1. ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
2. ਕਿਸੇ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ (rational expression) ਲਈ ਉਹ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਇਹ ਅਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੋਵੇ। ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ: ਹਰ (denominator) ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ। ਦੂਜਾ ਕਦਮ: ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
3. ਬਰਾਬਰ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਧਰਮ ਜੇਕਰ a, b, ਅਤੇ c ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੋਣ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ b≠0, c≠0, ਤਾਂ ab=a·cb·c ਅਤੇ a·cb·c=ab।
4. ਕਿਸੇ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਵਿਧੀ। ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ: ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਤੇ ਹਰ (denominator) ਦਾ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ। ਦੂਜਾ ਕਦਮ: ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਕੱਟ ਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
5. ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਵਿੱਚ ਵਿਰੋਧੀ। a−b ਦਾ ਵਿਰੋਧੀ b−a ਹੈ। a−bb−a=−1 ਜਦੋਂ a≠b। ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਅਤੇ ਉਸਦਾ ਵਿਰੋਧੀ −1 ਨਾਲ ਭਾਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
6. ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾ। ਜੇਕਰ p, q, r, ਅਤੇ s ਬਹੁਪਦੀਆਂ (polynomials) ਹੋਣ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ q≠0, s≠0, ਤਾਂ pq·rs=prqs।
7. ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ। ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ: ਹਰੇਕ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦਾ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ। ਦੂਜਾ ਕਦਮ: ਅੰਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਤੀਜਾ ਕਦਮ: ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਕੱਟ ਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
8. ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਭਾਗ। ਜੇਕਰ p, q, r, ਅਤੇ s ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਹੋਣ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ q≠0, r≠0, s≠0, ਤਾਂ pq÷rs=pq·sr।
9. ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ। ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ: ਭਾਗ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ (reciprocal) ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। ਦੂਜਾ ਕਦਮ: ਅੰਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਹਰਾਂ ਦਾ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ। ਤੀਜਾ ਕਦਮ: ਅੰਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਚੌਥਾ ਕਦਮ: ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਕੱਟ ਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
10. ਤਰਕਹੀਣ ਫਲਨ (rational function) ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ (domain) ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ। ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ: ਹਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ। ਦੂਜਾ ਕਦਮ: ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਤੀਜਾ ਕਦਮ: ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਦਮ 2 ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਗਏ ਮੁੱਲ ਬਾਹਰ ਹਨ।
11. ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ। ਜੇਕਰ p, q, ਅਤੇ r ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਹੋਣ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ r≠0, ਤਾਂ pr+qr=p+qr ਅਤੇ pr−qr=p−qr।
12. ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝੇ ਹਰ (least common denominator) ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਵਿਧੀ। ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ: ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ। ਦੂਜਾ ਕਦਮ: ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ। ਜਦੋਂ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਮਿਲਾਓ। ਤੀਜਾ ਕਦਮ: ਕਾਲਮਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ। ਚੌਥਾ ਕਦਮ: LCD ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
13. ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ ਦੀ ਵਿਧੀ। ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ: ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਹੈ। ਜੇ ਹਾਂ – ਕਦਮ 2 'ਤੇ ਜਾਓ। ਜੇ ਨਹੀਂ – ਹਰੇਕ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ LCD ਨਾਲ ਬਰਾਬਰ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। LCD ਲੱਭੋ। ਹਰੇਕ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ LCD ਨਾਲ ਬਰਾਬਰ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। ਦੂਜਾ ਕਦਮ: ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ। ਤੀਜਾ ਕਦਮ: ਜੇ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
14. ਕਿਸੇ ਜਟਿਲ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ (complex rational expression) ਨੂੰ ਭਾਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਵਿਧੀ। ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। ਦੂਜਾ ਕਦਮ: ਜਟਿਲ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਭਾਗ ਸਮੱਸਿਆ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। ਤੀਜਾ ਕਦਮ: ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰੋ।
15. ਕਿਸੇ ਜਟਿਲ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ LCD ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਵਿਧੀ। ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ: ਜਟਿਲ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ LCD ਨੂੰ ਲੱਭੋ। ਦੂਜਾ ਕਦਮ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ LCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਤੀਜਾ ਕਦਮ: ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
16. ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ। ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ: ਚੱਲ (variable) ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਦੂਜਾ ਕਦਮ: ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਹਰਾਂ ਦੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨੂੰ ਲੱਭੋ। ਤੀਜਾ ਕਦਮ: ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ LCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ। ਚੌਥਾ ਕਦਮ: ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਪੰਜਵਾਂ ਕਦਮ: ਜਾਂਚ ਕਰੋ: ਜੇ ਕਦਮ 1 ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਗਏ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਹੱਲ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰੋ। ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
17. ਅਨੁਪਾਤ (proportion) ab=cd ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ b≠0, d≠0। ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ "a ਦਾ b ਨਾਲ ਉਹੀ ਸੰਬੰਧ ਹੈ ਜੋ c ਦਾ d ਨਾਲ ਹੈ" ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
18. ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦਾ ਗੁਣਧਰਮ। ਜੇਕਰ ΔABC, ΔXYZ ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸੰਗਤ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਮਾਪ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
19. ਸਿੱਧੀ ਅਨੁਪਾਤਤਾ (Direct Variation)। ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਚੱਲਾਂ x ਅਤੇ y ਲਈ, y, x ਨਾਲ ਸਿੱਧੀ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ y=kx, ਜਿੱਥੇ k≠0। ਸਥਿਰਾਂਕ k ਨੂੰ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਦਾ ਸਥਿਰਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਿੱਧੀ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ। ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ: ਸਿੱਧੀ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਦਾ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ। ਦੂਜਾ ਕਦਮ: ਚੱਲਾਂ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। ਤੀਜਾ ਕਦਮ: ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਦੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਚੌਥਾ ਕਦਮ: x ਅਤੇ y ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
20. ਉਲਟੀ ਅਨੁਪਾਤਤਾ (Inverse Variation)। ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਚੱਲਾਂ x ਅਤੇ y ਲਈ, y, x ਨਾਲ ਉਲਟੀ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ y=kx, ਜਿੱਥੇ k≠0। ਸਥਿਰਾਂਕ k ਨੂੰ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਦਾ ਸਥਿਰਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਲਟੀ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ। ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ: ਉਲਟੀ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਦਾ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ। ਦੂਜਾ ਕਦਮ: ਚੱਲਾਂ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। ਤੀਜਾ ਕਦਮ: ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਦੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਚੌਥਾ ਕਦਮ: x ਅਤੇ y ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
21. ਤਰਕਹੀਣ ਅਸਮਾਨਤਾ (rational inequality) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ: ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਭਾਗਫਲ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸਿਫ਼ਰ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। ਦੂਜਾ ਕਦਮ: ਸਿਫ਼ਰ ਭਾਜਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (zero partition numbers) ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ – ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਜਿੱਥੇ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਸਿਫ਼ਰ ਜਾਂ ਅਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੋਵੇਗਾ। ਤੀਜਾ ਕਦਮ: ਸਿਫ਼ਰ ਭਾਜਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲਾਂ (intervals) ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ। ਚੌਥਾ ਕਦਮ: ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਦੇ ਉੱਪਰ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਦਿਖਾਓ। ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਦਿਖਾਓ। ਪੰਜਵਾਂ ਕਦਮ: ਉਹ ਅੰਤਰਾਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ ਅਸਮਾਨਤਾ ਸਹੀ ਹੈ। ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਸੰਕੇਤ (interval notation) ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।