Review Exercises
Greatest Common Factor and Factor by Grouping
Find the Greatest Common Factor of Two or More Expressions
In the following exercises, find the greatest common factor.
12 a 2 b 3 , 15 a b 2 12 a 2 b 3 , 15 a b 2
12 m 2 n 3 , 42 m 5 n 3 12 m 2 n 3 , 42 m 5 n 3
15 y 3 , 21 y 2 , 30 y 15 y 3 , 21 y 2 , 30 y
45 x 3 y 2 , 15 x 4 y , 10 x 5 y 3 45 x 3 y 2 , 15 x 4 y , 10 x 5 y 3
Factor the Greatest Common Factor from a Polynomial
In the following exercises, factor the greatest common factor from each polynomial.
35 y + 84 35 y + 84
6 y 2 + 12 y − 6 6 y 2 + 12 y − 6
18 x 3 − 15 x 18 x 3 − 15 x
15 m 4 + 6 m 2 n 15 m 4 + 6 m 2 n
4 x 3 − 12 x 2 + 16 x 4 x 3 − 12 x 2 + 16 x
−3 x + 24 −3 x + 24
−3 x 3 + 27 x 2 − 12 x −3 x 3 + 27 x 2 − 12 x
3 x ( x − 1 ) + 5 ( x − 1 ) 3 x ( x − 1 ) + 5 ( x − 1 )
Factor by Grouping
In the following exercises, factor by grouping.
a x − a y + b x − b y a x − a y + b x − b y
x 2 y − x y 2 + 2 x − 2 y x 2 y − x y 2 + 2 x − 2 y
x 2 + 7 x − 3 x − 21 x 2 + 7 x − 3 x − 21
4 x 2 − 16 x + 3 x − 12 4 x 2 − 16 x + 3 x − 12
m^3 + m^2 + m + 1 + m^3 + m^2 + m + 1
5x - 5y - y + x = 5x - 6y + x
ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ
x^2+bx+c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, x^2+bx+c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀ ਹਰ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
a^2 + 14a + 33
k^2 - 16k + 60
m^2 + 3m - 54
x^2 - 3x - 10
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, x^2+bxy+cy^2 ਦੇ ਰੂਪ ਦੀ ਹਰ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
x^2 + 12xy + 35y^2
r^2 + 3rs - 28s^2
a^2 + 4ab - 21b^2
p^2 - 5pq - 36q^2
m^2 - 5mn + 30n^2
ax^2+bx+c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ, ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ ਅਤੇ ਤਰੁੱਟੀ ਵਿਧੀ ਨਾਲ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ ਅਤੇ ਤਰੁੱਟੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
x^3 + 5x^2 - 24x
3y^3 - 21y^2 + 30y
5x^4 + 10x^3 - 75x^2
5y^2 + 14y + 9
8x^2 + 25x + 3
10y^2 - 53y - 11
6p^2 - 19pq + 10q^2
−81 a 2 + 153 a + 18 −81 a 2 + 153 a + 18
Factor Trinomials of the Form ax2+bx+cax2+bx+c using the ‘ac’ Method
In the following exercises, factor.
2 x 2 + 9 x + 4 2 x 2 + 9 x + 4
18 a 2 − 9 a + 1 18 a 2 − 9 a + 1
15 p 2 + 2 p − 8 15 p 2 + 2 p − 8
15 x 2 + 6 x − 2 15 x 2 + 6 x − 2
8 a 2 + 32 a + 24 8 a 2 + 32 a + 24
3 x 2 + 3 x − 36 3 x 2 + 3 x − 36
48 y 2 + 12 y − 36 48 y 2 + 12 y − 36
18 a 2 − 57 a − 21 18 a 2 − 57 a − 21
3 n 4 − 12 n 3 − 96 n 2 3 n 4 − 12 n 3 − 96 n 2
Factor using substitution
In the following exercises, factor using substitution.
x 4 − 13 x 2 − 30 x 4 − 13 x 2 − 30
( x − 3 ) 2 − 5 ( x − 3 ) − 36 ( x − 3 ) 2 − 5 ( x − 3 ) − 36
Factor Special Products
Factor Perfect Square Trinomials
In the following exercises, factor completely using the perfect square trinomials pattern.
