Learning Objectives
By the end of this section, you will be able to:
Dividing monomials
Dividing a polynomial by a monomial
Dividing polynomials using long division
Dividing polynomials using synthetic division
Dividing polynomial functions
Use the remainder and factor theorems
Be Prepared 5.10
Before you get started, take this readiness quiz.
Add: 3d+xd.3d+xd. If you missed this problem, review Example 1.28.
Be Prepared 5.11
Simplify: 30xy35xy.30xy35xy. If you missed this problem, review Example 1.25.
Be Prepared 5.12
Combine like terms: 8a2+12a+1+3a2−5a+4.8a2+12a+1+3a2−5a+4. If you missed this problem, review Example 1.7.
Dividing Monomials
We are now familiar with all the properties of exponents and used them to multiply polynomials. Next, we’ll use these properties to divide monomials and polynomials.
Example 5.36
Find the quotient: 54a2b3÷(−6ab5).54a2b3÷(−6ab5).
Solution
When we divide monomials with more than one variable, we write one fraction for each variable.
row: 54a2b3÷(−6ab5)54a2b3÷(−6ab5)
row: Rewrite as a fraction. | 54a2b3−6ab554a2b3−6ab5
row: Use fraction multiplication. | 54−6·a2a·b3b554−6·a2a·b3b5
row: Simplify and use the Quotient Property. | −9·a·1b2−9·a·1b2
row: Multiply. | −9ab2−9ab2
Try It 5.71
Find the quotient: −72a7b3÷(8a12b4).−72a7b3÷(8a12b4).
Try It 5.72
Find the quotient: −63c8d3÷(7c12d2).−63c8d3÷(7c12d2).
Once you become familiar with the process and have practiced it step by step several times, you may be able to simplify a fraction in one step.
Example 5.37
Find the quotient: 14x7y1221x11y6.14x7y1221x11y6.
Solution
Be very careful to simplify 14211421 by dividing out a common factor, and to simplify the variables by subtracting their exponents.
row: 14x7y1221x11y614x7y1221x11y6
row: Simplify and use the Quotient Property. | 2y63x42y63x4
Try It 5.73
Find the quotient: 28x5y1449x9y12.28x5y1449x9y12.
Try It 5.74
Find the quotient: 30m5n1148m10n14.30m5n1148m10n14.
Divide a Polynomial by a Monomial
Now that we know how to divide a monomial by a monomial, the next procedure is to divide a polynomial of two or more terms by a monomial.
The method we’ll use to divide a polynomial by a monomial is based on the properties of fraction addition. So we’ll start with an example to review fraction addition. The sum y5+25y5+25 simplifies to y+25.y+25.
Now we will do this in reverse to split a single fraction into separate fractions. For example, y+25y+25 can be written y5+25.y5+25.
This is the “reverse” of fraction addition and it states that if a, b, and c are numbers where c≠0,c≠0, then a+bc=ac+bc.a+bc=ac+bc. We will use this to divide polynomials by monomials.
Division of a Polynomial by a Monomial
To divide a polynomial by a monomial, divide each term of the polynomial by the monomial.
Example 5.38
Find the quotient: (18x3y−36xy2)÷(−3xy).(18x3y−36xy2)÷(−3xy).
Solution
row: (18x3y−36xy2)÷(−3xy)(18x3y−36xy2)÷(−3xy)
row: Rewrite as a fraction. | 18x3y−36xy2−3xy18x3y−36xy2−3xy
row: Divide each term by the divisor. Be careful with the signs! | 18x3y−3xy−36xy2−3xy18x3y−3xy−36xy2−3xy
row: Simplify. | −6x2+12y−6x2+12y
Try It 5.75
Find the quotient: (32a2b−16ab2)÷(−8ab).(32a2b−16ab2)÷(−8ab).
Try It 5.76
Find the quotient: (−48a8b4−36a6b5)÷(−6a3b3).(−48a8b4−36a6b5)÷(−6a3b3).
Divide Polynomials Using Long Division
Divide a polynomial by a binomial, we follow a procedure very similar to long division of numbers. So let’s look carefully the steps we take when we divide a 3-digit number, 875, by a 2-digit number, 25.
We check division by multiplying the quotient by the divisor.
If we did the division correctly, the product should equal the dividend.
