ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗੁਣਾਂ ਦੇ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 8.4
ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
ਸਰਲ ਕਰੋ: x9x4.x9x4. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.13 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 8.5
ਸਰਲ ਕਰੋ: y3y11.y3y11. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.13 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 8.6
ਸਰਲ ਕਰੋ: (n2)6.(n2)6. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.17 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗੁਣਾਂ ਦੇ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਅਸੀਂ ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਰਲ ਬਣਾਵਾਂਗੇ ਜਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਨਾ ਹੋਵੇ। ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇੱਕ ਕਰਨੀ ਵਾਲਾ ਵਿਅੰਜਨ, an,an, ਨੂੰ ਸਰਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸ ਵਿੱਚ mn.mn ਦੇ ਕੋਈ ਗੁਣਕ ਨਾ ਹੋਣ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗੁਣਕ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇੰਡੈਕਸ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਹਨ।
ਸਰਲ ਕੀਤਾ ਕਰਨੀ ਵਾਲਾ ਵਿਅੰਜਨ
ਅਸਲ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਜਾਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ a ਅਤੇ m, ਅਤੇ n≥2,n≥2 ਲਈ,
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 55 ਨੂੰ ਸਰਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 5 ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਗੁਣਕ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਪਰ 1212 ਨੂੰ ਸਰਲ ਨਹੀਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 12 ਵਿੱਚ 4 ਦਾ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਗੁਣਕ ਹੈ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, 4343 ਨੂੰ ਸਰਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 4 ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਗੁਣਕ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਪਰ 243243 ਨੂੰ ਸਰਲ ਨਹੀਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 24 ਵਿੱਚ 8 ਦਾ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਗੁਣਕ ਹੈ।
ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਜੜ੍ਹਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਿਹੜੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ ਉਹ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ (ab)n=anbn.(ab)n=anbn। ਜੜ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੇ ਗੁਣ ਦਾ ਅਨੁਸਾਰੀ ਕਥਨ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ abn=an·bn.abn=an·bn।
ਜੜ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਗੁਣ
ਜੇਕਰ anan ਅਤੇ bnbn ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ n≥2n≥2 ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਤਾਂ
ਅਸੀਂ ਵਰਗਮੂਲ ਵਿੱਚੋਂ ਸਾਰੇ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਉਣ ਲਈ ਜੜ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੇ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.13
ਜੜ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੇ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਸਰਲ ਕਰੋ: 98.98।
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.25
ਸਰਲ ਕਰੋ: 48.48।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.26
ਸਰਲ ਕਰੋ: 45.45।
ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ 9898 ਦਾ ਸਰਲ ਰੂਪ 72,72 ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵਰਗਮੂਲ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਨੂੰ ਵਰਗਮੂਲ ਦੇ ਅੱਗੇ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਵਧਾਨ ਰਹੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਆਪਣਾ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖੋ ਕਿ ਇਹ ਸੂਚਕਾਂਕ ਨਾਲ ਭੰਬਲਭੂਸਾ ਨਾ ਪਾਵੇ। 7272 ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ 27.27 ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਵੱਖਰੀ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਕਦਮ 1. ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਗੁਣਕ ਲੱਭੋ ਜੋ ਸੂਚਕਾਂਕ ਦੀ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸ਼ਕਤੀ ਹੋਵੇ। ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਨੂੰ ਉਸ ਗੁਣਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਦੋ ਗੁਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਕਦਮ 2. ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਦੋ ਰੈਡੀਕਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 3. ਸੰਪੂਰਨ ਸ਼ਕਤੀ ਦੇ ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਅਸੀਂ ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਇਸ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਾਂਗੇ। ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗਾਂ, ਘਣਾਂ ਅਤੇ ਚੌਥੀਆਂ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਹੋਣਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.14
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 500500 ⓑ 163163 ⓒ 2434.2434.