25 x 2 + 30 x + 9 25 x 2 + 30 x + 9
36 a 2 − 84 a b + 49 b 2 36 a 2 − 84 a b + 49 b 2
40 x 2 + 360 x + 810 40 x 2 + 360 x + 810
5 k 3 − 70 k 2 + 245 k 5 k 3 − 70 k 2 + 245 k
75 u 4 − 30 u 3 v + 3 u 2 v 2 75 u 4 − 30 u 3 v + 3 u 2 v 2
ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
81 r 2 − 25
169 m 2 − n 2
25 p 2 − 1
9 − 121 y 2
20 x 2 − 125
169 n 3 − n
6 p 2 q 2 − 54 p 2
24 p 2 + 54
49 x 2 − 81 y 2
16 z 4 − 1
48 m 4 n 2 − 243 n 2
a 2 + 6 a + 9 − 9 b 2
x 2 − 16 x + 64 − y 2
ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜਾਂ ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜਾਂ ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਂ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
a 3 − 125
b 3 − 216
2 m 3 + 54
81 m 3 + 3
ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਲਈ ਆਮ ਰਣਨੀਤੀ
ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨ ਲਈ ਢੁਕਵੀਂ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ ਅਤੇ ਵਰਤੋਂ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
੨੪ x ੩ + ੪੪ x ੨
੨੪ a ੪ − ੯ a ੩
੧੬ n ੨ − ੫੬ m n + ੪੯ m ੨
੬ a ੨ − ੨੫ a − ੯
੫ u ੪ − ੪੫ u ੨
n ੪ − ੮੧
੬੪ j ੨ + ੨੨੫
੫ x ੨ + ੫ x − ੬੦
b ੩ − ੬੪
m ੩ + ੧੨੫
੨ b ੨ − ੨ b c + ੫ c b − ੫ c ੨
੪੮ x ੫ y ੨ − ੨੪੩ x y ੨
੫ q ੨ − ੧੫ q − ੯੦
੪ u ੫ v + ੪ u ੨ v ੩
੧੦ m ੪ − ੬੨੫੦
੬੦ x ੨ y − ੭੫ x y + ੩੦ y
੧੬ x ੨ − ੨੪ x y + ੯ y ੨ − ੬੪
ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ
ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੱਲ ਕਰੋ।
( a − ੩ ) ( a + ੭ ) = ੦
( ੫ b + ੧ ) ( ੬ b + ੧ ) = ੦
੬ m ( ੧੨ m − ੫ ) = ੦
( ੨ x − ੧ ) ੨ = ੦
3 ਮ ( 2 ਮ − 5 ) ( ਮ + 6 ) = 0
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਰਾਹੀਂ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੱਲ ਕਰੋ।
x 2 + 9 x + 20 = 0
y 2 − y − 72 = 0
2 p 2 − 11 p = 40
q 3 + 3 q 2 + 2 q = 0
144 m 2 − 25 = 0
4 n 2 = 36
( x + 6 ) ( x − 3 ) = −8
( 3 x − 2 ) ( x + 4 ) = 12 x
16 p 3 = 24 p 2 − 9 p
2 y 3 + 2 y 2 = 12 y
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਫੰਕਸ਼ਨ, f(x)=x2+11x+20, ਲਈ, f(x)=−8 ਕਦੋਂ ਹੈ? ⓐ f(x)=−8 ਲੱਭੋ ⓑ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਫੰਕਸ਼ਨ, f(x)=9x2−18x+5, ਲਈ, f(x)=−3 ਕਦੋਂ ਹੈ? ⓐ f(x)=−3 ਲੱਭੋ ⓑ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਲੱਭੋ: ⓐ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ⓑ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ⓒ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ y-ਅੰਤਰਖੰਡ।
f ( x ) = 64 x 2 − 49
f ( x ) = 6 x 2 − 13 x − 5
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੇ ਗਏ ਉਪਯੋਗਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 399 ਹੈ। ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪੈਟੀਓ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 432 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਪੈਟੀਓ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਉਸਦੀ ਚੌੜਾਈ ਤੋਂ 6 ਫੁੱਟ ਵੱਧ ਹੈ। ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਪੌੜੀ ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਕੰਧ ਨਾਲ ਟਿਕੀ ਹੋਈ ਹੈ। ਪੌੜੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਪੌੜੀ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਹਿੱਸੇ ਦੇ ਇਮਾਰਤ ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਨਾਲੋਂ 9 ਫੁੱਟ ਵੱਧ ਹੈ। ਪੌੜੀ ਦਾ ਸਿਖਰਲਾ ਹਿੱਸਾ ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਕੰਧ ਉੱਤੇ ਜਿੰਨੀ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਪੌੜੀ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਹਿੱਸੇ ਦੇ ਇਮਾਰਤ ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਨਾਲੋਂ 7 ਫੁੱਟ ਵੱਧ ਹੈ। ਪੌੜੀ ਦੇ ਇਮਾਰਤ ਨਾਲ ਟਿਕਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨਾਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸ਼ਰੂਤੀ ਇੱਕ ਚੱਟਾਨ ਦੀ ਚੋਟੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਸੁੱਟਣ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਉਹ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 80 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਤੋਂ ਗੇਂਦ ਸੁੱਟਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ h(t)=−16t2+64t+80, ਸਮੇਂ t ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ, h, ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪਤਾ ਕਰੋ: ⓐ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਜੋ ਦੱਸਦੇ ਹਨ ਕਿ ਗੇਂਦ ਕਦੋਂ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਡਿੱਗੇਗੀ। ⓑ ਉਹ ਸਮਾਂ/ਸਮੇਂ ਜਦੋਂ ਗੇਂਦ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 80 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਹੋਵੇਗੀ। ⓒ t=2 ਸੈਕਿੰਡ 'ਤੇ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ ਜੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਗੇਂਦ ਆਪਣੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੋਵੇਗੀ।