਥ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ:
ਕੀ ਕੋਈ ਅਜਿਹੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ 0 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ 4 ਮਿਲਦਾ ਹੈ? ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ 0 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ 0 ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਕੋਈ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ 4 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ 0 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 4÷0 ਦਾ ਕੋਈ ਜਵਾਬ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 0 ਨਾਲ ਭਾਗ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਗੁਣ
ਸਿਫ਼ਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ: ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a ਲਈ,
a·0=0, 0·a=0। ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ 0 ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਿਫ਼ਰ ਨਾਲ ਭਾਗ: ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a, a≠0 ਲਈ,
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਸਰਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਛਾਣਾਂ, ਉਲਟਾਂ, ਅਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦਾ ਅਭਿਆਸ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.47
ਸਰਲ ਕਰੋ: −84n+(−73n)+84n.
ਹੱਲ
ਸਤਰ: −84n+(−73n)+84n
ਸਤਰ: ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਪਦ ਵਿਰੋਧੀ ਹਨ; ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ-ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਜੋੜ ਦੇ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | −84n+84n+(−73n)
ਸਤਰ: ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਜੋੜੋ। | 0+(−73n)
ਸਤਰ: ਜੋੜੋ। | −73n
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 1.93
ਸਰਲ ਕਰੋ: −27a+(−48a)+27a.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 1.94
ਸਰਲ ਕਰੋ: 39x+(−92x)+(−39x).
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਉਲਟਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਮਦਦਗਾਰ ਹੈ। ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਉਲਟਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ—ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.48
ਸਰਲ ਕਰੋ: 715·823·157.
ਹੱਲ
ਸਤਰ: 715·823·157
ਸਤਰ: ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਪਦ ਉਲਟ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਗੁਣਾ ਦੇ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ-ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰੋ। | 715·157·823
ਸਤਰ: ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 1·823
ਸਤਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 823
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 1.95
ਸਰਲ ਕਰੋ: 916·549·169.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 1.96
ਸਰਲ ਕਰੋ: 617·1125·176.
The next example makes us aware of the distinction between dividing 0 by some number or some number being divided by 0.
Example 1.49
Simplify: ⓐ 0n+5,0n+5, where n≠−5n≠−5 ⓑ 10−3p0,10−3p0, where 10−3p≠0.10−3p≠0.
Solution
ⓐ 0n+5 Zero divided by any real number except itself is 0.0 0n+5 Zero divided by any real number except itself is 0.0
ⓑ 10−3p0 Division by 0 is undefined.undefined 10−3p0 Division by 0 is undefined.undefined
Try It 1.97
Simplify: ⓐ 0m+7,0m+7, where m≠−7m≠−7 ⓑ 18−6c0,18−6c0, where 18−6c≠0.18−6c≠0.
Try It 1.98
Simplify: ⓐ 0d−4,0d−4, where d≠4d≠4 ⓑ 15−4q0,15−4q0, where 15−4q≠0.15−4q≠0.
Simplify Expressions Using the Distributive Property
Suppose that three friends are going to the movies. They each need $9.25—that’s 9 dollars and 1 quarter—to pay for their tickets. How much money do they need all together?
You can think about the dollars separately from the quarters. They need 3 times $9 so $27 and 3 times 1 quarter, so 75 cents. In total, they need $27.75. If you think about doing the math in this way, you are using the Distributive Property.
Distributive Property
Ifa,b,andcare real numbers, thena(b+c)=ab+ac (b+c)a=ba+ca a(b−c)=ab−ac (b−c)a=ba−ca Ifa,b,andcare real numbers, thena(b+c)=ab+ac (b+c)a=ba+ca a(b−c)=ab−ac (b−c)a=ba−ca
In algebra, we use the Distributive Property to remove parentheses as we simplify expressions.
Example 1.50
Simplify: 3(x+4).3(x+4).
Solution
row: 3(x+4)3(x+4)
row: Distribute. | 3·x+3·43·x+3·4
row: Multiply. | 3x+123x+12
Try It 1.99
Simplify: 4(x+2).4(x+2).
1. ਇਸ ਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 1.100
2. ਸਰਲ ਕਰੋ: 6(x+7).6(x+7).
3. ਕੁਝ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੂੰ ਵਿਤਰਨਯੋਗਤਾ ਦੇ ਗੁਣ ਨੂੰ ਵਰਤਣ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਲਈ ਤੀਰ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦਗਾਰ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਉਦਾਹਰਨ 1.50 ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ:
4. ਉਦਾਹਰਨ 1.51
5. ਸਰਲ ਕਰੋ: 8(38x+14).8(38x+14).
6. ਹੱਲ
7. ਕਤਾਰ: ਵਿਤਰਨ ਕਰੋ।
8. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
9. ਇਸ ਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 1.101
10. ਸਰਲ ਕਰੋ: 6(56y+12).6(56y+12).
11. ਇਸ ਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 1.102
12. ਸਰਲ ਕਰੋ: 12(13n+34).12(13n+34).
13. ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਵਿਤਰਨਯੋਗਤਾ ਦੇ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਬਹੁਤ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋਵੇਗਾ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਅਧਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਪੈਸੇ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 1.52
15. ਸਰਲ ਕਰੋ: 100(0.3+0.25q).100(0.3+0.25q).
16. ਹੱਲ
17. ਕਤਾਰ: ਵਿਤਰਨ ਕਰੋ।
18. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
19. ਇਸ ਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 1.103
20. ਸਰਲ ਕਰੋ: 100(0.7+0.15p).100(0.7+0.15p).
21. ਇਸ ਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 1.104
22. ਸਰਲ ਕਰੋ: 100(0.04+0.35d).100(0.04+0.35d).
23. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨੈਗੇਟਿਵ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਵਿਤਰਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਨਿਸ਼ਾਨਾਂ ਨੂੰ ਸਹੀ ਕਰਨ ਲਈ ਵਾਧੂ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹਿਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ!
24. ਉਦਾਹਰਨ 1.53
ਸਰਲ ਕਰੋ: −11(4−3a)−11(4−3a).
ਹੱਲ
ਸਤਰ: −11(4−3a)−11(4−3a)
ਸਤਰ: ਵੰਡੋ। | −11·4−(−11)·3a−11·4−(−11)·3a
ਸਤਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | −44−(−33a)−44−(−33a)
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | −44+33a−44+33a
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ 33a−44.33a−44 ਵੀ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿਉਂ?
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 1.105
ਸਰਲ ਕਰੋ: −5(2−3a).−5(2−3a).
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 1.106
ਸਰਲ ਕਰੋ: −7(8−15y).−7(8−15y).
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵਿਰੋਧੀ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.54
ਸਰਲ ਕਰੋ: −(y+5).−(y+5).
ਹੱਲ
ਸਤਰ: −(y+5)−(y+5)
ਸਤਰ: −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਵਿਰੋਧੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। | −1(y+5)−1(y+5)
ਸਤਰ: ਵੰਡੋ। | −1·y+(−1)·5−1·y+(−1)·5
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | −y+(−5)−y+(−5)
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | −y−5−y−5
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 1.107
ਸਰਲ ਕਰੋ: −(z−11).−(z−11).
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 1.108
ਸਰਲ ਕਰੋ: −(x−4).−(x−4).
ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਵਜੋਂ ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ (Distributive Property) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। ਪਹਿਲਾਂ ਕੋਠਕਾਂ (parentheses) ਵੱਲ ਦੇਖੋ। ਜੇਕਰ ਕੋਠਕਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸਰਲ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਤਾਂ ਅਗਲਾ ਕਦਮ ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਜੋ ਕੋਠਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅਗਲੀਆਂ ਦੋ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਇਸ ਨੂੰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰਨਗੀਆਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.55
ਸਰਲ ਕਰੋ: 8−2(x+3)8−2(x+3)
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਗੁਣਾ ਘਟਾਓ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਆਉਂਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ 2 ਨੂੰ ਵੰਡਾਂਗੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਘਟਾਵਾਂਗੇ।
ਸਤਰ: 8−2(x+3)8−2(x+3)
ਸਤਰ: ਵੰਡੋ। | 8−2·x−2·38−2·x−2·3
ਸਤਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 8−2x−68−2x−6
ਸਤਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। | −2x+2−2x+2
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 1.109
ਸਰਲ ਕਰੋ: 9−3(x+2).9−3(x+2).
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 1.110
ਸਰਲ ਕਰੋ: 7x−5(x+4).7x−5(x+4).
ਉਦਾਹਰਨ 1.56
ਸਰਲ ਕਰੋ: 4(x−8)−(x+3).4(x−8)−(x+3).
ਹੱਲ
ਸਤਰ: 4(x−8)−(x+3)4(x−8)−(x+3)
ਸਤਰ: ਵੰਡੋ। | 4x−32−x−34x−32−x−3
ਸਤਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। | 3x−353x−35
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 1.111
ਸਰਲ ਕਰੋ: 6(x−9)−(x+12).6(x−9)−(x+12).
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 1.112
ਸਰਲ ਕਰੋ: 8(x−1)−(x+5).8(x−1)−(x+5).
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਾਰੇ ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਇੱਥੇ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
1. ਗੁਣਨ-ਧਰਮ: ਜੋੜ ਜਾਂ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਕ੍ਰਮ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਜੋੜ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਸਮਾਨ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ a, b ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ a+b=b+a ਗੁਣਾ ਦਾ ਜੇਕਰ a, b ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ a·b=b·a
2. ਸਹਿਚਰ ਧਰਮ: ਜੋੜ ਜਾਂ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਸਮੂਹ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਨਤੀਜਾ ਸਮਾਨ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਜੋੜ ਦਾ ਜੇਕਰ a, b, ਅਤੇ c ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ (a+b)+c=a+(b+c) ਗੁਣਾ ਦਾ ਜੇਕਰ a, b, ਅਤੇ c ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ (a·b)·c=a·(b·c)
3. ਵੰਡ ਧਰਮ: ਜੇਕਰ a, b, ਅਤੇ c ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ a(b+c)=ab+ac (b+c)a=ba+ca a(b−c)=ab−ac (b−c)a=ba−ca
4. ਤਤਸਮ ਧਰਮ: ਜੋੜ ਦਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ a ਲਈ: a+0=a 0 ਜੋੜ ਦਾ ਤਤਸਮ ਹੈ 0+a=a ਗੁਣਾ ਦਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ a ਲਈ: a·1=a 1 ਗੁਣਾ ਦਾ ਤਤਸਮ ਹੈ 1·a=a
5. ਉਲਟ ਧਰਮ: ਜੋੜ ਦਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ a ਲਈ: a+(−a)=0 −a, a ਦਾ ਜੋੜਾਤਮਕ ਉਲਟ ਹੈ। ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ ਉਸਦਾ ਵਿਰੋਧੀ ਜੋੜਨ 'ਤੇ ਸਿਫਰ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਾ ਦਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ a ਲਈ, a≠0, a·(1/a)=1 1/a, a ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਹੈ। ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ ਉਸਦਾ ਵਟਾਂਦਰਾ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਣਦਾ ਹੈ।
6. ਸਿਫਰ ਦੇ ਧਰਮ: ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ a ਲਈ: a·0=0 0·a=0 ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ a ਲਈ, a≠0, 0/a=0 ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ a ਲਈ, a/0 ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ।
7. ਅਭਿਆਸ ਨਾਲ ਸਿੱਧੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
8. ਗੁਣਨ-ਧਰਮ ਅਤੇ ਸਹਿਚਰ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
9. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਰਲ ਕਰੋ।
10. 43 m + ( −12 n ) + ( −16 m ) + ( −9 n )
11. −22 p + 17 q + ( −35 p ) + ( −27 q )
12. 3/8 g + 1/12 h + 7/8 g + 5/12 h
13. 5/6 a + 3/10 b + 1/6 a + 9/10 b
14. 6.8 p + 9.14 q + ( −4.37 p ) + ( −0.88 q )
15. 9.6 m + 7.22 n + ( −2.19 m ) + ( −0.65 n )
16. −24 · 7 · 3/8
17. −36 · 11 · 4/9
18. ( 5/6 + 8/15 ) + 7/15
19. ( 11/12 + 4/9 ) + 5/9
20. 17 ( 0.25 ) ( 4 )
21. 36 ( 0.2 ) ( 5 )
22. [ 2.48 ( 12 ) ] ( 0.5 )
23. [ 9.731 ( 4 ) ] ( 0.75 )
24. 12 ( 5/6 p )
20 ( 3 5 q ) 20 ( 3 5 q )
ਸਮਾਨਤਾ, ਉਲਟ ਅਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਰਲ ਕਰੋ।
19 a + 44 − 19 a 19 a + 44 − 19 a
27 c + 16 − 27 c 27 c + 16 − 27 c
1 2 + 7 8 + ( − 1 2 ) 1 2 + 7 8 + ( − 1 2 )
2 5 + 5 12 + ( − 2 5 ) 2 5 + 5 12 + ( − 2 5 )
10 ( 0.1 d ) 10 ( 0.1 d )
100 ( 0.01 p ) 100 ( 0.01 p )
3 20 · 49 11 · 20 3 3 20 · 49 11 · 20 3
13 18 · 25 7 · 18 13 13 18 · 25 7 · 18 13
0u−4.99,0u−4.99, ਜਿੱਥੇ u≠4.99u≠4.99
0÷(y−16),0÷(y−16), ਜਿੱਥੇ x≠16x≠16
32−5a0,32−5a0, ਜਿੱਥੇ 32−5a≠032−5a≠0
28−9b0,28−9b0, ਜਿੱਥੇ 28−9b≠028−9b≠0
(34+910m)÷0,(34+910m)÷0, ਜਿੱਥੇ 34+910m≠034+910m≠0
(516n−37)÷0,(516n−37)÷0, ਜਿੱਥੇ 516n−37≠0516n−37≠0
ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦੇ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦੇ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਕਰੋ।
8 ( 4 y + 9 ) 8 ( 4 y + 9 )
9 ( 3 w + 7 ) 9 ( 3 w + 7 )
6 ( c − 13 ) 6 ( c − 13 )
7 ( y − 13 ) 7 ( y − 13 )
1 4 ( 3 q + 12 ) 1 4 ( 3 q + 12 )
੧੫ ( ੪ m + ੨੦ ) ੧੫ ( ੪ m + ੨੦ )
੯ ( ੫ ੯ y − ੧੩ ) ੯ ( ੫ ੯ y − ੧੩ )
੧੦ ( ੩ ੧੦ x − ੨੫ ) ੧੦ ( ੩ ੧੦ x − ੨੫ )
੧੨ ( ੧੪ + ੨੩ r ) ੧੨ ( ੧੪ + ੨੩ r )
੧੨ ( ੧੬ + ੩੪ s ) ੧੨ ( ੧੬ + ੩੪ s )
੧੫ · ੩੫ ( ੪ d + ੧੦ ) ੧੫ · ੩੫ ( ੪ d + ੧੦ )
੧੮ · ੫੬ ( ੧੫ h + ੨੪ ) ੧੮ · ੫੬ ( ੧੫ h + ੨੪ )
r ( s − ੧੮ ) r ( s − ੧੮ )
u ( v − ੧੦ ) u ( v − ੧੦ )
( y + ੪ ) p ( y + ੪ ) p
( a + ੭ ) x ( a + ੭ ) x
−੭ ( ੪ p + ੧ ) −੭ ( ੪ p + ੧ )
−੯ ( ੯ a + ੪ ) −੯ ( ੯ a + ੪ )
−੩ ( x − ੬ ) −੩ ( x − ੬ )
−੪ ( q − ੭ ) −੪ ( q − ੭ )
− ( ੩ x − ੭ ) − ( ੩ x − ੭ )
− ( ੫ p − ੪ ) − ( ੫ p − ੪ )
੧੬ − ੩ ( y + ੮ ) ੧੬ − ੩ ( y + ੮ )
੧੮ − ੪ ( x + ੨ ) ੧੮ − ੪ ( x + ੨ )
੪ − ੧੧ ( ੩ c − ੨ ) ੪ − ੧੧ ( ੩ c − ੨ )
੯ − ੬ ( ੭ n − ੫ ) ੯ − ੬ ( ੭ n − ੫ )
੨੨ − ( a + ੩ ) ੨੨ − ( a + ੩ )
੮ − ( r − ੭ ) ੮ − ( r − ੭ )
( ੫ m − ੩ ) − ( m + ੭ ) ( ੫ m − ੩ ) − ( m + ੭ )
( 4 y − 1 ) − ( y − 2 ) ( 4 y − 1 ) − ( y − 2 )
9 ( 8 x − 3 ) − ( −2 ) 9 ( 8 x − 3 ) − ( −2 )
4 ( 6 x − 1 ) − ( −8 ) 4 ( 6 x − 1 ) − ( −8 )
5 ( 2 n + 9 ) + 12 ( n − 3 ) 5 ( 2 n + 9 ) + 12 ( n − 3 )
9 ( 5 u + 8 ) + 2 ( u − 6 ) 9 ( 5 u + 8 ) + 2 ( u − 6 )
14 ( c − 1 ) − 8 ( c − 6 ) 14 ( c − 1 ) − 8 ( c − 6 )
11 ( n − 7 ) − 5 ( n − 1 ) 11 ( n − 7 ) − 5 ( n − 1 )
6 ( 7 y + 8 ) − ( 30 y − 15 ) 6 ( 7 y + 8 ) − ( 30 y − 15 )
7 ( 3 n + 9 ) − ( 4 n − 13 ) 7 ( 3 n + 9 ) − ( 4 n − 13 )
Writing Exercises
In your own words, state the Associative Property of addition.
What is the difference between the additive inverse and the multiplicative inverse of a number?
Simplify 8(x−14)8(x−14) using the Distributive Property and explain each step.
Explain how you can multiply 4($5.97)4($5.97) without paper or calculator by thinking of $5.97$5.97 as 6−0.036−0.03 and then using the Distributive Property.
Self Check
ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.
ⓑ After reviewing this checklist, what will you do to become confident for all objectives?