ਹੱਲ
ⓐ
ਸਤਰ: 500500
ਸਤਰ: ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਗੁਣਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | 100·5100·5
ਸਤਰ: ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਦੋ ਰੈਡੀਕਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | 100·5100·5
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 105105
ⓑ
ਸਤਰ: 163163
ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲਿਖੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਗੁਣਕ ਹੋਵੇ। 23=823=8 | 8·238·23
ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲਿਖੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣਕ ਹੋਣ। | 83·2383·23
ਸਰਲ ਕਰੋ। | 223223
ⓒ
24342434
ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲਿਖੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸੰਪੂਰਨ ਚੌਥਾ ਘਾਤ ਗੁਣਕ ਹੋਵੇ। 34=8134=81 | 81·3481·34
ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲਿਖੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣਕ ਹੋਣ। | 814·34814·34
ਸਰਲ ਕਰੋ। | 334334
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.27
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 288288 ⓑ 813813 ⓒ 644.644.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.28
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 432432 ⓑ 62536253 ⓒ 7294.7294.
ਅਗਲਾ ਉਦਾਹਰਨ ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਰਗਾ ਹੀ ਹੈ, ਪਰ ਵੇਰੀਏਬਲਜ਼ ਨਾਲ। ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਪਦ ਦਾ ਸਮ (ਜਿਸਦਾ ਘਾਤ ਸਮ ਹੋਵੇ) ਵਰਗਮੂਲ ਕੱਢੋ ਤਾਂ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਨਾ ਭੁੱਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.15
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ x3x3 ⓑ x43x43 ⓒ x74.x74.
ਹੱਲ
ⓐ
x3x3
ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲਿਖੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਗੁਣਕ ਹੋਵੇ। | x2·xx2·x
ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲਿਖੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣਕ ਹੋਣ। | x2·xx2·x
ਸਰਲ ਕਰੋ। | |x|x|x|x
ⓑ
x43x43
ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲਿਖੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਗੁਣਕ ਹੋਵੇ। | x3·x3.x3·x3.
ਮੂਲ ਨੂੰ ਦੋ ਮੂਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | x33·x3x33·x3
ਸਰਲ ਕਰੋ। | xx3xx3
ⓒ
ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸੰਪੂਰਨ ਚੌਥੇ ਘਾਤ ਗੁਣਕ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | x4·x34x4·x34
ਮੂਲ ਨੂੰ ਦੋ ਮੂਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | x44·x34x44·x34
ਸਰਲ ਕਰੋ। | |x|x34|x|x34
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.29
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ b5b5 ⓑ y64y64 ⓒ z53z53
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.30
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ p9p9 ⓑ y85y85 ⓒ q136q136
ਜਦੋਂ ਮੂਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੁਣਾਂਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਸੇ ਵਿਧੀ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਸਥਿਰਾਂਕ ਅਤੇ ਚਲ ਦੋਵਾਂ ਦੇ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਗੁਣਕ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.16
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 72n772n7 ⓑ 24x7324x73 ⓒ 80y144.80y144.
