Learning Objectives
By the end of this section, you will be able to:
Add and subtract radical expressions
Multiply radical expressions
Use polynomial multiplication to multiply radical expressions
Be Prepared 8.10
Before you get started, take this readiness quiz.
Add: 3x2+9x−5−(x2−2x+3).3x2+9x−5−(x2−2x+3). If you missed this problem, review Example 5.5.
Be Prepared 8.11
Simplify: (2+a)(4−a).(2+a)(4−a). If you missed this problem, review Example 5.28.
Be Prepared 8.12
Simplify: (9−5y)2.(9−5y)2. If you missed this problem, review Example 5.31.
Add and Subtract Radical Expressions
Adding radical expressions with the same index and the same radicand is just like adding like terms. We call radicals with the same index and the same radicand like radicals to remind us they work the same as like terms.
Like Radicals
Like radicals are radical expressions with the same index and the same radicand.
We add and subtract like radicals in the same way we add and subtract like terms. We know that 3x+8x3x+8x is 11x.11x. Similarly we add 3x+8x3x+8x and the result is 11x.11x.
Think about adding like terms with variables as you do the next few examples. When you have like radicals, you just add or subtract the coefficients. When the radicals are not like, you cannot combine the terms.
Example 8.36
Simplify: ⓐ 22−7222−72 ⓑ 5y3+4y35y3+4y3 ⓒ 7x4−2y4.7x4−2y4.
Solution
ⓐ
row: 22−7222−72
row: Since the radicals are like, we subtract thecoefficients. | −52−52
ⓑ
row: 5y3+4y35y3+4y3
row: Since the radicals are like, we add thecoefficients. | 9y39y3
ⓒ
row: 7x4−2y47x4−2y4
The indices are the same but the radicals are different. These are not like radicals. Since the radicals are not like, we cannot subtract them.
Try It 8.71
Simplify: ⓐ 82−9282−92 ⓑ 4x3+7x34x3+7x3 ⓒ 3x4−5y4.3x4−5y4.
Try It 8.72
Simplify: ⓐ 53−9353−93 ⓑ 5y3+3y35y3+3y3 ⓒ 5m4−2m3.5m4−2m3.
For radicals to be like, they must have the same index and radicand. When the radicands contain more than one variable, as long as all the variables and their exponents are identical, the radicands are the same.
Example 8.37
Simplify: ⓐ 25n−65n+45n25n−65n+45n ⓑ 3xy4+53xy4−43xy4.3xy4+53xy4−43xy4.
Solution
ⓐ
row: 25n−65n+45n25n−65n+45n
row: Since the radicals are like, we combine them. | 05n05n
row: Simplify. | 00
ⓑ
row: 3xy4+53xy4−43xy43xy4+53xy4−43xy4
row: Since the radicals are like, we combine them. | 23xy423xy4
Try It 8.73
Simplify: ⓐ 7x−77x+47x7x−77x+47x ⓑ 45xy4+25xy4−75xy4.45xy4+25xy4−75xy4.
Try It 8.74
Simplify: ⓐ 43y−73y+23y43y−73y+23y ⓑ 67mn3+7mn3−47mn3.67mn3+7mn3−47mn3.
Remember that we always simplify radicals by removing the largest factor from the radicand that is a power of the index. Once each radical is simplified, we can then decide if they are like radicals.
Example 8.38
Simplify: ⓐ 20+3520+35 ⓑ 243−3753243−3753 ⓒ 12484−232434.12484−232434.
Solution
ⓐ
row: 20+3520+35
row: Simplify the radicals, when possible. | 4·5+354·5+35
row: 25+3525+35
row: Combine the like radicals. | 5555
ⓑ
row: 243−3753243−3753
row: Simplify the radicals. | 83·33−1253·3383·33−1253·33
row: 233−533233−533
row: Combine the like radicals. | −333−333
ⓒ
row: 12484−23243412484−232434
row: Simplify the radicals. | 12164·34−23814·3412164·34−23814·34
row: 12·2·34−23·3·3412·2·34−23·3·34
row: 34−23434−234
row: Combine the like radicals. | −34−34
Try It 8.75
Simplify: ⓐ 18+6218+62 ⓑ 6163−225036163−22503 ⓒ 23813−12243.23813−12243.
Try It 8.76
Simplify: ⓐ 27+4327+43 ⓑ 453−7403453−7403 ⓒ 121283−53543.121283−53543.
In the next example, we will remove both constant and variable factors from the radicals. Now that we have practiced taking both the even and odd roots of variables, it is common practice at this point for us to assume all variables are greater than or equal to zero so that absolute values are not needed. We will use this assumption throughout the rest of this chapter.
Example 8.39
Simplify: ⓐ 950m2−648m2950m2−648m2 ⓑ 54n53−16n53.54n53−16n53.
Solution
ⓐ
row: 950m2−648m2950m2−648m2
row: Simplify the radicals. | 925m2·2−616m2·3925m2·2−616m2·3
row: 9·5m·2−6·4m·39·5m·2−6·4m·3
row: 45m2−24m345m2−24m3
row: The radicals are not like and so cannot becombined.
ⓑ
row: 54n53−16n5354n53−16n53
row: Simplify the radicals. | 27n33·2n23−8n33·2n2327n33·2n23−8n33·2n23
row: 3n2n23−2n2n233n2n23−2n2n23
row: Combine the like radicals. | n2n23n2n23
Try It 8.77
Simplify: ⓐ 32m7−50m732m7−50m7 ⓑ 135x73−40x73.135x73−40x73.
Try It 8.78
Simplify: ⓐ 27p3−48p327p3−48p3 ⓑ 256y53−32y53.256y53−32y53.
Multiply Radical Expressions
We have used the Product Property of Roots to simplify square roots by removing the perfect square factors. We can use the Product Property of Roots ‘in reverse’ to multiply square roots. Remember, we assume all variables are greater than or equal to zero.
We will rewrite the Product Property of Roots so we see both ways together.
Product Property of Roots
1. ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ an ਅਤੇ bn,bn, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ n≥2n≥2 ਲਈ
2. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਕਰਣੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਸੂਚਕਾਂਕ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਰਣੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸੂਚਕਾਂਕ ਦੀ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਵੀ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਕਰਣੀ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
3. ਸਹਿ-ਗੁਣਕਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਕਰਣੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ, ਸਹਿ-ਗੁਣਕਾਂ ਵਾਲੇ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਵਰਗਾ ਹੀ ਹੈ। 4x·3y4x·3y ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਹਿ-ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਨਤੀਜਾ 12xy ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਨੂੰ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਇਸਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ।
4. ਉਦਾਹਰਨ 8.40
5. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (62)(310)(62)(310) ⓑ (−543)(−463).(−543)(−463).
6. ਹੱਲ
7. ⓐ
8. ਕਤਾਰ: (62)(310)(62)(310)
9. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 18201820
10. ਕਤਾਰ: ਕਰਣੀ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। | 184·5184·5
11. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 18·2·518·2·5
12. ਕਤਾਰ: 365365
13. ⓑ
14. ਕਤਾਰ: (−543)(−463)(−543)(−463)
15. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 2024320243
16. ਕਤਾਰ: ਕਰਣੀ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। | 2083·332083·33
17. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 20·2·3320·2·33
18. ਕਤਾਰ: 40334033
19. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.79
20. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (32)(230)(32)(230) ⓑ (2183)(−363).(2183)(−363).
21. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.80
22. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (33)(36)(33)(36) ⓑ (−493)(363).(−493)(363).
23. ਜਦੋਂ ਕਰਣੀਆਂ ਵਿੱਚ ਚਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਹੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਅਪਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 8.41
Simplify: ⓐ (106p3)(43p)(106p3)(43p) ⓑ (220y24)(328y34).(220y24)(328y34).
Solution
ⓐ
row: (106p3)(43p)(106p3)(43p)
row: Multiply. | 4018p44018p4
row: Simplify the radical. | 409p4·2409p4·2
row: Simplify. | 40·3p2·240·3p2·2
row: 120p22120p22
ⓑ When the radicands involve large numbers, it is often advantageous to factor them in order to find the perfect powers.
row: (220y24)(328y34)(220y24)(328y34)
row: Multiply. | 64·5·4·7y5464·5·4·7y54
row: Simplify the radical. | 616y44·35y4616y44·35y4
row: Simplify. | 6·2y35y46·2y35y4
row: Multiply. | 12y35y412y35y4
Try It 8.81
Simplify: ⓐ (66x2)(830x4)(66x2)(830x4) ⓑ (−412y34)(−8y34).(−412y34)(−8y34).
Try It 8.82
Simplify: ⓐ (26y4)(1230y)(26y4)(1230y) ⓑ (−49a34)(327a24).(−49a34)(327a24).
Use Polynomial Multiplication to Multiply Radical Expressions
In the next a few examples, we will use the Distributive Property to multiply expressions with radicals. First we will distribute and then simplify the radicals when possible.
Example 8.42
Simplify: ⓐ 6(2+18)6(2+18) ⓑ 93(5−183).93(5−183).
Solution
ⓐ
1. ਕਤਾਰ: 6(2+18)6(2+18)
2. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 12+10812+108
3. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 4·3+36·34·3+36·3
4. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 23+6323+63
5. ਕਤਾਰ: ਸਮਾਨ ਮੂਲ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ। | 8383
6. ⓑ
7. ਕਤਾਰ: 93(5−183)93(5−183)
8. ਕਤਾਰ: ਵੰਡੋ। | 593−1623593−1623
9. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 593−273·63593−273·63
10. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 593−363593−363
11. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.83
12. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 6(1+36)6(1+36) ⓑ 43(−2−63).43(−2−63).
13. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.84
14. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 8(2−58)8(2−58) ⓑ 33(−93−63).33(−93−63).
15. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਸਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੋਪਦਾਂ ਨੂੰ ਦੋਪਦਾਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਸਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਇਸ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਚਾਰ ਗੁਣਨਫਲ ਮਿਲਦੇ ਸਨ। ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਸਾਰੇ ਚਾਰ ਗੁਣਨਫਲ ਮਿਲਣ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਦੇ ਸਾਂ—ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ FOIL ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ।
16. ਉਦਾਹਰਨ 8.43
17. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (3−27)(4−27)(3−27)(4−27) ⓑ (x3−2)(x3+4).(x3−2)(x3+4).
18. ਹੱਲ
19. ⓐ
20. ਕਤਾਰ: (3−27)(4−27)(3−27)(4−27)
21. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 12−67−87+4·712−67−87+4·7
22. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 12−67−87+2812−67−87+28
23. ਕਤਾਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। | 40−14740−147
24. ⓑ
(x3−2)(x3+4)(x3−2)(x3+4)
ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | x23+4x3−2x3−8x23+4x3−2x3−8
ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। | x23+2x3−8x23+2x3−8
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 8.85
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (6−37)(3+47)(6−37)(3+47) ⓑ (x3−2)(x3−3).(x3−2)(x3−3).
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 8.86
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (2−311)(4−11)(2−311)(4−11) ⓑ (x3+1)(x3+3).(x3+1)(x3+3).
ਉਦਾਹਰਨ 8.44
ਸਰਲ ਕਰੋ: (32−5)(2+45).(32−5)(2+45).
ਹੱਲ
(32−5)(2+45)(32−5)(2+45)
ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 3·2+1210−10−4·53·2+1210−10−4·5
ਸਰਲ ਕਰੋ। | 6+1210−10−206+1210−10−20
ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। | −14+1110−14+1110
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 8.87
ਸਰਲ ਕਰੋ: (53−7)(3+27)(53−7)(3+27)
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 8.88
ਸਰਲ ਕਰੋ: (6−38)(26+8)(6−38)(26+8)
ਕੁਝ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨ ਨਾਲ ਸਾਡਾ ਕੰਮ ਪਹਿਲਾਂ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਆਸਾਨ ਹੋ ਗਿਆ ਸੀ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਿਹੜੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਰਤੇ ਹਨ, ਉਹ ਇੱਥੇ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲ
ਅਸੀਂ ਅਗਲੇ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਪੈਟਰਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.45
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (2+3)2(2+3)2 ⓑ (4−25)2.(4−25)2.
ਹੱਲ
1. ਦੋ-ਪਦੀ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਰਗ ਕਰੋ।
2. ⓐ
3. ਕਤਾਰ: ਦੋ-ਪਦੀ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
4. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
5. ਕਤਾਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
6. ⓑ
7. ਕਤਾਰ: ਦੋ-ਪਦੀ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
8. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
9. ਕਤਾਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
10. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.89
11. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (10+2)2(10+2)2 ⓑ (1+36)2.(1+36)2.
12. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.90
13. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (6−5)2(6−5)2 ⓑ (9−210)2.(9−210)2.
14. ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਅੰਤਿਮ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਕਰਣੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।
15. ਉਦਾਹਰਨ 8.46
16. ਸਰਲ ਕਰੋ: (5−23)(5+23).(5−23)(5+23).
17. ਹੱਲ
18. ਕਤਾਰ: ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
19. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
20. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.91
21. ਸਰਲ ਕਰੋ: (3−25)(3+25)(3−25)(3+25)
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.92
23. ਸਰਲ ਕਰੋ: (4+57)(4−57).(4+57)(4−57).
24. ਮੀਡੀਆ
Access these online resources for additional instruction and practice with adding, subtracting, and multiplying radical expressions.
Multiplying Adding Subtracting Radicals
Multiplying Special Products: Square Binomials Containing Square Roots
Multiplying Conjugates
Practice Makes Perfect
Add and Subtract Radical Expressions
In the following exercises, simplify.
ⓐ 82−5282−52 ⓑ 5m3+2m35m3+2m3 ⓒ 8m4−2m48m4−2m4
ⓐ 72−3272−32 ⓑ 7p3+2p37p3+2p3 ⓒ 5x3−3x35x3−3x3
ⓐ 35+6535+65 ⓑ 9a3+3a39a3+3a3 ⓒ 52z4+2z452z4+2z4
ⓐ 45+8545+85 ⓑ m3−4m3m3−4m3 ⓒ n+3nn+3n
ⓐ 32a−42a+52a32a−42a+52a ⓑ 53ab4−33ab4−23ab453ab4−33ab4−23ab4
ⓐ 11b−511b+311b11b−511b+311b ⓑ 811cd4+511cd4−911cd4811cd4+511cd4−911cd4
ⓐ 83c+23c−93c83c+23c−93c ⓑ 24pq3−54pq3+44pq324pq3−54pq3+44pq3
ⓐ 35d+85d−115d35d+85d−115d ⓑ 112rs3−92rs3+32rs3112rs3−92rs3+32rs3
ⓐ 27−7527−75 ⓑ 403−3203403−3203 ⓒ 12324+23162412324+231624
ⓐ 72−9872−98 ⓑ 243+813243+813 ⓒ 12804−23405412804−234054
ⓐ 48+2748+27 ⓑ 543+1283543+1283 ⓒ 654−32804654−32804
ⓐ 45+8045+80 ⓑ 813−1923813−1923 ⓒ 52804+73405452804+734054
ⓐ 72a5−50a572a5−50a5 ⓑ 980p44−6405p44980p44−6405p44
ⓐ 48b5−75b548b5−75b5 ⓑ 864q63−3125q63864q63−3125q63
ⓐ 80c7−20c780c7−20c7 ⓑ 2162r104+432r1042162r104+432r104
ⓐ 96d9−24d996d9−24d9 ⓑ 5243s64+23s645243s64+23s64
3 128 y 2 + 4 y 162 − 8 98 y 2 3 128 y 2 + 4 y 162 − 8 98 y 2
3 75 y 2 + 8 y 48 − 300 y 2 3 75 y 2 + 8 y 48 − 300 y 2
Multiply Radical Expressions
In the following exercises, simplify.
ⓐ (−23)(318)(−23)(318) ⓑ (843)(−4183)(843)(−4183)
ⓐ (−45)(510)(−45)(510) ⓑ (−293)(793)(−293)(793)
ⓐ (56)(−12)(56)(−12) ⓑ (−2184)(−94)(−2184)(−94)
ⓐ (−27)(−214)(−27)(−214) ⓑ (−384)(−564)(−384)(−564)
ⓐ (412z3)(39z)(412z3)(39z) ⓑ (53x33)(318x33)(53x33)(318x33)
ⓐ (32x3)(718x2)(32x3)(718x2) ⓑ (−620a23)(−216a33)(−620a23)(−216a33)
ⓐ (−27z3)(314z8)(−27z3)(314z8) ⓑ (28y24)(−212y34)(28y24)(−212y34)
ⓐ (42k5)(−332k6)(42k5)(−332k6) ⓑ (−6b34)(38b34)(−6b34)(38b34)
Use Polynomial Multiplication to Multiply Radical Expressions
In the following exercises, multiply.
ⓐ 7(5+27)7(5+27) ⓑ 63(4+183)63(4+183)
ⓐ 11(8+411)11(8+411) ⓑ 33(93+183)33(93+183)
ⓐ 11(−3+411)11(−3+411) ⓑ 34(544+184)34(544+184)
ⓐ 2(−5+92)2(−5+92) ⓑ 24(124+244)24(124+244)
( 7 + 3 ) ( 9 − 3 ) ( 7 + 3 ) ( 9 − 3 )
( 8 − 2 ) ( 3 + 2 ) ( 8 − 2 ) ( 3 + 2 )
ⓐ (9−32)(6+42)(9−32)(6+42) ⓑ (x3−3)(x3+1)(x3−3)(x3+1)
ⓐ (3−27)(5−47)(3−27)(5−47) ⓑ (x3−5)(x3−3)(x3−5)(x3−3)
ⓐ (1+310)(5−210)(1+310)(5−210) ⓑ (2x3+6)(x3+1)(2x3+6)(x3+1)
ⓐ (7−25)(4+95)(7−25)(4+95) ⓑ (3x3+2)(x3−2)(3x3+2)(x3−2)
( 3 + 10 ) ( 3 + 2 10 ) ( 3 + 10 ) ( 3 + 2 10 )
( ੧੧ + ੫ ) ( ੧੧ + ੬੫ ) ( ੧੧ + ੫ ) ( ੧੧ + ੬੫ )
( ੨੭ − ੫੧੧ ) ( ੪੭ + ੯੧੧ ) ( ੨੭ − ੫੧੧ ) ( ੪੭ + ੯੧੧ )
( ੪੬ + ੭੧੩ ) ( ੮੬ − ੩੧੩ ) ( ੪੬ + ੭੧੩ ) ( ੮੬ − ੩੧੩ )
ⓐ (੩+੫)੨(੩+੫)੨ ⓑ (੨−੫੩)੨(੨−੫੩)੨
ⓐ (੪+੧੧)੨(੪+੧੧)੨ ⓑ (੩−੨੫)੨(੩−੨੫)੨
ⓐ (੯−੬)੨(੯−੬)੨ ⓑ (੧੦+੩੭)੨(੧੦+੩੭)੨
ⓐ (੫−੧੦)੨(੫−੧੦)੨ ⓑ (੮+੩੨)੨(੮+੩੨)੨
( ੪ + ੨ ) ( ੪ − ੨ ) ( ੪ + ੨ ) ( ੪ − ੨ )
( ੭ + ੧੦ ) ( ੭ − ੧੦ ) ( ੭ + ੧੦ ) ( ੭ − ੧੦ )
( ੪ + ੯੩ ) ( ੪ − ੯੩ ) ( ੪ + ੯੩ ) ( ੪ − ੯੩ )
( ੧ + ੮੨ ) ( ੧ − ੮੨ ) ( ੧ + ੮੨ ) ( ੧ − ੮੨ )
( ੧੨ − ੫੫ ) ( ੧੨ + ੫੫ ) ( ੧੨ − ੫੫ ) ( ੧੨ + ੫੫ )
( ੯ − ੪੩ ) ( ੯ + ੪੩ ) ( ੯ − ੪੩ ) ( ੯ + ੪੩ )
( ੩ x ੩ + ੨ ) ( ੩ x ੩ − ੨ ) ( ੩ x ੩ + ੨ ) ( ੩ x ੩ − ੨ )
( ੪ x ੩ + ੩ ) ( ੪ x ੩ − ੩ ) ( ੪ x ੩ + ੩ ) ( ੪ x ੩ − ੩ )
ਮਿਸ਼ਰਤ ਅਭਿਆਸ
੨੩ ੨੭ + ੩੪ ੪੮ ੨੩ ੨੭ + ੩੪ ੪੮
੧੭੫ k ੪ − ੬੩ k ੪ ੧੭੫ k ੪ − ੬੩ k ੪
੫੬ ੧੬੨ + ੩੧੬ ੧੨੮ ੫੬ ੧੬੨ + ੩੧੬ ੧੨੮
੨੪੩ + / ੮੧੩ ੨੪੩ + / ੮੧੩
੧੨ ੮੦੪ − ੨੩ ੪੦੫੪ ੧੨ ੮੦੪ − ੨੩ ੪੦੫੪
੮ ੧੩੪ − ੪ ੧੩੪ − ੩ ੧੩੪ ੮ ੧੩੪ − ੪ ੧੩੪ − ੩ ੧੩੪
੫ ੧੨ c੪ − ੩ ੨੭ c੬ ੫ ੧੨ c੪ − ੩ ੨੭ c੬
੮੦ a੫ − ੪੫ a੫ ੮੦ a੫ − ੪੫ a੫
3 5 75 − 1 4 48 3 5 75 − 1 4 48
21 9 3 − 2 9 3 21 9 3 − 2 9 3
8 64 q 6 3 − 3 125 q 6 3 8 64 q 6 3 − 3 125 q 6 3
11 11 − 10 11 11 11 − 10 11
3 · 21 3 · 21
( 4 6 ) ( − 18 ) ( 4 6 ) ( − 18 )
( 7 4 3 ) ( −3 18 3 ) ( 7 4 3 ) ( −3 18 3 )
( 4 12 x 5 ) ( 2 6 x 3 ) ( 4 12 x 5 ) ( 2 6 x 3 )
( 29 ) 2 ( 29 ) 2
( −4 17 ) ( −3 17 ) ( −4 17 ) ( −3 17 )
( −4 + 17 ) ( −3 + 17 ) ( −4 + 17 ) ( −3 + 17 )
( 3 8 a 2 4 ) ( 12 a 3 4 ) ( 3 8 a 2 4 ) ( 12 a 3 4 )
( 6 − 3 2 ) 2 ( 6 − 3 2 ) 2
3 ( 4 − 3 3 ) 3 ( 4 − 3 3 )
3 3 ( 2 9 3 + 18 3 ) 3 3 ( 2 9 3 + 18 3 )
( 6 + 3 ) ( 6 + 6 3 ) ( 6 + 3 ) ( 6 + 6 3 )
Writing Exercises
Explain when a radical expression is in simplest form.
Explain the process for determining whether two radicals are like or unlike. Make sure your answer makes sense for radicals containing both numbers and variables.
ⓐ Explain why (−n)2(−n)2 is always non-negative, for n≥0.n≥0.ⓑ Explain why −(n)2−(n)2 is always non-positive, for n≥0.n≥0.
Use the binomial square pattern to simplify (3+2)2.(3+2)2. Explain all your steps.
Self Check
ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.
ⓑ On a scale of 1-10, how would you rate your mastery of this section in light of your responses on the checklist? How can you improve this?