Learning Objectives
By the end of this section, you will be able to:
Divide radical expressions
Rationalize a one term denominator
Rationalize a two term denominator
Be Prepared 8.13
Before you get started, take this readiness quiz.
Simplify: 3048.3048. If you missed this problem, review Example 1.24.
Be Prepared 8.14
Simplify: x2·x4.x2·x4. If you missed this problem, review Example 5.12.
Be Prepared 8.15
Multiply: (7+3x)(7−3x).(7+3x)(7−3x). If you missed this problem, review Example 5.32.
Divide Radical Expressions
We have used the Quotient Property of Radical Expressions to simplify roots of fractions. We will need to use this property ‘in reverse’ to simplify a fraction with radicals.
We give the Quotient Property of Radical Expressions again for easy reference. Remember, we assume all variables are greater than or equal to zero so that no absolute value bars are needed.
Quotient Property of Radical Expressions
If anan and bnbn are real numbers, b≠0,b≠0, and for any integer n≥2n≥2 then,
We will use the Quotient Property of Radical Expressions when the fraction we start with is the quotient of two radicals, and neither radicand is a perfect power of the index. When we write the fraction in a single radical, we may find common factors in the numerator and denominator.
Example 8.47
Simplify: ⓐ 72x3162x72x3162x ⓑ 32x234x53.32x234x53.
Solution
ⓐ
row: 72x3162x72x3162x
row: Rewrite using the quotient property,anbn=abn.anbn=abn. | 72x3162x72x3162x
row: Remove common factors. | 18·4·x2·x18·9·x18·4·x2·x18·9·x
row: Simplify. | 4x294x29
row: Simplify the radical. | 2x32x3
ⓑ
row: 32x234x5332x234x53
row: Rewrite using the quotient property,anbn=abn.anbn=abn. | 32x24x5332x24x53
row: Simplify the fraction under the radical. | 8x338x33
row: Simplify the radical. | 2x2x
Try It 8.93
Simplify: ⓐ 50s3128s50s3128s ⓑ 56a37a43.56a37a43.
Try It 8.94
Simplify: ⓐ 75q5108q75q5108q ⓑ 72b239b53.72b239b53.
Example 8.48
Simplify: ⓐ 147ab83a3b4147ab83a3b4 ⓑ −250mn−232m−2n43.−250mn−232m−2n43.
Solution
ⓐ
row: 147ab83a3b4147ab83a3b4
row: Rewrite using the quotient property. | 147ab83a3b4147ab83a3b4
row: Remove common factors in the fraction. | 49b4a249b4a2
row: Simplify the radical. | 7b2a7b2a
ⓑ
row: −250mn−232m−2n43−250mn−232m−2n43
row: Rewrite using the quotient property. | −250mn−22m−2n43−250mn−22m−2n43
row: Simplify the fraction under the radical. | −125m3n63−125m3n63
row: Simplify the radical. | −5mn2−5mn2
Try It 8.95
Simplify: ⓐ 162x10y22x6y6162x10y22x6y6 ⓑ −128x2y−132x−1y23.−128x2y−132x−1y23.
Try It 8.96
Simplify: ⓐ 300m3n73m5n300m3n73m5n ⓑ −81pq−133p−2q53.−81pq−133p−2q53.
Example 8.49
Simplify: 54x5y33x2y.54x5y33x2y.
Solution
row: 54x5y33x2y54x5y33x2y
row: Rewrite using the quotient property. | 54x5y33x2y54x5y33x2y
row: Remove common factors in the fraction. | 18x3y218x3y2
row: Rewrite the radicand as a productusing the largest perfect square factor. | 9x2y2⋅2x9x2y2⋅2x
row: Rewrite the radical as the product of tworadicals. | 9x2y2⋅2x9x2y2⋅2x
row: Simplify. | 3xy2x3xy2x
Try It 8.97
Simplify: 64x4y52xy3.64x4y52xy3.
Try It 8.98
Simplify: 96a5b42a3b.96a5b42a3b.
Rationalize a One Term Denominator
Before the calculator became a tool of everyday life, approximating the value of a fraction with a radical in the denominator was a very cumbersome process!
For this reason, a process called rationalizing the denominator was developed. A fraction with a radical in the denominator is converted to an equivalent fraction whose denominator is an integer. Square roots of numbers that are not perfect squares are irrational numbers. When we rationalize the denominator, we write an equivalent fraction with a rational number in the denominator.
This process is still used today, and is useful in other areas of mathematics, too.
