ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਓ
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰੋ
i ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 8.22
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸੰਖਿਆਵਾਂ −4,−7,0.5–,73,3,81,−4,−7,0.5–,73,3,81, ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ ⓐ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ, ⓑ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ, ⓒ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.42 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 8.23
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x−3)(2x+5)। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.28 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 8.24
ਹਰ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ ਕਰੋ:55−3. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.32 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ
ਜਦੋਂ ਵੀ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜੋ ਉਸ ਵਰਗਮੂਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, −1 ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ x ਦੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ x2 = –1 ਹੋਵੇ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਰੀਆਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਕੋਈ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜੋ ਵਰਗ ਕਰਨ 'ਤੇ –1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ।
ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਨੇ ਅਕਸਰ ਲੋੜ ਅਨੁਸਾਰ ਆਪਣੀਆਂ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗਿਣਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ 0 ਜੋੜਿਆ। ਜਦੋਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਬਕਾਇਆ ਦੀ ਲੋੜ ਪਈ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜੋੜੀਆਂ। ਜਦੋਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਦੇ ਹਿੱਸਿਆਂ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਚਾਹੀਦਾ ਸੀ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਭਿੰਨਾਂ ਜੋੜੀਆਂ ਅਤੇ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀਆਂ। ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜੋੜਨ ਨਾਲ 5.5 ਵਰਗੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਈਆਂ। ਇਹ ਸਭ ਇਕੱਠੇ ਸਾਨੂੰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਹੁਣ ਤੱਕ ਤੁਹਾਡੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਕਾਫ਼ੀ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਪਰ ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਾਂਗੇ ਤਾਂ ਜੋ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋ ਸਕਣ। ਅਸੀਂ ਕਾਲਪਨਿਕ ਇਕਾਈ i ਨੂੰ ਉਸ ਸੰਖਿਆ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਵਰਗ –1 ਹੈ।
ਕਾਲਪਨਿਕ ਇਕਾਈ
ਕਾਲਪਨਿਕ ਇਕਾਈ i ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਵਰਗ –1 ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਾਲਪਨਿਕ ਇਕਾਈ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ
ਜੇਕਰ b ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ
ਅਸੀਂ ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਕਰਾਂਗੇ। ਧਿਆਨ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ i ਰੇਡੀਕਲ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸਨੂੰ −b=ib ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਦੇਖੋਗੇ ਤਾਂ ਜੋ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਜ਼ੋਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ i ਰੇਡੀਕਲ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਪਰ −b=bi ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
1. ਉਦਾਹਰਨ ੮.੭੬
1. i ਨੂੰ ਪਦਾਰਥ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਸਰਲ ਬਣਾਓ:
1. ⓐ −੨੫−੨੫ ⓑ −੭−੭ ⓒ −੧੨−੧੨
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਏਹ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਰੰਭਿਆ ਹੋਇਆ ਸੀ, ਅਤੇ ਅਰੰਭ ਵਿੱਚ ਪਰਮੇਸ਼ੁਰ ਨਾਲ ਸੀ। ਪਰਮੇਸ਼ੁਰ ਸੀ ਉਹ, ਅਤੇ ਸਭ ਕੁਝ ਉਸਦੇ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਉਸਦੇ ਬਿਨਾਂ, ਕੁਝ ਵੀ ਨਹੀਂ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ ਜੋ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਉਸ ਵਿੱਚ ਜੀਵਨ ਸੀ, ਅਤੇ ਜੀਵਨ ਮਨੁੱਖਾਂ ਦਾ ਚਾਨਣ ਸੀ। ਚਾਨਣ ਅੰਧਕਾਰ ਵਿੱਚ ਚਮਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅੰਧਕਾਰ ਨੇ ਇਸਨੂੰ ਗ੍ਰਹਿਣ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ।
1. ਕਤਾਰ: −੨੫−੨੫
1. ਵਰਗਮੂਲ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜੋ ਕਿ ਨੈਗੇਟਿਵ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। | 25i25i
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
1. ⓑ
1. ਕਤਾਰ: −7−7
1. ਵਰਗਮੂਲ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜੋ ਕਿ ਨੈਗੇਟਿਵ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | ਸਾਵਧਾਨ ਰਹੋ ਕਿ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋਵੇ ਕਿ ii ਰੇਡੀਕਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
1. ਛੋਟਾ ਜਿਹਾ।
1. ਸਤਰ: −੧੨−੧੨
1. ਵਰਗਮੂਲ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜੋ ਕਿ ਨੈਗੇਟਿਵ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
1. ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ ੧੨.੧੨. | ੨੩ਆ੨੩ਆ
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ।
1. i ਨੂੰ ਹਰ ਇੱਕ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਸਰਲ ਬਣਾਓ:
1. ⓐ −81−81 ⓑ −5−5 ⓒ −18.−18.
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.152
1. i ਨੂੰ ਹਰ ਇੱਕ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਸਰਲ ਬਣਾਓ:
1. ⓐ −36−36 ⓑ −3−3 ⓒ −27.−27.
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ 'i' ਤੋਂ ਜਾਣੂ ਹੋ ਗਏ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਲਈ ਆਪਣੀ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਸੰਕਲਪ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ a + bi ਰੂਪ ਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a, b ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ a ਨੂੰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਭਾਗ ਅਤੇ b ਨੂੰ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
1. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ
ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ a + bi ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a ਅਤੇ b ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।
ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ a+bi ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਤੇ ਇਹ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a ਅਤੇ b ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।
ਜੇਕਰ b=0 ਹੋਵੇ, ਤਾਂ a+bi, a+0·i=a ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਜੇਕਰ b≠0 ਹੋਵੇ, ਤਾਂ a+bi ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਜੇਕਰ a=0 ਹੋਵੇ, ਤਾਂ a+bi, 0+bi=bi ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸ਼ੁੱਧ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਥੇ ਸੰਖੇਪ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਤਰ: a+bi
ਸਤਰ: b=0 | a+0·i | ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ
ਸਤਰ: b≠0 | a+bi | ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ
ਸਤਰ: a=0 | 0+bi | ਸ਼ੁੱਧ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ
ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ a+bi ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਸਮਝਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪਸੰਦੀਦਾ ਰੂਪ −b=bi ਕਿਉਂ ਹੈ ਜਦੋਂ b>0 ਹੋਵੇ।
ਚਿੱਤਰ ਸਾਨੂੰ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਕਲਪਨਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੋਵਾਂ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਹੈ।
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਉੱਤੇ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਦੀਆਂ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ—ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਸੀ।
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ ਵਰਗਾ ਹੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਜਾਂ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਜਾਂ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਡਾ ਅੰਤਿਮ ਨਤੀਜਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.77
ਜੋੜੋ: −12+−27।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: −12+−27
ਰਿਣ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | 12i+27i
ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | 23i+33i
ਜੋੜੋ। | 53i
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.153
ਜੋੜੋ: −8+−32।
Try It 8.154
Add: −27+−48.−27+−48.
Remember to add both the real parts and the imaginary parts in this next example.
Example 8.78
Simplify: ⓐ (4−3i)+(5+6i)(4−3i)+(5+6i) ⓑ (2−5i)−(5−2i).(2−5i)−(5−2i).
Solution
ⓐ
row: (4−3i)+(5+6i)(4−3i)+(5+6i)
row: Use the Associative Property to put the realparts and the imaginary parts together. | (4+5)+(−3i+6i)(4+5)+(−3i+6i)
row: Simplify. | 9+3i9+3i
ⓑ
row: (2−5i)−(5−2i)(2−5i)−(5−2i)
row: Distribute. | 2−5i−5+2i2−5i−5+2i
row: Use the Associative Property to put the realparts and the imaginary parts together. | 2−5−5i+2i2−5−5i+2i
row: Simplify. | −3−3i−3−3i
Try It 8.155
Simplify: ⓐ (2+7i)+(4−2i)(2+7i)+(4−2i) ⓑ (8−4i)−(2−i).(8−4i)−(2−i).
Try It 8.156
Simplify: ⓐ (3−2i)+(−5−4i)(3−2i)+(−5−4i) ⓑ (4+3i)−(2−6i).(4+3i)−(2−6i).
Multiply Complex Numbers
Multiplying complex numbers is also much like multiplying expressions with coefficients and variables. There is only one special case we need to consider. We will look at that after we practice in the next two examples.
Example 8.79
Multiply: 2i(7−5i).2i(7−5i).
Solution
2i(7−5i)2i(7−5i)
ਵਿਤ੍ਰੋ। | 14i−10i214i−10i2
i2.i2. ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | 14i−10(−1)14i−10(−1)
ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 14i+1014i+10
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। | 10+14i10+14i
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 8.157
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: 4i(5−3i).4i(5−3i).
