ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਨਿਰਣਾਇਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਨਿਰਣਾਇਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਨਿਰਣਾਇਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਤਿਆਰੀ 4.16
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
ਸਰਲ ਕਰੋ: 5(−2)−(−4)(1)। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਖੁੰਝ ਗਏ ਹੋ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.20 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 4.17
ਸਰਲ ਕਰੋ: −3(8−10)+(−2)(6−3)−4(−3−(−4))। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਖੁੰਝ ਗਏ ਹੋ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.19 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 4.18
ਸਰਲ ਕਰੋ: −12−8। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਖੁੰਝ ਗਏ ਹੋ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.18 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਜਿਸਨੂੰ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਕੁਝ ਨਵੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਅਤੇ ਸੰਕੇਤ ਸਿੱਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਨਿਰਣਾਇਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਕਤਾਰਾਂ ਅਤੇ ਕਾਲਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਹਰੇਕ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਜੁੜੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਇਸਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ [abcd] ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਸਨੂੰ |abcd| ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਨਿਰਣਾਇਕ ਦੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਵਿਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਨਿਰਣਾਇਕ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ [abcd] ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ, ਜਿੱਥੇ a, b, c, ਅਤੇ d ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਉਹ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 4.45
ਨਿਰਣਾਇਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ⓐ [4−23−1] ⓑ [−3−4−20]।
ਹੱਲ
ⓐ
ਕਤਾਰ: ਨਿਰਣਾਇਕ ਲਿਖੋ।
ਕਤਾਰ: ਵਿਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਓ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ⓑ
ਨਿਰਧਾਰਕ ਲਿਖੋ।
ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਓ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 4.89
ⓐ [5−32−4][5−32−4] ⓑ [−4−607].[−4−607] ਦੇ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 4.90
ⓐ [−13−24][−13−24] ⓑ [−7−3−50].[−7−3−50] ਦੇ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
3×33×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
3×33×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਕ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਐਂਟਰੀ ਦੇ ਮਾਈਨਰ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਐਂਟਰੀ ਦਾ ਮਾਈਨਰ 2×22×2 ਨਿਰਧਾਰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ 3×33×3 ਨਿਰਧਾਰਕ ਵਿੱਚ ਉਸ ਐਂਟਰੀ ਵਾਲੀ ਕਤਾਰ ਅਤੇ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
3 × 33 × 3 ਨਿਰਧਾਰਕ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਐਂਟਰੀ ਦਾ ਮਾਈਨਰ
3×33×3 ਨਿਰਧਾਰਕ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਐਂਟਰੀ ਦਾ ਮਾਈਨਰ 2×22×2 ਨਿਰਧਾਰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ 3×33×3 ਨਿਰਧਾਰਕ ਵਿੱਚ ਉਸ ਐਂਟਰੀ ਵਾਲੀ ਕਤਾਰ ਅਤੇ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਐਂਟਰੀ a1,a1 ਦਾ ਮਾਈਨਰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਉਸ ਕਤਾਰ ਅਤੇ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਬਾਕੀ ਰਹਿੰਦੇ 2×22×2 ਨਿਰਧਾਰਕ ਨੂੰ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਐਂਟਰੀ b2,b2 ਦਾ ਮਾਈਨਰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਉਸ ਕਤਾਰ ਅਤੇ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਬਾਕੀ ਰਹਿੰਦੇ 2×22×2 ਨਿਰਧਾਰਕ ਨੂੰ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.46
|4−2310−3−2−42|,|4−2310−3−2−42| ਨਿਰਧਾਰਕ ਲਈ, ⓐ a1a1 ⓑ b3b3 ⓒ c2.c2. ਦੇ ਮਾਈਨਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਸਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ⓐ
ਕਤਾਰ: a1.a1 ਵਾਲੀ ਕਤਾਰ ਅਤੇ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ।
ਕਤਾਰ: ਬਾਕੀ ਰਹਿੰਦੇ 2×22×2 ਨਿਰਧਾਰਕ ਨੂੰ ਲਿਖੋ।
ਕਤਾਰ: ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
పంਕਤੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ⓑ
పంਕਤੀ: ਬੀ3.ਬੀ3 ਵਾਲੀ ਪੰਕਤੀ ਅਤੇ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ।
పంਕਤੀ: ਬਾਕੀ ਰਹੇ 2×22×2 ਨਿਰਧਾਰਕ ਨੂੰ ਲਿਖੋ।
పంਕਤੀ: ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
పంਕਤੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ⓒ
పంਕਤੀ: ਸੀ2.ਸੀ2 ਵਾਲੀ ਪੰਕਤੀ ਅਤੇ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ।
పంਕਤੀ: ਬਾਕੀ ਰਹੇ 2×22×2 ਨਿਰਧਾਰਕ ਨੂੰ ਲਿਖੋ।
పంਕਤੀ: ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
పంਕਤੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.91
ਨਿਰਧਾਰਕ |1−1402−1−2−33|,|1−1402−1−2−33| ਲਈ, ⓐ a1a1 ⓑ b2b2 ⓒ c3.c3. ਦੇ ਮਾਈਨਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.92
ਨਿਰਧਾਰਕ |−2−1030−1−1−23|,|−2−1030−1−1−23| ਲਈ, ⓐ a2a2 ⓑ b3b3 ⓒ c2.c2. ਦੇ ਮਾਈਨਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ 3×33×3 ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਮਾਈਨਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ 2×22×2 ਨਿਰਧਾਰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 3×33×3 ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ—ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ!
ਪਹਿਲੀ ਪੰਕਤੀ ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਈਨਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ 3×33×3 ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਕਿਸੇ ਐਂਟਰੀ ਦੇ ਮਾਈਨਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਅਸੀਂ ਉਸ ਪੰਕਤੀ ਅਤੇ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਐਂਟਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
3 × 33 × 3 ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲੀ ਪੰਕਤੀ ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਈਨਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨਾ
ਪਹਿਲੀ ਪੰਕਤੀ ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਈਨਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ 3×33×3 ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਪੈਟਰਨ ਹੈ:
ਉਦਾਹਰਨ 4.47
ਪਹਿਲੀ ਪੰਕਤੀ ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਈਨਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਕ |2−3−1320−1−1−2||2−3−1320−1−1−2| ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪੰਕਤੀ: ਪਹਿਲੀ ਪੰਕਤੀ ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਈਨਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਹਰੇਕ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
3. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
4. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
5. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 4.93
6. ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਈਨਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਕ |3−240−1−223−1| ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
7. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 4.94
8. ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਈਨਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਕ |3−2−22−14−10−3| ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
9. 3×3 ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮਾਈਨਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕੋਈ ਹੋਰ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਚੁਣਨ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਈ ਵਾਰ ਸੌਖਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
10. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਾਰੇ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹਿਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਪਦਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਪੈਟਰਨ ਚਾਰਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
11. ਚਿੰਨ੍ਹ ਪੈਟਰਨ
12. ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮਾਈਨਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ।
13. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਚਿੰਨ੍ਹ ਪੈਟਰਨ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।
14. ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਕਿਹੜੀ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਹੈ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ? ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਚੁਣਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਾਡੀ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਸੌਖਾ ਬਣਾਵੇ। ਜੇ ਨਿਰਧਾਰਕ ਵਿੱਚ 0 ਹੈ, ਤਾਂ 0 ਵਾਲੀ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਨਾਲ ਗਣਨਾਵਾਂ ਸੌਖੀਆਂ ਹੋ ਜਾਣਗੀਆਂ।
15. ਉਦਾਹਰਨ 4.48
16. ਮਾਈਨਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਕ |4−1−33025−4−3| ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
17. ਹੱਲ
18. ਮਾਈਨਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਾਡੀਆਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸੌਖਾ ਬਣਾਵੇ। ਕਿਉਂਕਿ 0 ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਇਸ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਵਿਕਲਪ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਦੂਜੇ ਕਾਲਮ ਨਾਲੋਂ ਘੱਟ ਨੈਗੇਟਿਵ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਾਂਗੇ।
19. ਕਤਾਰ: ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
20. ਕਤਾਰ: ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਧਿਆਨ ਰੱਖੋ।
21. ਕਤਾਰ: ਹਰੇਕ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
22. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
23. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
24. ਕਤਾਰ: ਜੋੜੋ।
੧. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ ੪.੯੫
੨. ਮਾਈਨਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਕ |੨−੧−੩੦੩−੪੩−੪−੩||੨−੧−੩੦੩−੪੩−੪−੩| ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
੩. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ ੪.੯੬
੪. ਮਾਈਨਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਕ |−੨−੧−੩−੧੨੨੪−੪੦||−੨−੧−੩−੧੨੨੪−੪੦| ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
੫. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ ਵਰਤੋ
੬. ਕ੍ਰੈਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ ਨਿਰਧਾਰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਖਾਤਮੇ ਦੁਆਰਾ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਾਲੇ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਾਲੇ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੋਵਾਂ ਲਈ ਨਿਯਮ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕਰਾਂਗੇ।
੭. ਆਓ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਾਲੇ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
੮. ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ
੯. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ {a1x+b1y=k1a2x+b2y=k2,{a1x+b1y=k1a2x+b2y=k2, ਲਈ, ਹੱਲ (x,y)(x,y) ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
੧੦. ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਨਿਰਧਾਰਕ D ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
੧੧. ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਨਿਰਧਾਰਕ DxDx ਅਤੇ Dy,Dy ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅਚੱਲਾਂ ਨੂੰ ਉਸ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨਾਲ ਬਦਲ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ।
੧੨. ਉਦਾਹਰਨ ੪.੪੯
੧੩. ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ
੧੪. ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: {2x+y=−43x−2y=−6.{2x+y=−43x−2y=−6.
੧੫. ਹੱਲ
੧੬. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ ੪.੯੭
੧੭. ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: {3x+y=−32x+3y=6.{3x+y=−32x+3y=6.
੧੮. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ ੪.੯੮
੧੯. ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: {−x+y=22x+y=−4.{−x+y=22x+y=−4.
੨੦. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
੨੧. ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
੨੨. ਕਦਮ ੧. ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਕ D ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
੨੩. ਕਦਮ ੨. ਨਿਰਧਾਰਕ DxDx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। x ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਥਾਂ 'ਤੇ ਅਚੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
੨੪. ਕਦਮ ੩. ਨਿਰਧਾਰਕ DyDy ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। y ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਥਾਂ 'ਤੇ ਅਚੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
Step 4. Find x and y. x=DxD,x=DxD, y=DyDy=DyD
Step 5. Write the solution as an ordered pair.
Step 6. Check that the ordered pair is a solution to both original equations.
To solve a system of three equations with three variables with Cramer’s Rule, we basically do what we did for a system of two equations. However, we now have to solve for three variables to get the solution. The determinants are also going to be 3×33×3 which will make our work more interesting!
Cramer’s Rule for Solving a System of Three Equations
For the system of equations {a1x+b1y+c1z=k1a2x+b2y+c2z=k2a3x+b3y+c3z=k3,{a1x+b1y+c1z=k1a2x+b2y+c2z=k2a3x+b3y+c3z=k3, the solution (x,y,z)(x,y,z) can be determined by
Example 4.50
Solve the system of equations using Cramer’s Rule: {3x−5y+4z=55x+2y+z=02x+3y−2z=3.{3x−5y+4z=55x+2y+z=02x+3y−2z=3.
Solution
row: Evaluate the determinant D.
row: Expand by minors using column 1.
row: Evaluate the determinants.
row: Simplify.
row: Simplify.
row: Simplify.
row: Evaluate the determinant Dx.Dx. Use theconstants to replace the coefficients of x.
row: Expand by minors using column 1.
row: Evaluate the determinants.
row: Simplify.
row: Simplify.
row: Evaluate the determinant Dy.Dy. Use theconstants to replace the coefficients of y.
row: Evaluate the determinants.
row: Simplify.
row: Simplify.
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਨਿਰਧਾਰਕ Dz ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। Dz. Dz. ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ z ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ ਕਰੋ।
ਨਿਰਧਾਰਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
x, y, ਅਤੇ z ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤਿੱਕੜੀ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਇਹ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤਿੱਕੜੀ ਸਾਰੇ ਤਿੰਨ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ। | ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਤੁਹਾਡੇ 'ਤੇ ਛੱਡਦੇ ਹਾਂ।
ਹੱਲ (2,−3,−4) ਹੈ।(2,−3,−4)।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.99
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: {3x+8y+2z=−52x+5y−3z=0x+2y−2z=−1.{3x+8y+2z=−52x+5y−3z=0x+2y−2z=−1.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.100
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: {3x+y−6z=−32x+6y+3z=03x+2y−3z=−6.{3x+y−6z=−32x+6y+3z=03x+2y−3z=−6.
ਕ੍ਰੈਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ ਉਦੋਂ ਕੰਮ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਜਦੋਂ D ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਮੁੱਲ 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ ਅਸੀਂ 0 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋਵਾਂਗੇ। ਪਰ ਜਦੋਂ D=0,D=0, ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਜਾਂ ਤਾਂ ਅਸੰਗਤ ਜਾਂ ਨਿਰਭਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਜਦੋਂ D=0D=0 ਅਤੇ Dx,DyDx,Dy ਅਤੇ DzDz ਸਾਰੇ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸੰਗਤ ਅਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਜਦੋਂ D=0D=0 ਅਤੇ Dx,DyDx,Dy ਅਤੇ DzDz ਸਾਰੇ ਜ਼ੀਰੋ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਅਸੰਗਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਨਿਰਭਰ ਅਤੇ ਅਸੰਗਤ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਈ, ਜਿੱਥੇ ਨਿਰਧਾਰਕ D=0,D=0 ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਨਿਰਧਾਰਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਕਿਸਮ ਹੱਲ D=0 ਅਤੇ Dx,Dy ਅਤੇ Dz ਸਾਰੇ ਜ਼ੀਰੋ ਹਨ ਸੰਗਤ ਅਤੇ ਨਿਰਭਰ ਅਨੰਤ ਹੱਲ D=0 ਅਤੇ Dx,Dy ਅਤੇ Dz ਸਾਰੇ ਜ਼ੀਰੋ ਨਹੀਂ ਹਨ ਅਸੰਗਤ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਨਿਰਧਾਰਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਕਿਸਮ ਹੱਲ D=0 ਅਤੇ Dx,Dy ਅਤੇ Dz ਸਾਰੇ ਜ਼ੀਰੋ ਹਨ ਸੰਗਤ ਅਤੇ ਨਿਰਭਰ ਅਨੰਤ ਹੱਲ D=0 ਅਤੇ Dx,Dy ਅਤੇ Dz ਸਾਰੇ ਜ਼ੀਰੋ ਨਹੀਂ ਹਨ ਅਸੰਗਤ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਨਿਰਧਾਰਕਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.51
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ : {x+3y=4−2x−6y=3.{x+3y=4−2x−6y=3.
ਹੱਲ
{x+3y=4−2x−6y=3 ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ D, ਚਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। D=|13−2−6| D=−6−(−6) D=0
ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨਾਲ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਪਰ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ Dx ਅਤੇ Dy ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨਿਰਭਰ ਹੈ ਜਾਂ ਅਸੰਗਤ।
ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ Dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। Dx = | 4 3 3 −6 | Dx = −24 − 9 Dx = -33
ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਰੇ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਅਸੰਗਤ ਹੈ। ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.101
ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {4x−3y=88x−6y=14.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.102
ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x=−3y+42x+6y=8.
ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਰਜ਼ੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟਸ ਦੀ ਇੱਕ ਦਿਲਚਸਪ ਅਰਜ਼ੀ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਪਰਖਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਬਿੰਦੂ ਸਮਰੇਖੀ ਹਨ। ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ (x1,y1), (x2,y2) ਅਤੇ (x3,y3) ਸਮਰੇਖੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਜੇਕਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਵੇ।
ਸਮਰੇਖੀ ਬਿੰਦੂਆਂ ਲਈ ਪਰਖ
ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ (x1,y1), (x2,y2) ਅਤੇ (x3,y3) ਸਮਰੇਖੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਜੇਕਰ
ਅਸੀਂ ਇਸ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.52
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਬਿੰਦੂ (5,−5), (4,−3), ਅਤੇ (3,−1) ਸਮਰੇਖੀ ਹਨ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਬਿੰਦੂਆਂ (5,−5), (4,−3), ਅਤੇ (3,−1) ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਸਤਰ: ਕਾਲਮ 3 ਦੁਆਰਾ ਮਾਈਨਰਾਂ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟਸ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਦਾ ਮੁੱਲ 0 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਬਿੰਦੂ ਸਮਰੇਖੀ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.103
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਬਿੰਦੂ (3,−2), (5,−3), ਅਤੇ (1,−1) ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.104
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਬਿੰਦੂ (−4,−1), (−6,2), ਅਤੇ (−2,−4) ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਹਨ।
ਮੀਡੀਆ
ਨਿਰਧਾਰਕਾਂ ਜਾਂ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਨਿਰਧਾਰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਨਿਰਧਾਰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ
ਅਭਿਆਸ ਸੰਪੂਰਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ
2 × 2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਕ ਮੂਲਿਆਂਕਨ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਕ ਮੂਲਿਆਂਕਨ ਕਰੋ।
[ 6 −2 3 −1 ]
[ −4 8 −3 5 ]
[ −3 5 0 −4 ]
[ −2 0 7 −5 ]
3 × 3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਕ ਮੂਲਿਆਂਕਨ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਸੰਕੇਤ ਕੀਤੇ ਮਾਈਨਰਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਮੂਲਿਆਂਕਨ ਕਰੋ।
|3−14−10−2−415| ਮਾਈਨਰ ⓐ a1 ⓑ b2 ⓒ c3 ਲੱਭੋ
|−1−324−2−1−20−3| ਮਾਈਨਰ ⓐ a1 ⓑ b1 ⓒ c2 ਲੱਭੋ
|2−3−4−12−30−1−2| ਮਾਈਨਰ ⓐ a2 ⓑ b2 ⓒ c2 ਲੱਭੋ
|−2−231−30−23−2| ਮਾਈਨਰ ⓐ a3 ⓑ b3 ⓒ c3 ਲੱਭੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਈਨਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਮੂਲਿਆਂਕਨ ਕਰੋ।
| −2 3 −1 −1 2 −2 3 1 −3 |
| 4 −1 −2 −3 −2 1 −2 −5 7 |
| −2 −3 −4 5 −6 7 −1 2 0 |
1. | ੧ ੩ −੨ ੫ −੬ ੪ ੦ −੨ −੧ | | ੧ ੩ −੨ ੫ −੬ ੪ ੦ −੨ −੧ |
2. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਮਾਈਨਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
3. | −੫ −੧ −੪ ੪ ੦ −੩ ੨ −੨ ੬ | | −੫ −੧ −੪ ੪ ੦ −੩ ੨ −੨ ੬ |
4. | ੪ −੧ ੩ ੩ −੨ ੨ −੧ ੦ ੪ | | ੪ −੧ ੩ ੩ −੨ ੨ −੧ ੦ ੪ |
5. | ੩ ੫ ੪ −੧ ੩ ੦ −੨ ੬ ੧ | | ੩ ੫ ੪ −੧ ੩ ੦ −੨ ੬ ੧ |
6. | ੨ −੪ −੩ ੫ −੧ −੪ ੩ ੨ ੦ | | ੨ −੪ −੩ ੫ −੧ −੪ ੩ ੨ ੦ |
7. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
8. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
9. { −੨ x + ੩ y = ੩ x + ੩ y = ੧੨ { −੨ x + ੩ y = ੩ x + ੩ y = ੧੨
10. { x − ੨ y = −੫ ੨ x − ੩ y = −੪ { x − ੨ y = −੫ ੨ x − ੩ y = −੪
11. { x − ੩ y = −੯ ੨ x + ੫ y = ੪ { x − ੩ y = −੯ ੨ x + ੫ y = ੪
12. { ੨ x + y = −੪ ੩ x − ੨ y = −੬ { ੨ x + y = −੪ ੩ x − ੨ y = −੬
13. { x − ੨ y = −੫ ੨ x − ੩ y = −੪ { x − ੨ y = −੫ ੨ x − ੩ y = −੪
14. { x − ੩ y = −੯ ੨ x + ੫ y = ੪ { x − ੩ y = −੯ ੨ x + ੫ y = ੪
15. { ੫ x − ੩ y = −੧ ੨ x − y = ੨ { ੫ x − ੩ y = −੧ ੨ x − y = ੨
16. { ੩ x + ੮ y = −੩ ੨ x + ੫ y = −੩ { ੩ x + ੮ y = −੩ ੨ x + ੫ y = −੩
17. { ੬ x − ੫ y + ੨ z = ੩ ੨ x + y − ੪ z = ੫ ੩ x − ੩ y + z = −੧ { ੬ x − ੫ y + ੨ z = ੩ ੨ x + y − ੪ z = ੫ ੩ x − ੩ y + z = −੧
18. { ੪ x − ੩ y + z = ੭ ੨ x − ੫ y − ੪ z = ੩ ੩ x − ੨ y − ੨ z = −੭ { ੪ x − ੩ y + z = ੭ ੨ x − ੫ y − ੪ z = ੩ ੩ x − ੨ y − ੨ z = −੭
19. { ੨ x − ੫ y + ੩ z = ੮ ੩ x − y + ੪ z = ੭ x + ੩ y + ੨ z = −੩ { ੨ x − ੫ y + ੩ z = ੮ ੩ x − y + ੪ z = ੭ x + ੩ y + ੨ z = −੩
20. { ੧੧ x + ੯ y + ੨ z = −੯ ੭ x + ੫ y + ੩ z = −੭ ੪ x + ੩ y + z = −੩ { ੧੧ x + ੯ y + ੨ z = −੯ ੭ x + ੫ y + ੩ z = −੭ ੪ x + ੩ y + z = −੩
21. { x + ੨ z = ੦ ੪ y + ੩ z = −੨ ੨ x − ੫ y = ੩ { x + ੨ z = ੦ ੪ y + ੩ z = −੨ ੨ x − ੫ y = ੩
22. { ੨ x + ੫ y = ੪ ੩ y − z = ੩ ੪ x + ੩ z = −੩ { ੨ x + ੫ y = ੪ ੩ y − z = ੩ ੪ x + ੩ z = −੩
23. { ੨ y + ੩ z = −੧ ੫ x + ੩ y = −੬ ੭ x + z = ੧ { ੨ y + ੩ z = −੧ ੫ x + ੩ y = −੬ ੭ x + z = ੧
24. { ੩ x − z = −੩ ੫ y + ੨ z = −੬ ੪ x + ੩ y = −੮ { ੩ x − z = −੩ ੫ y + ੨ z = −੬ ੪ x + ੩ y = −੮
{ 2 x + y = 3 6 x + 3 y = 9 { 2 x + y = 3 6 x + 3 y = 9
{ x − 4 y = −1 −3 x + 12 y = 3 { x − 4 y = −1 −3 x + 12 y = 3
{ −3 x − y = 4 6 x + 2 y = −16 { −3 x − y = 4 6 x + 2 y = −16
{ 4 x + 3 y = 2 20 x + 15 y = 5 { 4 x + 3 y = 2 20 x + 15 y = 5
{ x + y − 3 z = −1 y − z = 0 − x + 2 y = 1 { x + y − 3 z = −1 y − z = 0 − x + 2 y = 1
{ 2 x + 3 y + z = 12 x + y + z = 9 3 x + 4 y + 2 z = 20 { 2 x + 3 y + z = 12 x + y + z = 9 3 x + 4 y + 2 z = 20
{ 3 x + 4 y − 3 z = −2 2 x + 3 y − z = −12 x + y − 2 z = 6 { 3 x + 4 y − 3 z = −2 2 x + 3 y − z = −12 x + y − 2 z = 6
{ x − 2 y + 3 z = 1 x + y − 3 z = 7 3 x − 4 y + 5 z = 7 { x − 2 y + 3 z = 1 x + y − 3 z = 7 3 x − 4 y + 5 z = 7
Solve Applications Using Determinants
In the following exercises, determine whether the given points are collinear.
(0,1),(0,1), (2,0),(2,0), and (−2,2).(−2,2).
(0,−5),(0,−5), (−2,−2),(−2,−2), and (2,−8).(2,−8).
(4,−3),(4,−3), (6,−4),(6,−4), and (2,−2).(2,−2).
(−2,1),(−2,1), (−4,4),(−4,4), and (0,−2).(0,−2).
Writing Exercises
Explain the difference between a square matrix and its determinant. Give an example of each.
Explain what is meant by the minor of an entry in a square matrix.
Explain how to decide which row or column you will use to expand a 3×33×3 determinant.
Explain the steps for solving a system of equations using Cramer’s rule.
Self Check
ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.
ⓑ After reviewing this checklist, what will you do to become confident for all objectives?