ਹੱਲ
ⓐ
72n772n7
ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਗੁਣਕ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 36n6·2n36n6·2n
ਮੂਲ ਨੂੰ ਦੋ ਮੂਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 36n6·2n36n6·2n
ਸਰਲ ਕਰੋ। | 6|n3|2n6|n3|2n
ⓑ
24x7324x73
ਮੂਲ ਨੂੰ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਗੁਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 8x6·3x38x6·3x3
ਮੂਲ ਨੂੰ ਦੋ ਮੂਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 8x63·3x38x63·3x3
NONE
1. ਪਹਿਲੀ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਨੂੰ (2x2)3.(2x2)3 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | (2x2)33·3x3(2x2)33·3x3
1. ਪੰਗਤੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 2x23x32x23x3
1. ਛੋਟਾ ਜਿਹਾ।
1. ਕਤਾਰ: 80y14480y144
1. ਘਾਤ 4 ਦੇ ਸੰਪੂਰਨ ਗੁਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਰੇਡਿਕੈਂਡ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 16y12·5y2416y12·5y24
1. ਕਤਾਰ: ਮੂਲ ਨੂੰ ਦੋ ਮੂਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 16y124·5y2416y124·5y24
1. ਸਤਰ: ਪਹਿਲੇ ਰੇਡਿਕੈਂਡ ਨੂੰ (2y3)4.(2y3)4 ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | (2y3)44·5y24(2y3)44·5y24
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | 2|y3|5y242|y3|5y24
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.31
1. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 32y532y5 ⓑ 54p10354p103 ⓒ 64q104.64q104.
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.32
1. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 75a975a9 ⓑ 128m113128m113 ⓒ 162n74.162n74.
1. ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਣ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕੋ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਰਹਾਂਗੇ ਭਾਵੇਂ ਕਿ ਮੂਲ ਦੇ ਅਧੀਨ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਹਨ।
1. ਉਦਾਹਰਨ ੮.੧੭
1. ਏਕੀਕਰਨ: ⓐ ਨਿਰਮਲਤਾ ⓑ ਸਰਲਤਾ ⓒ ਸਪਸ਼ਟਤਾ
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਏਹ ਸਭ ਕੁਝ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਸੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਛੂਹਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਸੁੰਘਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਚੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਇਹ ਸਭ ਕੁਝ ਅਸਲੀਅਤ ਹੈ।
1. ਪੰਗਤੀ: 63u3v563u3v5
1. ਸਾਰਣੀ: ਕਾਰਕ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਗੁਣਕ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 9u2v4·7uv9u2v4·7uv
1. ਸਾਰ: ਮੂਲ ਨੂੰ ਦੋ ਮੂਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲੇ ਰੇਡੀਕੈਂਡ ਨੂੰ (3uv2)2.(3uv2)2 ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | (3uv2)2·7uv(3uv2)2·7uv
1. ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 3|u|v27uv3|u|v27uv
1. ⓑ
1. ਕਤਾਰ: 40x4y5340x4y53
row: Rewrite the radicand as a product using the largest perfect cube factor. | 8x3y3·5xy238x3y3·5xy23
row: Rewrite the radical as the product of two radicals. | 8x3y33·5xy238x3y33·5xy23
row: Rewrite the first radicand as (2xy)3.(2xy)3. | (2xy)33·5xy23(2xy)33·5xy23
row: Simplify. | 2xy5xy232xy5xy23
ⓒ
row: 48x4y7448x4y74
row: Rewrite the radicand as a product using the largest perfect fourth power factor. | 16x4y4·3y3416x4y4·3y34
row: Rewrite the radical as the product of two radicals. | 16x4y44·3y3416x4y44·3y34
row: Rewrite the first radicand as (2xy)4.(2xy)4. | (2xy)44·3y34(2xy)44·3y34
row: Simplify. | 2|xy|3y342|xy|3y34
Try It 8.33
Simplify: ⓐ 98a7b598a7b5 ⓑ 56x5y4356x5y43 ⓒ 32x5y84.32x5y84.
Try It 8.34
Simplify: ⓐ 180m9n11180m9n11 ⓑ 72x6y5372x6y53 ⓒ 80x7y44.80x7y44.
Example 8.18
Simplify: ⓐ −273−273 ⓑ −164.−164.
Solution
ⓐ
row: −273−273
row: Rewrite the radicand as a product using perfect cube factors. | (−3)33(−3)33
row: Take the cube root. | −3−3
ⓑ
row: −164−164
row: There is no real number nn where n4=−16.n4=−16. | Not a real number.
8.35 ਦਾ ਯਤਨ ਕਰੋ
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ −643−643 ⓑ −814.−814.