Now we will divide a trinomial by a binomial. As you read through the example, notice how similar the steps are to the numerical example above.
Example 5.39
Find the quotient: (x2+9x+20)÷(x+5).(x2+9x+20)÷(x+5).
Solution
row: Write it as a long division problem.Be sure the dividend is in standard form.
row: Divide x2x2 by x.x. It may help to ask yourself, “What do I needto multiply xx by to get x2x2?”
row: Put the answer, x,x, in the quotient over the xx term.Multiply xx times x+5.x+5. Line up the like terms under the dividend.
row: Subtract x2+5xx2+5x from x2+9x.x2+9x.You may find it easier to change the signs and then add.Then bring down the last term, 20.
row: Divide 4x4x by x.x. It may help to ask yourself, “What do Ineed to multiply xx by to get 4x4x?”Put the answer, 44, in the quotient over the constant term.
1. ਪੰਗਤੀ: 4 ਨੂੰ x+5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।x+5.
2. ਪੰਗਤੀ: 4x+20 ਵਿੱਚੋਂ 4x+20 ਨੂੰ ਘਟਾਓ।4x+20.
3. ਜਾਂਚ ਕਰੋ: ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਭਾਜਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। (x+4)(x+5)(x+4)(x+5)ਤੁਹਾਨੂੰ ਵੰਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। x2+9x+20✓x2+9x+20✓
4. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 5.77
5. ਭਾਗਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: (y2+10y+21)÷(y+3).(y2+10y+21)÷(y+3).
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 5.78
7. ਭਾਗਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: (m2+9m+20)÷(m+4).(m2+9m+20)÷(m+4).
8. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ 875 ਨੂੰ 25 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕੀਤਾ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਕੋਈ ਬਾਕੀ ਨਹੀਂ ਸੀ। ਪਰ ਕਈ ਵਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਵੀ ਬਚ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹੀ ਗੱਲ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੀ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ। ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਭਾਗ ਹੋਵੇਗੀ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਬਚੇਗੀ। ਅਸੀਂ ਬਾਕੀ ਨੂੰ ਭਾਜਕ ਨੂੰ ਹਰ ਵਜੋਂ ਲੈ ਕੇ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖਾਂਗੇ।
9. ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਾਂ ਵੱਲ ਮੁੜ ਕੇ ਦੇਖੋ। ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਘਟਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਅਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਘਾਤ ਗੁੰਮ ਨਹੀਂ ਸੀ। ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਵੰਡ x4−x2+5x−6.x4−x2+5x−6 ਹੋਵੇਗੀ। ਇਸ ਵਿੱਚ x3x3 ਪਦ ਗੁੰਮ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪਲੇਸਹੋਲਡਰ ਵਜੋਂ 0x30x3 ਜੋੜਾਂਗੇ।
10. ਉਦਾਹਰਨ 5.40
11. ਭਾਗਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: (x4−x2+5x−6)÷(x+2).(x4−x2+5x−6)÷(x+2).
