ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਕਿ ਕੀ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰੈਅ ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਤਿੰਨ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ
ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
4.10 ਲਈ ਤਿਆਰ ਰਹੋ
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
5x−2y+3z ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਜਦੋਂ x=−2, y=−4, ਅਤੇ z=3। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.21 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
4.11 ਲਈ ਤਿਆਰ ਰਹੋ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸ਼ਰਤੀਆ ਸਮੀਕਰਨ, ਇੱਕ ਪਛਾਣ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਵਜੋਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਹੱਲ ਦੱਸੋ। {−2x+y=−11x+3y=9। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 2.6 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
4.12 ਲਈ ਤਿਆਰ ਰਹੋ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸ਼ਰਤੀਆ ਸਮੀਕਰਨ, ਇੱਕ ਪਛਾਣ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਵਜੋਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਹੱਲ ਦੱਸੋ। {7x+8y=43x−5y=27। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 2.8 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰੈਅ ਤਿੰਨ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਚਲ ਹਨ
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਾਂਗੇ। ਹੁਣ ਤੱਕ ਅਸੀਂ ਦੋ ਚਲਾਂ ਅਤੇ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ। ਪਰ ਪਹਿਲਾਂ ਆਓ ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੀਏ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੋ ਚਲਾਂ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਬਾਰੇ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਕੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਿੱਖਿਆ ਸੀ ਕਿ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ, ax+by=c, ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ, ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ (x,y), ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ। ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਬਣਨ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਅਤੇ, ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੀ ਹੈ, ਇਹ ਲੱਭ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭਾਂਗੇ।
ਇੱਕ ਚਲ ਵਾਲੀ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਕੁਝ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਅਤੇ ਹੋਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਲਈ ਸਾਰੇ ਨੰਬਰ ਹੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕੋ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਦੋ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਤਿੰਨ ਸੰਭਾਵੀ ਮਾਮਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ax+by+cz=d ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹਰ ਹੱਲ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰੈਅ, (x,y,z) ਹੈ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੱਚ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ
ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ, ਜਿੱਥੇ a, b, c, ਅਤੇ d ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ a, b, ਅਤੇ c ਸਾਰੇ 0 ਨਹੀਂ ਹਨ, ਇਸ ਰੂਪ ਦੀ ਹੈ
ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹਰ ਹੱਲ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰੈਅ, (x,y,z) ਹੈ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੱਚ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਬਣਨ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਅਤੇ, ਸਮਤਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੀ ਹੈ, ਇਹ ਲੱਭ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭਾਂਗੇ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮਤਲਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਤਿੰਨ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਤਿੰਨ ਸੰਭਾਵੀ ਮਾਮਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਤਿੰਨ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਚਲਾਂ ਦੇ ਉਹ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਾਰੀਆਂ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰੈਅ (x,y,z) ਦੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਾਰੀਆਂ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਚ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਾਲੀ ਤਿੰਨ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲ ਚਲਾਂ ਦੇ ਉਹ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਸਾਰੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਚ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਹੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰੈਗੁਣ (x,y,z) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਕੋਈ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰੈਗੁਣ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਚਲਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰੈਗੁਣ ਤਿੰਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਚ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.31
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰੈਗੁਣ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ: {x−y+z=22x−y−z=−62x+2y+z=−3.{x−y+z=22x−y−z=−62x+2y+z=−3.
ⓐ (−2,−1,3)(−2,−1,3) ⓑ (−4,−3,4)(−4,−3,4)
ਹੱਲ
ⓐ
ⓑ
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 4.61
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰੈਗੁਣ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ: {3x+y+z=2x+2y+z=−33x+y+2z=4.{3x+y+z=2x+2y+z=−33x+y+2z=4.
ⓐ (1,−3,2)(1,−3,2) ⓑ (4,−1,−5)(4,−1,−5)
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 4.62
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰੈਗੁਣ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ: {x−3y+z=−5−3x−y−z=12x−2y+3z=1.{x−3y+z=−5−3x−y−z=12x−2y+3z=1.
ⓐ (2,−2,3)(2,−2,3) ⓑ (−2,2,3)(−2,2,3)
ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਬੁਨਿਆਦੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਹੀ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨਾਲ ਵਰਤੀਆਂ ਸਨ। ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਦੋ ਜੋੜਿਆਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਜੋੜੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕੋ ਚਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਫਿਰ ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇਵੇਗਾ ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ!
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਤੀਜੇ ਚਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਜਾਣ ਲਈ ਹੁਣੇ ਲੱਭੇ ਦੋ ਚਲਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰੈਗੁਣ ਵਜੋਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਆਪਣੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.32
ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਖਾਤਮੇ ਦੁਆਰਾ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਖਾਤਮੇ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x−2y+z=32x+y+z=43x+4y+3z=−1.{x−2y+z=32x+y+z=43x+4y+3z=−1.
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 4.63
ਖਾਤਮੇ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {3x+y−z=22x−3y−2z=14x−y−3z=0.{3x+y−z=22x−3y−2z=14x−y−3z=0.
Try It 4.64
Solve the system by elimination: {4x+y+z=−1−2x−2y+z=22x+3y−z=1.{4x+y+z=−1−2x−2y+z=22x+3y−z=1.
The steps are summarized here.
How To
Solve a system of linear equations with three variables.
Step 1. Write the equations in standard form If any coefficients are fractions, clear them.
Step 2. Eliminate the same variable from two equations. Decide which variable you will eliminate. Work with a pair of equations to eliminate the chosen variable. Multiply one or both equations so that the coefficients of that variable are opposites. Add the equations resulting from Step 2 to eliminate one variable
Step 3. Repeat Step 2 using two other equations and eliminate the same variable as in Step 2.
Step 4. The two new equations form a system of two equations with two variables. Solve this system.
Step 5. Use the values of the two variables found in Step 4 to find the third variable.
Step 6. Write the solution as an ordered triple.
Step 7. Check that the ordered triple is a solution to all three original equations.
Example 4.33
Solve: {3x−4z=03y+2z=−32x+3y=−5.{3x−4z=03y+2z=−32x+3y=−5.
Solution
We can eliminate zz from equations (1) and (2) by multiplying equation (2) by 2 and then adding the resulting equations.
Notice that equations (3) and (4) both have the variables xx and yy. We will solve this new system for xx and yy.
To solve for y, we substitute x=−4x=−4 into equation (3).
We now have x=−4x=−4 and y=1.y=1. We need to solve for z. We can substitute x=−4x=−4 into equation (1) to find z.
We write the solution as an ordered triple. (−4,1,−3)(−4,1,−3)
We check that the solution makes all three equations true.
3x−4z=0(1)3(−4)−4(−3)=?00=0✓ 3y+2z=−3(2)3(1)+2(−3)=?−3−3=−3✓ 2x+3y=−5(3)2(−4)+3(1)=?−5−5=−5✓The solution is(−4,1,−3). 3x−4z=0(1)3(−4)−4(−3)=?00=0✓ 3y+2z=−3(2)3(1)+2(−3)=?−3−3=−3✓ 2x+3y=−5(3)2(−4)+3(1)=?−5−5=−5✓The solution is(−4,1,−3).
Try It 4.65
Solve: {3x−4z=−12y+3z=22x+3y=6.{3x−4z=−12y+3z=22x+3y=6.
Try It 4.66
Solve: {4x−3z=−53y+2z=73x+4y=6.{4x−3z=−53y+2z=73x+4y=6.
When we solve a system and end up with no variables and a false statement, we know there are no solutions and that the system is inconsistent. The next example shows a system of equations that is inconsistent.
Example 4.34
Solve the system of equations: {x+2y−3z=−1x−3y+z=12x−y−2z=2.{x+2y−3z=−1x−3y+z=12x−y−2z=2.
Solution
Use equation (1) and (2) to eliminate z.
Use (2) and (3) to eliminate zz again.
Use (4) and (5) to eliminate a variable.
There is no solution.
We are left with a false statement and this tells us the system is inconsistent and has no solution.
Try It 4.67
Solve the system of equations: {x+2y+6z=5−x+y−2z=3x−4y−2z=1.{x+2y+6z=5−x+y−2z=3x−4y−2z=1.
Try It 4.68
Solve the system of equations: {2x−2y+3z=64x−3y+2z=0−2x+3y−7z=1.{2x−2y+3z=64x−3y+2z=0−2x+3y−7z=1.
When we solve a system and end up with no variables but a true statement, we know there are infinitely many solutions. The system is consistent with dependent equations. Our solution will show how two of the variables depend on the third.
Example 4.35
Solve the system of equations: {x+2y−z=12x+7y+4z=11x+3y+z=4.{x+2y−z=12x+7y+4z=11x+3y+z=4.
Solution
Use equation (1) and (3) to eliminate x.
Use equation (1) and (2) to eliminate x again.
Use equation (4) and (5) to eliminate yy.
row: There are infinitely many solutions.
row: Solve equation (4) for y. | Represent the solution showing how x and y are dependent on z.y+2z=3y=−2z+3y+2z=3y=−2z+3
1. ਸਾਰਣੀ (1) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। | x+2y−z=1
2. y=−2z+3 ਨੂੰ ਸਥਾਨਿਤ ਕਰੋ। | x+2(−2z+3)−z=1x−4z+6−z=1x−5z+6=1x=5z−5
3. ਸੱਚਾ ਕਥਨ 0=0 ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਨਿਰਭਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹਨ। ਹੱਲ (x,y,z) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ ਜਿੱਥੇ x=5z−5; y=−2z+3 ਅਤੇ z ਕੋਈ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
4. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 4.69
5. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x+y−z=02x+4y−2z=63x+6y−3z=9.
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 4.70
7. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x−y−z=1−x+2y−3z=−43x−2y−7z=0.
8. ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੀਆਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨਾਲ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
9. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਤੱਕ ਵਾਧੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਹੈ।
10. ਉਦਾਹਰਨ 4.36
11. ਕਮਿਊਨਿਟੀ ਕਾਲਜ ਥੀਏਟਰ ਵਿਭਾਗ ਨੇ ਆਪਣੇ ਨਵੀਨਤਮ ਨਾਟਕ ਉਤਪਾਦਨ ਲਈ ਤਿੰਨ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਟਿਕਟਾਂ ਵੇਚੀਆਂ। ਬਾਲਗ ਟਿਕਟਾਂ $15, ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਟਿਕਟਾਂ $10 ਅਤੇ ਬੱਚਿਆਂ ਦੀਆਂ ਟਿਕਟਾਂ $8 ਵਿੱਚ ਵਿਕੀਆਂ। ਥੀਏਟਰ ਵਿਭਾਗ 250 ਟਿਕਟਾਂ ਵੇਚ ਕੇ ਇੱਕ ਰਾਤ ਵਿੱਚ $2,825 ਦੀ ਕਮਾਈ ਕਰਕੇ ਬਹੁਤ ਖੁਸ਼ ਸੀ। ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਟਿਕਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਬਾਲਗ ਟਿਕਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਸੀ। ਵਿਭਾਗ ਨੇ ਹਰੇਕ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਕਿੰਨੀਆਂ ਟਿਕਟਾਂ ਵੇਚੀਆਂ?
12. ਹੱਲ
13. ਸਾਰਣੀ: ਅਸੀਂ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਚਾਰਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
14. ਸਾਰਣੀ: ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਬਾਲਗਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਹੈ।
15. ਸਾਰਣੀ: ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | y=2x2x−y=0
16. ਸਾਰਣੀ: z ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ (1) ਅਤੇ (2) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
17. ਸਾਰਣੀ: y ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ (3) ਅਤੇ (4) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
18. ਸਾਰਣੀ: x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। | x=75 ਬਾਲਗ ਟਿਕਟਾਂ
19. ਸਾਰਣੀ: y ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ (3) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | −2x+y=0
20. ਸਾਰਣੀ: x=75 ਨੂੰ ਸਥਾਨਿਤ ਕਰੋ। | −2(75)+y=0−150+y=0y=150 ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਟਿਕਟਾਂ
21. ਸਾਰਣੀ: z ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ (1) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | x+y+z=250
22. ਸਾਰਣੀ: ਮੁੱਲਾਂ x=75, y=150 ਨੂੰ ਸਥਾਨਿਤ ਕਰੋ। | 75+150+z=250225+z=250z=25 ਬੱਚਿਆਂ ਦੀਆਂ ਟਿਕਟਾਂ
23. ਸਾਰਣੀ: ਹੱਲ ਲਿਖੋ। | ਥੀਏਟਰ ਵਿਭਾਗ ਨੇ 75 ਬਾਲਗ ਟਿਕਟਾਂ, 150 ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਟਿਕਟਾਂ, ਅਤੇ 25 ਬੱਚਿਆਂ ਦੀਆਂ ਟਿਕਟਾਂ ਵੇਚੀਆਂ।
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 4.71
The community college fine arts department sold three kinds of tickets to its latest dance presentation. The adult tickets sold for $20, the student tickets for $12 and the child tickets for $10.The fine arts department was thrilled to have sold 350 tickets and brought in $4,650 in one night. The number of child tickets sold is the same as the number of adult tickets sold. How many of each type did the department sell?
Try It 4.72
The community college soccer team sold three kinds of tickets to its latest game. The adult tickets sold for $10, the student tickets for $8 and the child tickets for $5. The soccer team was thrilled to have sold 600 tickets and brought in $4,900 for one game. The number of adult tickets is twice the number of child tickets. How many of each type did the soccer team sell?
Media
Access this online resource for additional instruction and practice with solving a linear system in three variables with no or infinite solutions.
Solving a Linear System in Three Variables with No or Infinite Solutions
3 Variable Application
Practice Makes Perfect
Determine Whether an Ordered Triple is a Solution of a System of Three Linear Equations with Three Variables
In the following exercises, determine whether the ordered triple is a solution to the system.
{ 2 x − 6 y + z = 3 3 x − 4 y − 3 z = 2 2 x + 3 y − 2 z = 3 { 2 x − 6 y + z = 3 3 x − 4 y − 3 z = 2 2 x + 3 y − 2 z = 3
ⓐ (3,1,3)(3,1,3) ⓑ (4,3,7)(4,3,7)
{ − 3 x + y + z = −4 − x + 2 y − 2 z = 1 2 x − y − z = −1 { − 3 x + y + z = −4 − x + 2 y − 2 z = 1 2 x − y − z = −1
ⓐ (−5,−7,4)(−5,−7,4) ⓑ (5,7,4)(5,7,4)
{ y − 10 z = −8 2 x − y = 2 x − 5 z = 3 { y − 10 z = −8 2 x − y = 2 x − 5 z = 3
ⓐ (7,12,2)(7,12,2) ⓑ (2,2,1)(2,2,1)
{ x + 3 y − z = 15 y = 2 3 x − 2 x − 3 y + z = −2 { x + 3 y − z = 15 y = 2 3 x − 2 x − 3 y + z = −2
ⓐ (−6,5,12)(−6,5,12) ⓑ (5,43,−3)(5,43,−3)
Solve a System of Linear Equations with Three Variables
In the following exercises, solve the system of equations.
{ 5 x + 2 y + z = 5 − 3 x − y + 2 z = 6 2 x + 3 y − 3 z = 5 { 5 x + 2 y + z = 5 − 3 x − y + 2 z = 6 2 x + 3 y − 3 z = 5
{ 6 x − 5 y + 2 z = 3 2 x + y − 4 z = 5 3 x − 3 y + z = −1 { 6 x − 5 y + 2 z = 3 2 x + y − 4 z = 5 3 x − 3 y + z = −1
{ 2 x − 5 y + 3 z = 8 3 x − y + 4 z = 7 x + 3 y + 2 z = −3 { 2 x − 5 y + 3 z = 8 3 x − y + 4 z = 7 x + 3 y + 2 z = −3
{ 5 x − 3 y + 2 z = −5 2 x − y − z = 4 3 x − 2 y + 2 z = −7 { 5 x − 3 y + 2 z = −5 2 x − y − z = 4 3 x − 2 y + 2 z = −7
{ 3 x − 5 y + 4 z = 5 5 x + 2 y + z = 0 2 x + 3 y − 2 z = 3 { 3 x − 5 y + 4 z = 5 5 x + 2 y + z = 0 2 x + 3 y − 2 z = 3
{ 4 x − 3 y + z = 7 2 x − 5 y − 4 z = 3 3 x − 2 y − 2 z = −7 { 4 x − 3 y + z = 7 2 x − 5 y − 4 z = 3 3 x − 2 y − 2 z = −7
{ 3 x + 8 y + 2 z = −5 2 x + 5 y − 3 z = 0 x + 2 y − 2 z = −1 { 3 x + 8 y + 2 z = −5 2 x + 5 y − 3 z = 0 x + 2 y − 2 z = −1
{ 11 x + 9 y + 2 z = −9 7 x + 5 y + 3 z = −7 4 x + 3 y + z = −3 { 11 x + 9 y + 2 z = −9 7 x + 5 y + 3 z = −7 4 x + 3 y + z = −3
{ 1 3 x − y − z = 1 x + 5 2 y + z = −2 2 x + 2 y + 1 2 z = −4 { 1 3 x − y − z = 1 x + 5 2 y + z = −2 2 x + 2 y + 1 2 z = −4
{ x + 1 2 y + 1 2 z = 0 1 5 x − 1 5 y + z = 0 1 3 x − 1 3 y + 2 z = −1 { x + 1 2 y + 1 2 z = 0 1 5 x − 1 5 y + z = 0 1 3 x − 1 3 y + 2 z = −1
{ x + 1 3 y − 2 z = −1 1 3 x + y + 1 2 z = 0 1 2 x + 1 3 y − 1 2 z = −1 { x + 1 3 y − 2 z = −1 1 3 x + y + 1 2 z = 0 1 2 x + 1 3 y − 1 2 z = −1
{ 1 3 x − y + 1 2 z = 4 2 3 x + 5 2 y − 4 z = 0 x − 1 2 y + 3 2 z = 2 { 1 3 x − y + 1 2 z = 4 2 3 x + 5 2 y − 4 z = 0 x − 1 2 y + 3 2 z = 2
{ x + 2 z = 0 4 y + 3 z = −2 2 x − 5 y = 3 { x + 2 z = 0 4 y + 3 z = −2 2 x − 5 y = 3
{ 2 x + 5 y = 4 3 y − z = 3 4 x + 3 z = −3 { 2 x + 5 y = 4 3 y − z = 3 4 x + 3 z = −3
{ 2 y + 3 z = −1 5 x + 3 y = −6 7 x + z = 1 { 2 y + 3 z = −1 5 x + 3 y = −6 7 x + z = 1
{ 3 x − z = −3 5 y + 2 z = −6 4 x + 3 y = −8 { 3 x − z = −3 5 y + 2 z = −6 4 x + 3 y = −8
{ 4 x − 3 y + 2 z = 0 − 2 x + 3 y − 7 z = 1 2 x − 2 y + 3 z = 6 { 4 x − 3 y + 2 z = 0 − 2 x + 3 y − 7 z = 1 2 x − 2 y + 3 z = 6
{ x − 2 y + 2 z = 1 − 2 x + y − z = 2 x − y + z = 5 { x − 2 y + 2 z = 1 − 2 x + y − z = 2 x − y + z = 5
{ 2 x + 3 y + z = 12 x + y + z = 9 3 x + 4 y + 2 z = 20 { 2 x + 3 y + z = 12 x + y + z = 9 3 x + 4 y + 2 z = 20
{ x + 4 y + z = −8 4 x − y + 3 z = 9 2 x + 7 y + z = 0 { x + 4 y + z = −8 4 x − y + 3 z = 9 2 x + 7 y + z = 0
{ x + 2 y + z = 4 x + y − 2 z = 3 − 2 x − 3 y + z = −7 { x + 2 y + z = 4 x + y − 2 z = 3 − 2 x − 3 y + z = −7
{ x + y − 2 z = 3 − 2 x − 3 y + z = −7 x + 2 y + z = 4 { x + y − 2 z = 3 − 2 x − 3 y + z = −7 x + 2 y + z = 4
{ x + y − 3 z = −1 y − z = 0 − x + 2 y = 1 { x + y − 3 z = −1 y − z = 0 − x + 2 y = 1
{ x − 2 y + 3 z = 1 x + y − 3 z = 7 3 x − 4 y + 5 z = 7 { x − 2 y + 3 z = 1 x + y − 3 z = 7 3 x − 4 y + 5 z = 7
Solve Applications using Systems of Linear Equations with Three Variables
In the following exercises, solve the given problem.
The sum of the measures of the angles of a triangle is 180. The sum of the measures of the second and third angles is twice the measure of the first angle. The third angle is twelve more than the second. Find the measures of the three angles.
The sum of the measures of the angles of a triangle is 180. The sum of the measures of the second and third angles is three times the measure of the first angle. The third angle is fifteen more than the second. Find the measures of the three angles.
After watching a major musical production at the theater, the patrons can purchase souvenirs. If a family purchases 4 t-shirts, the video, and 1 stuffed animal, their total is $135.
A couple buys 2 t-shirts, the video, and 3 stuffed animals for their nieces and spends $115. Another couple buys 2 t-shirts, the video, and 1 stuffed animal and their total is $85. What is the cost of each item?
The church youth group is selling snacks to raise money to attend their convention. Amy sold 2 pounds of candy, 3 boxes of cookies and 1 can of popcorn for a total sales of $65. Brian sold 4 pounds of candy, 6 boxes of cookies and 3 cans of popcorn for a total sales of $140. Paulina sold 8 pounds of candy, 8 boxes of cookies and 5 cans of popcorn for a total sales of $250. What is the cost of each item?
Writing Exercises
In your own words explain the steps to solve a system of linear equations with three variables by elimination.
How can you tell when a system of three linear equations with three variables has no solution? Infinitely many solutions?
Self Check
ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.
ⓑ On a scale of 1-10, how would you rate your mastery of this section in light of your responses on the checklist? How can you improve this?