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 8.158
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: −3i(2+4i).−3i(2+4i).
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵਿਤ੍ਰੋ ਗੁਣ ਜਾਂ FOIL ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਦੋਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.80
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (3+2i)(4−3i).(3+2i)(4−3i).
ਹੱਲ
(3+2i)(4−3i)(3+2i)(4−3i)
FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | 12−9i+8i−6i212−9i+8i−6i2
i2i2 ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। | 12−i−6(−1)12−i−6(−1)
ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 12−i+612−i+6
ਵਾਸਤਵਿਕ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। | 18−i18−i
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 8.159
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (5−3i)(−1−2i).(5−3i)(−1−2i).
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 8.160
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (−4−3i)(2+i).(−4−3i)(2+i).
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ FOIL ਜਾਂ ਦੋਪਦੀ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.81
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (3+2i)2(3+2i)2
ਹੱਲ
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, (a+b)2=a2+2ab+b2.(a+b)2=a2+2ab+b2.
ਸਰਲ ਕਰੋ।
i2.i2. ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.161
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (−2−5i)2.(−2−5i)2.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.162
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (−5+4i)2.(−5+4i)2.
ਕਿਉਂਕਿ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਰੈਡੀਕਲ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਕੰਪਲੈਕਸ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, −b=bi.−b=bi. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ। ਇਹ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਥਾਂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਗਲਤੀਆਂ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਵਰਗਮੂਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.82
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: −36·−4.−36·−4.
ਹੱਲ
ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਕੰਪਲੈਕਸ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
−36·−4−36·−4
−b=bi.−b=bi. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। | 36i·4i36i·4i
ਸਰਲ ਕਰੋ। | 6i·2i6i·2i
ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 12i212i2
i2i2 ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | −12−12
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.163
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: −49·−4.−49·−4.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.164
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: −36·−81.−36·−81.
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਦਾ ਵਰਗ ਮੂਲ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਹਰੇਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਰਗ ਮੂਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.83
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (3−−12)(5+−27).(3−−12)(5+−27).
ਹੱਲ
ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਸਤਰ: (3−−12)(5+−27)(3−−12)(5+−27)
ਸਤਰ: −b=bi.−b=bi. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। | (3−23i)(5+33i)(3−23i)(5+33i)
ਸਤਰ: FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | 15+93i−103i−6·3i215+93i−103i−6·3i2
ਸਤਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ i2.i2. ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | 15−3i−6·(−3)15−3i−6·(−3)
ਸਤਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। | 33−3i33−3i
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 8.165
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (4−−12)(3−−48).(4−−12)(3−−48).
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 8.166
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (−2+−8)(3−−18).(−2+−8)(3−−18).
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸੰਯੁਗੀ ਜੋੜਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਸੀ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਅਸੀਂ ਕਿਹਾ ਸੀ ਕਿ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਇੱਕ ਜੋੜ ਅਤੇ ਇੱਕ ਘਟਾਓ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਸੰਯੁਗੀ ਜੋੜਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ (a−b),(a+b).(a−b),(a+b) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗੀ ਜੋੜਾ ਬਹੁਤ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। a+bi,a+bi, ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੀ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਲਈ, ਇਸਦਾ ਸੰਯੁਗੀ a−bi.a−bi. ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਪਰ ਇੱਕ ਜੋੜ ਅਤੇ ਇੱਕ ਘਟਾਓ ਹੈ।
ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗੀ ਜੋੜਾ
ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗੀ ਜੋੜਾ a+bi,a+bi,a−bi.a−bi. ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗੀ ਜੋੜੇ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.84
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (3−2i)(3+2i).(3−2i)(3+2i).
ਹੱਲ
ਸਤਰ: (3−2i)(3+2i)(3−2i)(3+2i)
ਸਤਰ: FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | 9+6i−6i−4i29+6i−6i−4i2
ਸਫਾ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ i2.i2. | 9−4(−1)9−4(−1)
ਸਫਾ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। | 13
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.167
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (4−3i)·(4+3i).(4−3i)·(4+3i).
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.168
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (−2+5i)·(−2−5i).(−2+5i)·(−2−5i).
ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੇ ਸਾਡੇ ਅਧਿਐਨ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹਮੇਸ਼ਾ (a−b)(a+b)=a2−b2.(a−b)(a+b)=a2−b2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜਾ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਜੋੜੇ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਆਖਰੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਉਹੀ ਨਤੀਜਾ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਉਦਾਹਰਨ 8.84 ਵਿੱਚ ਪਾਇਆ ਸੀ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਆਖਰੀ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹਮੇਸ਼ਾ i2i2 ਹੋਵੇਗਾ ਜੋ −1.−1 ਤੱਕ ਸਰਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਪੈਟਰਨ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: (a−bi)(a+bi)=a2+b2(a−bi)(a+bi)=a2+b2
ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ
ਜੇ a ਅਤੇ b ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ
ਉਦਾਹਰਨ 8.85
ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (8−2i)(8+2i).(8−2i)(8+2i).
ਹੱਲ
ਸਫਾ: ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਪੈਟਰਨ, (a−bi)(a+bi)=a2+b2.(a−bi)(a+bi)=a2+b2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਫਾ: ਵਰਗਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਸਫਾ: ਜੋੜੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.169
ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (3−10i)(3+10i).(3−10i)(3+10i).
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 8.170
ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (−5+4i)(−5−4i).(−5+4i)(−5−4i).
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰੋ
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਹਰ ਦੇ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ ਵਾਂਗ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡਾ ਨਤੀਜਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨਾ ਹੋਵੇ।
ਉਦਾਹਰਨ ੮.੮੬
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਭਾਗ ਕਰੋ: 4+3i3−4i.4+3i3−4i.
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯਾਸ ਕਰੋ ੮.੧੭੧
ਭਾਗ ਕਰੋ: 2+5i5−2i.2+5i5−2i.
ਪ੍ਰਯਾਸ ਕਰੋ ੮.੧੭੨
ਭਾਗ ਕਰੋ: 1+6i6−i.1+6i6−i.
ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਕਦਮਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਕਦਮ ੧. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਕਦਮ ੨. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਹਰ ਦੇ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਕਦਮ ੩. ਸਰਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ ੮.੮੭
ਭਾਗ ਕਰੋ, ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ: −35+2i.−35+2i.
ਹੱਲ
ਸਤਰ: −35+2i−35+2i
ਸਤਰ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਹਰ ਦੇ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | −3(5−2i)(5+2i)(5−2i)−3(5−2i)(5+2i)(5−2i)
ਸਤਰ: ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਪੈਟਰਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | −15+6i52+22−15+6i52+22
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | −15+6i29−15+6i29
ਸਤਰ: ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। | −1529+629i−1529+629i
ਪ੍ਰਯਾਸ ਕਰੋ ੮.੧੭੩
Divide, writing the answer in standard form: 41−4i.41−4i.
Try It 8.174
Divide, writing the answer in standard form: −2−1+2i.−2−1+2i.
Be careful as you find the conjugate of the denominator.
Example 8.88
Divide: 5+3i4i.5+3i4i.
Solution
row: 5+3i4i5+3i4i
row: Write the denominator in standard form. | 5+3i0+4i5+3i0+4i
row: Multiply the numerator and denominator bythe complex conjugate of the denominator. | (5+3i)(0−4i)(0+4i)(0−4i)(5+3i)(0−4i)(0+4i)(0−4i)
row: Simplify. | (5+3i)(−4i)(4i)(−4i)(5+3i)(−4i)(4i)(−4i)
row: Multiply. | −20i−12i2−16i2−20i−12i2−16i2
row: Simplify the i2.i2. | −20i+1216−20i+1216
row: Rewrite in standard form. | 1216−2016i1216−2016i
row: Simplify the fractions. | 34−54i34−54i
Try It 8.175
Divide: 3+3i2i.3+3i2i.
Try It 8.176
Divide: 2+4i5i.2+4i5i.
Simplify Powers of i
The powers of ii make an interesting pattern that will help us simplify higher powers of i. Let’s evaluate the powers of ii to see the pattern.
We summarize this now.
If we continued, the pattern would keep repeating in blocks of four. We can use this pattern to help us simplify powers of i. Since i4 = 1, we rewrite each power, in, as a product using i4 to a power and another power of i.
We rewrite it in the form in=(i4)q·ir,in=(i4)q·ir, where the exponent, q, is the quotient of n divided by 4 and the exponent, r, is the remainder from this division. For example, to simplify i57, we divide 57 by 4 and we get 14 with a remainder of 1. In other words, 57=4·14+1.57=4·14+1. So we write i57=(14)14·i1i57=(14)14·i1 and then simplify from there.
8.89. The mind, when it is not yet awakened, is like a mirror that has not been polished. It is covered with dust and dirt, and it cannot reflect the image of the world. But when the mind is awakened, it is like a mirror that has been polished. It is clean and bright, and it can reflect the image of the world. ਮਨ, ਜਦੋਂ ਇਹ ਅਜੇ ਜਾਗ੍ਰਿਤ ਨਹੀਂ ਹੋਇਆ ਹੁੰਦਾ, ਇੱਕ ਅਣਪਾਲਿਸ਼ ਕੀਤੇ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਵਾਂਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਧੂੜ ਅਤੇ ਮੈਲ ਨਾਲ ਢਕਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਸੰਸਾਰ ਦੀ ਤਸਵੀਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦਾ। ਪਰ ਜਦੋਂ ਮਨ ਜਾਗ੍ਰਿਤ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਇੱਕ ਪਾਲਿਸ਼ ਕੀਤੇ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਵਾਂਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਫ਼ ਅਤੇ ਚਮਕਦਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਸੰਸਾਰ ਦੀ ਤਸਵੀਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਰਲ ਕਰੋ: i86.i86.
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਕਤਾਰ: i86i86
1. 86 ਨੂੰ 4 ਨਾਲ਼ ਵੰਡੋ ਅਤੇ 8686 ਨੂੰ (4)21·(4)21 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | (1)21·(−1)(1)21·(−1)
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | –1–1
1. ਜੇਕਰ ਤੂੰ ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈਂ
ਸਰਲ ਕਰੋ: i75.i75.
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.178
ਸਰਲ ਕਰੋ: ਸੌਖਾ ਕਰੋ।
1. ਮੀਡੀਆ
1. ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਬਾਰੇ ਵਧੇਰੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਆਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
1. ਨੈਗੇਟਿਵ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਨੂੰ 'i' ਨਾਲ ਪ੍ਰਗਟਾਉਣਾ
1. ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ
1. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਭਾਗ
੧. ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਦਾ ਮੁੜ-ਲੇਖਨ
1. ਅਭਿਆਸ ਪਰਿਪੂਰਨਤਾ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ
ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਪਰਖਣਾ
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਵਾਕੰਸ਼ ਨੂੰ i ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਜੇ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
1. ⓐ −16−16 ⓑ −11−11ⓒ −8−8
1. ⓐ −੧੨੧ ⓑ −੧ ⓒ −੨੦
1. ⓐ −ਸੌ−ਸੌ ⓑ −ਤੇਰ−ਤੇਰ ⓒ −ਪੈਂਤਾਲ−ਪੈਂਤਾਲ
1. ⓐ −49−49 ⓑ −15−15 ⓒ −75−75
Add or Subtract Complex Numbers In the following exercises, add or subtract.
−75 + −48 −75 + −48
−12 + −75 −12 + −75
−50 + −18 −50 + −18
−72 + −8 −72 + −8
( 1 + 3 i ) + ( 7 + 4 i ) ( 1 + 3 i ) + ( 7 + 4 i )
( 6 + 2 i ) + ( 3 − 4 i ) ( 6 + 2 i ) + ( 3 − 4 i )
( 8 − i ) + ( 6 + 3 i ) ( 8 − i ) + ( 6 + 3 i )
( 7 − 4 i ) + ( −2 − 6 i ) ( 7 − 4 i ) + ( −2 − 6 i )
( 1 − 4 i ) − ( 3 − 6 i ) ( 1 − 4 i ) − ( 3 − 6 i )
( 8 − 4 i ) − ( 3 + 7 i ) ( 8 − 4 i ) − ( 3 + 7 i )
( 6 + i ) − ( −2 − 4 i ) ( 6 + i ) − ( −2 − 4 i )
( −2 + 5 i ) − ( −5 + 6 i ) ( −2 + 5 i ) − ( −5 + 6 i )
( 5 − −36 ) + ( 2 − −49 ) ( 5 − −36 ) + ( 2 − −49 )
( −3 + −64 ) + ( 5 − −16 ) ( −3 + −64 ) + ( 5 − −16 )
( −7 − −50 ) − ( −32 − −18 ) ( −7 − −50 ) − ( −32 − −18 )
( −5 + −27 ) − ( −4 − −48 ) ( −5 + −27 ) − ( −4 − −48 )
Multiply Complex Numbers
In the following exercises, multiply.
4 i ( 5 − 3 i ) 4 i ( 5 − 3 i )
2 i ( −3 + 4 i ) 2 i ( −3 + 4 i )
−6 i ( −3 − 2 i ) −6 i ( −3 − 2 i )
− i ( 6 + 5 i ) − i ( 6 + 5 i )
( 4 + 3 i ) ( −5 + 6 i ) ( 4 + 3 i ) ( −5 + 6 i )
( −2 − 5 i ) ( −4 + 3 i ) ( −2 − 5 i ) ( −4 + 3 i )
( −3 + 3 i ) ( −2 − 7 i ) ( −3 + 3 i ) ( −2 − 7 i )
( −6 − 2 i ) ( −3 − 5 i ) ( −6 − 2 i ) ( −3 − 5 i )
In the following exercises, multiply using the Product of Binomial Squares Pattern.
( 3 + 4 i ) 2 ( 3 + 4 i ) 2
( −1 + 5 i ) 2 ( −1 + 5 i ) 2
( −2 − 3 i ) 2 ( −2 − 3 i ) 2
( −6 − 5 i ) 2 ( −6 − 5 i ) 2
In the following exercises, multiply.
−25 · −36 −25 · −36
−4 · −16 −4 · −16
−9 · −100 −9 · −100
−64 · −9 −64 · −9
( −2 − −27 ) ( 4 − −48 ) ( −2 − −27 ) ( 4 − −48 )
( 5 − −12 ) ( −3 + −75 ) ( 5 − −12 ) ( −3 + −75 )
( 2 + −8 ) ( −4 + −18 ) ( 2 + −8 ) ( −4 + −18 )
( 5 + −18 ) ( −2 − −50 ) ( 5 + −18 ) ( −2 − −50 )
( 2 − i ) ( 2 + i ) ( 2 − i ) ( 2 + i )
( 4 − 5 i ) ( 4 + 5 i ) ( 4 − 5 i ) ( 4 + 5 i )
( 7 − 2 i ) ( 7 + 2 i ) ( 7 − 2 i ) ( 7 + 2 i )
( −3 − 8 i ) ( −3 + 8 i ) ( −3 − 8 i ) ( −3 + 8 i )
In the following exercises, multiply using the Product of Complex Conjugates Pattern.
( 7 − i ) ( 7 + i ) ( 7 − i ) ( 7 + i )
( 6 − 5 i ) ( 6 + 5 i ) ( 6 − 5 i ) ( 6 + 5 i )
( 9 − 2 i ) ( 9 + 2 i ) ( 9 − 2 i ) ( 9 + 2 i )
( −3 − 4 i ) ( −3 + 4 i ) ( −3 − 4 i ) ( −3 + 4 i )
Divide Complex Numbers
In the following exercises, divide.
3 + 4 i 4 − 3 i 3 + 4 i 4 − 3 i
5 − 2 i 2 + 5 i 5 − 2 i 2 + 5 i
2 + i 3 − 4 i 2 + i 3 − 4 i
3 − 2 i 6 + i 3 − 2 i 6 + i
3 2 − 3 i 3 2 − 3 i
2 4 − 5 i 2 4 − 5 i
−4 3 − 2 i −4 3 − 2 i
−1 3 + 2 i −1 3 + 2 i
1 + 4 i 3 i 1 + 4 i 3 i
4 + 3 i 7 i 4 + 3 i 7 i
−2 − 3 i 4 i −2 − 3 i 4 i
−3 − 5 i 2 i −3 − 5 i 2 i
Simplify Powers of i
In the following exercises, simplify.
i 41 i 41
i 39 i 39
i 66 i 66
i 48 i 48
i 128 i 128
i 162 i 162
i 137 i 137
i 255 i 255
Writing Exercises
Explain the relationship between real numbers and complex numbers.
Aniket multiplied as follows and he got the wrong answer. What is wrong with his reasoning?
−7 · −7 49 7 −7 · −7 49 7
Why is −64=8i−64=8i but −643=−4.−643=−4.
Explain how dividing complex numbers is similar to rationalizing a denominator.
Self Check
ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.
ⓑ On a scale of 1−10,1−10, how would you rate your mastery of this section in light of your responses on the checklist? How can you improve this?