Rationalizing the Denominator
Rationalizing the denominator is the process of converting a fraction with a radical in the denominator to an equivalent fraction whose denominator is an integer.
1. ਭਾਵੇਂ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਲਗਭਗ ਹਰ ਥਾਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਉਪਲਬਧ ਹਨ, ਫਿਰ ਵੀ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਜਿਸਦੇ ਹਰ (denominator) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਡੀਕਲ (radical) ਹੋਵੇ, ਉਸਨੂੰ ਰੇਸ਼ਨਲਾਈਜ਼ (rationalize) ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਹਰ ਵਿੱਚ ਰੇਡੀਕਲ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਉਸਨੂੰ ਸਰਲ ਨਹੀਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ।
2. ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇੱਕ ਰੇਡੀਕਲ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ (radical expression) ਨੂੰ ਸਰਲ ਨਹੀਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਜੇਕਰ ਰੇਡੀਕੈਂਡ (radicand) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਹੋਵੇ।
3. ਸਰਲ ਕੀਤੇ ਗਏ ਰੇਡੀਕਲ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ
4. ਇੱਕ ਰੇਡੀਕਲ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ
5. ਰੇਡੀਕੈਂਡ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਗੁਣਨਖੰਡ (factors) ਇੰਡੈਕਸ (index) ਦੀ ਸੰਪੂਰਨ ਸ਼ਕਤੀ (perfect power) ਨਾ ਰੱਖਦਾ ਹੋਵੇ
6. ਰੇਡੀਕੈਂਡ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਭਿੰਨ ਨਾ ਹੋਵੇ
7. ਭਿੰਨ ਦੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਰੇਡੀਕਲ ਨਾ ਹੋਵੇ
8. ਵਰਗਮੂਲ (square root) ਵਾਲੇ ਹਰ ਨੂੰ ਰੇਸ਼ਨਲਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਉਸ ਗੁਣ (property) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ (a)2=a. ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਪਰਿਮੇਯ (irrational) ਵਰਗਮੂਲ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ (rational) ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
9. ਅਸੀਂ ਇਸ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਹਰ ਨੂੰ ਰੇਸ਼ਨਲਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰਾਂਗੇ।
10. ਉਦਾਹਰਨ 8.50
11. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 4√3 ⓑ ³√20 ⓒ ³√6x
12. ਹੱਲ
13. ਇੱਕ-ਪਦ (one term) ਵਾਲੇ ਹਰ ਨੂੰ ਰੇਸ਼ਨਲਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਮਾਨ ਰੱਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਗੁਣਕ (factor) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
14. ⓐ
15. row: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ √3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
16. row: ਸਰਲ ਕਰੋ।
17. ⓑ ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹਰ ਵਿੱਚ ਰੇਡੀਕਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸਨੂੰ ਰੇਸ਼ਨਲਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਛੋਟੀਆਂ ਅਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ।
18. row: ਭਿੰਨ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਗੁਣ (Quotient Property) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
19. row: ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
20. row: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ √5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
21. row: ਸਰਲ ਕਰੋ।
22. row: ਸਰਲ ਕਰੋ।
23. ⓒ
24. row: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ³√6x ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ 8.99 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 5353 ⓑ 332332 ⓒ 22x.22x.
ਇਸਨੂੰ 8.100 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 6565 ⓑ 718718 ⓒ 55x.55x.
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਤਰਕਸੰਗਤ ਕੀਤਾ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਵਰਗਮੂਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜੋ ਹਰ ਵਿੱਚ ਕਰਮਣੀ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਦਿੰਦਾ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵਰਗਮੂਲ ਲਿਆ, ਤਾਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਕਰਮਣੀ ਨਹੀਂ ਰਹੀ।
ਅਸੀਂ ਉੱਚੇ ਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਤਰਕਸੰਗਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਾਂਗੇ। ਉੱਚੇ ਸੂਚਕਾਂਕ ਵਾਲੇ ਕਰਮਣੀ ਵਾਲੇ ਹਰ ਨੂੰ ਤਰਕਸੰਗਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਕਰਮਣੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸੂਚਕਾਂਕ ਦੀ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸ਼ਕਤੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਨਵੇਂ ਕਰਮਣੀ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਕਰਮਣੀ ਨਹੀਂ ਰਹੇਗੀ।
ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ,
ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਕਨੀਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਗਲੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.51
ਸਰਲ ਕਰੋ ⓐ 163163 ⓑ 72437243 ⓒ 34x3.34x3.
ਹੱਲ
ਘਣਮੂਲ ਵਾਲੇ ਹਰ ਨੂੰ ਤਰਕਸੰਗਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਘਣਮੂਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਹਰ ਵਿੱਚ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ⓐ
ਪੰਗਤੀ: ਹਰ ਵਿੱਚ ਕਰਮਣੀ ਦਾ 6 ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਹੈ। ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ 623,623 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ 6 ਦੇ 2 ਹੋਰ ਗੁਣਕ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਪੰਗਤੀ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਹਰ ਵਿੱਚ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਵਿੱਚ 6 ਦੀਆਂ 3 ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਹਨ।
ਪੰਗਤੀ: ਹਰ ਵਿੱਚ ਘਣਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ⓑ ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹਰ ਵਿੱਚ ਕਰਮਣੀ ਨੂੰ ਤਰਕਸੰਗਤ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਉਸਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਛੋਟੀਆਂ ਅਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਪੰਗਤੀ: ਭਿੰਨ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਭਾਗ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਪੰਗਤੀ: ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪੰਗਤੀ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ 323.323 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ 3 ਦੇ 3 ਗੁਣਕ ਦੇਵੇਗਾ।
ਪੰਗਤੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪੰਗਤੀ: ਯਾਦ ਰੱਖੋ, 333=3.333=3.
1. ਪੰਕਤੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
2. ⓒ
3. ਪੰਕਤੀ: ਰੇਡਿਕੈਂਡ ਨੂੰ ਕਾਰਕਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
4. ਪੰਕਤੀ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ 2·x23.2·x23 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ 2 ਦੇ 3 ਕਾਰਕ ਅਤੇ x ਦੇ 3 ਕਾਰਕ ਦੇਵੇਗਾ।
5. ਪੰਕਤੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
6. ਪੰਕਤੀ: ਹਰ ਵਿੱਚ ਕਰਣੀ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
7. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.101
8. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 173173 ⓑ 51235123 ⓒ 59y3.59y3.
9. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.102
10. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 123123 ⓑ 32033203 ⓒ 225n3.225n3.
11. ਉਦਾਹਰਨ 8.52
12. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 124124 ⓑ 56445644 ⓒ 28x4.28x4.
13. ਹੱਲ
14. ਚੌਥੀ ਜੜ੍ਹ ਵਾਲੇ ਹਰ ਨੂੰ ਤਰਕਸੰਗਤ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਚੌਥੀ ਜੜ੍ਹ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਚੌਥੀ ਘਾਤ ਦੇਵੇਗੀ। ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
15. ⓐ
16. ਪੰਕਤੀ: ਹਰ ਵਿੱਚ ਕਰਣੀ ਦਾ 2 ਦਾ ਇੱਕ ਕਾਰਕ ਹੈ। ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ 234,234 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ 2 ਦੇ 3 ਹੋਰ ਕਾਰਕ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
17. ਪੰਕਤੀ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰ ਵਿੱਚ ਰੇਡਿਕੈਂਡ ਵਿੱਚ 2 ਦੀਆਂ 4 ਘਾਤਾਂ ਹਨ।
18. ਪੰਕਤੀ: ਹਰ ਵਿੱਚ ਚੌਥੀ ਜੜ੍ਹ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
19. ⓑ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਤਰਕਸੰਗਤ ਬਣਾਉਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹਰ ਵਿੱਚ ਕਰਣੀ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੰਕ ਛੋਟੇ ਅਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ।
20. ਪੰਕਤੀ: ਭਿੰਨ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਚੌਥੀ ਘਾਤ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਭਾਗ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
21. ਪੰਕਤੀ: ਹਰ ਵਿੱਚ ਰੇਡਿਕੈਂਡ ਨੂੰ ਕਾਰਕਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
22. ਪੰਕਤੀ: ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
23. ਪੰਕਤੀ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ 224.224 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ 2 ਦੇ 4 ਕਾਰਕ ਦੇਵੇਗਾ।
24. ਪੰਕਤੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
1. ਸਤਰ: ਯਾਦ ਰੱਖੋ, 244=2.244=2।
2. ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
3. ⓒ
4. ਸਤਰ: ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
5. ਸਤਰ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ 2·x34.2·x34 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ 2 ਦੇ 4 ਗੁਣਕ ਅਤੇ x ਦੇ 4 ਗੁਣਕ ਦੇਵੇਗਾ।
6. ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
7. ਸਤਰ: ਹਰ ਵਿੱਚ ਕਰਣੀ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
8. ਸਤਰ: ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
9. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.103
10. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 134134 ⓑ 36443644 ⓒ 3125x4.3125x4.
11. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.104
12. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 154154 ⓑ 7128471284 ⓒ 44x444x4
13. ਦੋ-ਪਦ ਵਾਲੇ ਹਰ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ ਕਰੋ
14. ਜਦੋਂ ਭਿੰਨ ਦਾ ਹਰ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਨਾਲ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਹਰ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ ਕਰਨ ਲਈ ਸੰਯੁਗਮ ਪੈਟਰਨ (Product of Conjugates Pattern) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
15. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵਰਗਮੂਲ ਵਾਲੇ ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵਰਗਮੂਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
16. ਉਦਾਹਰਨ 8.53
17. ਸਰਲ ਕਰੋ: 52−3.52−3.
18. ਹੱਲ
19. ਸਤਰ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਹਰ ਦੇ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
20. ਸਤਰ: ਹਰ ਵਿੱਚ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
21. ਸਤਰ: ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
22. ਸਤਰ: ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
23. ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.105
ਸਰਲ ਕਰੋ: 31−5.31−5.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.106
ਸਰਲ ਕਰੋ: 24−6.24−6.
ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਜਵਾਬ ਵਿੱਚ 5 ਨੂੰ ਵੰਡਿਆ ਨਹੀਂ। ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਛੱਡ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.54
ਸਰਲ ਕਰੋ: 3u−6.3u−6.
ਹੱਲ
ਕਤਾਰ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਹਰ ਦੇ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਕਤਾਰ: ਹਰ ਵਿੱਚ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਕਤਾਰ: ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.107
ਸਰਲ ਕਰੋ: 5x+2.5x+2.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.108
ਸਰਲ ਕਰੋ: 10y−3.10y−3.
ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਧਿਆਨ ਰੱਖੋ। ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਬਹੁਤ ਸਮਾਨ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.55
ਸਰਲ ਕਰੋ: x+7x−7.x+7x−7.
ਹੱਲ
ਕਤਾਰ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਹਰ ਦੇ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਕਤਾਰ: ਹਰ ਵਿੱਚ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਕਤਾਰ: ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਦਾ ਵਰਗ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ। ਇਸਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਛੱਡ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਤੋਂ ਹਟਾਉਣ ਲਈ ਕੋਈ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.109
ਸਰਲ ਕਰੋ: p+2p−2.p+2p−2.
Try It 8.110
Simplify: q−10q+10q−10q+10
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with dividing radical expressions.
Rationalize the Denominator
Dividing Radical Expressions and Rationalizing the Denominator
Simplifying a Radical Expression with a Conjugate
Rationalize the Denominator of a Radical Expression
Practice Makes Perfect
Divide Square Roots
In the following exercises, simplify.
ⓐ 1287212872 ⓑ 12835431283543
ⓐ 48754875 ⓑ 813243813243
ⓐ 200m598m200m598m ⓑ 54y232y5354y232y53
ⓐ 108n7243n3108n7243n3 ⓑ 54y316y4354y316y43
ⓐ 75r3108r775r3108r7 ⓑ 24x7381x4324x7381x43
ⓐ 196q484q5196q484q5 ⓑ 16m4354m316m4354m3
ⓐ 108p5q23p3q6108p5q23p3q6 ⓑ −16a4b−232a−2b3−16a4b−232a−2b3
ⓐ 98rs102r3s498rs102r3s4 ⓑ −375y4z−233y−2z43−375y4z−233y−2z43
ⓐ 320mn−545m−7n3320mn−545m−7n3 ⓑ 16x4y−23−54x−2y4316x4y−23−54x−2y43
ⓐ 810c−3d71000cd−1810c−3d71000cd−1 ⓑ 24a7b−13−81a−2b2324a7b−13−81a−2b23
56 x 5 y 4 2 x y 3 56 x 5 y 4 2 x y 3
72 a 3 b 6 3 a b 3 72 a 3 b 6 3 a b 3
48 a 3 b 6 3 3 a − 1 b 3 3 48 a 3 b 6 3 3 a − 1 b 3 3
162x - 3y = 632x - 3y - 23
ਇੱਕ ਪਦ ਵਾਲੇ ਹਰ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ ਕਰੋ।
ⓐ 106106 ⓑ 427427 ⓒ 105x105x
ⓐ 8383 ⓑ 740740 ⓒ 82y82y
ⓐ 6767 ⓑ 845845 ⓒ 123p123p
ⓐ 4545 ⓑ 27802780 ⓒ 186q186q
ⓐ 153153 ⓑ 52435243 ⓒ 436a3436a3
ⓐ 133133 ⓑ 53235323 ⓒ 749b3749b3
ⓐ 11131113 ⓑ 75437543 ⓒ 33x2333x23
ⓐ 11331133 ⓑ 3128331283 ⓒ 36y2336y23
ⓐ 174174 ⓑ 53245324 ⓒ 44x2444x24
ⓐ 144144 ⓑ 93249324 ⓒ 69x3469x34
ⓐ 194194 ⓑ 251284251284 ⓒ 627a4627a4
ⓐ 184184 ⓑ 271284271284 ⓒ 1664b241664b24
ਦੋ ਪਦ ਵਾਲੇ ਹਰ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਰਲ ਕਰੋ।
8 / (1 - 5)
7 / (2 - 6)
6 / (3 - 7)
5 / (4 - 11)
3 / (m - 5)
5 / (n - 7)
2 / (x - 6)
7 ਞ + 3 ਞ + 3
1. ਰ + 5 ਰ − 5 ਰ + 5 ਰ − 5
ਸ - 6 ਸ + 6 ਸ - 6 ਸ + 6
x + 8x - 8x + 8x - 8
1. m − 3 m + 3 m − 3 m + 3
1. ਲਿਖਤ ਅਭਿਆਸ
੧. ⓐ 273273 ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਸਾਰੇ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। ⓑ 275275 ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਸਾਰੇ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। ⓒ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨ ਦੇ ਦੋ ਤਰੀਕੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਉਂ ਹਨ?
ਕਿਸੇ ਹਰਨ (denominator) ਨੂੰ "ਰੈਸ਼ਨੇਲਾਈਜ਼" ਕਰਨ ਤੋਂ ਭਾਵ ਹੈ ਕਿ ਉਸ ਹਰਨ ਦੇ ਵਿੱਚੋਂ ਅਪਰਿਮੇਯ (irrational) ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਹਟਾ ਕੇ ਉਸਨੂੰ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ (rational) ਸੰਖਿਆ ਬਣਾਉਣਾ। ਇਹ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਹੈ ਜਿਸ ਰਾਹੀਂ ਭਿੰਨਾਂ (fractions) ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਜਦੋਂ ਹਰਨ ਵਿੱਚ ਵਰਗਮੂਲ (square root) ਵਰਗੀਆਂ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੋਣ।
2x−32x−3 ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ ਰੇਡੀਕਲ ਰਹਿਤ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਉਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
7x37x3 ਨੂੰ x3x3x3x3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਹਰ (denominator) ਤਰਕਸੰਗਤ (rationalize) ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਇਸ ਦਾ ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਹਰ ਵਿੱਚ ਅਜੇ ਵੀ ਅਣ-ਤਰਕਸੰਗਤ (irrational) ਸੰਖਿਆਵਾਂ (numbers) ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਤਰਕਸੰਗਤ ਕਰਨ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਹਰ ਵਿੱਚੋਂ ਸਾਰੀਆਂ ਅਣ-ਤਰਕਸੰਗਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਉਣਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵਰਗਮੂਲ (square roots) ਜਾਂ ਘਣਮੂਲ (cube roots)। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ 7x37x3 ਨੂੰ x3x3x3x3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ 7x37x3x3^4 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਗੁਣਾ ਹਰ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਜੇਕਰ 'x' ਅਜੇ ਵੀ ਇੱਕ ਅਣ-ਤਰਕਸੰਗਤ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਹਰ ਅਜੇ ਵੀ ਅਣ-ਤਰਕਸੰਗਤ ਰਹੇਗਾ। ਹਰ ਨੂੰ ਤਰਕਸੰਗਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ 'x' ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ ਕਿ ਉਹ ਹਰ ਵਿੱਚੋਂ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖਤਮ ਹੋ ਜਾਵੇ, ਜੋ ਕਿ ਇਸ ਗੁਣਾ ਨਾਲ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ।
1. ਆਤਮ-ਪੜਤਾਲ
ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਡੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
੧. ⓑ ਚੈਕਲਿਸਟ ਵੇਖਣ ਮਗਰੋਂ, ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਅਗਲੇ ਭਾਗ ਲਈ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਤਿਆਰ ਹੋ? ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ?