Learning Objectives
By the end of this section, you will be able to:
Write the augmented matrix for a system of equations
Use row operations on a matrix
Solve systems of equations using matrices
Be Prepared 4.13
Before you get started, take this readiness quiz.
Solve: 3(x+2)+4=4(2x−1)+9.3(x+2)+4=4(2x−1)+9. If you missed this problem, review Example 2.2.
Be Prepared 4.14
Solve: 0.25p+0.25(p+4)=5.20.0.25p+0.25(p+4)=5.20. If you missed this problem, review Example 2.13.
Be Prepared 4.15
Evaluate when x=−2x=−2 and y=3:2x2−xy+3y2.y=3:2x2−xy+3y2. If you missed this problem, review Example 1.21.
Write the Augmented Matrix for a System of Equations
Solving a system of equations can be a tedious operation where a simple mistake can wreak havoc on finding the solution. An alternative method which uses the basic procedures of elimination but with notation that is simpler is available. The method involves using a matrix. A matrix is a rectangular array of numbers arranged in rows and columns.
Matrix
A matrix is a rectangular array of numbers arranged in rows and columns.
A matrix with m rows and n columns has order m×n.m×n. The matrix on the left below has 2 rows and 3 columns and so it has order 2×3.2×3. We say it is a 2 by 3 matrix.
Each number in the matrix is called an element or entry in the matrix.
We will use a matrix to represent a system of linear equations. We write each equation in standard form and the coefficients of the variables and the constant of each equation becomes a row in the matrix. Each column then would be the coefficients of one of the variables in the system or the constants. A vertical line replaces the equal signs. We call the resulting matrix the augmented matrix for the system of equations.
Notice the first column is made up of all the coefficients of x, the second column is the all the coefficients of y, and the third column is all the constants.
Example 4.37
Write each system of linear equations as an augmented matrix:
ⓐ {5x−3y=−1y=2x−2{5x−3y=−1y=2x−2 ⓑ {6x−5y+2z=32x+y−4z=53x−3y+z=−1{6x−5y+2z=32x+y−4z=53x−3y+z=−1
Solution
ⓐ The second equation is not in standard form. We rewrite the second equation in standard form.
We replace the second equation with its standard form. In the augmented matrix, the first equation gives us the first row and the second equation gives us the second row. The vertical line replaces the equal signs.
ⓑ All three equations are in standard form. In the augmented matrix the first equation gives us the first row, the second equation gives us the second row, and the third equation gives us the third row. The vertical line replaces the equal signs.
Try It 4.73
Write each system of linear equations as an augmented matrix:
ⓐ {3x+8y=−32x=−5y−3{3x+8y=−32x=−5y−3 ⓑ {2x−5y+3z=83x−y+4z=7x+3y+2z=−3{2x−5y+3z=83x−y+4z=7x+3y+2z=−3
Try It 4.74
Write each system of linear equations as an augmented matrix:
ⓐ {11x=−9y−57x+5y=−1{11x=−9y−57x+5y=−1 ⓑ {5x−3y+2z=−52x−y−z=43x−2y+2z=−7{5x−3y+2z=−52x−y−z=43x−2y+2z=−7
It is important as we solve systems of equations using matrices to be able to go back and forth between the system and the matrix. The next example asks us to take the information in the matrix and write the system of equations.
Example 4.38
Write the system of equations that corresponds to the augmented matrix:
[4−3312−1−2−13|−12−4].[4−3312−1−2−13|−12−4].
Solution
We remember that each row corresponds to an equation and that each entry is a coefficient of a variable or the constant. The vertical line replaces the equal sign. Since this matrix is a 4×34×3, we know it will translate into a system of three equations with three variables.
Try It 4.75
Write the system of equations that corresponds to the augmented matrix: [1−12321−214−120].[1−12321−214−120].
Try It 4.76
Write the system of equations that corresponds to the augmented matrix: [111423−1811−13].[111423−1811−13].
Use Row Operations on a Matrix
Once a system of equations is in its augmented matrix form, we will perform operations on the rows that will lead us to the solution.
To solve by elimination, it doesn’t matter which order we place the equations in the system. Similarly, in the matrix we can interchange the rows.
When we solve by elimination, we often multiply one of the equations by a constant. Since each row represents an equation, and we can multiply each side of an equation by a constant, similarly we can multiply each entry in a row by any real number except 0.
In elimination, we often add a multiple of one row to another row. In the matrix we can replace a row with its sum with a multiple of another row.
ਇਹਨਾਂ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜ ਆਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨਗੀਆਂ।
ਕਤਾਰ ਕਾਰਜ
ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ, ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕਤਾਰ 'ਤੇ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਮੂਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗਾ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਕਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਕਿਸੇ ਕਤਾਰ ਨੂੰ 0 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਕਤਾਰ ਦਾ ਗੈਰ-ਸਿਫਰ ਗੁਣਕ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
ਇਹਨਾਂ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੈ ਪਰ ਸਾਰੀ ਗਣਿਤ ਗਲਤੀ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਹਰ ਕਦਮ ਵਿੱਚ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਦਰਜ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਜਾ ਕੇ ਜਾਂਚਣਾ ਬਹੁਤ ਸੌਖਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਕਤਾਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸਬਸਕ੍ਰਿਪਟਾਂ ਵਾਲੇ ਵੱਡੇ ਅੱਖਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਨਵੇਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਕਾਰਜ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਕਤਾਰ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ:
ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ −3−3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ:
ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ −3−3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਕਤਾਰ 1 ਵਿੱਚ ਜੋੜਨ ਲਈ:
ਉਦਾਹਰਨ 4.39
ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ 'ਤੇ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਕਾਰਜ ਕਰੋ:
ⓐ ਕਤਾਰਾਂ 2 ਅਤੇ 3 ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ⓑ ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ 5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ⓒ ਕਤਾਰ 3 ਨੂੰ −2−2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 1 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
ਹੱਲ
ⓐ ਅਸੀਂ ਕਤਾਰਾਂ 2 ਅਤੇ 3 ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ।
ⓑ ਅਸੀਂ ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ 5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ⓒ ਅਸੀਂ ਕਤਾਰ 3 ਨੂੰ −2−2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 1 ਵਿੱਚ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 4.77
ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ 'ਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਕਾਰਜ ਕਰੋ:
ⓐ ਕਤਾਰਾਂ 1 ਅਤੇ 3 ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ⓑ ਕਤਾਰ 3 ਨੂੰ 3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ⓒ ਕਤਾਰ 3 ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
1. [5−2−24−1−4−230|−24−1]
2. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.78
3. ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉੱਤੇ ਦਰਸਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਕਰੋ:
4. ⓐ ਕਤਾਰਾਂ 1 ਅਤੇ 2 ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ,
5. ⓑ ਕਤਾਰ 1 ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ,
6. ⓒ ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ 3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 1 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
7. [2−3−241−3504|−42−1]
8. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਤਾਰ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦਾ ਅਭਿਆਸ ਕਰ ਲਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ ਅਤੇ ਪਤਾ ਲਗਾਵਾਂਗੇ ਕਿ ਅਸੀਂ ਟੀਚੇ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਕਿਹੜੀ ਕਿਰਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਹ ਬਿਲਕੁਲ ਉਹੀ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਉਦੋਂ ਕੀਤਾ ਸੀ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਖਾਤਮਾ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਕੀਤਾ ਸੀ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਿਹੜੀ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਇੱਕ ਕਤਾਰ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ ਤਾਂ ਜੋ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਜੋੜੀਏ ਤਾਂ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਖਤਮ ਹੋ ਜਾਵੇ।
9. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਇਸ ਸਿਸਟਮ ਨਾਲ, x ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਕਰੋਗੇ?
10. ਇਹ ਅਗਲਾ ਉਦਾਹਰਨ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਹੀ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 4.40
12. ਲੋੜੀਂਦੀ ਕਤਾਰ ਕਿਰਿਆ ਕਰੋ ਜੋ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਕਤਾਰ 2 ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਐਂਟਰੀ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਬਣਾ ਦੇਵੇ: [1−14−8|20]। [1−14−8|20]।
13. ਹੱਲ
14. 4 ਨੂੰ 0 ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕਤਾਰ 1 ਨੂੰ −4−4 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਕਤਾਰ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
15. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.79
16. ਲੋੜੀਂਦੀ ਕਤਾਰ ਕਿਰਿਆ ਕਰੋ ਜੋ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਕਤਾਰ 2 ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਐਂਟਰੀ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਬਣਾ ਦੇਵੇ: [1−13−6|22]। [1−13−6|22]।
17. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.80
18. ਲੋੜੀਂਦੀ ਕਤਾਰ ਕਿਰਿਆ ਕਰੋ ਜੋ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਕਤਾਰ 2 ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਐਂਟਰੀ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਬਣਾ ਦੇਵੇ: [1−1−2−3|32]। [1−1−2−3|32]।
19. ਮੈਟ੍ਰਿਸਿਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
20. ਮੈਟ੍ਰਿਸਿਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਕਤਾਰ-ਇਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਕਤਾਰ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ। ਇੱਕ ਇਕਸਾਰ ਅਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਲਈ, ਇਸਦੀ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਤਾਰ-ਇਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਲਾਈਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ, ਵਿਕਰਣ ਉੱਤੇ ਹਰੇਕ ਐਂਟਰੀ ਇੱਕ 1 ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਵਿਕਰਣ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਐਂਟਰੀਆਂ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
21. ਕਤਾਰ-ਇਚੇਲੋਨ ਰੂਪ
22. ਇੱਕ ਇਕਸਾਰ ਅਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਲਈ, ਇਸਦੀ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਤਾਰ-ਇਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਲਾਈਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ, ਵਿਕਰਣ ਉੱਤੇ ਹਰੇਕ ਐਂਟਰੀ ਇੱਕ 1 ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਵਿਕਰਣ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਐਂਟਰੀਆਂ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
23. ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਕਤਾਰ-ਇਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲੈ ਆਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪੜ੍ਹ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਜਾਰੀ ਰੱਖਣ ਲਈ ਇਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 4.41
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {3x+4y=5x+2y=1.{3x+4y=5x+2y=1.
ਹੱਲ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.81
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {2x+y=7x−2y=6.{2x+y=7x−2y=6.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.82
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {2x+y=−4x−y=−2.{2x+y=−4x−y=−2.
ਕਦਮ ਇੱਥੇ ਸਾਰਾਂਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਮੈਟ੍ਰਿਸਿਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਈ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਲਿਖੋ।
ਕਦਮ 2. ਰੋਅ ਓਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ, ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਐਂਟਰੀ ਨੂੰ 1 ਬਣਾਓ।
ਕਦਮ 3. ਰੋਅ ਓਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, 1 ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋ ਬਣਾਓ।
ਕਦਮ 4. ਰੋਅ ਓਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ, ਦੂਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਐਂਟਰੀ ਨੂੰ 1 ਬਣਾਓ।
ਕਦਮ 5. ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਰੋਅ-ਈਸ਼ੇਲੋਨ ਫਾਰਮ ਵਿੱਚ ਨਾ ਹੋਵੇ।
ਕਦਮ 6. ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਿਖੋ।
ਕਦਮ 7. ਬਾਕੀ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 8. ਹੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਆਰਡਰਡ ਪੇਅਰ ਜਾਂ ਟ੍ਰਿਪਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਕਦਮ 9. ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਹੱਲ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਚ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਇੱਥੇ ਰੋਅ-ਈਸ਼ੇਲੋਨ ਫਾਰਮ ਲਈ 1 ਅਤੇ 0 ਨੂੰ ਸਹੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਜ਼ੂਅਲ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਉਹੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.42
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {3x+8y+2z=−52x+5y−3z=0x+2y−2z=−1.{3x+8y+2z=−52x+5y−3z=0x+2y−2z=−1.
ਹੱਲ
1. ਕਤਾਰ: ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਲਿਖੋ।
2. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਅਤੇ ਤੀਜੀ ਕਤਾਰ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਤਾਂ ਜੋ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ, ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ।
3. ਕਤਾਰ: ਕਤਾਰ ਕਾਰਜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, 1 ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।
4. ਕਤਾਰ: ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ, ਦੂਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਹੁਣ 1 ਹੈ।
5. ਕਤਾਰ: ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਕਤਾਰ-ਪੌੜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆਉਣ ਤੱਕ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ।
6. ਕਤਾਰ: ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁਣ ਕਤਾਰ-ਪੌੜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
7. ਕਤਾਰ: ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਿਖੋ।
8. ਕਤਾਰ: ਬਾਕੀ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
9. ਕਤਾਰ: ਹੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੀ ਜਾਂ ਤਿੱਕੜੀ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
10. ਕਤਾਰ: ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਹੱਲ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਚ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਜਾਂਚ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
11. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.83
12. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {2x−5y+3z=83x−y+4z=7x+3y+2z=−3.{2x−5y+3z=83x−y+4z=7x+3y+2z=−3.
13. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.84
14. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {−3x+y+z=−4−x+2y−2z=12x−y−z=−1.{−3x+y+z=−4−x+2y−2z=12x−y−z=−1.
15. ਹੁਣ ਤੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਸਾਡਾ ਕੰਮ ਸਿਰਫ਼ ਅਜਿਹੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨਾਲ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੋ ਸੁਸੰਗਤ ਅਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ। ਆਓ ਹੁਣ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰਭਰ ਜਾਂ ਅਸੰਗਤ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
16. ਉਦਾਹਰਨ 4.43
17. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x+y+3z=0x+3y+5z=02x+4z=1.{x+y+3z=0x+3y+5z=02x+4z=1.
18. ਹੱਲ
19. ਕਤਾਰ: ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਲਿਖੋ।
20. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ, ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ 1 ਹੈ।
21. ਕਤਾਰ: ਕਤਾਰ ਕਾਰਜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, 1 ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।
22. ਕਤਾਰ: ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਕਤਾਰ-ਪੌੜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆਉਣ ਤੱਕ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ।
23. ਕਤਾਰ: ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਤੀਜੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
24. ਕਤਾਰ: ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਤੀਜੀ ਕਤਾਰ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸਾਰੀਆਂ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ।
1. ਕਤਾਰ: ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਿਖੋ।
2. ਕਤਾਰ: ਕਿਉਂਕਿ 0≠10≠1 ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਝੂਠਾ ਬਿਆਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਹੋਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਅਸੰਗਤ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੈ। ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
3. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 4.85
4. ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x−2y+2z=1−2x+y−z=2x−y+z=5.{x−2y+2z=1−2x+y−z=2x−y+z=5.
5. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 4.86
6. ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {3x+4y−3z=−22x+3y−z=−12x+y−2z=6.{3x+4y−3z=−22x+3y−z=−12x+y−2z=6.
7. ਆਖਰੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਅਸੰਗਤ ਸੀ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਸੀ। ਅਗਲਾ ਉਦਾਹਰਨ ਨਿਰਭਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹਨ।
8. ਉਦਾਹਰਨ 4.44
9. ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x−2y+3z=1x+y−3z=73x−4y+5z=7.{x−2y+3z=1x+y−3z=73x−4y+5z=7.
10. ਹੱਲ
11. ਕਤਾਰ: ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਸੰਵਰਧਿਤ ਮੈਟਰਿਕਸ ਲਿਖੋ।
12. ਕਤਾਰ: ਕਤਾਰ 1, ਕਾਲਮ 1 ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ 1 ਹੈ।
13. ਕਤਾਰ: ਕਤਾਰ ਕਾਰਜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, 1 ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਕਾਲਮ 1 ਵਿੱਚ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।
14. ਕਤਾਰ: ਮੈਟਰਿਕਸ ਨੂੰ ਕਤਾਰ-ਇਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆਉਣ ਤੱਕ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ।
15. ਕਤਾਰ: ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ −2−2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਕਤਾਰ 3 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
16. ਕਤਾਰ: ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੇਠਲੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ।
17. ਕਤਾਰ: ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਿਖੋ।
18. ਕਤਾਰ: ਕਿਉਂਕਿ 0=00=0 ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੱਚਾ ਬਿਆਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਨਿਰਭਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੈ। ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹਨ।
19. ਕਤਾਰ: ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ y ਨੂੰ z ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਕਰੋ।
20. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ z ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਕਰੋ।
21. ਕਤਾਰ: y=2z+2.y=2z+2 ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ।
22. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
23. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
24. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
row: The system has infinitely many solutions (85,-425,-245)(85,-425,-245)
Try It 4.87
Solve the system of equations using a matrix: {x+y−z=02x+4y−2z=63x+6y−3z=9.{x+y−z=02x+4y−2z=63x+6y−3z=9.
Try It 4.88
Solve the system of equations using a matrix: {x−y−z=1−x+2y−3z=−43x−2y−7z=0.{x−y−z=1−x+2y−3z=−43x−2y−7z=0.
Media
Access this online resource for additional instruction and practice with Gaussian Elimination.
Gaussian Elimination
Practice Makes Perfect
Write the Augmented Matrix for a System of Equations
In the following exercises, write each system of linear equations as an augmented matrix.
ⓐ {3x−y=−12y=2x+5{3x−y=−12y=2x+5ⓑ {4x+3y=−2x−2y−3z=72x−y+2z=−6{4x+3y=−2x−2y−3z=72x−y+2z=−6
ⓐ {2x+4y=−53x−2y=2{2x+4y=−53x−2y=2ⓑ {3x−2y−z=−2−2x+y=55x+4y+z=−1{3x−2y−z=−2−2x+y=55x+4y+z=−1
ⓐ {3x−y=−42x=y+2{3x−y=−42x=y+2ⓑ {x−3y−4z=−24x+2y+2z=52x−5y+7z=−8{x−3y−4z=−24x+2y+2z=52x−5y+7z=−8
ⓐ {2x−5y=−34x=3y−1{2x−5y=−34x=3y−1ⓑ {4x+3y−2z=−3−2x+y−3z=4−x−4y+5z=−2{4x+3y−2z=−3−2x+y−3z=4−x−4y+5z=−2
Write the system of equations that corresponds to the augmented matrix.
[ 2 −1 1 −3 | 4 2 ] [ 2 −1 1 −3 | 4 2 ]
[2−43−3| −2 −1 ] [2−43−3| −2 −1 ]
[ 1 0 −3 1 −2 0 0 −1 2 | −1 −2 3 ] [ 1 0 −3 1 −2 0 0 −1 2 | −1 −2 3 ]
[ 2 −2 0 0 2 −1 3 0 −1 | −1 2 −2 ] [ 2 −2 0 0 2 −1 3 0 −1 | −1 2 −2 ]
Use Row Operations on a Matrix
In the following exercises, perform the indicated operations on the augmented matrices.
[ 6 −4 3 −2 | 3 1 ] [ 6 −4 3 −2 | 3 1 ]
ⓐ Interchange rows 1 and 2
ⓑ Multiply row 2 by 3
ⓒ Multiply row 2 by −2−2 and add row 1 to it.
[ 4 −6 3 2 | −3 1 ] [ 4 −6 3 2 | −3 1 ]
ⓐ Interchange rows 1 and 2
ⓑ Multiply row 1 by 4
ⓒ Multiply row 2 by 3 and add row 1 to it.
[ 4 −12 −8 4 −2 −3 −6 2 −1 | 16 −1 −1 ] [ 4 −12 −8 4 −2 −3 −6 2 −1 | 16 −1 −1 ]
ⓐ Interchange rows 2 and 3
ⓑ Multiply row 1 by 4
ⓒ Multiply row 2 by −2−2 and add to row 3.
[ 6 −5 2 2 1 −4 3 −3 1 | 3 5 −1 ] [ 6 −5 2 2 1 −4 3 −3 1 | 3 5 −1 ]
ⓐ Interchange rows 2 and 3
ⓑ Multiply row 2 by 5
ⓒ Multiply row 3 by −2−2 and add to row 1.
Perform the needed row operation that will get the first entry in row 2 to be zero in the augmented matrix: [12−3−4|5−1].[12−3−4|5−1].
Perform the needed row operations that will get the first entry in both row 2 and row 3 to be zero in the augmented matrix: [1−233−1−22−3−4|−45−1].[1−233−1−22−3−4|−45−1].
Solve Systems of Equations Using Matrices
In the following exercises, solve each system of equations using a matrix.
{ 2 x + y = 2 x − y = −2 { 2 x + y = 2 x − y = −2
{ 3 x + y = 2 x − y = 2 { 3 x + y = 2 x − y = 2
{ − x + 2 y = −2 x + y = −4 { − x + 2 y = −2 x + y = −4
{ −2 x + 3 y = 3 x + 3 y = 12 { −2 x + 3 y = 3 x + 3 y = 12
In the following exercises, solve each system of equations using a matrix.
{ 2 x − 3 y + z = 19 −3 x + y − 2 z = −15 x + y + z = 0 { 2 x − 3 y + z = 19 −3 x + y − 2 z = −15 x + y + z = 0
{ 2 x − y + 3 z = −3 − x + 2 y − z = 10 x + y + z = 5 { 2 x − y + 3 z = −3 − x + 2 y − z = 10 x + y + z = 5
{ 2 x − 6 y + z = 3 3 x + 2 y − 3 z = 2 2 x + 3 y − 2 z = 3 { 2 x − 6 y + z = 3 3 x + 2 y − 3 z = 2 2 x + 3 y − 2 z = 3
{ 4 x − 3 y + z = 7 2 x − 5 y − 4 z = 3 3 x − 2 y − 2 z = −7 { 4 x − 3 y + z = 7 2 x − 5 y − 4 z = 3 3 x − 2 y − 2 z = −7
{ x + 2 z = 0 4 y + 3 z = −2 2 x − 5 y = 3 { x + 2 z = 0 4 y + 3 z = −2 2 x − 5 y = 3
{ 2 x + 5 y = 4 3 y − z = 3 4 x + 3 z = −3 { 2 x + 5 y = 4 3 y − z = 3 4 x + 3 z = −3
{ 2 y + 3 z = −1 5 x + 3 y = −6 7 x + z = 1 { 2 y + 3 z = −1 5 x + 3 y = −6 7 x + z = 1
{ 3 x − z = −3 5 y + 2 z = −6 4 x + 3 y = −8 { 3 x − z = −3 5 y + 2 z = −6 4 x + 3 y = −8
{ 2 x + 3 y + z = 12 x + y + z = 9 3 x + 4 y + 2 z = 20 { 2 x + 3 y + z = 12 x + y + z = 9 3 x + 4 y + 2 z = 20
{ x + 2 y + 6 z = 5 − x + y − 2 z = 3 x − 4 y − 2 z = 1 { x + 2 y + 6 z = 5 − x + y − 2 z = 3 x − 4 y − 2 z = 1
{ x + 2 y − 3 z = −1 x − 3 y + z = 1 2 x − y − 2 z = 2 { x + 2 y − 3 z = −1 x − 3 y + z = 1 2 x − y − 2 z = 2
{ 4 x − 3 y + 2 z = 0 −2 x + 3 y − 7 z = 1 2 x − 2 y + 3 z = 6 { 4 x − 3 y + 2 z = 0 −2 x + 3 y − 7 z = 1 2 x − 2 y + 3 z = 6
{ x − y + 2 z = −4 2 x + y + 3 z = 2 −3 x + 3 y − 6 z = 12 { x − y + 2 z = −4 2 x + y + 3 z = 2 −3 x + 3 y − 6 z = 12
{ − x − 3 y + 2 z = 14 − x + 2 y − 3 z = −4 3 x + y − 2 z = 6 { − x − 3 y + 2 z = 14 − x + 2 y − 3 z = −4 3 x + y − 2 z = 6
{ x + y − 3 z = −1 y − z = 0 − x + 2 y = 1 { x + y − 3 z = −1 y − z = 0 − x + 2 y = 1
{ x + 2 y + z = 4 x + y − 2 z = 3 −2 x − 3 y + z = −7 { x + 2 y + z = 4 x + y − 2 z = 3 −2 x − 3 y + z = −7
Writing Exercises
Solve the system of equations {x+y=10x−y=6{x+y=10x−y=6 ⓐ by graphing and ⓑ by substitution. ⓒ Which method do you prefer? Why?
Solve the system of equations {3x+y=12x=y−8{3x+y=12x=y−8 by substitution and explain all your steps in words.
Self Check
ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.
ⓑ After looking at the checklist, do you think you are well-prepared for the next section? Why or why not?