12. ਹੱਲ
13. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਵੰਡ ਵਿੱਚ ਕੋਈ x3x3 ਪਦ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪਲੇਸਹੋਲਡਰ ਵਜੋਂ 0x30x3 ਜੋੜਾਂਗੇ।
14. ਪੰਗਤੀ: ਇਸਨੂੰ ਲੰਮੀ ਭਾਗ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਵੰਡ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਗੁੰਮ ਪਦਾਂ ਲਈ ਪਲੇਸਹੋਲਡਰ ਹੋਣ।
15. ਪੰਗਤੀ: x4x4 ਨੂੰ x ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ।x. ਜਵਾਬ, x3,x3, ਨੂੰ ਭਾਗਫਲ ਵਿੱਚ x3x3 ਪਦ ਦੇ ਉੱਪਰ ਲਿਖੋ। x3x3 ਨੂੰ x+2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।x+2. ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕਸਾਰ ਕਰੋ। ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਗਲਾ ਪਦ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ।
16. ਪੰਗਤੀ: −2x3−2x3 ਨੂੰ x ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ।x. ਜਵਾਬ, −2x2,−2x2, ਨੂੰ ਭਾਗਫਲ ਵਿੱਚ x2x2 ਪਦ ਦੇ ਉੱਪਰ ਲਿਖੋ। −2x2−2x2 ਨੂੰ x+1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।x+1. ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕਸਾਰ ਕਰੋ। ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਅਗਲਾ ਪਦ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ।
17. ਪੰਗਤੀ: 3x23x2 ਨੂੰ x ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ।x. ਜਵਾਬ, 3x,3x, ਨੂੰ ਭਾਗਫਲ ਵਿੱਚ xx ਪਦ ਦੇ ਉੱਪਰ ਲਿਖੋ। 3x3x ਨੂੰ x+1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।x+1. ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕਸਾਰ ਕਰੋ। ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਅਗਲਾ ਪਦ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ।
18. ਪੰਗਤੀ: −x−x ਨੂੰ x ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ।x. ਜਵਾਬ, −1,−1, ਨੂੰ ਭਾਗਫਲ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਪਦ ਦੇ ਉੱਪਰ ਲਿਖੋ। −1−1 ਨੂੰ x+1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।x+1. ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕਸਾਰ ਕਰੋ। ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲੋ, ਜੋੜੋ। ਬਾਕੀ ਨੂੰ ਭਾਜਕ ਨੂੰ ਹਰ ਵਜੋਂ ਲੈ ਕੇ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
19. ਪੰਗਤੀ: ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, (x+2)(x3−2x2+3x−1−4x+2)(x+2)(x3−2x2+3x−1−4x+2) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਨਤੀਜਾ x4−x2+5x−6.x4−x2+5x−6 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
20. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 5.79
21. ਭਾਗਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: (x4−7x2+7x+6)÷(x+3).(x4−7x2+7x+6)÷(x+3).
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 5.80
23. ਭਾਗਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: (x4−11x2−7x−6)÷(x+3).(x4−11x2−7x−6)÷(x+3).
24. ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ 2a+3 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਾਂਗੇ।2a+3. ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਭਾਗ ਕਰਾਂਗੇ, ਸਾਨੂੰ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਚਲਾਂ ਬਾਰੇ ਵੀ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ।
5.41 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਭਾਗਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: (8a3+27)÷(2a+3)।
ਹੱਲ
ਇਸ ਵਾਰ ਅਸੀਂ ਵੰਡ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਕਦਮ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ। ਸਾਨੂੰ ਵੰਡਣ ਲਈ ਦੋ ਪਲੇਸਹੋਲਡਰ ਜੋੜਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, (2a+3)(4a2−6a+9) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਨਤੀਜਾ 8a3+27 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.81
ਭਾਗਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: (x3−64)÷(x−4)।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.82
ਭਾਗਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: (125x3−8)÷(5x−2)।
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਨਾਲ ਵੰਡੋ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸਿਆ ਹੈ, ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭਣਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਲੰਬੀ ਵੰਡ ਥਕਾ ਦੇਣ ਵਾਲੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਆਓ ਅਸੀਂ ਮਿਸਾਲ 5.39 ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਲੰਬੀ ਵੰਡ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ ਅਤੇ ਕੁਝ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭੀਏ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਕਹੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਚੀਜ਼ ਦਾ ਆਧਾਰ ਬਣਾਵਾਂਗੇ। ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਉਹੀ ਸਮੱਸਿਆ ਅੱਗੇ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਹੈ।
ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਬੁਨਿਆਦੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬੇਲੋੜੇ ਦੁਹਰਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਅਤੇ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਸਾਰੇ xx ਅਤੇ x2x2 ਹਟਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਨਾਲ ਹੀ −x2−x2 ਅਤੇ −4x−4x ਵੀ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਉੱਪਰਲੇ ਪਦ ਦੇ ਉਲਟ ਹਨ।
ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਡਿਵੀਡੈਂਡ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਹਨ। −5−5 ਡਿਵਾਈਜ਼ਰ ਵਿੱਚ 5 ਦੇ ਉਲਟ ਹੈ।
ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਵੰਡ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਲਾਲ ਰੰਗ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।
ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਤੀਜੀ ਕਤਾਰ ਵੰਡ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਨੀਲੇ ਰੰਗ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਭਾਗਫਲ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਤੀਜੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਮਿਸਾਲ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੇਗੀ।
5.42 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਭਾਗਫਲ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ 2x3+3x2+x+8 ਨੂੰ x+2 ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਕਤਾਰ: x ਦੀਆਂ ਘਟਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਨਾਲ ਡਿਵੀਡੈਂਡ ਲਿਖੋ।
ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਲਿਖੋ।
ਕਤਾਰ: ਡਿਵਾਈਜ਼ਰ ਨੂੰ x−c ਲਿਖੋ ਅਤੇ c ਨੂੰ ਡਿਵਾਈਜ਼ਰ ਬਾਕਸ ਵਿੱਚ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ।
row: Bring down the first coefficient to the third row.
row: Multiply that coefficient by the divisor and place theresult in the second row under the second coefficient.
row: Add the second column, putting the result in the third row.
row: Multiply that result by the divisor and place theresult in the second row under the third coefficient.
row: Add the third column, putting the result in the third row.
row: Multiply that result by the divisor and place theresult in the third row under the third coefficient.
row: Add the final column, putting the result in the third row.
row: The quotient is 2x2−1x+32x2−1x+3 and the remainder is 2.
The division is complete. The numbers in the third row give us the result. The 2−132−13 are the coefficients of the quotient. The quotient is 2x2−1x+3.2x2−1x+3. The 2 in the box in the third row is the remainder.
Check:
(quotient)(divisor)+remainder=dividend(2x2−1x+3)(x+2)+2=?2x3+3x2+x+8 2x3−x2+3x+4x2−2x+6+2=?2x3+3x2+x+8 2x3+3x2+x+8=2x3+3x2+x+8✓ (quotient)(divisor)+remainder=dividend(2x2−1x+3)(x+2)+2=?2x3+3x2+x+8 2x3−x2+3x+4x2−2x+6+2=?2x3+3x2+x+8 2x3+3x2+x+8=2x3+3x2+x+8✓
Try It 5.83
Use synthetic division to find the quotient and remainder when 3x3+10x2+6x−23x3+10x2+6x−2 is divided by x+2.x+2.
Try It 5.84
Use synthetic division to find the quotient and remainder when 4x3+5x2−5x+34x3+5x2−5x+3 is divided by x+2.x+2.
In the next example, we will do all the steps together.
Example 5.43
Use synthetic division to find the quotient and remainder when x4−16x2+3x+12x4−16x2+3x+12 is divided by x+4.x+4.
Solution
The polynomial x4−16x2+3x+12x4−16x2+3x+12 has its term in order with descending degree but we notice there is no x3x3 term. We will add a 0 as a placeholder for the x3x3 term. In x−cx−c form, the divisor is x−(−4).x−(−4).
We divided a 4th degree polynomial by a 1st degree polynomial so the quotient will be a 3rd degree polynomial.
Reading from the third row, the quotient has the coefficients 1−403,1−403, which is x3−4x2+3.x3−4x2+3. The remainderis 0.
Try It 5.85
Use synthetic division to find the quotient and remainder when x4−16x2+5x+20x4−16x2+5x+20 is divided by x+4.x+4.
Try It 5.86
Use synthetic division to find the quotient and remainder when x4−9x2+2x+6x4−9x2+2x+6 is divided by x+3.x+3.
Divide Polynomial Functions
Just as polynomials can be divided, polynomial functions can also be divided.
Division of Polynomial Functions
For functions f(x)f(x) and g(x),g(x), where g(x)≠0,g(x)≠0,
Example 5.44
For functions f(x)=x2−5x−14f(x)=x2−5x−14 and g(x)=x+2,g(x)=x+2, find: ⓐ (fg)(x)(fg)(x) ⓑ (fg)(−4).(fg)(−4).
Solution
ⓐ
row: Substitute for f(x)f(x) and g(x).g(x). | (fg)(x)=x2−5x−14x+2(fg)(x)=x2−5x−14x+2
row: Divide the polynomials. | (fg)(x)=x−7(fg)(x)=x−7
ⓑ In part ⓐ we found (fg)(x)(fg)(x) and now are asked to find (fg)(−4).(fg)(−4).
row: (fg)(x)=x−7(fg)(x)=x−7
row: To find (fg)(−4),(fg)(−4), substitute x=−4.x=−4. | (fg)(−4)=−4−7(fg)(−4)=−4−7
row: (fg)(−4)=−11(fg)(−4)=−11
Try It 5.87
For functions f(x)=x2−5x−24f(x)=x2−5x−24 and g(x)=x+3,g(x)=x+3, find ⓐ (fg)(x)(fg)(x) ⓑ (fg)(−3).(fg)(−3).
Try It 5.88
For functions f(x)=x2−5x−36f(x)=x2−5x−36 and g(x)=x+4,g(x)=x+4, find ⓐ (fg)(x)(fg)(x) ⓑ (fg)(−5).(fg)(−5).
Use the Remainder and Factor Theorem
Let’s look at the division problems we have just worked that ended up with a remainder. They are summarized in the chart below. If we take the dividend from each division problem and use it to define a function, we get the functions shown in the chart. When the divisor is written as x−c,x−c, the value of the function at c,f(c),c,f(c), is the same as the remainder from the division problem.
row: Dividend | Divisor x−cx−c | Remainder | Function | f(c)f(c)
row: x4−x2+5x−6x4−x2+5x−6 | x−(−2)x−(−2) | −4−4 | f(x)=x4−x2+5x−6f(x)=x4−x2+5x−6 | −4−4
f(x)=3x3−2x2−10x+8, x−2, 4
f(x)=x4−16x2+3x+15, x−(−4), 3
ਇਸ ਨੂੰ ਹੋਰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੇਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮਹਿਸੂਸ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਭਾਜਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਇੱਕ ਵੰਡ ਸਮੱਸਿਆ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਭਾਜਕ f(x) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਭਾਗਫਲ, q(x) ਨੂੰ ਭਾਜਕ, x−c ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਬਾਕੀ, r ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ।
ਜੇ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ c 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ
ਜੇ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਨੂੰ x−c ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਬਾਕੀ f(c) ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.45
ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਾਕੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ f(x)=x3+3x+19 ਨੂੰ x+2 ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਭਾਜਕ ਨੂੰ x−c ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਰਤਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਭਾਜਕ x+2 ਨੂੰ x−(−2) ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡਾ c −2 ਹੈ।
ਬਾਕੀ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ f(c) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ f(−2) ਹੈ।
f(−2) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, x=−2 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਜਦੋਂ f(x)=x3+3x+19 ਨੂੰ x+2 ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਬਾਕੀ 5 ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਜਾਂਚ ਕਰੋ: ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਬਾਕੀ 5 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.89
ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਾਕੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ f(x)=x3+4x+15 ਨੂੰ x+2 ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.90
ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਾਕੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ f(x)=x3−7x+12 ਨੂੰ x+3 ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.41 ਵਿੱਚ 8a3+27 ਨੂੰ 2a+3 ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਸੀ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ 4a2−6a+9 ਸੀ। ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ 4a2−6a+9 ਨੂੰ 2a+3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ 8a3+27 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 4a2−6a+9 ਅਤੇ 2a+3, 8a3+27 ਦੇ ਗੁਣਕ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵੰਡ ਕੀਤੀ, ਤਾਂ ਬਾਕੀ ਜ਼ੀਰੋ ਸੀ।
ਜਦੋਂ ਵੀ ਕੋਈ ਭਾਜਕ, x−c, ਕਿਸੇ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ, f(x), ਨੂੰ ਵੰਡਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਜ਼ੀਰੋ ਦੀ ਬਾਕੀ ਆਉਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x−c, f(x) ਦਾ ਗੁਣਕ ਹੈ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ $x-c$ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)$ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਹੈ, ਤਾਂ $x-c$ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਿਫਰ ਬਾਕੀ ਨਾਲ ਵੰਡ ਦੇਵੇਗਾ।
ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਗੁਣਕ ਪ੍ਰਮੇਯ ਵਿੱਚ ਦੱਸਾਂਗੇ।
ਗੁਣਕ ਪ੍ਰਮੇਯ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)$ ਲਈ,
ਜੇਕਰ $x-c$, $f(x)$ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਹੈ, ਤਾਂ $f(c)=0$
ਜੇਕਰ $f(c)=0$, ਤਾਂ $x-c$, $f(x)$ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 5.46
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਬਾਕੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ $x-4$, $f(x)=x^3−64$ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਗੁਣਕ ਪ੍ਰਮੇਯ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ $x-4$, $f(x)=x^3−64$ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਹੈ ਜੇਕਰ $f(4)=0$।
$f(x)=x^3−64$
$f(4)$ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ $x=4$ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | $f(4)=4^3−64$
ਸਰਲ ਕਰੋ। | $f(4)=64−64$
ਘਟਾਓ। | $f(4)=0$
ਕਿਉਂਕਿ $f(4)=0$, $x-4$, $f(x)=x^3−64$ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 5.91
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਕ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ $x-5$, $f(x)=x^3−125$ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 5.92
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਕ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ $x-6$, $f(x)=x^3−216$ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਵੰਡਣ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਨਾਲ ਵੰਡਣਾ
ਸੰਯੁਕਤ ਵੰਡ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਪ੍ਰਮੇਯ
ਅਭਿਆਸ ਪਰਪੱਕ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ
Divide Monomials
In the following exercises, divide the monomials.
15 r 4 s 9 ÷ ( 15 r 4 s 9 ) 15 r 4 s 9 ÷ ( 15 r 4 s 9 )
20 m 8 n 4 ÷ ( 30 m 5 n 9 ) 20 m 8 n 4 ÷ ( 30 m 5 n 9 )
18 a 4 b 8 −27 a 9 b 5 18 a 4 b 8 −27 a 9 b 5
45 x 5 y 9 −60 x 8 y 6 45 x 5 y 9 −60 x 8 y 6
( 10 m 5 n 4 ) ( 5 m 3 n 6 ) 25 m 7 n 5 ( 10 m 5 n 4 ) ( 5 m 3 n 6 ) 25 m 7 n 5
( −18 p 4 q 7 ) ( −6 p 3 q 8 ) −36 p 12 q 10 ( −18 p 4 q 7 ) ( −6 p 3 q 8 ) −36 p 12 q 10
( 6 a 4 b 3 ) ( 4 a b 5 ) ( 12 a 2 b ) ( a 3 b ) ( 6 a 4 b 3 ) ( 4 a b 5 ) ( 12 a 2 b ) ( a 3 b )
( 4 u 2 v 5 ) ( 15 u 3 v ) ( 12 u 3 v ) ( u 4 v ) ( 4 u 2 v 5 ) ( 15 u 3 v ) ( 12 u 3 v ) ( u 4 v )
Divide a Polynomial by a Monomial
In the following exercises, divide each polynomial by the monomial.
( 9 n 4 + 6 n 3 ) ÷ 3 n ( 9 n 4 + 6 n 3 ) ÷ 3 n
( 8 x 3 + 6 x 2 ) ÷ 2 x ( 8 x 3 + 6 x 2 ) ÷ 2 x
( 63 m 4 − 42 m 3 ) ÷ ( −7 m 2 ) ( 63 m 4 − 42 m 3 ) ÷ ( −7 m 2 )
( 48 y 4 − 24 y 3 ) ÷ ( −8 y 2 ) ( 48 y 4 − 24 y 3 ) ÷ ( −8 y 2 )
66 x 3 y 2 − 110 x 2 y 3 − 44 x 4 y 3 11 x 2 y 2 66 x 3 y 2 − 110 x 2 y 3 − 44 x 4 y 3 11 x 2 y 2
72 r 5 s 2 + 132 r 4 s 3 − 96 r 3 s 5 12 r 2 s 2 72 r 5 s 2 + 132 r 4 s 3 − 96 r 3 s 5 12 r 2 s 2
10 x 2 + 5 x − 4 −5 x 10 x 2 + 5 x − 4 −5 x
20 y 2 + 12 y − 1 −4 y 20 y 2 + 12 y − 1 −4 y
Divide Polynomials using Long Division
In the following exercises, divide each polynomial by the binomial.
( y 2 + 7 y + 12 ) ÷ ( y + 3 ) ( y 2 + 7 y + 12 ) ÷ ( y + 3 )
( a 2 − 2 a − 35 ) ÷ ( a + 5 ) ( a 2 − 2 a − 35 ) ÷ ( a + 5 )
(6m^2 - 19m - 20) ÷ (m - 4)
(4x^2 - 17x - 15) ÷ (x - 5)
(q^2 + 2q + 20) ÷ (q + 6)
(p^2 + 11p + 16) ÷ (p + 8)
(3b^3 + b^2 + 4) ÷ (b + 1)
(2n^3 - 10n + 28) ÷ (n + 3)
(z^3 + 1) ÷ (z + 1)
(m^3 + 1000) ÷ (m + 10)
(64x^3 - 27) ÷ (4x - 3)
(125y^3 - 64) ÷ (5y - 4)
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸੰਸਲਿਸ਼ਟ ਵੰਡ ਦੁਆਰਾ ਵੰਡੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਭਾਗਫਲ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸੰਸਲਿਸ਼ਟ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
x^3−6x^2+5x+14 ਨੂੰ x+1 ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ
x^3−3x^2−4x+12 ਨੂੰ x+2 ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ
2x^3−11x^2+11x+12 ਨੂੰ x−3 ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ
2x^3−11x^2+16x−12 ਨੂੰ x−4 ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ
x^4−5x^2+13x+3 ਨੂੰ x+3 ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ
x^4+x^2+6x−10 ਨੂੰ x+2 ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ
2x^4−9x^3+5x^2−3x−6 ਨੂੰ x−4 ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ
3x^4−11x^3+2x^2+10x+6 ਨੂੰ x−3 ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ
ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਵੰਡੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਵੰਡੋ।
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ f(x)=x^2−13x+36 ਅਤੇ g(x)=x−4 ਲਈ, ⓐ (fg)(x) ⓑ (fg)(−1) ਪਤਾ ਕਰੋ
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ f(x)=x^2−15x+54 ਅਤੇ g(x)=x−9 ਲਈ, ⓐ (fg)(x) ⓑ (fg)(−5) ਪਤਾ ਕਰੋ
For functions f(x)=x3+x2−7x+2f(x)=x3+x2−7x+2 and g(x)=x−2,g(x)=x−2, find ⓐ (fg)(x)(fg)(x) ⓑ (fg)(2)(fg)(2)
For functions f(x)=x3+2x2−19x+12f(x)=x3+2x2−19x+12 and g(x)=x−3,g(x)=x−3, find ⓐ (fg)(x)(fg)(x) ⓑ (fg)(0)(fg)(0)
For functions f(x)=x2−3x+2f(x)=x2−3x+2 and g(x)=x+3,g(x)=x+3, find ⓐ (fg)(x)(fg)(x) ⓑ (fg)(3)(fg)(3)
For functions f(x)=x2+2x−3f(x)=x2+2x−3 and g(x)=x+3g(x)=x+3 find ⓐ (fg)(x)(fg)(x)ⓑ (fg)(3)(fg)(3)
Use the Remainder and Factor Theorem
In the following exercises, use the Remainder Theorem to find the remainder.
f(x)=x3−8x+7f(x)=x3−8x+7 is divided by x+3x+3
f(x)=x3−4x−9f(x)=x3−4x−9 is divided by x+2x+2
f(x)=2x3−6x−24f(x)=2x3−6x−24 divided by x−3x−3
f(x)=7x2−5x−8f(x)=7x2−5x−8 divided by x−1x−1
In the following exercises, use the Factor Theorem to determine if x−cx−c is a factor of the polynomial function.
Determine whether x+3x+3 a factor of x3+8x2+21x+18x3+8x2+21x+18
Determine whether x+4x+4 a factor of x3+x2−14x+8x3+x2−14x+8
Determine whether x−2x−2 a factor of x3−7x2+7x−6x3−7x2+7x−6
Determine whether x−3x−3 a factor of x3−7x2+11x+3x3−7x2+11x+3
Writing Exercises
James divides 48y+648y+6 by 6 this way: 48y+66=48y.48y+66=48y. What is wrong with his reasoning?
Divide 10x2+x−122x10x2+x−122x and explain with words how you get each term of the quotient.
Explain when you can use synthetic division.
In your own words, write the steps for synthetic division for x2+5x+6x2+5x+6 divided by x−2.x−2.
Self Check
ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section
ⓑ On a scale of 1-10, how would you rate your mastery of this section in light of your responses on the checklist? How can you improve this?