8.36 ਦਾ ਯਤਨ ਕਰੋ
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ −6253−6253 ⓑ −3244.−3244.
ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਕਰਣੀਆਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵਰਗ ਕਰਣੀ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਕਰਣੀ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਪਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਪਦ ਵਿੱਚ ਕਰਣੀ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ। ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਅੰਸ਼ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਕਰਣੀ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਤੁਹਾਨੂੰ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.19
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 3+323+32 ⓑ 4−482.4−482.
ਹੱਲ
ⓐ
ਸਤਰ: 3+323+32
ਸਤਰ: ਕਰਣੀਯੋਗ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਗੁਣਕ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | 3+16·23+16·2
ਸਤਰ: ਕਰਣੀ ਨੂੰ ਦੋ ਕਰਣੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | 3+16·23+16·2
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 3+423+42
ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਕਰਣੀ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ। ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਕਰਣੀ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਚੱਲ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਨ ਵਰਗਾ ਹੈ। ਉਹ ਸਮਾਨ ਪਦ ਨਹੀਂ ਹਨ!
ⓑ
ਸਤਰ: 4−4824−482
ਸਤਰ: ਕਰਣੀਯੋਗ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਗੁਣਕ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | 4−16·324−16·32
ਸਤਰ: ਕਰਣੀ ਨੂੰ ਦੋ ਕਰਣੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | 4−16·324−16·32
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 4−4324−432
ਸਤਰ: ਅੰਸ਼ ਤੋਂ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ। | 4(1−3)24(1−3)2
ਸਤਰ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਤੋਂ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ, 2, ਨੂੰ ਹਟਾਓ। | 2·2(1−3)22·2(1−3)2
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 2(1−3)2(1−3)
8.37 ਦਾ ਯਤਨ ਕਰੋ
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 5+755+75 ⓑ 10−75510−755
8.38 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 2+982+98 ⓑ 6−4536−453
ਭਾਗਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਰਨੀ ਅਭਿਵਿਅਕਤੀਆਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਜਦੋਂ ਵੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕੋਈ ਕਰਨੀ ਅਭਿਵਿਅਕਤੀ ਸਰਲ ਕਰਨੀ ਪਵੇ, ਤਾਂ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਕਰਨੀ-ਅੰਦਰਲੀ ਸੰਖਿਆ ਸੂਚਕਾਂਕ ਦੀ ਸੰਪੂਰਨ ਘਾਤ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾ ਦਿਓ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਭਿੰਨ ਮਿਲ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵੇਂ ਸੂਚਕਾਂਕ ਦੀਆਂ ਸੰਪੂਰਨ ਘਾਤਾਂ ਹੋਣ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.20
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 45804580 ⓑ 1654316543 ⓒ 5804.5804.
ਹੱਲ
ⓐ
ਪੰਕਤੀ: 45804580
ਪੰਕਤੀ: ਕਰਨੀ ਦੇ ਅੰਦਰ ਪਹਿਲਾਂ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪੰਕਤੀ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | 5·95·165·95·16
ਪੰਕਤੀ: ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾ ਕੇ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। | 916916
ਪੰਕਤੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ (34)2=916.(34)2=916. | 3434
ⓑ
ਪੰਕਤੀ: 1654316543
ਪੰਕਤੀ: ਕਰਨੀ ਦੇ ਅੰਦਰ ਪਹਿਲਾਂ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪੰਕਤੀ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | 2·82·2732·82·273
ਪੰਕਤੀ: ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾ ਕੇ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। | 82738273
ਪੰਕਤੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ (23)3=827.(23)3=827. | 2323
ⓒ
ਪੰਕਤੀ: 58045804
ਪੰਕਤੀ: ਕਰਨੀ ਦੇ ਅੰਦਰ ਪਹਿਲਾਂ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪੰਕਤੀ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | 5·15·1645·15·164
ਪੰਕਤੀ: ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾ ਕੇ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। | 11641164
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। ਨੋਟ (12)4=116। (12)4=116। | 1212
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.39
1. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 75487548 ⓑ 542503542503 ⓒ 321624.321624.
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ, 8.40
1. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 9816298162 ⓑ 243753243753 ⓒ 43244.43244.
1. ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਸਾਡਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਕਰਣੀ ਅਧੀਨ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾ ਕੇ ਸਰਲ ਕਰਨਾ ਸੀ। ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਕਰਣੀ ਅਧੀਨ ਸਰਲ ਕਰਨ ਲਈ ਭਾਗ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਆਧਾਰਾਂ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ,
1. ਉਦਾਹਰਨ ੮.੨੧
1. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ ਮੋਹਮੋਹ ⓑ ਆਸਾਆਸਾ ⓒ ਆਲੋਕ.ਆਲੋਕ.
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਏਹ ਸਭ ਕੁਝ, ਜੋ ਕੁਝ ਭੀ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਹੋ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਹੋਵੇਗਾ, ਇਹ ਸਭ ਕੁਝ ਈਸ਼ਵਰ ਹੈ। ਈਸ਼ਵਰ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਕੁਝ ਭੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।
1
1. ਮੂਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਸਰਲ ਕਰੋ।
1. ਸੇਮ ਆਧਾਰਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਵੰਡੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
1. ⓑ
1. ਕਤਾਰ: ਇੱਕ ਅੱਠ ਪੰਜ ਤਿੰਨ ਅੱਠ ਪੰਜ ਤਿੰਨ
1. ਘਾਤਾਂੰਕ ਦੇ ਭਾਗ ਗੁਣਨਖੰਡ (Quotient Property) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੂਲ (radical) ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਸਰਲ ਕਰੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
1. ਈਸ਼ਵਰ (ਈਸ਼ਵਰ)
1. ਕਤਾਰ: ਅ10ਆ24ਅ10ਆ24
1. ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੈਡੀਕਲ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
1. ਕਤਾਰ: ਮੂਲ ਨੂੰ ਚੌਥੀ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਸੰਪੂਰਨ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨਾਲ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | (a2)44(a2)44
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.41
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ ਏ8ਏ6ਏ8ਏ6 ⓑ ਐਕਸ7ਐਕਸ34ਐਕਸ7ਐਕਸ34 ⓒ ਵਾਈ17ਵਾਈ54.ਵਾਈ17ਵਾਈ54.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 8.42
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ ਐਕਸ14ਐਕਸ10ਐਕਸ14ਐਕਸ10 ⓑ ਐਮ13ਐਮ73ਐਮ13ਐਮ73 ⓒ ਐਨ12ਐਨ25.ਐਨ12ਐਨ25.
ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਘਾਤ ਦੀ ਭਿੰਨ ਬਾਰੇ ਯਾਦ ਹੈ? ਇਸ ਨੇ ਕਿਹਾ ਕਿ ਅਸੀਂ ਭਿੰਨ ਦੇ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਘਾਤ 'ਤੇ ਚੁੱਕ ਕੇ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਘਾਤ 'ਤੇ ਚੁੱਕ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਭਿੰਨ ਦੇ ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਤੋਂ ਸਾਰੇ ਸਾਂਝੇ ਕਾਰਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਜੇਕਰ ਭਿੰਨ ਸੂਚਕਾਂਕ ਦੀ ਸੰਪੂਰਨ ਘਾਤ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦਾ ਭਾਗ ਗੁਣ
ਜੇਕਰ ਅਨਨ ਅਤੇ ਬਨਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਬੀ≠0, ਬੀ≠0, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਐਨ≥2 ਲਈ, ਤਾਂ,
ਉਦਾਹਰਨ 8.22
ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੇ ਭਾਗ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾਵੇ
ਸਰਲ ਕਰੋ: 27ਐਮ3196.27ਐਮ3196.
ਹੱਲ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 8.43
ਸਰਲ ਕਰੋ: 24ਪੀ349.24ਪੀ349.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 8.44
ਸਰਲ ਕਰੋ: 48ਐਕਸ5100.48ਐਕਸ5100.
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਭਾਗ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਰਗ ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਕਦਮ 1. ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਵਿੱਚ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਕਦਮ 2. ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਦੋ ਰੈਡੀਕਲਾਂ ਦੇ ਭਾਗ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਭਾਗ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 3. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਰੈਡੀਕਲਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.23
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 45ਐਕਸ5ਵਾਈ445ਐਕਸ5ਵਾਈ4 ⓑ 24ਐਕਸ7ਵਾਈ3324ਐਕਸ7ਵਾਈ33 ⓒ 48ਐਕਸ10ਵਾਈ84.48ਐਕਸ10ਵਾਈ84.
ਹੱਲ
ⓐ
row: 45x5y445x5y4
row: We cannot simplify the fraction in the radicand. Rewrite using the Quotient Property. | 45x5y445x5y4
row: Simplify the radicals in the numerator and the denominator. | 9x4·5xy29x4·5xy2
row: Simplify. | 3x25xy23x25xy2
ⓑ
row: 24x7y3324x7y33
row: The fraction in the radicand cannot be simplified. Use the Quotient Property to write as two radicals. | 24x73y3324x73y33
row: Rewrite each radicand as a product using perfect cube factors. | 8x6·3x3y338x6·3x3y33
row: Rewrite the numerator as the product of two radicals. | (2x2)33·3x3y33(2x2)33·3x3y33
row: Simplify. | 2x23x3y2x23x3y
ⓒ
row: 48x10y8448x10y84
row: The fraction in the radicand cannot be simplified. | 48x104y8448x104y84
row: Use the Quotient Property to write as two radicals. Rewrite each radicand as a product using perfect fourth power factors. | 16x8·3x24y8416x8·3x24y84
row: Rewrite the numerator as the product of two radicals. | (2x2)44·3x24(y2)44(2x2)44·3x24(y2)44
row: Simplify. | 2x23x24y22x23x24y2
Try It 8.45
Simplify: ⓐ 80m3n680m3n6 ⓑ 108c10d63108c10d63 ⓒ 80x10y44.80x10y44.
Try It 8.46
Simplify: ⓐ 54u7v854u7v8 ⓑ 40r3s6340r3s63 ⓒ 162m14n124.162m14n124.
Be sure to simplify the fraction in the radicand first, if possible.
Example 8.24
Simplify: ⓐ 18p5q732pq218p5q732pq2 ⓑ 16x5y754x2y2316x5y754x2y23 ⓒ 5a8b680a3b24.5a8b680a3b24.
Solution
ⓐ
row: 18p5q732pq218p5q732pq2
row: Simplify the fraction in the radicand, if possible. | 9p4q5169p4q516
row: Rewrite using the Quotient Property. | 9p4q5169p4q516
row: Simplify the radicals in the numerator and the denominator. | 9p4q4·q49p4q4·q4
row: Simplify. | 3p2q2q43p2q2q4
ⓑ
row: 16x5y754x2y2316x5y754x2y23
row: Simplify the fraction in the radicand, if possible. | 8x3y52738x3y5273
row: Rewrite using the Quotient Property. | 8x3y532738x3y53273
row: Simplify the radicals in the numerator and the denominator. | 8x3y33·y232738x3y33·y23273
row: Simplify. | 2xyy2332xyy233
ⓒ
row: 5a8b680a3b245a8b680a3b24
row: Simplify the fraction in the radicand, if possible. | a5b4164a5b4164
row: Rewrite using the Quotient Property. | a5b44164a5b44164
row: Simplify the radicals in the numerator and the denominator. | a4b44·a4164a4b44·a4164
row: Simplify. | |ab|a42|ab|a42
Try It 8.47
Simplify: ⓐ 50x5y372x4y50x5y372x4y ⓑ 16x5y754x2y2316x5y754x2y23 ⓒ 5a8b680a3b24.5a8b680a3b24.
Try It 8.48
Simplify: ⓐ 48m7n2100m5n848m7n2100m5n8 ⓑ 54x7y5250x2y2354x7y5250x2y23 ⓒ 32a9b7162a3b34.32a9b7162a3b34.
In the next example, there is nothing to simplify in the denominators. Since the index on the radicals is the same, we can use the Quotient Property again, to combine them into one radical. We will then look to see if we can simplify the expression.
Example 8.25
Simplify: ⓐ 48a73a48a73a ⓑ −108323−108323 ⓒ 96x743x24.96x743x24.
Solution
ⓐ
row: 48a73a48a73a
row: The denominator cannot be simplified, so use the Quotient Property to write as one radical. | 48a73a48a73a
row: Simplify the fraction under the radical. | 16a616a6
row: Simplify. | 4|a3|4|a3|
ⓑ
row: −108323−108323
row: The denominator cannot be simplified, so use the Quotient Property to write as one radical. | −10823−10823
row: Simplify the fraction under the radical. | −543−543
row: Rewrite the radicand as a product using perfect cube factors. | (−3)3·23(−3)3·23
row: Rewrite the radical as the product of two radicals. | (−3)33·23(−3)33·23
row: Simplify. | −323−323
ⓒ
row: 96x743x2496x743x24
row: The denominator cannot be simplified, so use the Quotient Property to write as one radical. | 96x73x2496x73x24
row: Simplify the fraction under the radical. | 32x5432x54
row: Rewrite the radicand as a product using perfect fourth power factors. | 16x44·2x416x44·2x4
row: Rewrite the radical as the product of two radicals. | (2x)44·2x4(2x)44·2x4
row: Simplify. | 2|x|2x42|x|2x4
Try It 8.49
Simplify: ⓐ 98z52z98z52z ⓑ −500323−500323 ⓒ 486m1143m54.486m1143m54.
Try It 8.50
Simplify: ⓐ 128m92m128m92m ⓑ −192333−192333 ⓒ 324n742n34.324n742n34.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with simplifying radical expressions.
Simplifying Square Root and Cube Root with Variables
Express a Radical in Simplified Form-Square and Cube Roots with Variables and Exponents
Simplifying Cube Roots
Practice Makes Perfect
Use the Product Property to Simplify Radical Expressions
In the following exercises, use the Product Property to simplify radical expressions.
27 27
80 80
125 125
96 96
147 147
450 450
800 800
675 675
ⓐ 324324 ⓑ 645645
ⓐ 62536253 ⓑ 12861286
ⓐ 644644 ⓑ 25632563
ⓐ 3125431254 ⓑ 813813
In the following exercises, simplify using absolute value signs as needed.
ⓐ y11y11 ⓑ r53r53 ⓒ s104s104
ⓐ m13m13 ⓑ u75u75 ⓒ v116v116
ⓐ n21n21 ⓑ q83q83 ⓒ n108n108
ⓐ r25r25 ⓑ p85p85 ⓒ m54m54
ⓐ 125r13125r13 ⓑ 108x53108x53 ⓒ 48y6448y64
ⓐ 80s1580s15 ⓑ 96a7596a75 ⓒ 128b76128b76
ⓐ 242m23242m23 ⓑ 405m104405m104 ⓒ 160n85160n85
ⓐ 175n13175n13 ⓑ 512p55512p55 ⓒ 324q74324q74
ⓐ 147m7n11147m7n11 ⓑ 48x6y7348x6y73 ⓒ 32x5y4432x5y44
ⓐ 96r3s396r3s3 ⓑ 80x7y6380x7y63 ⓒ 80x8y9480x8y94
ⓐ 192q3r7192q3r7 ⓑ 54m9n10354m9n103 ⓒ 81a9b8481a9b84
ⓐ 150m9n3150m9n3 ⓑ 81p7q8381p7q83 ⓒ 162c11d124162c11d124
ⓐ −8643−8643 ⓑ −2564−2564
ⓐ −4865−4865 ⓑ −646−646
ⓐ −325−325 ⓑ −18−18
ⓐ −83−83 ⓑ −164−164
ⓐ 5+125+12 ⓑ 10−24210−242
ⓐ 8+968+96 ⓑ 8−8048−804
ⓐ 1+451+45 ⓑ 3+9033+903
ⓐ 3+1253+125 ⓑ 15+75515+755
Use the Quotient Property to Simplify Radical Expressions
In the following exercises, use the Quotient Property to simplify square roots.
ⓐ 45804580 ⓑ 82738273 ⓒ 18141814
ⓐ 72987298 ⓑ 2481324813 ⓒ 69646964
ⓐ 1003610036 ⓑ 813753813753 ⓒ 1256412564
ⓐ 1211612116 ⓑ 162503162503 ⓒ 321624321624
ⓐ x10x6x10x6 ⓑ p11p23p11p23 ⓒ q17q134q17q134
ⓐ p20p10p20p10 ⓑ d12d75d12d75 ⓒ m12m48m12m48
ⓐ y4y8y4y8 ⓑ u21u115u21u115 ⓒ v30v126v30v126
ⓐ q8q14q8q14 ⓑ r14r53r14r53 ⓒ c21c94c21c94
96 x 7 121 96 x 7 121
108 y 4 49 108 y 4 49
300 m 5 64 300 m 5 64
125 n 7 169 125 n 7 169
98 r 5 100 98 r 5 100
180 s 10 144 180 s 10 144
28 q 6 225 28 q 6 225
150 r 3 256 150 r 3 256
ⓐ 75r9s875r9s8 ⓑ 54a8b3354a8b33 ⓒ 64c5d4464c5d44
ⓐ 72x5y672x5y6 ⓑ 96r11s5596r11s55 ⓒ 128u7v126128u7v126
ⓐ 28p7q228p7q2 ⓑ 81s8t3381s8t33 ⓒ 64p15q12464p15q124
ⓐ 45r3s1045r3s10 ⓑ 625u10v33625u10v33 ⓒ 729c21d84729c21d84
ⓐ 32x5y318x3y32x5y318x3y ⓑ 5x6y940x5y335x6y940x5y33 ⓒ 5a8b680a3b245a8b680a3b24
ⓐ 75r6s848rs475r6s848rs4 ⓑ 24x8y481x2y324x8y481x2y3 ⓒ 32m9n2162mn2432m9n2162mn24
ⓐ 27p2q108p4q327p2q108p4q3 ⓑ 16c5d7250c2d2316c5d7250c2d23 ⓒ 2m9n7128m3n62m9n7128m3n6
ⓐ 50r5s2128r2s650r5s2128r2s6 ⓑ 24m9n7375m4n324m9n7375m4n3 ⓒ 81m2n8256m1n2481m2n8256m1n24
ⓐ 45p95q245p95q2 ⓑ 6442464424 ⓒ 128x852x25128x852x25
ⓐ 80q55q80q55q ⓑ −625353−625353 ⓒ 80m745m480m745m4
ⓐ 50m72m50m72m ⓑ 125023125023 ⓒ 486y92y34486y92y34
ⓐ 72n112n72n112n ⓑ 1626316263 ⓒ 160r105r34160r105r34
Writing Exercises
Explain why x4=x2.x4=x2. Then explain why x16=x8.x16=x8.
Explain why 7+97+9 is not equal to 7+9.7+9.
Explain how you know that x105=x2.x105=x2.
Explain why −644−644 is not a real number but −643−643 is.
Self Check
ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.
ⓑ After reviewing this checklist, what will you do to become confident for all objectives?