ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਕਿਸਮ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਵੇਚਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਣ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਢੁਕਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਤਿਆਰੀ 9.7
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
b2−4ab ਦਾ ਮੁੱਲ b2−4ab ਜਦੋਂ a=3 ਅਤੇ b=−2 ਹੋਵੇ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.21 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 9.8
ਸਰਲ ਕਰੋ: 108। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 8.13 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 9.9
ਸਰਲ ਕਰੋ: 50। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 8.76 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਅਸੀਂ ਹਰ ਵਾਰ ਇੱਕੋ ਕਦਮ ਚੁੱਕੇ ਸਨ। ਕਸਰਤ ਸੈੱਟ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਸ਼ਾਇਦ ਸੋਚ ਰਹੇ ਹੋਵੋਗੇ ਕਿ ਕੀ ਇਸਨੂੰ ਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕਾ ਨਹੀਂ ਹੈ? ਜਵਾਬ ਹੈ 'ਹਾਂ'। ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਜਦੋਂ ਉਹ ਵਾਰ-ਵਾਰ ਚੀਜ਼ਾਂ ਕਰਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਤਿਆਰ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਵਰਤਾਂਗੇ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦੇਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਕਿਸੇ ਸੂਤਰ ਨੂੰ 'ਆਮ ਤੌਰ' ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਕਦਮ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਵਾਰ ਕਰੀਏ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਖਾਸ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਨਵੇਂ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ x ਲਈ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੇ ਕਦਮਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਾਂਗੇ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਤਰ: ਵੇਰੀਏਬਲ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਵੱਖ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: x2 ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ 1 ਬਣਾਓ, a ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇ ਕੇ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ, (12·ba)2 ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਜੋੜੋ।
ਸਤਰ: (12ba)2=b24a2
ਸਤਰ: ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
ਸਤਰ: ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨੂੰ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਸਮਾਨ ਭਿੰਨਾਂ ਲਿਖੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
1. ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
2. ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਵਰਤੋ।
3. ਕਾਣੇ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
4. ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ −b2a−b2a ਜੋੜੋ।
5. ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
6. ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਹੈ।
7. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ
8. ax2 + bx + c = 0, ਜਿੱਥੇ a≠0a≠0 ਰੂਪ ਦੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ:
9. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਤੋਂ a, b, ਅਤੇ c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਨਤੀਜਾ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
10. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸੂਤਰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਰਤਦੇ ਹੋ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 9.21
12. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ
13. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: 2x2+9x−5=0.2x2+9x−5=0.
14. ਹੱਲ
15. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.41
16. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: 3y2−5y+2=03y2−5y+2=0.
17. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.42
18. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: 4z2+2z−6=04z2+2z−6=0.
19. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
20. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
21. ਕਦਮ 1. ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ, ax2 + bx + c = 0 ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। a, b, ਅਤੇ c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
22. ਕਦਮ 2. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ a, b, ਅਤੇ c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
23. ਕਦਮ 3. ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
24. ਕਦਮ 4. ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਜੇ ਤੁਸੀਂ ਹਰ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਦੇਰੀ ਦੇ ਯਾਦ ਕਰ ਲਵੋਗੇ! ਅਤੇ ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। "x =" ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 9.22
ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: x2−6x=−5।x2−6x=−5।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 5 ਜੋੜ ਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਸਤਰ: ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁਣ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਸਤਰ: a, b, c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।a, b, c।
ਸਤਰ: ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
ਸਤਰ: ਫਿਰ a, b, c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।a, b, c।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਸਤਰ: ਦੋ ਹੱਲ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਸਤਰ: ਜਾਂਚ ਕਰੋ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.43
ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: a2−2a=15a2−2a=15।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.44
ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: b2+24=−10bb2+24=−10b।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕਦੇ-ਕਦੇ ਅਜਿਹੇ ਜਵਾਬ ਮਿਲਦੇ ਸਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਰੈਡੀਕਲ ਹੁੰਦੇ ਸਨ। ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਹੱਲ ਵਜੋਂ ਰੈਡੀਕਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੰਤਿਮ ਜਵਾਬ ਵਿੱਚ ਰੈਡੀਕਲ ਆਪਣੇ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 9.23
ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: 2x2+10x+11=0।2x2+10x+11=0।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਸਤਰ: a, b, ਅਤੇ c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਫਿਰ a, b, ਅਤੇ c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
2. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
3. ਕਤਾਰ: ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
4. ਕਤਾਰ: ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਕਾਰਕ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
5. ਕਤਾਰ: ਸਾਂਝੇ ਕਾਰਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਓ।
6. ਕਤਾਰ: ਦੋ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
7. ਕਤਾਰ: ਜਾਂਚ ਕਰੋ: ਅਸੀਂ ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਜਾਂਚ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ!
8. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.45
9. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: 3m2+12m+7=03m2+12m+7=0।
10. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.46
11. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: 5n2+4n−4=05n2+4n−4=0।
12. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ a, b, ਅਤੇ c ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਜਾਂ ਜਟਿਲ ਹੱਲ ਹੋਣਗੇ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਣ ਵਿੱਚ ਦੇਖਾਂਗੇ।
13. ਉਦਾਹਰਨ 9.24
14. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: 3p2+2p+9=0।3p2+2p+9=0।
15. ਹੱਲ
16. ਕਤਾਰ: ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
17. ਕਤਾਰ: a,b,c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।a,b,c।
18. ਕਤਾਰ: ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
19. ਕਤਾਰ: ਫਿਰ a,b,c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।a,b,c।
20. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
21. ਕਤਾਰ: ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
22. ਕਤਾਰ: ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
23. ਕਤਾਰ: ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਕਾਰਕ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
24. ਕਤਾਰ: ਸਾਂਝੇ ਕਾਰਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਓ।
1. ਕਤਾਰ: ਮਿਆਰੀ a+bia+bi ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
2. ਕਤਾਰ: ਦੋ ਹੱਲਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
3. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.47
4. ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: 4a2−2a+8=04a2−2a+8=0।
5. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.48
6. ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: 5b2+2b+4=05b2+2b+4=0।
7. ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤਣ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ, ax2 + bx + c = 0 ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ, ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆਉਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਕੁਝ ਅਲਜਬਰਾ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ।
8. ਉਦਾਹਰਨ 9.25
9. ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: x(x+6)+4=0.x(x+6)+4=0।
10. ਹੱਲ
11. ਸਾਡਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆਉਣਾ ਹੈ।
12. ਕਤਾਰ: ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆਉਣ ਲਈ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟ ਕਰੋ।
13. ਕਤਾਰ: ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁਣ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ
14. ਕਤਾਰ: a,b,c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।a,b,c।
15. ਕਤਾਰ: ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
16. ਕਤਾਰ: ਫਿਰ a,b,c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।a,b,c।
17. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
18. ਕਤਾਰ: ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
19. ਕਤਾਰ: ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰੋ।
20. ਕਤਾਰ: ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਓ।
21. ਕਤਾਰ: ਦੋ ਹੱਲਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
22. ਕਤਾਰ: ਜਾਂਚ ਕਰੋ: ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ!
23. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.49
24. ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: x(x+2)−5=0.x(x+2)−5=0।
9.50 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: 3y(y−2)−3=0.3y(y−2)−3=0.
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਸਮੀਕਰਨ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਭਿੰਨਾਂ ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਸੀ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ LCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾ ਦਿੰਦੇ ਸੀ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਬਰਾਬਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੰਦਾ ਸੀ—ਭਿੰਨਾਂ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ। ਅਸੀਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਵੀ ਇਹੀ ਰਣਨੀਤੀ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 9.26
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: 12u2+23u=13.12u2+23u=13.
ਹੱਲ
ਸਾਡਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਉਣਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਉਣ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ LCD, 6, ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆਉਣ ਲਈ 2 ਘਟਾਓ।
ਸਤਰ: a, b, ਅਤੇ c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਸਤਰ: ਫਿਰ a, b, ਅਤੇ c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
ਸਤਰ: ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਓ।
ਸਤਰ: ਦੋ ਹੱਲ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਸਤਰ: ਜਾਂਚ: ਅਸੀਂ ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਜਾਂਚ ਛੱਡਦੇ ਹਾਂ!
9.51 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: 14c2−13c=11214c2−13c=112.
9.52 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: 19d2−12d=−1319d2−12d=−13.
ਸੋਚੋ ਸਮੀਕਰਨ (x − 3)2 = 0 ਬਾਰੇ। ਅਸੀਂ ਜ਼ੀਰੋ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੁਆਰਾ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ, x = 3।
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਜਿਸਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਹੈ, ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਹੱਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਇਹ 0 ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਹੱਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 9.27
ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: 4x2−20x=−25.4x2−20x=−25.
ਹੱਲ
ਸਮਾਗਮ: ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ 25 ਜੋੜੋ।
ਸਮਾਗਮ: a, b, ਅਤੇ c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸਮਾਗਮ: ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
ਸਮਾਗਮ: ਫਿਰ a, b, ਅਤੇ c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਸਮਾਗਮ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਸਮਾਗਮ: ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਸਮਾਗਮ: ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਸਮਾਗਮ: ਜਾਂਚ: ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਛੱਡਦੇ ਹਾਂ!
ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਪਛਾਣਿਆ ਕਿ 4x2 − 20x + 25 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਹੈ। ਇਹ (2x − 5)2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ 4x2 − 20x + 25 = 0 ਨੂੰ ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਅਤੇ ਫਿਰ ਵਰਗ ਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਉਹੀ ਨਤੀਜਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ?
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 9.53
ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: r2+10r+25=0.r2+10r+25=0.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 9.54
ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: 25t2−40t=−16.25t2−40t=−16.
ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਕਿਸਮ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ, ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਅਸਲ ਹੱਲ, ਇੱਕ ਅਸਲ ਹੱਲ, ਅਤੇ ਕਈ ਵਾਰ ਦੋ ਕੰਪਲੈਕਸ ਹੱਲ ਮਿਲੇ। ਕੀ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਕਿਸਮ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਤਰੀਕਾ ਹੈ?
ਹਾਂ, ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੇ ਰੈਡੀਕਲ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਸਾਨੂੰ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਕਿਸਮ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ
ਆਓ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਕਿਸਮ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ।
ਸਮਾਗਮ: ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ (ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ) | ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ b2−4acb2−4ac | ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ ਦਾ ਮੁੱਲ | ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਕਿਸਮ
ਸਮਾਗਮ: 2x2+9x−5=02x2+9x−5=0 | 92−4·2(−5)12192−4·2(−5)121 | + | 2 ਅਸਲ
row: 4x2−20x+25=04x2−20x+25=0 | (−20)2−4·4·250(−20)2−4·4·250 | 0 | 1 real
row: 3p2+2p+9=03p2+2p+9=0 | 22−4·3·9−10422−4·3·9−104 | − | 2 complex
Using the Discriminant, b2 − 4ac, to Determine the Number and Type of Solutions of a Quadratic Equation
For a quadratic equation of the form ax2 + bx + c = 0, a≠0,a≠0,
If b2 − 4ac > 0, the equation has 2 real solutions.
if b2 − 4ac = 0, the equation has 1 real solution.
if b2 − 4ac < 0, the equation has 2 complex solutions.
Example 9.28
Determine the number of solutions to each quadratic equation.
ⓐ 3x2+7x−9=03x2+7x−9=0 ⓑ 5n2+n+4=05n2+n+4=0 ⓒ 9y2−6y+1=0.9y2−6y+1=0.
Solution
To determine the number of solutions of each quadratic equation, we will look at its discriminant.
ⓐ
row: 3x2+7x−9=03x2+7x−9=0
row: The equation is in standard form, identify a, b, and c. | a=3,b=7,c=−9a=3,b=7,c=−9
row: Write the discriminant. | b2−4acb2−4ac
row: Substitute in the values of a, b, and c. | (7)2−4·3·(−9)(7)2−4·3·(−9)
row: Simplify. | 49+10849+108
row: 157157
Since the discriminant is positive, there are 2 real solutions to the equation.
ⓑ
row: 5n2+n+4=05n2+n+4=0
row: The equation is in standard form, identify a, b, and c. | a=5,b=1,c=4a=5,b=1,c=4
row: Write the discriminant. | b2−4acb2−4ac
row: Substitute in the values of a, b, and c. | (1)2−4·5·4(1)2−4·5·4
row: Simplify. | 1−801−80
row: −79−79
Since the discriminant is negative, there are 2 complex solutions to the equation.
ⓒ
row: 9y2−6y+1=09y2−6y+1=0
row: The equation is in standard form, identify a, b, and c. | a=9,b=−6,c=1a=9,b=−6,c=1
row: Write the discriminant. | b2−4acb2−4ac
row: Substitute in the values of a, b, and c. | (−6)2−4·9·1(−6)2−4·9·1
row: Simplify. | 36−3636−36
row: 00
Since the discriminant is 0, there is 1 real solution to the equation.
Try It 9.55
Determine the numberand type of solutions to each quadratic equation.
ⓐ 8m2−3m+6=08m2−3m+6=0 ⓑ 5z2+6z−2=05z2+6z−2=0 ⓒ 9w2+24w+16=0.9w2+24w+16=0.
Try It 9.56
Determine the number and type of solutions to each quadratic equation.
ⓐ b2+7b−13=0b2+7b−13=0 ⓑ 5a2−6a+10=05a2−6a+10=0 ⓒ 4r2−20r+25=0.4r2−20r+25=0.
Identify the Most Appropriate Method to Use to Solve a Quadratic Equation
We summarize the four methods that we have used to solve quadratic equations below.
Methods for Solving Quadratic Equations
Factoring
Square Root Property
Completing the Square
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ
ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਹੈ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਚਾਰ ਤਰੀਕੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਿਹੜਾ ਤਰੀਕਾ ਵਰਤਣਾ ਹੈ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ? ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਅਕਸਰ ਸਭ ਤੋਂ ਤੇਜ਼ ਤਰੀਕਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ ax2=k ਜਾਂ a(x−h)2=k ਹੈ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ, ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਇਦ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਤੁਸੀਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਪਰ ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਬਾਰੇ ਕੀ? ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਲੋਕ ਇਸ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਪਾਉਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਵਰਤਣਾ ਪਸੰਦ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ। ਸਾਨੂੰ ਇਸਨੂੰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਸੀ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਤੁਸੀਂ ਅਲਜਬਰਾ ਦੇ ਹੋਰ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵੀ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋਗੇ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਢੁਕਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਪਹਿਲਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਅਜ਼ਮਾਓ। ਜੇਕਰ ਦੋ ਘਾਤੀ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਵਿਧੀ ਬਹੁਤ ਤੇਜ਼ ਹੈ।
ਕਦਮ 2. ਅੱਗੇ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਅਜ਼ਮਾਓ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ ax2=k ਜਾਂ a(x−h)2=k ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕਦਮ 3. ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਹੈ।
ਅਗਲਾ ਉਦਾਹਰਨ ਹਰੇਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 9.29
ਹਰੇਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਣ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਢੁਕਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ⓐ 5z2=17 ⓑ 4x2−12x+9=0 ⓒ 8u2+6u=11.
ਹੱਲ
ⓐ 5z2=17
ਕਿਉਂਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ax2=k ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਸਭ ਤੋਂ ਢੁਕਵੀਂ ਵਿਧੀ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ⓑ 4x2−12x+9=0
ਅਸੀਂ ਪਛਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਸਭ ਤੋਂ ਢੁਕਵੀਂ ਵਿਧੀ ਹੋਵੇਗੀ।
ⓒ
ਸਤਰ: 8u2+6u=11
ਸਤਰ: ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ। | 8u2+6u−11=0
ਜਦੋਂ ਕਿ ਸਾਡਾ ਪਹਿਲਾ ਵਿਚਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਅਜ਼ਮਾਉਣ ਦਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ ਅਤੇ ਤਰੁੱਟੀ ਵਿਧੀ ਲਈ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣਾ ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਢੁਕਵੀਂ ਵਿਧੀ ਵਜੋਂ ਚੁਣਨ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਜ਼ਮਾਓ 9.57
ਹਰੇਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਣ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਢੁਕਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ⓐ x2+6x+8=0 ⓑ (n−3)2=16 ⓒ 5p2−6p=9.
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 9.58
ਹਰੇਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਢੁਕਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ⓐ 8a2+3a−9=0 ⓑ 4b2+4b+1=0 ⓒ 5c2=125.
ਮੀਡੀਆ
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਜਟਿਲ ਹੱਲਾਂ ਨਾਲ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਵਿਵੇਚਕ
ਅਭਿਆਸ ਸੰਪੂਰਨਤਾ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
4 m 2 + m − 3 = 0
4 n 2 − 9 n + 5 = 0
2 p 2 − 7 p + 3 = 0
3 q 2 + 8 q − 3 = 0
p 2 + 7 p + 12 = 0
q 2 + 3 q − 18 = 0
r 2 − 8 r = 33
t 2 + 13 t = −40
3 u 2 + 7 u − 2 = 0
2 p 2 + 8 p + 5 = 0
2 a 2 − 6 a + 3 = 0
5 b 2 + 2 b − 4 = 0
x 2 + 8 x − 4 = 0
y^2 + 4y - 4 = 0
3y^2 + 5y - 2 = 0
6x^2 + 2x - 20 = 0
2x^2 + 3x + 3 = 0
2x^2 - x + 1 = 0
8x^2 - 6x + 2 = 0
8x^2 - 4x + 1 = 0
(v + 1)(v - 5) - 4 = 0
(x + 1)(x - 3) = 2
(y + 4)(y - 7) = 18
(x + 2)(x + 6) = 21
1/3 m^2 + 1/12 m = 1/4
1/3 n^2 + n = -1/2
3/4 b^2 + 1/2 b = 3/8
1/9 c^2 + 2/3 c = 3
16c^2 + 24c + 9 = 0
25d^2 - 60d + 36 = 0
25q^2 + 30q + 9 = 0
16y^2 + 8y + 1 = 0
ਕਿਸੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਅਸਲ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਪੂਰਵ-ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਿਵੇਚਕ (Discriminant) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਅਸਲ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ⓐ 4x^2−5x+16=0 ⓑ 36y^2+36y+9=0 ⓒ 6m^2+3m−5=0
ⓐ 9v^2−15v+25=0 ⓑ 100w^2+60w+9=0 ⓒ 5c^2+7c−10=0
ⓐ r^2+12r+36=0 ⓑ 8t^2−11t+5=0 ⓒ 3v^2−5v−1=0
1. ⓐ 25p2+10p+1=0 ⓑ 7q2−3q−6=0 ⓒ 7y2+2y+8=0
2. ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਢੁਕਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ
3. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਢੁਕਵੀਂ ਵਿਧੀ (ਗੁਣਨਖੰਡਨ, ਵਰਗ ਮੂਲ, ਜਾਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਹੱਲ ਨਾ ਕਰੋ।
4. ⓐ x2−5x−24=0 ⓑ (y+5)2=12 ⓒ 14m2+3m=11
5. ⓐ (8v+3)2=81 ⓑ w2−9w−22=0 ⓒ 4n2−10n=6
6. ⓐ 6a2+14a=20 ⓑ (x−14)2=516 ⓒ y2−2y=8
7. ⓐ 8b2+15b=4 ⓑ 59v2−23v=1 ⓒ (w+43)2=29
8. ਲਿਖਤੀ ਕਸਰਤਾਂ
9. ਸਮੀਕਰਨ x2+10x=120 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
10. ⓐ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ
11. ⓑ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
12. ⓒ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਪਸੰਦ ਹੈ? ਕਿਉਂ?
13. ਸਮੀਕਰਨ 12y2+23y=24 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
14. ⓐ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ
15. ⓑ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
16. ⓒ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਪਸੰਦ ਹੈ? ਕਿਉਂ?
17. ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
18. ⓐ ਕਸਰਤਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
19. ⓑ ਇਹ ਚੈਕਲਿਸਟ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੱਸਦੀ ਹੈ? ਸੁਧਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੇ ਕਦਮ ਚੁੱਕੋਗੇ?