1. ਅਭਿਆਸਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ
2. ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ
3. ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ
4. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਕਿਸਮ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
5. 16 x 2 − 40 x − 25
6. 5 m + 9
7. −15
8. y 2 + 6 y 3 + 9 y 4
9. ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ
10. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ।
11. 4 p + 11 p
12. −8 y 3 − 5 y 3
13. ( 4 a 2 + 9 a − 11 ) + ( 6 a 2 − 5 a + 10 )
14. ( 8 m 2 + 12 m − 5 ) − ( 2 m 2 − 7 m − 1 )
15. ( y 2 − 3 y + 12 ) + ( 5 y 2 − 9 )
16. ( 5 u 2 + 8 u ) − ( 4 u − 7 )
17. 8q3−278q3−27 ਅਤੇ q2+6q−2.q2+6q−2 ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
18. x2+6x+8x2+6x+8 ਅਤੇ x2−8x+15.x2−8x+15 ਦਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
19. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਰਲ ਕਰੋ।
20. 17 m n 2 − ( −9 m n 2 ) + 3 m n 2
21. 18 a − 7 b − 21 a
22. 2 p q 2 − 5 p − 3 q 2
23. ( 6 a 2 + 7 ) + ( 2 a 2 − 5 a − 9 )
24. ( 3 p 2 − 4 p − 9 ) + ( 5 p 2 + 14 )
( 7 m 2 − 2 m − 5 ) − ( 4 m 2 + m − 8 ) ( 7 m 2 − 2 m − 5 ) − ( 4 m 2 + m − 8 )
( 7 b 2 − 4 b + 3 ) − ( 8 b 2 − 5 b − 7 ) ( 7 b 2 − 4 b + 3 ) − ( 8 b 2 − 5 b − 7 )
Subtract (8y2−y+9)(8y2−y+9) from (11y2−9y−5)(11y2−9y−5)
Find the difference of (z2−4z−12)(z2−4z−12) and (3z2+2z−11)(3z2+2z−11)
( x 3 − x 2 y ) − ( 4 x y 2 − y 3 ) + ( 3 x 2 y − x y 2 ) ( x 3 − x 2 y ) − ( 4 x y 2 − y 3 ) + ( 3 x 2 y − x y 2 )
( x 3 − 2 x 2 y ) − ( x y 2 − 3 y 3 ) − ( x 2 y − 4 x y 2 ) ( x 3 − 2 x 2 y ) − ( x y 2 − 3 y 3 ) − ( x 2 y − 4 x y 2 )
Evaluate a Polynomial Function for a Given Value of the Variable
In the following exercises, find the function values for each polynomial function.
For the function f(x)=7x2−3x+5f(x)=7x2−3x+5 find:ⓐ f(5)f(5) ⓑ f(−2)f(−2) ⓒ f(0)f(0)
For the function g(x)=15−16x2,g(x)=15−16x2, find:ⓐ g(−1)g(−1) ⓑ g(0)g(0) ⓒ g(2)g(2)
A pair of glasses is dropped off a bridge 640 feet above a river. The polynomial function h(t)=−16t2+640h(t)=−16t2+640 gives the height of the glasses t seconds after they were dropped. Find the height of the glasses when t=6.t=6.
A manufacturer of the latest soccer shoes has found that the revenue received from selling the shoes at a cost of pp dollars each is given by the polynomial R(p)=−5p2+360p.R(p)=−5p2+360p. Find the revenue received when p=10p=10 dollars.
Add and Subtract Polynomial Functions
In the following exercises, find ⓐ (f + g)(x) ⓑ (f + g)(3) ⓒ (f − g)(x) ⓓ (f − g)(−2)
f(x)=2x2−4x−7f(x)=2x2−4x−7 and g(x)=2x2−x+5g(x)=2x2−x+5
f(x)=4x3−3x2+x−1f(x)=4x3−3x2+x−1 and g(x)=8x3−1g(x)=8x3−1
Properties of Exponents and Scientific Notation
Simplify Expressions Using the Properties for Exponents
In the following exercises, simplify each expression using the properties for exponents.
p 3 · p 10 p 3 · p 10
2 · 2 6 2 · 2 6
a · a 2 · a 3 a · a 2 · a 3
x · x 8 x · x 8
y a · y b y a · y b
28222822
6a6a
n3n12n3n12
1x51x5
3030
y0y0
(14t)0(14t)0
12a0−15b012a0−15b0
ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
6−26−2
(−10)−3(−10)−3
5⋅2−45⋅2−4
(8n)−1(8n)−1
y−5y−5
10−310−3
1a−41a−4
16−216−2
−5−3−5−3
(−15)−3(−15)−3
−(12)−3−(12)−3
(−5)−3(−5)−3
(59)−2(59)−2
(−3x)−3(−3x)−3
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
1. ( y 4 ) 3 ( y 4 ) 3
( 3 2 ) 5 ( 3 2 ) 5
1. (ਅ 10) ਯ (ਅ 10) ਯ
x −3 · x 9 x −3 · x 9
1. ਰ -5 · ਰ -4 ਰ -5 · ਰ -4
1. (ਉ ਵ −3) (ਉ −4 ਵ −2) (ਉ ਵ −3) (ਉ −4 ਵ −2)
1. (ਮ ੫) -੧ (ਮ ੫) -੧
ਪੰਨਾ 5 · ਪੰਨਾ −2 · ਪੰਨਾ −4 ਪੰਨਾ 5 · ਪੰਨਾ −2 · ਪੰਨਾ −4
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਪਾਵਰ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
1. (ਕ -2) -3 (ਕ -2) -3
1. ਚੌਥਾ ਭਾਗ, ਵੀਹਵਾਂ ਅਧਿਆਇ
b 8 b −2 b 8 b −2
1. ਨ -3 ਨ -5 ਨ -3 ਨ -5
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਪਾਵਰ ਦੀ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
1. ( −5 a b ) 3 ( −5 a b ) 3
1. ( −4 p q ) 0 ( −4 p q ) 0
( −੧੮) −੨ ( −੧੮) −੨
( 3 y −4 ) 2 ( 3 y −4 ) 2
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਭਾਗ ਦੇ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
(35x)−2(35x)−2
( 3 x y 2 z ) 4 ( 3 x y 2 z ) 4
( 4 p −3 q 2 ) 2 ( 4 p −3 q 2 ) 2
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਕਈ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
( x 2 y ) 2 ( 3 x y 5 ) 3 ( x 2 y ) 2 ( 3 x y 5 ) 3
( −3 a −2 ) 4 ( 2 a 4 ) 2 ( −6 a 2 ) 3 ( −3 a −2 ) 4 ( 2 a 4 ) 2 ( −6 a 2 ) 3
( 3 x y 3 4 x 4 y −2 ) 2 ( 6 x y 4 8 x 3 y −2 ) −1 ( 3 x y 3 4 x 4 y −2 ) 2 ( 6 x y 4 8 x 3 y −2 ) −1
In the following exercises, write each number in scientific notation.
2.568 2.568
5,300,000
0.00814 0.00814
In the following exercises, convert each number to decimal form.
2.9 × 10 4 2.9 × 10 4
3.75 × 10 −1 3.75 × 10 −1
9.413 × 10 −5 9.413 × 10 −5
In the following exercises, multiply or divide as indicated. Write your answer in decimal form.
( 3 × 10 7 ) ( 2 × 10 −4 ) ( 3 × 10 7 ) ( 2 × 10 −4 )
( 1.5 × 10 −3 ) ( 4.8 × 10 −1 ) ( 1.5 × 10 −3 ) ( 4.8 × 10 −1 )
6 × 10 9 2 × 10 −1 6 × 10 9 2 × 10 −1
9 × 10 −3 1 × 10 −6 9 × 10 −3 1 × 10 −6
Multiply Polynomials
Multiply Monomials
In the following exercises, multiply the monomials.
( −6 p 4 ) ( 9 p ) ( −6 p 4 ) ( 9 p )
( 1 3 c 2 ) ( 30 c 8 ) ( 1 3 c 2 ) ( 30 c 8 )
( 8 x 2 y 5 ) ( 7 x y 6 ) ( 8 x 2 y 5 ) ( 7 x y 6 )
( 2 3 m 3 n 6 ) ( 1 6 m 4 n 4 ) ( 2 3 m 3 n 6 ) ( 1 6 m 4 n 4 )
Multiply a Polynomial by a Monomial
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
7 ( 10 − x ) 7 ( 10 − x )
a 2 ( a 2 − 9 a − 36 ) a 2 ( a 2 − 9 a − 36 )
−5 y ( 125 y 3 − 1 ) −5 y ( 125 y 3 − 1 )
( 4 n − 5 ) ( 2 n 3 ) ( 4 n − 5 ) ( 2 n 3 )
ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੋਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਾ ਕਰੋ:
ⓐ ਵਿਤਰਨ ਗੁਣ ⓑ FOIL ਵਿਧੀ ⓒ ਖੜ੍ਵੀਂ ਵਿਧੀ।
( a + 5 ) ( a + 2 ) ( a + 5 ) ( a + 2 )
( y − 4 ) ( y + 12 ) ( y − 4 ) ( y + 12 )
( 3 x + 1 ) ( 2 x − 7 ) ( 3 x + 1 ) ( 2 x − 7 )
( 6 p − 11 ) ( 3 p − 10 ) ( 6 p − 11 ) ( 3 p − 10 )
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੋਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਕੋਈ ਵੀ ਵਿਧੀ ਵਰਤੋ।
( n + 8 ) ( n + 1 ) ( n + 8 ) ( n + 1 )
( k + 6 ) ( k − 9 ) ( k + 6 ) ( k − 9 )
( 5 u − 3 ) ( u + 8 ) ( 5 u − 3 ) ( u + 8 )
( 2 y − 9 ) ( 5 y − 7 ) ( 2 y − 9 ) ( 5 y − 7 )
( p + 4 ) ( p + 7 ) ( p + 4 ) ( p + 7 )
( x − 8 ) ( x + 9 ) ( x − 8 ) ( x + 9 )
( 3 c + 1 ) ( 9 c − 4 ) ( 3 c + 1 ) ( 9 c − 4 )
( 10 a − 1 ) ( 3 a − 3 ) ( 10 a − 1 ) ( 3 a − 3 )
ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਬਹੁਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: ⓐ ਵਿਤਰਨ ਗੁਣ ⓑ ਖੜ੍ਵੀਂ ਵਿਧੀ।
( x + 1 ) ( x 2 − 3 x − 21 ) ( x + 1 ) ( x 2 − 3 x − 21 )
( 5 b − 2 ) ( 3 b 2 + b − 9 ) ( 5 b − 2 ) ( 3 b 2 + b − 9 )
In the following exercises, multiply. Use either method.
( m + 6 ) ( m 2 − 7 m − 30 ) ( m + 6 ) ( m 2 − 7 m − 30 )
( 4 y − 1 ) ( 6 y 2 − 12 y + 5 ) ( 4 y − 1 ) ( 6 y 2 − 12 y + 5 )
Multiply Special Products
In the following exercises, square each binomial using the Binomial Squares Pattern.
( 2 x − y ) 2 ( 2 x − y ) 2
( x + 3 4 ) 2 ( x + 3 4 ) 2
( 8 p 3 − 3 ) 2 ( 8 p 3 − 3 ) 2
( 5 p + 7 q ) 2 ( 5 p + 7 q ) 2
In the following exercises, multiply each pair of conjugates using the Product of Conjugates.
( 3 y + 5 ) ( 3 y − 5 ) ( 3 y + 5 ) ( 3 y − 5 )
( 6 x + y ) ( 6 x − y ) ( 6 x + y ) ( 6 x − y )
( a + 2 3 b ) ( a − 2 3 b ) ( a + 2 3 b ) ( a − 2 3 b )
( 12 x 3 − 7 y 2 ) ( 12 x 3 + 7 y 2 ) ( 12 x 3 − 7 y 2 ) ( 12 x 3 + 7 y 2 )
( 13 a 2 − 8 b 4 ) ( 13 a 2 + 8 b 4 ) ( 13 a 2 − 8 b 4 ) ( 13 a 2 + 8 b 4 )
Divide Monomials
Divide Monomials
In the following exercises, divide the monomials.
72 p 12 ÷ 8 p 3 72 p 12 ÷ 8 p 3
−26 a 8 ÷ ( 2 a 2 ) −26 a 8 ÷ ( 2 a 2 )
45 y 6 −15 y 10 45 y 6 −15 y 10
−30 x 8 −36 x 9 −30 x 8 −36 x 9
28 a 9 b 7 a 4 b 3 28 a 9 b 7 a 4 b 3
11 u 6 v 3 55 u 2 v 8 11 u 6 v 3 55 u 2 v 8
( 5 m 9 n 3 ) ( 8 m 3 n 2 ) ( 10 m n 4 ) ( m 2 n 5 ) ( 5 m 9 n 3 ) ( 8 m 3 n 2 ) ( 10 m n 4 ) ( m 2 n 5 )
( 42 r 2 s 4 ) ( 54 r s 2 ) ( 6 r s 3 ) ( 9 s ) ( 42 r 2 s 4 ) ( 54 r s 2 ) ( 6 r s 3 ) ( 9 s )
Divide a Polynomial by a Monomial
In the following exercises, divide each polynomial by the monomial
( 54 y 4 − 24 y 3 ) ÷ ( −6 y 2 ) ( 54 y 4 − 24 y 3 ) ÷ ( −6 y 2 )
63 x 3 y 2 − 99 x 2 y 3 − 45 x 4 y 3 9 x 2 y 2 63 x 3 y 2 − 99 x 2 y 3 − 45 x 4 y 3 9 x 2 y 2
12 x 2 + 4 x − 3 −4 x 12 x 2 + 4 x − 3 −4 x
Divide Polynomials using Long Division
In the following exercises, divide each polynomial by the binomial.
( 4 x 2 − 21 x − 18 ) ÷ ( x − 6 ) ( 4 x 2 − 21 x − 18 ) ÷ ( x − 6 )
( y 2 + 2 y + 18 ) ÷ ( y + 5 ) ( y 2 + 2 y + 18 ) ÷ ( y + 5 )
( n 3 − 2 n 2 − 6 n + 27 ) ÷ ( n + 3 ) ( n 3 − 2 n 2 − 6 n + 27 ) ÷ ( n + 3 )
( a 3 − 1 ) ÷ ( a + 1 ) ( a 3 − 1 ) ÷ ( a + 1 )
Divide Polynomials using Synthetic Division
In the following exercises, use synthetic Division to find the quotient and remainder.
x3−3x2−4x+12x3−3x2−4x+12 is divided by x+2x+2
2x3−11x2+11x+122x3−11x2+11x+12 is divided by x−3x−3
x4+x2+6x−10x4+x2+6x−10 is divided by x+2x+2
Divide Polynomial Functions
In the following exercises, divide.
For functions f(x)=x2−15x+54f(x)=x2−15x+54 and g(x)=x−9,g(x)=x−9, find ⓐ (fg)(x)(fg)(x)ⓑ (fg)(−2)(fg)(−2)
For functions f(x)=x3+x2−7x+2f(x)=x3+x2−7x+2 and g(x)=x−2,g(x)=x−2, find ⓐ (fg)(x)(fg)(x)ⓑ (fg)(3)(fg)(3)
Use the Remainder and Factor Theorem
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਾਕੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. f(x)=x3−4x−9 ਨੂੰ x+2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
3. f(x)=2x3−6x−24 ਨੂੰ x−3 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
4. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਫੈਕਟਰ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ x−c ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਫੈਕਟਰ ਹੈ।
5. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ x−2, x3−7x2+7x−6 ਦਾ ਇੱਕ ਫੈਕਟਰ ਹੈ।
6. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ x−3, x3−7x2+11x+3 ਦਾ ਇੱਕ ਫੈਕਟਰ ਹੈ।