ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ (slope) ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਢਲਾਣ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਅਤੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (intercept) ਵਰਤ ਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਤਰੀਕਾ ਚੁਣਨਾ
ਢਲਾਣ-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (slope-intercept) ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨੀ
ਸਮਾਂਤਰ (parallel) ਅਤੇ ਲੰਬ (perpendicular) ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਢਲਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ
ਤਿਆਰੀ 3.4
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
ਸਰਲ ਕਰੋ: (1–4)(8−2)। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਵਾਲ ਗਲਤ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.30 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 3.5
ਭਾਗ ਕਰੋ: 04,40। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਵਾਲ ਗਲਤ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.49 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 3.6
ਸਰਲ ਕਰੋ: 15−3,−153। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਵਾਲ ਗਲਤ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.30 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (linear equations) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਕੁਝ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਜਾਂਦੇ ਹੋਏ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਝੁਕਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਕੁਝ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਝੁਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਕੁਝ ਰੇਖਾਵਾਂ ਬਹੁਤ ਖੜ੍ਹੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਕੁਝ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਧੇਰੇ ਸਮਤਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਖੜ੍ਹਾਈ ਦਾ ਮਾਪ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ (slope) ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਢਲਾਣ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੇ ਅਸਲ ਸੰਸਾਰ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਉਪਯੋਗ ਹਨ। ਉਸਾਰੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਛੱਤ ਦੀ ਢਲਾਣ, ਪਲੰਬਿੰਗ ਪਾਈਪਾਂ ਦਾ ਝੁਕਾਅ, ਅਤੇ ਪੌੜੀਆਂ ਦੀ ਖੜ੍ਹਾਈ ਸਾਰੇ ਢਲਾਣ ਦੇ ਉਪਯੋਗ ਹਨ। ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਪਹਾੜੀ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਸਕੀਇੰਗ ਜਾਂ ਜੋਗਿੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਢਲਾਣ ਦਾ ਅਨੁਭਵ ਕਰਦੇ ਹੋ।
ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਣ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਲਈ ਉੱਠਣ (rise) ਅਤੇ ਦੌੜ (run) ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉੱਠਣ ਉਹ ਮਾਤਰਾ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ ਲੰਬਕਾਰੀ ਦੂਰੀ ਬਦਲਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿ ਦੌੜ ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਮਾਪਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਸ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਢਲਾਣ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਇੱਕ ਦਰ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 3.5 ਦੇਖੋ।
ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ
ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ m=ਉੱਠਣ/ਦੌੜ ਹੈ।
ਉੱਠਣ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦੌੜ ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਮਾਪਦੀ ਹੈ।
ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ (integers) ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤਿਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਸਿਖਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਖੜ੍ਹਵੇਂ ਅਤੇ ਪੱਧਰੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਦੂਰੀ ਮਾਪਦੇ ਹਾਂ। ਖੜ੍ਹਵੀਂ ਦੂਰੀ ਨੂੰ 'ਉੱਠਾਣ' (rise) ਅਤੇ ਪੱਧਰੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ 'ਦੌੜ' (run) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ,
ਕਿਵੇਂ
ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰੋ, m=ਉੱਠਾਣ/ਦੌੜ।
ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ। ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਦੋ ਅਜਿਹੇ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਣ।
ਦੂਜਾ ਕਦਮ। ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ, ਪਹਿਲੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਜਾਂਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਾਓ।
ਤੀਜਾ ਕਦਮ। ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਉੱਠਾਣ ਅਤੇ ਦੌੜ ਨੂੰ ਗਿਣੋ।
ਚੌਥਾ ਕਦਮ। ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਉੱਠਾਣ ਅਤੇ ਦੌੜ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲਓ: m=ਉੱਠਾਣ/ਦੌੜ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.12
ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਤਾਰ: ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਦੋ ਅਜਿਹੇ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਣ। | (0,5) ਅਤੇ (3,3)
ਕਤਾਰ: (0,5) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ, ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ (3,3) ਤੱਕ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਾਓ।
ਕਤਾਰ: ਉੱਠਾਣ ਨੂੰ ਗਿਣੋ— ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਇਹ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। | ਉੱਠਾਣ −2 ਹੈ।
ਕਤਾਰ: ਦੌੜ ਨੂੰ ਗਿਣੋ। | ਦੌੜ 3 ਹੈ।
ਕਤਾਰ: ਢਲਾਣ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | m=ਉੱਠਾਣ/ਦੌੜ
ਕਤਾਰ: ਉੱਠਾਣ ਅਤੇ ਦੌੜ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | m=−2/3
ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | m=−2/3
ਕਤਾਰ: ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ −2/3 ਹੈ।
ਕਤਾਰ: ਇਸ ਲਈ ਜਦੋਂ x 3 ਇਕਾਈਆਂ ਵੱਧਦਾ ਹੈ ਤਾਂ y 2 ਇਕਾਈਆਂ ਘਟਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 3.23
ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 3.24
ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਢਲਾਣ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ? ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ, y=4, ਦੀ ਢਲਾਣ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਉੱਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਉੱਠਾਣ ਅਤੇ ਦੌੜ ਨੂੰ ਗਿਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
1. ਪੰਕਤੀ: ਉੱਠਾਣ ਕੀ ਹੈ? | ਉੱਠਾਣ 0 ਹੈ।
2. ਪੰਕਤੀ: ਦੌੜ ਕੀ ਹੈ? | ਦੌੜ 3 ਹੈ।
3. ਪੰਕਤੀ: ਢਲਾਣ ਕੀ ਹੈ? | m=ਉੱਠਾਣ/ਦੌੜm=ਉੱਠਾਣ/ਦੌੜ
4. m=03m=03
5. m=0m=0
6. y=4y=4 ਵਾਲੀ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ 0 ਹੈ।y=4y=4 ਵਾਲੀ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ 0 ਹੈ।
7. ਆਓ ਆਪਾਂ ਇੱਕ ਖੜਵੀਂ ਰੇਖਾ, x=3x=3, ਜਿਸਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਸਤੇ ਵੀ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।
8. ਪੰਕਤੀ: ਉੱਠਾਣ ਕੀ ਹੈ? | ਉੱਠਾਣ 2 ਹੈ।
9. ਪੰਕਤੀ: ਦੌੜ ਕੀ ਹੈ? | ਦੌੜ 0 ਹੈ।
10. ਪੰਕਤੀ: ਢਲਾਣ ਕੀ ਹੈ? | m=ਉੱਠਾਣ/ਦੌੜm=ਉੱਠਾਣ/ਦੌੜ
11. m=20m=20
12. ਢਲਾਣ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਿਫਰ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਖੜਵੀਂ ਰੇਖਾ x=3x=3 ਦੀ ਢਲਾਣ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ।
13. ਸਾਰੀਆਂ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਢਲਾਣ 0 ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ y-ਸਮਨਿਯਮ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉੱਠਾਣ 0 ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
14. ਕਿਸੇ ਵੀ ਖੜਵੀਂ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਰੇਖਾ ਦੇ x-ਸਮਨਿਯਮ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਦੌੜ 0 ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
15. ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਖੜਵੀਂ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ
16. ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ, y=b,y=b, ਦੀ ਢਲਾਣ 0 ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
17. ਖੜਵੀਂ ਰੇਖਾ, x=a,x=a, ਦੀ ਢਲਾਣ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
18. ਉਦਾਹਰਨ 3.13
19. ਹਰੇਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰੋ: ⓐ x=8x=8 ⓑ y=−5.y=−5.
20. ਹੱਲ
21. ⓐ x=8x=8 ਇਹ ਇੱਕ ਖੜਵੀਂ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਢਲਾਣ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ⓑ y=−5y=−5 ਇਹ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਢਲਾਣ 0 ਹੈ।
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 3.25
23. ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰੋ: x=−4.x=−4.
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 3.26
Find the slope of the line: y=7.y=7.
Quick Guide to the Slopes of Lines
Sometimes we’ll need to find the slope of a line between two points when we don’t have a graph to count out the rise and the run. We could plot the points on grid paper, then count out the rise and the run, but as we’ll see, there is a way to find the slope without graphing. Before we get to it, we need to introduce some algebraic notation.
We have seen that an ordered pair (x,y)(x,y) gives the coordinates of a point. But when we work with slopes, we use two points. How can the same symbol (x,y)(x,y) be used to represent two different points? Mathematicians use subscripts to distinguish the points.
We will use (x1,y1)(x1,y1) to identify the first point and (x2,y2)(x2,y2) to identify the second point.
If we had more than two points, we could use (x3,y3),(x3,y3),(x4,y4),(x4,y4), and so on.
Let’s see how the rise and run relate to the coordinates of the two points by taking another look at the slope of the line between the points (2,3)(2,3) and (7,6),(7,6), as shown in this graph.
row: Since we have two points, we will use subscript notation. | (2,x1,3y1)(7,6x2,y2)(2,x1,3y1)(7,6x2,y2)
row: m=riserunm=riserun
row: On the graph, we counted the rise of 3 and the run of 5. | m=35m=35
row: Notice that the rise of 3 can be found by subtracting they-coordinates, 6 and 3, and the run of 5 can be found bysubtracting the x-coordinates 7 and 2.
row: We rewrite the rise and run by putting in the coordinates. | m=6−37−2m=6−37−2
row: But 6 is y2,y2, the y-coordinate of the second point and 3 is y1,y1, the y-coordinateof the first point. So we can rewrite the slope using subscript notation. | m=y2−y17−2m=y2−y17−2
row: Also 7 is the x-coordinate of the second point and 2 is the x-coordinateof the first point. So again we rewrite the slope using subscript notation. | m=y2−y1x2−x1m=y2−y1x2−x1
We’ve shown that m=y2−y1x2−x1m=y2−y1x2−x1 is really another version of m=riserun.m=riserun. We can use this formula to find the slope of a line when we have two points on the line.
Slope of a line between two points
The slope of the line between two points (x1,y1)(x1,y1) and (x2,y2)(x2,y2) is:
The slope is:
Example 3.14
Use the slope formula to find the slope of the line through the points (−2,−3)(−2,−3) and (−7,4).(−7,4).
Solution
row: We’ll call (−2,−3)(−2,−3) point #1 and (−7,4)(−7,4) point #2. | (x1,y1−2,−3)(x2,y2−7,4)(x1,y1−2,−3)(x2,y2−7,4)
row: Use the slope formula. | m=y2−y1x2−x1m=y2−y1x2−x1
row: Substitute the values.yy of the second point minus yy of the first point
ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ xx ਵਿੱਚੋਂ ਪਹਿਲੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ xx ਨੂੰ ਘਟਾਓ | m=4−(−3)−7−(−2)m=4−(−3)−7−(−2)
ਸਰਲ ਕਰੋ। | m=7−5m=−75m=7−5m=−75
ਆਓ ਇਸ ਢਲਾਣ ਨੂੰ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਪਰਖੀਏ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 3.27
ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਜੋੜੇ: (−3,4)(−3,4) ਅਤੇ (2,−1).(2,−1) ਰਾਹੀਂ ਬਣਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਢਲਾਣ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 3.28
ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਜੋੜੇ: (−2,6)(−2,6) ਅਤੇ (−3,−4).(−3,−4) ਰਾਹੀਂ ਬਣਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਢਲਾਣ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਢਲਾਣ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ, ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਕੇ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਇਆ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਵੀ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਹੋਵੇ। ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਰੇਖਾ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਢਲਾਣ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.15
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਢਲਾਣ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਕਿਵੇਂ ਬਣਾਇਆ ਜਾਵੇ
ਬਿੰਦੂ (1,−1)(1,−1) ਰਾਹੀਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਜਿਸਦੀ ਢਲਾਣ m=34.m=34 ਹੈ।
ਹੱਲ
ਤੁਸੀਂ ਤੀਜੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਲੱਭ ਕੇ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਕਿਉਂਕਿ ਢਲਾਣ m=34,m=34 ਹੈ, ਇਸਨੂੰ m=−3−4m=−3−4 (ਰਿਣ ਨੂੰ ਰਿਣ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ 'ਤੇ ਧਨ ਆਉਂਦਾ ਹੈ!) ਵਜੋਂ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। (1,−1)(1,−1) 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਓ ਅਤੇ ਉੱਠਣ (rise), −3,−3, ਅਤੇ ਦੌੜ (run), −4.−4, ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 3.29
ਬਿੰਦੂ (2,−2)(2,−2) ਰਾਹੀਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਜਿਸਦੀ ਢਲਾਣ m=43.m=43 ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 3.30
ਬਿੰਦੂ (−2,3)(−2,3) ਰਾਹੀਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਜਿਸਦੀ ਢਲਾਣ m=14.m=14 ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਢਲਾਣ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਕਦਮ 1. ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 2. ਉੱਠਣ (rise) ਅਤੇ ਦੌੜ (run) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਢਲਾਣ ਫਾਰਮੂਲੇ m=riserunm=riserun ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 3. ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ, ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਉੱਠਣ (rise) ਅਤੇ ਦੌੜ (run) ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰੋ।
Step 4. Connect the points with a line.
Graph a Line Using its Slope and Intercept
We have graphed linear equations by plotting points, using intercepts, recognizing horizontal and vertical lines, and using one point and the slope of the line. Once we see how an equation in slope–intercept form and its graph are related, we’ll have one more method we can use to graph lines.
See Figure 3.6. Let’s look at the graph of the equation y=12x+3y=12x+3 and find its slope and y-intercept.
The red lines in the graph show us the rise is 1 and the run is 2. Substituting into the slope formula:
The y-intercept is (0,3).(0,3).
Look at the equation of this line.
Look at the slope and y-intercept.
When a linear equation is solved for y, the coefficient of the x term is the slope and the constant term is the y-coordinate of the y-intercept. We say that the equation y=12x+3y=12x+3 is in slope–intercept form. Sometimes the slope–intercept form is called the “y-form.”
Slope Intercept Form of an Equation of a Line
The slope–intercept form of an equation of a line with slope m and y-intercept, (0,b)(0,b) is y=mx+b.y=mx+b.
Let’s practice finding the values of the slope and y-intercept from the equation of a line.
Example 3.16
Identify the slope and y-intercept of the line from the equation:
ⓐ y=−47x−2y=−47x−2 ⓑ x+3y=9x+3y=9
Solution
ⓐ We compare our equation to the slope–intercept form of the equation.
row: Write the slope–intercept form of the equation of the line.
row: Write the equation of the line.
row: Identify the slope.
row: Identify the y-intercept.
ⓑ When an equation of a line is not given in slope–intercept form, our first step will be to solve the equation for y.
row: Solve for y. | x+3y=9x+3y=9
row: Subtract x from each side.
1. ਦੋਹਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ 3 ਨਾਲ਼ ਵੰਡੋ।
2. ਸਰਲ ਕਰੋ।
3. ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਢਲਾਣ-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਰੂਪ ਲਿਖੋ।
4. ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
5. ਢਲਾਣ ਪਛਾਣੋ।
6. y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਛਾਣੋ।
7. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 3.31
8. ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਢਲਾਣ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਛਾਣੋ।
9. ⓐ y=25x−1 ⓑ x+4y=8
10. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 3.32
11. ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਢਲਾਣ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਛਾਣੋ।
12. ⓐ y=−43x+1 ⓑ 3x+2y=12
13. ਅਸੀਂ ਢਲਾਣ ਅਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਇਆ ਹੈ। ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਉਸਦੀ ਢਲਾਣ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣਾ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ ਵਜੋਂ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉੱਥੋਂ ਢਲਾਣ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 3.17
15. ਸਮੀਕਰਨ y=−x+4 ਦੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਉਸਦੀ ਢਲਾਣ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
16. ਹੱਲ
17. y=mx+b
18. ਸਮੀਕਰਨ ਢਲਾਣ-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। | y=−x+4
19. ਢਲਾਣ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਛਾਣੋ। | m=−1 y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,4) ਹੈ।
20. y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ। | ਗ੍ਰਾਫ ਦੇਖੋ।
21. ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਵਾਧਾ (rise) ਅਤੇ ਖੱਬੇ/ਸੱਜੇ ਵੱਲ ਵਾਧਾ (run) ਪਛਾਣੋ। | m=−1/1
22. ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹਤ ਕਰਨ ਲਈ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਵਾਧਾ ਅਤੇ ਖੱਬੇ/ਸੱਜੇ ਵੱਲ ਵਾਧਾ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰੋ। | ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਵਾਧਾ -1, ਖੱਬੇ/ਸੱਜੇ ਵੱਲ ਵਾਧਾ 1
23. ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੋ।
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 3.33
Graph the line of the equation y=−x−3y=−x−3 using its slope and y-intercept.
Try It 3.34
Graph the line of the equationy=−x−1y=−x−1 using its slope and y-intercept.
Now that we have graphed lines by using the slope and y-intercept, let’s summarize all the methods we have used to graph lines.
Choose the Most Convenient Method to Graph a Line
Now that we have seen several methods we can use to graph lines, how do we know which method to use for a given equation?
While we could plot points, use the slope–intercept form, or find the intercepts for any equation, if we recognize the most convenient way to graph a certain type of equation, our work will be easier.
Generally, plotting points is not the most efficient way to graph a line. Let’s look for some patterns to help determine the most convenient method to graph a line.
Here are five equations we graphed in this chapter, and the method we used to graph each of them.
Equations #1 and #2 each have just one variable. Remember, in equations of this form the value of that one variable is constant; it does not depend on the value of the other variable. Equations of this form have graphs that are vertical or horizontal lines.
In equations #3 and #4, both x and y are on the same side of the equation. These two equations are of the form Ax+By=C.Ax+By=C. We substituted y=0y=0 to find the x- intercept and x=0x=0 to find the y-intercept, and then found a third point by choosing another value for x or y.
Equation #5 is written in slope–intercept form. After identifying the slope and y-intercept from the equation we used them to graph the line.
This leads to the following strategy.
Strategy for Choosing the Most Convenient Method to Graph a Line
Consider the form of the equation.
If it only has one variable, it is a vertical or horizontal line. x=ax=a is a vertical line passing through the x-axis at a. y=by=b is a horizontal line passing through the y-axis at b.
If y is isolated on one side of the equation, in the form y=mx+b,y=mx+b, graph by using the slope and y-intercept. Identify the slope and y-intercept and then graph.
If the equation is of the form Ax+By=C,Ax+By=C, find the intercepts. Find the x- and y-intercepts, a third point, and then graph.
Example 3.18
Determine the most convenient method to graph each line:
ⓐ y=5y=5 ⓑ 4x−5y=204x−5y=20 ⓒ x=−3x=−3 ⓓ y=−59x+8y=−59x+8
Solution
ⓐ y=5y=5 This equation has only one variable, y. Its graph is a horizontal line crossing the y-axis at 55. ⓑ 4x−5y=204x−5y=20 This equation is of the form Ax+By=C.Ax+By=C. The easiest way to graph it will be to find the intercepts and one more point. ⓒ x=−3x=−3 There is only one variable, x. The graph is a vertical line crossing the x-axis at−3.−3. ⓓ y=−59x+8y=−59x+8 Since this equation is in y=mx+by=mx+b form, it will be easiest to graph this line by using the slope and y-intercepts.
Try It 3.35
Determine the most convenient method to graph each line:
ⓐ 3x+2y=123x+2y=12 ⓑ y=4y=4 ⓒ y=15x−4y=15x−4 ⓓ x=−7.x=−7.
Try It 3.36
Determine the most convenient method to graph each line:
ⓐ x=6x=6 ⓑ y=−34x+1y=−34x+1 ⓒ y=−8y=−8 ⓓ 4x−3y=−1.4x−3y=−1.
Graph and Interpret Applications of Slope–Intercept
Many real-world applications are modeled by linear equations. We will take a look at a few applications here so you can see how equations written in slope–intercept form relate to real world situations.
Usually, when a linear equation models uses real-world data, different letters are used for the variables, instead of using only x and y. The variable names remind us of what quantities are being measured.
Also, we often will need to extend the axes in our rectangular coordinate system to bigger positive and negative numbers to accommodate the data in the application.
Example 3.19
The equation F=95C+32F=95C+32 is used to convert temperatures, C, on the Celsius scale to temperatures, F, on the Fahrenheit scale.
ⓐ Find the Fahrenheit temperature for a Celsius temperature of 0.
ⓑ Find the Fahrenheit temperature for a Celsius temperature of 20.
ⓒ Interpret the slope and F-intercept of the equation.
ⓓ Graph the equation.
Solution
ⓐ
row: Find the Fahrenheit temperature for a Celsius temperature of 0. | F=95C+32F=95C+32
row: Find FF when C=0.C=0. | F=95(0)+32F=95(0)+32
row: Simplify. | F=32F=32
ⓑ
row: Find the Fahrenheit temperature for a Celsius temperature of 20. | F=95C+32F=95C+32
row: Find FF when C=20.C=20. | F=95(20)+32F=95(20)+32
row: Simplify. | F=36+32F=36+32
row: Simplify. | F=68F=68
ⓒ Interpret the slope and F-intercept of the equation. Even though this equation uses F and C, it is still in slope–intercept form.
ਢਲਾਨ, 95,95, ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਸੈਲਸੀਅਸ (C) ਵਿੱਚ ਤਾਪਮਾਨ 5 ਡਿਗਰੀ ਵਧਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਫਾਰਨਹੀਟ (F) ਵਿੱਚ ਤਾਪਮਾਨ 9 ਡਿਗਰੀ ਵਧਦਾ ਹੈ। F-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਸੈਲਸੀਅਸ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ ਤਾਪਮਾਨ 0°0° ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਫਾਰਨਹੀਟ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ ਇਹ 32°32° ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ⓓ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਮ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਪੈਮਾਨੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। F-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,32)(0,32) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਦੂਜਾ ਬਿੰਦੂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ 9 ਦੇ ਵਾਧੇ ਅਤੇ 5 ਦੇ ਦੌੜ ਨੂੰ ਗਿਣੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 3.37
ਸਮੀਕਰਨ h=2s+50h=2s+50 ਇੱਕ ਔਰਤ ਦੀ ਉਚਾਈ ਇੰਚਾਂ ਵਿੱਚ, h, ਉਸਦੇ ਜੁੱਤੀ ਦੇ ਆਕਾਰ, s, ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ⓐ ਇੱਕ ਬੱਚੇ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ ਜੋ ਔਰਤਾਂ ਦੇ ਜੁੱਤੀ ਦਾ ਆਕਾਰ 0 ਪਹਿਨਦਾ ਹੈ।
ⓑ ਜੁੱਤੀ ਦੇ ਆਕਾਰ 8 ਵਾਲੀ ਔਰਤ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ⓒ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਢਲਾਨ ਅਤੇ h-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ⓓ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 3.38
ਸਮੀਕਰਨ T=14n+40T=14n+40 ਇੱਕ ਮਿੰਟ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਿਕਟ ਦੀਆਂ ਚੀਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, n, ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਫਾਰਨਹੀਟ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਤਾਪਮਾਨ, T, ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ⓐ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਚੀਕਾਂ ਨਾ ਹੋਣ ਤਾਂ ਤਾਪਮਾਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ⓑ ਇੱਕ ਮਿੰਟ ਵਿੱਚ 100 ਚੀਕਾਂ ਹੋਣ 'ਤੇ ਤਾਪਮਾਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ⓒ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਢਲਾਨ ਅਤੇ T-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ⓓ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਕੁਝ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਕਾਰੋਬਾਰ ਚਲਾਉਣ ਦੀ ਲਾਗਤ ਵਿੱਚ ਦੋ ਭਾਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ—ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਲਾਗਤ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਲਾਗਤ। ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਲਾਗਤ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ ਭਾਵੇਂ ਕਿੰਨੀਆਂ ਵੀ ਇਕਾਈਆਂ ਤਿਆਰ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਣ। ਇਹ ਕਿਰਾਇਆ, ਬੀਮਾ, ਉਪਕਰਨ, ਇਸ਼ਤਿਹਾਰਬਾਜ਼ੀ, ਅਤੇ ਹੋਰ ਚੀਜ਼ਾਂ ਦੀ ਲਾਗਤ ਹੈ ਜੋ ਨਿਯਮਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਭੁਗਤਾਨ ਕਰਨੀਆਂ ਪੈਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਲਾਗਤ ਤਿਆਰ ਕੀਤੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਹਰ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਸਮੱਗਰੀ ਅਤੇ ਮਜ਼ਦੂਰੀ ਲਈ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.20
ਸੈਮ ਇੱਕ ਡਿਲੀਵਰੀ ਵੈਨ ਚਲਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ C=0.5m+60C=0.5m+60 ਉਸਦੀ ਹਫਤਾਵਾਰੀ ਲਾਗਤ, C, ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਚਲਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਮੀਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, m, ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ⓐ ਇੱਕ ਹਫ਼ਤੇ ਲਈ ਸੈਮ ਦੀ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਉਹ 0 ਮੀਲ ਚਲਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ⓑ ਇੱਕ ਹਫ਼ਤੇ ਲਈ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਉਹ 250 ਮੀਲ ਚਲਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ⓒ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਢਲਾਨ ਅਤੇ C-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ⓓ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ⓐ
ਕਤਾਰ: ਇੱਕ ਹਫ਼ਤੇ ਲਈ ਸੈਮ ਦੀ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਉਹ 0 ਮੀਲ ਚਲਾਉਂਦਾ ਹੈ। | C=0.5m+60C=0.5m+60
ਕਤਾਰ: ਜਦੋਂ m=0.m=0 ਹੋਵੇ ਤਾਂ C ਪਤਾ ਕਰੋ। | C=0.5(0)+60C=0.5(0)+60
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | C=60C=60
2. ਕਤਾਰ: ਸੈਮ ਦਾ ਖਰਚਾ $60 ਹੈ ਜਦੋਂ ਉਹ 0 ਮੀਲ ਗੱਡੀ ਚਲਾਉਂਦਾ ਹੈ।
3. ⓑ
4. ਕਤਾਰ: ਜਦੋਂ ਉਹ 250 ਮੀਲ ਗੱਡੀ ਚਲਾਉਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਇੱਕ ਹਫ਼ਤੇ ਦਾ ਖਰਚਾ ਪਤਾ ਕਰੋ। | C=0.5m+60C=0.5m+60
5. ਕਤਾਰ: ਜਦੋਂ m=250 ਹੋਵੇ ਤਾਂ C ਪਤਾ ਕਰੋ।m=250. | C=0.5(250)+60C=0.5(250)+60
6. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | C=185C=185
7. ਕਤਾਰ: ਸੈਮ ਦਾ ਖਰਚਾ $185 ਹੈ ਜਦੋਂ ਉਹ 250 ਮੀਲ ਗੱਡੀ ਚਲਾਉਂਦਾ ਹੈ।
8. ⓒ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਢਲਾਨ ਅਤੇ C-ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
9. ਢਲਾਨ, 0.5, ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਹਫ਼ਤੇ ਦਾ ਖਰਚਾ, C, $0.50 ਵੱਧ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਗੱਡੀ ਚਲਾਏ ਗਏ ਮੀਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, n, 1 ਵੱਧ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। C-ਅੰਤਰਖੰਡ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਗੱਡੀ ਚਲਾਏ ਗਏ ਮੀਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 0 ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਹਫ਼ਤੇ ਦਾ ਖਰਚਾ $60 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ⓓ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਮ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਪੈਮਾਨੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ। C-ਅੰਤਰਖੰਡ (0,60)(0,60) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ।
10. ਢਲਾਨ m = 0.5 ਨੂੰ ਗਿਣਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਾਡੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾਵੇਗਾ।
11. ਕਤਾਰ: m=0.5m=0.5
12. ਕਤਾਰ: ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | m=0.51m=0.51
13. ਕਤਾਰ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ 100 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | m=0.5(100)1(100)m=0.5(100)1(100)
14. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | m=50100m=50100
15. ਇਸ ਲਈ ਅਗਲੇ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ 60 ਦੇ ਅੰਤਰਖੰਡ ਤੋਂ 50 ਉੱਪਰ ਜਾਓ ਅਤੇ ਫਿਰ 100 ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ। ਦੂਜਾ ਬਿੰਦੂ (100, 110) ਹੋਵੇਗਾ।
16. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 3.39
17. ਸਟੈਲਾ ਕੋਲ ਗੋਰਮੇਟ ਪੀਜ਼ਾ ਵੇਚਣ ਦਾ ਇੱਕ ਘਰੇਲੂ ਕਾਰੋਬਾਰ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ C=4p+25C=4p+25 ਉਸਦੇ ਹਫ਼ਤੇ ਦੇ ਖਰਚੇ, C, ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਵੇਚੇ ਗਏ ਪੀਜ਼ਾ, p, ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
18. ⓐ ਜਦੋਂ ਉਹ ਕੋਈ ਪੀਜ਼ਾ ਨਹੀਂ ਵੇਚਦੀ ਤਾਂ ਸਟੈਲਾ ਦੇ ਇੱਕ ਹਫ਼ਤੇ ਦਾ ਖਰਚਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
19. ⓑ ਜਦੋਂ ਉਹ 15 ਪੀਜ਼ਾ ਵੇਚਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਇੱਕ ਹਫ਼ਤੇ ਦਾ ਖਰਚਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
20. ⓒ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਢਲਾਨ ਅਤੇ C-ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
21. ⓓ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
22. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 3.40
23. ਲੋਰੀਨ ਕੋਲ ਇੱਕ ਕੈਲੀਗ੍ਰਾਫੀ ਕਾਰੋਬਾਰ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ C=1.8n+35C=1.8n+35 ਉਸਦੇ ਹਫ਼ਤੇ ਦੇ ਖਰਚੇ, C, ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਲਿਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਵਿਆਹ ਦੀਆਂ ਚਿੱਠੀਆਂ, n, ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
24. ⓐ ਜਦੋਂ ਉਹ ਕੋਈ ਚਿੱਠੀਆਂ ਨਹੀਂ ਲਿਖਦੀ ਤਾਂ ਲੋਰੀਨ ਦੇ ਇੱਕ ਹਫ਼ਤੇ ਦਾ ਖਰਚਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ⓑ Find the cost for a week when she writes 75 invitations.
ⓒ Interpret the slope and C-intercept of the equation.
ⓓ Graph the equation.
Use Slopes to Identify Parallel and Perpendicular Lines
Two lines that have the same slope are called parallel lines. Parallel lines have the same steepness and never intersect.
We say this more formally in terms of the rectangular coordinate system. Two lines that have the same slope and different y-intercepts are called parallel lines. See Figure 3.7.
Verify that both lines have the same slope, m=25,m=25, and different y-intercepts.
What about vertical lines? The slope of a vertical line is undefined, so vertical lines don’t fit in the definition above. We say that vertical lines that have different x-intercepts are parallel, like the lines shown in this graph.
Parallel Lines
Parallel lines are lines in the same plane that do not intersect.
Parallel lines have the same slope and different y-intercepts.
If m1m1 and m2m2 are the slopes of two parallel lines then m1=m2.m1=m2.
Parallel vertical lines have different x-intercepts.
Since parallel lines have the same slope and different y-intercepts, we can now just look at the slope–intercept form of the equations of lines and decide if the lines are parallel.
Example 3.21
Use slopes and y-intercepts to determine if the lines are parallel:
ⓐ 3x−2y=63x−2y=6 and y=32x+1y=32x+1 ⓑ y=2x-3y=2x-3 and −6x+3y=−9.−6x+3y=−9.
Solution
ⓐ
row: 3x−2y=63x−2y=6 | and | y=32x+1y=32x+1
row: Solve the first equation for y.y. | −2y=−3x+6−2y−2=−3x+6−2−2y=−3x+6−2y−2=−3x+6−2
row: The equation is now in slope–intercept form. | y=32x−3y=32x−3
row: The equation of the second line is already in slope–intercept form. | y=32x+1y=32x+1
row: Identify the slope and yy-intercept of both lines. | y=32x−3y=mx+bm=32y=32x−3y=mx+bm=32 | y=32x+1y=mx+by=32y=32x+1y=mx+by=32
row: y-intercept is(0,−3)y-intercept is(0,−3) | y-intercept is(0,1)y-intercept is(0,1)
The lines have the same slope and different y-intercepts and so they are parallel.
You may want to graph the lines to confirm whether they are parallel.
ⓑ
row: y=2x−3y=2x−3 | and | −6x+3y=−9−6x+3y=−9
row: The first equation is already in slope–intercept form. | y=2x−3y=2x−3
row: Solve the second equation for y.y. | −6x+3y=−93y=6x−93y3=6x−93y=2x−3−6x+3y=−93y=6x−93y3=6x−93y=2x−3
row: The second equation is now in slope–intercept form. | y=2x−3y=2x−3
row: Identify the slope and yy-intercept of both lines. | y=2x−3y=mx+bm=2y=2x−3y=mx+bm=2 | y=2x−3y=mx+bm=2y=2x−3y=mx+bm=2
row: y-intercept is(0,−3)y-intercept is(0,−3) | y-intercept is(0,−3)y-intercept is(0,−3)
The lines have the same slope, but they also have the same y-intercepts. Their equations represent the same line and we say the lines are coincident. They are not parallel; they are the same line.
Try It 3.41
Use slopes and y-intercepts to determine if the lines are parallel:
ⓐ 2x+5y=52x+5y=5 and y=−25x−4y=−25x−4 ⓑ y=−12x−1y=−12x−1 and x+2y=−2.x+2y=−2.
Try It 3.42
Use slopes and y-intercepts to determine if the lines are parallel:
ⓐ 4x−3y=64x−3y=6 and y=43x−1y=43x−1 ⓑ y=34x−3y=34x−3 and 3x−4y=12.3x−4y=12.
Example 3.22
Use slopes and y-intercepts to determine if the lines are parallel:
ⓐ y=−4y=−4 and y=3y=3 ⓑ x=−2x=−2 and x=−5.x=−5.
Solution
ⓐ y=−4y=−4 and y=3y=3 We recognize right away from the equations that these are horizontal lines, and so we know their slopes are both 0. Since the horizontal lines cross the y-axis at y=−4y=−4 and at y=3,y=3, we know the y-intercepts are (0,−4)(0,−4) and (0,3).(0,3). The lines have the same slope and different y-intercepts and so they are parallel. ⓑ x=−2x=−2 and x=−5x=−5 We recognize right away from the equations that these are vertical lines, and so we know their slopes are undefined. Since the vertical lines cross the x-axis at x=−2x=−2 and x=−5,x=−5, we know the y-intercepts are (−2,0)(−2,0) and (−5,0).(−5,0). The lines are vertical and have different x-intercepts and so they are parallel.
Try It 3.43
Use slopes and y-intercepts to determine if the lines are parallel:
ⓐ y=8y=8 and y=−6y=−6 ⓑ x=1x=1 and x=−5.x=−5.
Try It 3.44
Use slopes and y-intercepts to determine if the lines are parallel:
ⓐ y=1y=1 and y=−5y=−5 ⓑ x=8x=8 and x=−6.x=−6.
Let’s look at the lines whose equations are y=14x−1y=14x−1 and y=−4x+2,y=−4x+2, shown in Figure 3.9.
These lines lie in the same plane and intersect in right angles. We call these lines perpendicular.
If we look at the slope of the first line, m1=14,m1=14, and the slope of the second line, m2=−4,m2=−4, we can see that they are negative reciprocals of each other. If we multiply them, their product is −1.−1.
This is always true for perpendicular lines and leads us to this definition.
Perpendicular Lines
Perpendicular lines are lines in the same plane that form a right angle.
If m1m1 and m2m2 are the slopes of two perpendicular lines, then: their slopes are negative reciprocals of each other, m1=−1m2.m1=−1m2. the product of their slopes is −1−1, m1·m2=−1.m1·m2=−1.
A vertical line and a horizontal line are always perpendicular to each other.
We were able to look at the slope–intercept form of linear equations and determine whether or not the lines were parallel. We can do the same thing for perpendicular lines.
We find the slope–intercept form of the equation, and then see if the slopes are opposite reciprocals. If the product of the slopes is −1,−1, the lines are perpendicular.
Example 3.23
Use slopes to determine if the lines are perpendicular:
ⓐ y=−5x−4y=−5x−4 and x−5y=5x−5y=5 ⓑ 7x+2y=37x+2y=3 and 2x+7y=52x+7y=5
Solution
ⓐ
row: The first equation is in slope–intercept form. | y=−5x−4y=−5x−4
row: Solve the second equation for y.y. | x−5y=5−5y=−x+5−5y−5=−x+5−5y=15x−1x−5y=5−5y=−x+5−5y−5=−x+5−5y=15x−1
row: Identify the slope of each line. | y=−5x−4y=mx+bm1=−5y=−5x−4y=mx+bm1=−5 | y=15x−1y=mx+bm2=15y=15x−1y=mx+bm2=15
The slopes are negative reciprocals of each other, so the lines are perpendicular. We check by multiplying the slopes, Since −5(15)=−1,−5(15)=−1, it checks.
ⓑ
row: Solve the equations for y.y. | 7x+2y=32y=−7x+32y2=−7x+32y=−72x+327x+2y=32y=−7x+32y2=−7x+32y=−72x+32 | 2x+7y=57y=−2x+57y7=−2x+57y=−27x+572x+7y=57y=−2x+57y7=−2x+57y=−27x+57
row: Identify the slope of each line. | y=mx+bm1=−72y=mx+bm1=−72 | y=mx+bm1=−27y=mx+bm1=−27
The slopes are reciprocals of each other, but they have the same sign. Since they are not negative reciprocals, the lines are not perpendicular.
Try It 3.45
Use slopes to determine if the lines are perpendicular:
ⓐ y=−3x+2y=−3x+2 and x−3y=4x−3y=4 ⓑ 5x+4y=15x+4y=1 and 4x+5y=3.4x+5y=3.
Try It 3.46
Use slopes to determine if the lines are perpendicular:
ⓐ y=2x−5y=2x−5 and x+2y=−6x+2y=−6 ⓑ 2x−9y=32x−9y=3 and 9x−2y=1.9x−2y=1.
Practice Makes Perfect
Find the Slope of a Line
In the following exercises, find the slope of each line shown.
In the following exercises, find the slope of each line.
y = 3 y = 3
y = −2 y = −2
x = −5 x = −5
x = 4 x = 4
In the following exercises, use the slope formula to find the slope of the line between each pair of points.
( 2 , 5 ) , ( 4 , 0 ) ( 2 , 5 ) , ( 4 , 0 )
( 3 , 6 ) , ( 8 , 0 ) ( 3 , 6 ) , ( 8 , 0 )
( −3 , 3 ) , ( 4 , −5 ) ( −3 , 3 ) , ( 4 , −5 )
( −2 , 4 ) , ( 3 , −1 ) ( −2 , 4 ) , ( 3 , −1 )
( −1 , −2 ) , ( 2 , 5 ) ( −1 , −2 ) , ( 2 , 5 )
( −2 , −1 ) , ( 6 , 5 ) ( −2 , −1 ) , ( 6 , 5 )
( 4 , −5 ) , ( 1 , −2 ) ( 4 , −5 ) , ( 1 , −2 )
( 3 , −6 ) , ( 2 , −2 ) ( 3 , −6 ) , ( 2 , −2 )
ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਢਲਾਣ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਢਲਾਣ ਨਾਲ ਹਰੇਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
( 2 , 5 ) ; ( 2 , 5 ) ; m = − 1 3 m = − 1 3
(1,4)(1,4); m=−12m=−12
(−1,−4)(−1,−4); m=43m=43
(−3,−5)(−3,−5); m=32m=32
y-ਅੰਤਰਖੰਡ 3; m=−25m=−25
x-ਅੰਤਰਖੰਡ −2−2; m=34m=34
(−4,2)(−4,2); m=4m=4
(1,5)(1,5); m=−3m=−3
ਇਸਦੀ ਢਲਾਣ ਅਤੇ ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
y = −7 x + 3 y = −7 x + 3
y = 4 x − 10 y = 4 x − 10
3 x + y = 5 3 x + y = 5
4 x + y = 8 4 x + y = 8
6 x + 4 y = 12 6 x + 4 y = 12
8 x + 3 y = 12 8 x + 3 y = 12
5 x − 2 y = 6 5 x − 2 y = 6
7 x − 3 y = 9 7 x − 3 y = 9
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਸਦੀ ਢਲਾਣ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
y = 3 x − 1 y = 3 x − 1
y = 2x - 3
y = -x + 3
y = -x - 4
y = -2/5 x - 3
y = -3/5 x + 2
3x - 2y = 4
3x - 4y = 8
ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਵਿਧੀ ਚੁਣੋ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਵਿਧੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
x = 2
y = 5
y = -3x + 4
x - y = 5
x - y = 1
y = 2/3 x - 1
3x - 2y = -12
2x - 5y = -10
ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ
ਸਮੀਕਰਨ P=31+1.75w, Tuyet ਦੇ ਮਹੀਨਾਵਾਰ ਪਾਣੀ ਬਿੱਲ ਭੁਗਤਾਨ, P, ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਤੇ ਵਰਤੇ ਗਏ ਪਾਣੀ ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ, w, ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ⓐ ਇੱਕ ਮਹੀਨੇ ਲਈ Tuyet ਦਾ ਭੁਗਤਾਨ ਲੱਭੋ ਜਦੋਂ 0 ਇਕਾਈਆਂ ਪਾਣੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ⓑ ਇੱਕ ਮਹੀਨੇ ਲਈ Tuyet ਦਾ ਭੁਗਤਾਨ ਲੱਭੋ ਜਦੋਂ 12 ਇਕਾਈਆਂ ਪਾਣੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ⓒ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਢਲਾਨ ਅਤੇ P-ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ⓓ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ P=28+2.54w, R ਅਤੇ y ਦੇ ਮਹੀਨਾਵਾਰ ਪਾਣੀ ਬਿੱਲ ਭੁਗਤਾਨ, P, ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਤੇ ਵਰਤੇ ਗਏ ਪਾਣੀ ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ, w, ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
1. ⓐ ਜਦੋਂ R ਅਤੇ y ਨੇ ਪਾਣੀ ਦੀਆਂ 0 ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਮਹੀਨੇ ਦਾ ਭੁਗਤਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ⓑ ਜਦੋਂ R ਅਤੇ y ਨੇ ਪਾਣੀ ਦੀਆਂ 15 ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਮਹੀਨੇ ਦਾ ਭੁਗਤਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
3. ⓒ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਢਲਾਣ (slope) ਅਤੇ P-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (P-intercept) ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
4. ⓓ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
5. ਬਰੂਸ ਆਪਣੀ ਨੌਕਰੀ ਲਈ ਆਪਣੀ ਕਾਰ ਚਲਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ R=0.575m+42, ਇੱਕ ਦਿਨ ਵਿੱਚ ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਚਲਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਮੀਲਾਂ (m) ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਉਸਨੂੰ ਮਿਲਣ ਵਾਲੀ ਮੁਆਵਜ਼ੇ ਦੀ ਰਕਮ (R) ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੇ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
6. ⓐ ਉਸ ਦਿਨ ਬਰੂਸ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਮੁਆਵਜ਼ਾ ਮਿਲੇਗਾ ਜਦੋਂ ਉਹ 0 ਮੀਲ ਚਲਾਉਂਦਾ ਹੈ?
7. ⓑ ਉਸ ਦਿਨ ਬਰੂਸ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਮੁਆਵਜ਼ਾ ਮਿਲੇਗਾ ਜਦੋਂ ਉਹ 220 ਮੀਲ ਚਲਾਉਂਦਾ ਹੈ?
8. ⓒ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਢਲਾਣ (slope) ਅਤੇ R-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (R-intercept) ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
9. ⓓ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
10. ਜੇਨੇਲ ਛੁੱਟੀਆਂ ਦੌਰਾਨ ਕਾਰ ਕਿਰਾਏ 'ਤੇ ਲੈਣ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾ ਰਹੀ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ C=0.32m+15, ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ ਲਾਗਤ (C) ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦਿਨ ਵਿੱਚ ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਚਲਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਮੀਲਾਂ (m) ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਦੇ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
11. ⓐ ਜੇ ਜੇਨੇਲ ਇੱਕ ਦਿਨ ਕਾਰ 0 ਮੀਲ ਚਲਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
12. ⓑ ਉਸ ਦਿਨ ਦੀ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਜੇਨੇਲ ਕਾਰ 400 ਮੀਲ ਚਲਾਉਂਦੀ ਹੈ।
13. ⓒ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਢਲਾਣ (slope) ਅਤੇ C-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (C-intercept) ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
14. ⓓ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
15. ਚੈਰੀ ਰਿਟੇਲ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਹਫਤਾਵਾਰੀ ਤਨਖਾਹ ਵਿੱਚ ਉਸਦੇ ਵੇਚੇ ਗਏ ਮਾਲ ਦੀ ਕਮਿਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ S=400+0.15c, ਉਸਦੀ ਹਫਤਾਵਾਰੀ ਤਨਖਾਹ (S) ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਵੇਚੇ ਗਏ ਮਾਲ ਦੀ ਰਕਮ (c) ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੇ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
16. ⓐ ਉਸ ਹਫਤੇ ਲਈ ਚੈਰੀ ਦੀ ਤਨਖਾਹ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਉਸਦੀ ਵਿਕਰੀ $0 ਸੀ।
17. ⓑ ਉਸ ਹਫਤੇ ਲਈ ਚੈਰੀ ਦੀ ਤਨਖਾਹ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਉਸਦੀ ਵਿਕਰੀ $3,600 ਸੀ।
18. ⓒ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਢਲਾਣ (slope) ਅਤੇ S-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (S-intercept) ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
19. ⓓ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
20. ਪਟੇਲ ਦੀ ਹਫਤਾਵਾਰੀ ਤਨਖਾਹ ਵਿੱਚ ਬੇਸ ਪੇਅ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਉਸਦੀ ਵਿਕਰੀ 'ਤੇ ਕਮਿਸ਼ਨ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ S=750+0.09c, ਉਸਦੀ ਹਫਤਾਵਾਰੀ ਤਨਖਾਹ (S) ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਵੇਚੇ ਗਏ ਮਾਲ ਦੀ ਰਕਮ (c) ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੇ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
21. ⓐ ਉਸ ਹਫਤੇ ਲਈ ਪਟੇਲ ਦੀ ਤਨਖਾਹ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਉਸਦੀ ਵਿਕਰੀ 0 ਸੀ।
22. ⓑ ਉਸ ਹਫਤੇ ਲਈ ਪਟੇਲ ਦੀ ਤਨਖਾਹ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਉਸਦੀ ਵਿਕਰੀ 18,540 ਸੀ।
23. ⓒ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਢਲਾਣ (slope) ਅਤੇ S-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (S-intercept) ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
24. ⓓ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਕੋਸਟਾ ਇੱਕ ਦੁਪਹਿਰ ਦੇ ਖਾਣੇ ਦਾ ਜਸ਼ਨ ਮਨਾਉਣ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ C=450+28g, ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ ਲਾਗਤ, C, ਅਤੇ ਮਹਿਮਾਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, g, ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ⓐ ਜੇ ਮਹਿਮਾਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 40 ਹੈ ਤਾਂ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ⓑ ਜੇ ਮਹਿਮਾਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 80 ਹੈ ਤਾਂ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ⓒ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਢਲਾਨ ਅਤੇ C-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ⓓ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਮਾਰਗੀ ਇੱਕ ਰਾਤ ਦੇ ਖਾਣੇ ਦਾ ਜਸ਼ਨ ਮਨਾਉਣ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾ ਰਹੀ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ C=750+42g, ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ ਲਾਗਤ, C, ਅਤੇ ਮਹਿਮਾਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, g, ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ⓐ ਜੇ ਮਹਿਮਾਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 50 ਹੈ ਤਾਂ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ⓑ ਜੇ ਮਹਿਮਾਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 100 ਹੈ ਤਾਂ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ⓒ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਢਲਾਨ ਅਤੇ C-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ⓓ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਸਮਾਂਤਰ ਅਤੇ ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਢਲਾਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਢਲਾਨਾਂ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ, ਲੰਬ, ਜਾਂ ਕੋਈ ਨਹੀਂ ਹਨ।
y = 3 4 x − 3 ; 3 x − 4 y = −2
3 x + 4 y = − 2 ; y = 3 4 x − 3
2 x − 4 y = 6 ; x − 2 y = 3
8 x + 6 y = 6 ; 12 x + 9 y = 12
x = 5 ; x = −6
x = − 3 ; x = − 2
4 x − 2 y = 5 ; 3 x + 6 y = 8
8 x − 2 y = 7 ; 3 x + 12 y = 9
3 x − 6 y = 12 ; 6 x − 3 y = 3
9 x − 5 y = 4 ; 5 x + 9 y = − 1
7 x − 4 y = 8 ; 4 x + 7 y = 14
5 x − 2 y = 11 ; 5 x − y = 7
3x - 2y = 8 ; 2x + 3y = 6
2x + 3y = 5 ; 3x - 2y = 7
3x - 2y = 1 ; 2x - 3y = 2
2x + 4y = 3 ; 6x + 3y = 2
y = 2 ; y = 6
y = -1 ; y = 2
ਲਿਖਤੀ ਅਭਿਆਸ
ਢਲਾਣ m=-12 ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਢਲਾਣ m=2 ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ?
ਖੜ੍ਵੀਂ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ "ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ" ਕਿਉਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ?
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਢਲਾਣ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਿਵੇਂ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਆਪਣੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਵਰਤਣੀ ਹੈ, ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਫੈਸਲਾ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਸਵੈ-ਪੜਤਾਲ
ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓑ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਸਾਰੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਕਰੋਗੇ?