ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
a¹ⁿਾ¹ⁿ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
aᵐⁿਾᵐⁿ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਕਰਮਿਕ ਘਾਤਾਂ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 8.7
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
ਜੋੜੋ: 715+512.715+512। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆ ਬੈਠੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.28 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 8.8
ਸਰਲ ਬਣਾਓ: (4x²y⁵)³. (4x²y⁵)³. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆ ਬੈਠੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.18 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 8.9
ਸਰਲ ਬਣਾਓ: 5⁻³. 5⁻³. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆ ਬੈਠੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.14 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
a¹ⁿਾ¹ⁿ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਕਰਮਿਕ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਰੈਡੀਕਲ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਰਮਿਕ ਘਾਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਸ਼ਕਤੀ ਗੁਣ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ ਜਦੋਂ m ਅਤੇ n ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਨਹੀਂ ਹਾਂ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸੰਖਿਆ p ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਲਈ (8ᵖ)³ = 8. (8ᵖ)³ = 8. ਅਸੀਂ p ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਸ਼ਕਤੀ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
(8ᵖ)³=8 ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। 8³ᵖ=8 ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਘਾਤ 1 ਲਿਖੋ। 8³ᵖ=8¹ ਕਿਉਂਕਿ ਆਧਾਰ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਘਾਤਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ। 3p=1 p ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। p=1/3 (8ᵖ)³=8 ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। 8³ᵖ=8 ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਘਾਤ 1 ਲਿਖੋ। 8³ᵖ=8¹ ਕਿਉਂਕਿ ਆਧਾਰ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਘਾਤਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ। 3p=1 p ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। p=1/3
ਇਸ ਲਈ (8¹/³)³=8. (8¹/³)³=8. ਪਰ ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ (8³)³=8. (8³)³=8. ਫਿਰ ਇਹ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ ਕਿ 8¹/³=8³. 8¹/³=8³.
ਇਸੇ ਤਰਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘਾਤ n ਲਈ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਕਿ a¹/ⁿ = aⁿ. a¹/ⁿ = aⁿ.
ਕਰਮਿਕ ਘਾਤ a¹/ⁿ a¹/ⁿ
ਜੇਕਰ aⁿ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਅਤੇ n≥2, n≥2, ਤਾਂ
ਕਰਮਿਕ ਘਾਤ ਦਾ ਹਰ ਰੈਡੀਕਲ ਦਾ ਸੂਚਕਾਂਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਜਿਹੇ ਸਮੇਂ ਹੋਣਗੇ ਜਦੋਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੋਵੇਗਾ ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਕਰਮਿਕ ਘਾਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਅਜਿਹੇ ਸਮੇਂ ਹੋਣਗੇ ਜਦੋਂ ਇਹ ਆਸਾਨ ਹੋਵੇਗਾ ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਰੈਡੀਕਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋ। ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਨੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦਾ ਅਭਿਆਸ ਕਰੋਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.26
1. ⓐ x¹² ⓑ y¹³ ⓒ z¹⁴
2. ਹੱਲ
3. ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ an.an ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।
4. ⓐ
5. ਸਤਰ: x¹²
6. ਸਤਰ: ਤਰਕਸੰਗਤ ਘਾਤਾਂਕ ਦਾ ਹਰ 2 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਕੱਢਣ ਦਾ ਸੂਚਕਾਂਕ 2 ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇਹ 2 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸੂਚਕਾਂਕ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ। | x
7. ⓑ
8. ਸਤਰ: y¹³
9. ਸਤਰ: ਘਾਤਾਂਕ ਦਾ ਹਰ 3 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸੂਚਕਾਂਕ 3 ਹੈ। | y³
10. ⓒ
11. ਸਤਰ: z¹⁴
12. ਸਤਰ: ਘਾਤਾਂਕ ਦਾ ਹਰ 4 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸੂਚਕਾਂਕ 4 ਹੈ। | z⁴
13. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.51
14. ਕੱਢਣ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ: ⓐ t¹² ⓑ m¹³ ⓒ r¹⁴.
15. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.52
16. ਰੇਡਿਅਲ ਵਿਅੰਜਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ: ⓐ b¹⁶ ⓑ z¹⁵ ⓒ p¹⁴.
17. ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਕੱਢਣ ਵਾਲੇ ਨੂੰ ਤਰਕਸੰਗਤ ਘਾਤਾਂਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਿਖਾਂਗੇ। ਇਹ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਵਿੱਚ ਪੂਰੇ ਵਿਅੰਜਨ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਵੇ ਕਿਉਂਕਿ ਪੂਰਾ ਵਿਅੰਜਨ ਤਰਕਸੰਗਤ ਸ਼ਕਤੀ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
18. ਉਦਾਹਰਨ 8.27
19. ਤਰਕਸੰਗਤ ਘਾਤਾਂਕ ਨਾਲ ਲਿਖੋ: ⓐ 5y ⓑ 4x³ ⓒ 35z⁴.
20. ਹੱਲ
21. ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਕੱਢਣ ਵਾਲੇ ਨੂੰ a¹ⁿ.a¹ⁿ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।
22. ⓐ
23. ਸਤਰ: 5y
24. ਸਤਰ: ਕੋਈ ਸੂਚਕਾਂਕ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ 2 ਹੈ। ਘਾਤਾਂਕ ਦਾ ਹਰ 2 ਹੋਵੇਗਾ। | (5y)¹/²
row: Put parentheses around the entireexpression 5y.5y.
ⓑ
row: 4x34x3
row: The index is 3, so the denominator of theexponent is 3. Include parentheses (4x).(4x). | (4x)13(4x)13
ⓒ
row: 35z435z4
row: The index is 4, so the denominator of theexponent is 4. Put parentheses only aroundthe 5z5z since 3 is not under the radical sign. | 3(5z)143(5z)14
Try It 8.53
Write with a rational exponent: ⓐ 10m10m ⓑ 3n53n5 ⓒ 36y4.36y4.
Try It 8.54
Write with a rational exponent: ⓐ 3k73k7 ⓑ 5j45j4 ⓒ 82a3.82a3.
In the next example, you may find it easier to simplify the expressions if you rewrite them as radicals first.
Example 8.28
Simplify: ⓐ 25122512 ⓑ 64136413 ⓒ 25614.25614.
Solution
ⓐ
row: 25122512
row: Rewrite as a square root. | 2525
row: Simplify. | 55
ⓑ
row: 64136413
row: Rewrite as a cube root. | 643643
row: Recognize 64 is a perfect cube. | 433433
row: Simplify. | 44
©
ਸਤੰਭ: 2561425614
ਚੌਥੇ ਮੂਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 25642564
ਪਛਾਣੋ ਕਿ 256 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਚੌਥੀ ਘਾਤ ਹੈ। | 444444
ਸਰਲ ਕਰੋ। | 44
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 8.55
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 36123612 ⓑ 813813 ⓒ 1614.1614.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 8.56
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 1001210012 ⓑ 27132713 ⓒ 8114.8114.
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਨੈਗੇਟਿਵ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਬਾਰੇ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹੇ। ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ a−n=1ana−n=1an ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.29
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (−16)14(−16)14 ⓑ −1614−1614 ⓒ (16)−14.(16)−14.
ਹੱਲ
ⓐ
(−16)14(−16)14
ਚੌਥੇ ਮੂਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | −164−164
(−2)44(−2)44
ਸਰਲ ਕਰੋ। | ਕੋਈ ਅਸਲੀ ਹੱਲ ਨਹੀਂ।ਕੋਈ ਅਸਲੀ ਹੱਲ ਨਹੀਂ।
ⓑ
−1614−1614
ਘਾਤ ਸਿਰਫ 16 ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਚੌਥੇ ਮੂਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | −164−164
16 ਨੂੰ 24.24 ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | −244−244
ਸਰਲ ਕਰੋ। | −2−2
ⓒ
1. ਕਤਾਰ: (16)−14(16)−14
2. ਕਤਾਰ: ਗੁਣ ਏ−ਨ = 1/ਏਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। ਏ−ਨ = 1/ਏਨ। | 1(16)141(16)14
3. ਚੌਥੀ ਜੜ੍ਹ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | 11641164
4. 16 ਨੂੰ 24 ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | 12441244
5. ਸਰਲ ਕਰੋ। | 1212
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.57
7. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (−64)−12 ⓑ −6412 ⓒ (64)−12.
8. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.58
9. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (−256)14 ⓑ −25614 ⓒ (256)−14.
10. ਏਐਮਐਨ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
11. ਅਸੀਂ ਏਐਮਐਨ ਨੂੰ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਘਾਤ ਦਾ ਗੁਣ ਸਾਨੂੰ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ (ਏ1/ਨ)ਐਮ ਅਤੇ (ਐਮ)1/ਨ ਦੋਵੇਂ ਏਐਮ/ਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਰੈਡੀਕਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
12. ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
13. ਰੈਸ਼ਨਲ ਘਾਤ ਏ ਐਮ/ਨ
14. ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਐਮ ਅਤੇ ਨ ਲਈ,
15. ਅਸੀਂ ਕਿਸ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ? ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਹਿਲਾਂ ਜੜ੍ਹ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ—ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਵਿੱਚ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਛੋਟਾ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿ ਇਸਨੂੰ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਵੇ।
16. ਉਦਾਹਰਨ 8.30
17. ਰੈਸ਼ਨਲ ਘਾਤ ਨਾਲ ਲਿਖੋ: ⓐ y3 ⓑ (2x3)4 ⓒ (3a4b)3.
18. ਹੱਲ
19. ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਏਐਮ/ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਲਈ ਏਐਮ/ਨ = ਏਐਮ/ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।
20. ⓐ
21. ⓑ
22. ⓒ
23. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.59
24. ਰੈਸ਼ਨਲ ਘਾਤ ਨਾਲ ਲਿਖੋ: ⓐ x5 ⓑ (3y4)3 ⓒ (2m3n)5.
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.60
2. ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਘਾਤਾਂਕ ਨਾਲ ਲਿਖੋ: ⓐ a25a25 ⓑ (5ab3)5(5ab3)5 ⓒ (7xyz)3.(7xyz)3.
3. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ a−n=1an.a−n=1an. ਘਾਤਾਂਕ ਵਿੱਚ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ।
4. ਉਦਾਹਰਨ 8.31
5. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 1252312523 ⓑ 16−3216−32 ⓒ 32−25.32−25.
6. ਹੱਲ
7. ਅਸੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ, amn=(an)m.amn=(an)m. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਹਿਲਾਂ ਪਦਾਰਥ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੈਡੀਕਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਾਂਗੇ। ਇਹ ਰੂਪ ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਜੜ੍ਹ ਲੈਣ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਉਸ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੁੰਦੀ।
8. ⓐ
9. ਕਤਾਰ: 1252312523
10. ਕਤਾਰ: ਰੈਡੀਕਲ ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ ਘਾਤਾਂਕ ਦਾ ਅੰਸ਼ ਹੈ, 2। ਰੈਡੀਕਲ ਦਾ ਸੂਚਕਾਂਕ ਘਾਤਾਂਕ ਦਾ ਹਰ ਹੈ, 3। | (1253)2(1253)2
11. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | (5)2(5)2
12. ਕਤਾਰ: 2525
13. ⓑ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਪਦਾਰਥ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ a−n=1ana−n=1an ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੜ ਲਿਖਾਂਗੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਰੈਡੀਕਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਂਗੇ।
14. ਕਤਾਰ: 16−3216−32
15. ਕਤਾਰ: a−n=1ana−n=1an ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੜ ਲਿਖੋ | 1163211632
16. ਕਤਾਰ: ਰੈਡੀਕਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। ਰੈਡੀਕਲ ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ ਘਾਤਾਂਕ ਦਾ ਅੰਸ਼ ਹੈ, 3। ਸੂਚਕਾਂਕ ਘਾਤਾਂਕ ਦਾ ਹਰ ਹੈ, 2। | 1(16)31(16)3
17. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 143143
18. ਕਤਾਰ: 164164
19. ⓒ
20. ਕਤਾਰ: 32−2532−25
21. ਕਤਾਰ: a−n=1an.a−n=1an. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 1322513225
22. ਕਤਾਰ: ਰੈਡੀਕਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। | 1(325)21(325)2
23. ਕਤਾਰ: ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 1(255)21(255)2
24. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 122122
1414
8.61
ⓐ 27232723 ⓑ 81−3281−32 ⓒ 16−34.16−34.
8.62
ⓐ 432432 ⓑ 27−2327−23 ⓒ 625−34.625−34.
8.32
ⓐ −2532−2532 ⓑ −25−32−25−32 ⓒ (−25)32.(−25)32.
ਹੱਲ
ⓐ
−2532−2532
ਮੂਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | −(25)3−(25)3
ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | −(5)3−(5)3
ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | −125−125
ⓑ
−25−32−25−32
a−n=1an.a−n=1an. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | −(12532)−(12532)
ਮੂਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | −(1(25)3)−(1(25)3)
ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | −(1(5)3)−(1(5)3)
ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | −1125−1125
ⓒ
(−25)32(−25)32
ਮੂਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | (−25)3(−25)3
ਕੋਈ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਵਰਗ ਮੂਲ −25 ਹੈ। | ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ।ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ।
8.63
Simplify: ⓐ −1632−1632 ⓑ −16−32−16−32 ⓒ (−16)−32.(−16)−32.
Try It 8.64
Simplify: ⓐ −8132−8132 ⓑ −81−32−81−32 ⓒ (−81)−32.(−81)−32.
Use the Properties of Exponents to Simplify Expressions with Rational Exponents
The same properties of exponents that we have already used also apply to rational exponents. We will list the Properties of Exponenets here to have them for reference as we simplify expressions.
Properties of Exponents
If a and b are real numbers and m and n are rational numbers, then
Product Propertyam·an=am+nPower Property(am)n=am·nProduct to a Power(ab)m=ambmQuotient Propertyaman=am−n,a≠0Zero Exponent Definitiona0=1,a≠0Quotient to a Power Property(ab)m=ambm,b≠0Negative Exponent Propertya−n=1an,a≠0Product Propertyam·an=am+nPower Property(am)n=am·nProduct to a Power(ab)m=ambmQuotient Propertyaman=am−n,a≠0Zero Exponent Definitiona0=1,a≠0Quotient to a Power Property(ab)m=ambm,b≠0Negative Exponent Propertya−n=1an,a≠0
We will apply these properties in the next example.
Example 8.33
Simplify: ⓐ x12·x56x12·x56 ⓑ (z9)23(z9)23 ⓒ x13x53.x13x53.
Solution
ⓐ The Product Property tells us that when we multiply the same base, we add the exponents.
row: x12·x56x12·x56
row: The bases are the same, so we add theexponents. | x12+56x12+56
row: Add the fractions. | x86x86
row: Simplify the exponent. | x43x43
ⓑ The Power Property tells us that when we raise a power to a power, we multiply the exponents.
row: (z9)23(z9)23
row: To raise a power to a power, we multiplythe exponents. | z9·23z9·23
row: Simplify. | z6z6
ⓒ The Quotient Property tells us that when we divide with the same base, we subtract the exponents.
row: x13x53x13x53
row: x13x53x13x53
row: To divide with the same base, we subtractthe exponents. | 1x53−131x53−13
row: Simplify. | 1x431x43
Try It 8.65
Simplify: ⓐ x16·x43x16·x43 ⓑ (x6)43(x6)43 ⓒ x23x53.x23x53.
Try It 8.66
Simplify: ⓐ y34·y58y34·y58 ⓑ (m9)29(m9)29 ⓒ d15d65.d15d65.
Sometimes we need to use more than one property. In the next example, we will use both the Product to a Power Property and then the Power Property.
Example 8.34
Simplify: ⓐ (27u12)23(27u12)23 ⓑ (m23n12)32.(m23n12)32.
Solution
ⓐ
row: (27u12)23(27u12)23
row: First we use the Product to a PowerProperty. | (27)23(u12)23(27)23(u12)23
row: Rewrite 27 as a power of 3. | (33)23(u12)23(33)23(u12)23
row: To raise a power to a power, we multiplythe exponents. | (32)(u13)(32)(u13)
row: Simplify. | 9u139u13
ⓑ
row: (m23n12)32(m23n12)32
row: First we use the Product to a PowerProperty. | (m23)32(n12)32(m23)32(n12)32
row: To raise a power to a power, we multiplythe exponents. | mn34mn34
Try It 8.67
Simplify: ⓐ (32x13)35(32x13)35 ⓑ (x34y12)23.(x34y12)23.
Try It 8.68
Simplify: ⓐ (81n25)32(81n25)32 ⓑ (a32b12)43.(a32b12)43.
We will use both the Product Property and the Quotient Property in the next example.
Example 8.35
Simplify: ⓐ x34·x−14x−64x34·x−14x−64 ⓑ (16x43y−56x−23y16)12.(16x43y−56x−23y16)12.
Solution
ⓐ
row: x34·x−14x−64x34·x−14x−64
row: Use the Product Property in the numerator,add the exponents. | x24x−64x24x−64
row: Use the Quotient Property, subtract theexponents. | x84x84
row: Simplify. | x2x2
ⓑ Follow the order of operations to simplify inside the parenthese first.
row: (16x43y−56x−23y16)12(16x43y−56x−23y16)12
row: Use the Quotient Property, subtract theexponents. | (16x63y66)12(16x63y66)12
row: Simplify. | (16x2y)12(16x2y)12
row: Use the Product to a Power Property,multiply the exponents. | 4xy124xy12
Try It 8.69
Simplify: ⓐ m23·m−13m−53m23·m−13m−53 ⓑ (25m16n116m23n−16)12.(25m16n116m23n−16)12.
Try It 8.70
Simplify: ⓐ u45·u−25u−135u45·u−25u−135 ⓑ (27x45y16x15y−56)13.(27x45y16x15y−56)13.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with simplifying rational exponents.
Review-Rational Exponents
Using Laws of Exponents on Radicals: Properties of Rational Exponents
Practice Makes Perfect
Simplify expressions with a1na1n
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ⓐ x¹² ⓑ y¹³ ⓒ z¹⁴
ⓐ r¹² ⓑ s¹³ ⓒ t¹⁴
ⓐ u¹⁵ ⓑ v¹⁹ ⓒ w¹²⁰
ⓐ g¹⁷ ⓑ h¹⁵ ⓒ j¹²⁵
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਘਾਤਾਂਕ ਨਾਲ ਲਿਖੋ।
ⓐ x⁷ ⓑ y⁹ ⓒ f⁵
ⓐ r⁸ ⓑ s¹⁰ ⓒ t⁴
ⓐ 7c³ ⓑ 12d⁷ ⓒ 26b⁴
ⓐ 5x⁴ ⓑ 9y⁸ ⓒ 73z⁵
ⓐ 21p²¹ ⓑ 8q⁴ ⓒ 436r⁶
ⓐ 25a³ ⓑ 3b³ ⓒ 40c⁸
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਰਲ ਕਰੋ।
ⓐ 81¹/² ⓑ 125¹/³ ⓒ 64¹/²
ⓐ 625¹/⁴ ⓑ 243¹/⁵ ⓒ 32¹/⁵
ⓐ 16¹/⁴ ⓑ 16¹/² ⓒ 625¹/⁴
ⓐ 64¹/³ ⓑ 32¹/⁵ ⓒ 81¹/⁴
ⓐ (−216)¹/³ ⓑ −216¹/³ ⓒ (216)⁻¹/³
ⓐ (−1000)¹/³ ⓑ −1000¹/³ ⓒ (1000)⁻¹/³
ⓐ (−81)¹/⁴ ⓑ −81¹/⁴ ⓒ (81)⁻¹/⁴
ⓐ (−49)¹/² ⓑ −49¹/² ⓒ (49)⁻¹/²
ⓐ (−36)¹/² ⓑ −36¹/² ⓒ (36)⁻¹/²
ⓐ (−16)¹/⁴ ⓑ −16¹/⁴ ⓒ 16⁻¹/⁴
ⓐ (−100)¹/² ⓑ −100¹/² ⓒ (100)⁻¹/²
1. ⓐ (−32)15(−32)15 ⓑ (243)−15(243)−15 ⓒ −12513−12513
ਅਮਨਮਨ ਨਾਲ ਭਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਘਾਤ ਨਾਲ ਲਿਖੋ।
1. ⓐ ਮਮ ⓑ (ਤਿੰਨ ਅੱਖਾਂ)ਤਿੰਨ ਅੱਖਾਂ ⓒ (ਚਾਰ ਗੁਣਾ ਪੰਜ ਵਾਈ)ਚਾਰ ਗੁਣਾ ਪੰਜ ਵਾਈ
1. ⓐ ਰ74ਰ74 ⓑ (2ਪਕ5)3(2ਪਕ5)3 ⓒ (12ਮ7ਨ)34(12ਮ7ਨ)34
1. ⓐ ਅੰਦਰ ⓑ (ਛੇ ਗੁਣਾ ਤਿੰਨ) ਪੰਜ (ਛੇ ਗੁਣਾ ਤਿੰਨ) ਪੰਜ ⓒ (ਅਠਾਰਾਂ ਏ ਪੰਜ ਬੀ) ਸੱਤਰ ਚਾਰ (ਅਠਾਰਾਂ ਏ ਪੰਜ ਬੀ) ਸੱਤਰ ਚਾਰ
੧. ⓐ ਅ ਅ ⓑ (੨੧ਵ੪)੩(੨੧ਵ੪)੩ ⓒ (੨ਕ੍ਯ੫ਜ਼)੨੪(੨ਕ੍ਯ੫ਜ਼)੨੪
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਰਲ ਕਰੋ।
1. ⓐ ੬੪੫੨੬੪੫੨ ⓑ ੮੧−੩੨੮੧−੩੨ ⓒ (−੨੭)੨੩(−੨੭)੨੩
1. ⓐ 25322532 ⓑ 9−329−32 ⓒ (−64)23(−64)23
1. ⓐ 32253225 ⓑ 27−2327−23 ⓒ (−25)12(−25)12
੧. ੧੦੦੩੨੧੦੦੩੨ ੪੯−੫੨ (−੧੦੦)੩੨(−੧੦੦)੩੨
1. ⓐ −932−932 ⓑ −9−32−9−32 ⓒ (−9)32(−9)32
1. ⓐ −6432−6432 ⓑ −64−32−64−32 ⓒ (−64)32(−64)32
ਘਾਤਾਂਕ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਤਰਕਸੰਗਤ ਘਾਤਾਂਕਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਰਲ ਬਣਾਓ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਰੇ ਚੱਲ (variable) ਧਨ ਹਨ।
1. ⓐ ਕੌਣ ਹੈ? ⓑ (ਕੀ ਹੈ?) ⓒ (ਕੌਣ ਹੈ?)
1. ⓐ 652·612652·612 ⓑ (b15)35(b15)35 ⓒ w27w97w27w97
1. ⓐ ਛੋਟਾ ਛੋਟਾ ⓑ (ਕ)23(ਕ)23 ⓒ ਮਾਪ ਮਾਪ ਮਾਪ ਮਾਪ
1. ⓐ ਸੱਚੇ ਸੱਚੇ ⓑ (ਹੇ)ਹੇ(ਹੇ)ਹੇ ⓒ ਨਾ ਨਾ ਨਾ ਨਾ
1. ⓐ (27q32)43(27q32)43 ⓑ (a13b23)32(a13b23)32
1. ⓐ (64s37)16(64s37)16 ⓑ (m43n12)34(m43n12)34
੧. ⓐ ਸਤਿਗੁਰੂ ⓑ ਪਰਮੇਸ਼ੁਰ
1. ⓐ (625n83)34(625n83)34 ⓑ (9x25y35)52(9x25y35)52
1. ⓐ ਸੱਤ ਸੌ ਬੱਤੀ ⓑ (ਤਿੰਨ ਸੌ ਬੱਤੀ) ਦੋ ਵਾਰ
2. ⓐ ਚਾਰ ਸੌ ਚੌਵੀ ⓑ (ਦੋ ਸੌ ਤੇਈ) ਤਿੰਨ ਵਾਰ
3. ⓐ ਤਿੰਨ ਸੌ ਤੇਈ ⓑ (ਅੱਠ ਸੌ ਪੰਜਾਹ) ਤਿੰਨ ਵਾਰ
4. ⓐ ਪੰਜ ਸੌ ਚੌਵੀ ⓑ (ਸੋਲ੍ਹਾਂ ਸੌ ਪੰਜਾਹ) ਚਾਰ ਵਾਰ
5. ਲਿਖਣ ਅਭਿਆਸ
6. 432.432 ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਦੋ ਵੱਖਰੀਆਂ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਵਿਧੀਆਂ ਦਿਖਾਓ। ਆਪਣੇ ਸਾਰੇ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
7. ਸਮਝਾਓ ਕਿ (−16)32(−16)32 ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਕੱਢਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ।
8. ਸਵੈ-ਪੜਤਾਲ
9. ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
10. ⓑ ਇਹ ਚੈਕਲਿਸਟ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੱਸਦੀ ਹੈ? ਸੁਧਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਕਦਮ ਚੁੱਕੋਗੇ?