ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪਛਾਣੋ
ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਲੱਭੋ
ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ
ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ
ਅਧਿਕਤਮ ਅਤੇ ਨਿਊਨਤਮ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 9.16
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
ਫਲਨ f(x)=x2f(x)=x2 ਦਾ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 3.54 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 9.17
ਹੱਲ ਕਰੋ: 2x2+3x−2=0.2x2+3x−2=0। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 6.45 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 9.18
ਜਦੋਂ a = 3 ਅਤੇ b = −6 ਹੋਵੇ ਤਾਂ −b2a−b2a ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.21 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪਛਾਣੋ
ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਫਲਨ f(x)=x2f(x)=x2 ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ ਵੇਖਿਆ ਸੀ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਫਲਨ ਕਿਹਾ ਸੀ। ਇਹ ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਵੇਖੇ ਗਏ ਪਹਿਲੇ ਗੈਰ-ਰੇਖੀ ਫਲਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਸੀ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ਜੇਕਰ a≠0.a≠0 ਹੋਵੇ, ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਵਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਫਲਨ ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ
ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ, ਜਿੱਥੇ a, b, ਅਤੇ c ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ a≠0.a≠0, ਇਸ ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਫਲਨ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ f(x)=x2f(x)=x2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਇਆ।
ਹਰ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਆਓ ਕੁਝ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਅਭਿਆਸ ਕਰੀਏ।
ਉਦਾਹਰਨ 9.42
f(x)=x2−1.f(x)=x2−1 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
We will graph the function by plotting points.
row: Choose integer values for x,substitute them into the equationand simplify to find f(x)f(x).Record the values of the ordered pairs in the chart.
row: Plot the points, and then connectthem with a smooth curve. Theresult will be the graph of thefunction f(x)=x2−1f(x)=x2−1.
Try It 9.83
Graph f(x)=−x2.f(x)=−x2..
Try It 9.84
Graph f(x)=x2+1.f(x)=x2+1.
All graphs of quadratic functions of the form f (x) = ax2 + bx + c are parabolas that open upward or downward. See Figure 9.2.
Notice that the only difference in the two functions is the negative sign before the quadratic term (x2 in the equation of the graph in Figure 9.2). When the quadratic term, is positive, the parabola opens upward, and when the quadratic term is negative, the parabola opens downward.
Parabola Orientation
For the graph of the quadratic function f (x) = ax2 + bx + c, if
Example 9.43
Determine whether each parabola opens upward or downward:
ⓐ f(x)=−3x2+2x−4f(x)=−3x2+2x−4 ⓑ f(x)=6x2+7x−9.f(x)=6x2+7x−9.
Solution
ⓐ
row: Find the value of “a”.
row: Since the “a” is negative, the parabola will open downward.
ⓑ
row: Find the value of “a”.
row: Since the “a” is positive, the parabola will open upward.
Try It 9.85
Determine whether the graph of each function is a parabola that opens upward or downward:
ⓐ f(x)=2x2+5x−2f(x)=2x2+5x−2 ⓑ f(x)=−3x2−4x+7.f(x)=−3x2−4x+7.
Try It 9.86
Determine whether the graph of each function is a parabola that opens upward or downward:
ⓐ f(x)=−2x2−2x−3f(x)=−2x2−2x−3 ⓑ f(x)=5x2−2x−1.f(x)=5x2−2x−1.
Find the Axis of Symmetry and Vertex of a Parabola
Look again at Figure 9.2. Do you see that we could fold each parabola in half and then one side would lie on top of the other? The ‘fold line’ is a line of symmetry. We call it the axis of symmetry of the parabola.
We show the same two graphs again with the axis of symmetry. See Figure 9.3.
The equation of the axis of symmetry can be derived by using the Quadratic Formula. We will omit the derivation here and proceed directly to using the result. The equation of the axis of symmetry of the graph of f (x) = ax2 + bx + c is x=−b2a.x=−b2a.
So to find the equation of symmetry of each of the parabolas we graphed above, we will substitute into the formula x=−b2a.x=−b2a.
Notice that these are the equations of the dashed blue lines on the graphs.
The point on the parabola that is the lowest (parabola opens up), or the highest (parabola opens down), lies on the axis of symmetry. This point is called the vertex of the parabola.
We can easily find the coordinates of the vertex, because we know it is on the axis of symmetry. This means itsx-coordinate is −b2a.−b2a. To find the y-coordinate of the vertex we substitute the value of the x-coordinate into the quadratic function.
Axis of Symmetry and Vertex of a Parabola
The graph of the function f (x) = ax2 + bx + c is a parabola where:
the axis of symmetry is the vertical line x=−b2a.x=−b2a.
the vertex is a point on the axis of symmetry, so its x-coordinate is −b2a.−b2a.
the y-coordinate of the vertex is found by substituting x=−b2ax=−b2a into the quadratic equation.
Example 9.44
For the graph of f(x)=3x2−6x+2f(x)=3x2−6x+2 find:
ⓐ the axis of symmetry ⓑ the vertex.
Solution
ⓐ
row: The axis of symmetry is the vertical linex=−b2ax=−b2a.
row: Substitute the values of a,ba,b into theequation.
row: Simplify.
పంਕਤੀ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਰੇਖਾ x=1x=1 ਹੈ।
ⓑ
పంਕਤੀ: ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ x=1x=1 ਹੋਵੇਗਾ। f(1)f(1) ਪਤਾ ਕਰੋ।
పంਕਤੀ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
పంਕਤੀ: ਨਤੀਜਾ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹੈ।
పంਕਤੀ: ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ (1,−1)(1,−1) ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 9.87
f(x)=2x2−8x+1f(x)=2x2−8x+1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲਈ ਪਤਾ ਕਰੋ:
ⓐ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਰੇਖਾ ⓑ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 9.88
f(x)=2x2−4x−3f(x)=2x2−4x−3 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲਈ ਪਤਾ ਕਰੋ:
ⓐ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਰੇਖਾ ⓑ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ।
ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਇਆ, ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਲਈ x- ਅਤੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਾਂ। ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਸਾਨੂੰ ਪਰਵਲਯਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਵੀ ਮਦਦ ਕਰੇਗਾ।
ਯਾਦ ਰੱਖੋ, y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ x ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ x = 0 ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਆਓ ਚਿੱਤਰ 9.4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਦੋ ਪਰਵਲਯਾਂ ਦੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੀਏ।
x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ f (x) ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ f (x) = 0 ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ x ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 0 = ax2 + bx + c ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ।
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਬਿਲਕੁਲ ਉਹੀ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਕੀਤਾ ਹੈ!
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੋ ਪਰਵਲਯਾਂ ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਸੀ। ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਉਸ ਪਰਵਲਯ ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਸਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ f (x) = x2 + 4x + 3 ਹੈ।
పంਕਤੀ: f(x)=0f(x)=0 ਮੰਨੋ।
పంਕਤੀ: ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
పంਕਤੀ: ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
పంਕਤੀ: ਹੱਲ ਕਰੋ।
పంਕਤੀ: x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (−1,0)(−1,0) ਅਤੇ (−3,0)(−3,0) ਹਨ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਉਸ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਾਂਗੇ ਜਿਸ ਦਾ ਫਲਨ f (x) = −x² + 4x + 3 ਹੈ।
f(x)=0
ਇਹ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
a=−1, b=4, c=3
ਸਰਲ ਕਰੋ।
x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (2+√7,0) ਅਤੇ (2−√7,0) ਹਨ।
ਅਸੀਂ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ, ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਕਰ ਸਕੀਏ,
ਕੀ ਇਹ ਨਤੀਜੇ ਸਾਡੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹਨ? ਚਿੱਤਰ 9.5 ਦੇਖੋ।
ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ
ਇੱਕ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ ਜਿਸ ਦਾ ਫਲਨ f(x)=ax²+bx+c ਹੈ:
ਉਦਾਹਰਨ 9.45
ਉਸ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਦਾ ਫਲਨ f(x)=x²−2x−8 ਹੈ।
ਹੱਲ
y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ, x=0 ਮੰਨੋ ਅਤੇ f(x) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਜਦੋਂ x=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ f(0)=−8 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਬਿੰਦੂ (0,−8) ਹੈ।
x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ, f(x)=0 ਮੰਨੋ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਜਦੋਂ f(x)=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ x=4 ਜਾਂ x=−2 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਬਿੰਦੂ (4,0) ਅਤੇ (−2,0) ਹਨ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 9.89
ਉਸ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਦਾ ਫਲਨ f(x)=x²+2x−8 ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 9.90
ਉਸ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਦਾ ਫਲਨ f(x)=x²−4x−12 ਹੈ।
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ax² + bx + c = 0 ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ x ਲਈ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਸਨ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ f (x) = ax² + bx + c ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਇਹਨਾਂ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਪਰਵਾਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉੱਥੇ ਵਾਪਰਦੇ ਹਨ ਜਿੱਥੇ f (x) = 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
1.
2. ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਹੱਲ, x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੇ x-ਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
3. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ 2, 1, ਜਾਂ 0 ਹੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਇਹਨਾਂ ਤਿੰਨ ਮਾਮਲਿਆਂ ਲਈ ਪਰਵਾਲਿਆਂ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
4. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ax2+bx+c=0 ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਵੇਚਕ (discriminant) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਵਿਵੇਚਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਇਹ ਦੱਸਣ ਲਈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਕਿੰਨੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਹਨ।
5. x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਤੁਸੀਂ ਵਿਵੇਚਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹ ਸਕਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਜੋ ਤੁਹਾਨੂੰ ਪਤਾ ਲੱਗ ਸਕੇ ਕਿ ਕਿੰਨੇ ਹੱਲ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਨੀ ਹੈ।
6. ਉਦਾਹਰਨ 9.46
7. f(x)=5x2+x+4 ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ।
8. ਹੱਲ
9. y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ, x=0 ਰੱਖੋ ਅਤੇ f(x) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
10. ਜਦੋਂ x=0, ਤਾਂ f(0)=4। y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਬਿੰਦੂ (0,4) ਹੈ।
11. x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ, f(x)=0 ਰੱਖੋ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
12. ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਵੇਚਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ, ਜੋ ਕਿ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵੀ ਹੈ।
13. b2−4ac = 12−4·5·4 = 1−80 = −79
14. ਕਿਉਂਕਿ ਵਿਵੇਚਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਅਸਲ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕੋਈ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹਨ।
15. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.91
16. f(x)=3x2+4x+4 ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਾਲੇ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ।
17. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.92
18. f(x)=x2−4x−5 ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਾਲੇ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ।
19. ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
20. ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਾਰੇ ਲੋੜੀਂਦੇ ਹਿੱਸੇ ਹਨ। ਸਾਨੂੰ ਬਸ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ।
21. ਉਦਾਹਰਨ 9.47
22. ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਕਿਵੇਂ ਬਣਾਇਆ ਜਾਵੇ
23. f (x) = x2 −6x + 8 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇਸਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਣਾਓ।
24. ਹੱਲ
9.93 ਅਜ਼ਮਾਓ
f (x) = x2 + 2x − 8 ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
9.94 ਅਜ਼ਮਾਓ
f (x) = x2 − 8x + 12 ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਲਈ।
ਕਦਮ 1. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਪਰਵਾਲਾ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ।
ਕਦਮ 2. ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਕਦਮ 3. ਸਿਖਰ ਲੱਭੋ।
ਕਦਮ 4. y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਪਾਰ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ।
ਕਦਮ 5. x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ। ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਵਾਧੂ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ।
ਕਦਮ 6. ਪਰਵਾਲਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਕੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭ ਸਕੇ। ਅਸੀਂ ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਵੀ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਕੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 9.48
f (x) = –x2 + 6x − 9 ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ a −1 ਹੈ, ਪਰਵਾਲਾ ਹੇਠਾਂ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, x=−b2a ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ x=3 ਹੈ। ਸਿਖਰ x=3 ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹੈ।
f(3) ਲੱਭੋ।
ਸਿਖਰ (3,0) ਹੈ।
y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। f(0) ਲੱਭੋ।
x=0 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਸਾਰਣੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਾਰਣੀ: y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,−9) ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: ਬਿੰਦੂ (0,−9) ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹੈ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਬਿੰਦੂ (6,−9) ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਦਾ ਸਮਰੂਪ ਬਿੰਦੂ (6,−9) ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ f(x)=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
f(x)=0 ਲੱਭੋ।
GCF ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਪਰਵਲੈ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 9.95
f (x) = −3x2 + 12x − 12 ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 9.96
f (x) = 4x2 + 24x + 36 ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
f (x) = −x2 + 6x − 9 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਲਈ, ਸਿਖਰ ਅਤੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਇੱਕੋ ਬਿੰਦੂ ਸਨ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਵਿਵੇਚਕ ਕਿਸੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ? ਸਮੀਕਰਨ 0 = −x2 + 6x − 9 ਦਾ ਵਿਵੇਚਕ 0 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਸਿਖਰ ਹੈ।
ਤੁਸੀਂ f (x) = x2 + 4x + 5 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਕਿੰਨੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਦੇਖਣ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰੋਗੇ?
ਉਦਾਹਰਨ 9.49
f (x) = x2 + 4x + 5 ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਰਣੀ: ਕਿਉਂਕਿ a 1 ਹੈ, ਪਰਵਲੈ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਲੱਭਣ ਲਈ, x=−b2a ਲੱਭੋ।
ਸਾਰਣੀ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x=−2 ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: ਸਿਖਰ ਰੇਖਾ x=−2 'ਤੇ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: ਜਦੋਂ x=−2 ਹੋਵੇ ਤਾਂ f(x) ਲੱਭੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ (−2,1)(−2,1) ਹੈ।
2. ਕਤਾਰ: y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x=0x=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
3. ਕਤਾਰ: f(0)f(0) ਪਤਾ ਕਰੋ।
4. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
5. ਕਤਾਰ: y-ਅੰਤਰਖੰਡ (0,5)(0,5) ਹੈ।
6. ਕਤਾਰ: ਬਿੰਦੂ (−4,5)(−4,5) ਸਮਰੂਪਤਾ ਰੇਖਾ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੋ ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹੈ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੋ ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ (0,5)(0,5) ਹੈ।
7. ਕਤਾਰ: y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਬਿੰਦੂ (−4,5)(−4,5) ਹੈ।
8. ਕਤਾਰ: x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ f(x)=0f(x)=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
9. ਕਤਾਰ: f(x)=0f(x)=0 ਪਤਾ ਕਰੋ।
10. ਕਤਾਰ: ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ (ਵਿਵੇਚਕ) ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
11. ਕਤਾਰ: ਕਿਉਂਕਿ ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਕੋਈ ਅਸਲ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਕੋਈ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹੈ।
12. ਕਤਾਰ: ਪਰਵਲਯ (parabola) ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। ਤੁਸੀਂ ਵਧੇਰੇ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਲਈ ਦੋ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣਨਾ ਚਾਹ ਸਕਦੇ ਹੋ।
13. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.97
14. ਇਸਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f (x) = x2 − 2x + 3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
15. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.98
16. ਇਸਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f (x) = −3x2 − 6x − 4 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
17. f (0) ਪਤਾ ਕਰਕੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਲੱਭਣਾ ਆਸਾਨ ਹੈ, ਹੈ ਨਾ? ਕਦੇ-ਕਦੇ ਸਾਨੂੰ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ (ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ) ਵਰਤਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ।
18. ਉਦਾਹਰਨ 9.50
19. ਇਸਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f (x) = 2x2 − 4x − 3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
20. ਹੱਲ
21. ਕਤਾਰ: ਕਿਉਂਕਿ a 2 ਹੈ, ਪਰਵਲਯ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ।
22. ਕਤਾਰ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, x=−b2ax=−b2a ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
23. ਕਤਾਰ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x=1.x=1 ਹੈ।
24. ਕਤਾਰ: ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ x=1x=1 ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹੈ।
1. f(1)f(1) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ਸਿਖਰ (1,−5) ਹੈ।
3. y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
4. f(0)f(0) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
5. ਸਰਲ ਕਰੋ।
6. y-ਅੰਤਰਖੰਡ (0,−3) ਹੈ।
7. ਬਿੰਦੂ (0,−3) ਸਮਰੂਪਤਾ ਰੇਖਾ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਹੈ। ਸਮਰੂਪ ਬਿੰਦੂ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਦਾ (2,−3) ਹੈ।
8. ਸਮਰੂਪਤਾ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਵਾਲਾ ਬਿੰਦੂ (2,−3) ਹੈ।
9. x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ y=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
10. f(x)=0f(x)=0 ਪਤਾ ਕਰੋ।
11. ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ।
12. a,b, ਅਤੇ c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
13. ਸਰਲ ਕਰੋ।
14. ਰੈਡੀਕਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
15. ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
16. GCF ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰੋ।
17. ਸਾਂਝੇ ਫੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਓ।
18. ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
19. ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
20. x-ਅੰਤਰਖੰਡਾਂ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮੁੱਲ (2.5,0) ਅਤੇ (−0.6,0) ਹਨ।
21. ਪਾਏ ਗਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਰਵਲੈ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
22. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.99
23. ਇਸਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f (x) = 5x2 + 10x + 3 ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
24. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.100
1. ਗ੍ਰਾਫ਼ f (x) = −3x² − 6x + 5 ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਰਸਾਓ।
2. ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਅਰਜ਼ੀਆਂ ਹੱਲ ਕਰੋ।
3. ਇਹ ਜਾਣਦਿਆਂ ਕਿ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਸਿਖਰ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਲਾ ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲਾ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਸਿਖਰ ਦਾ y-ਸੁਮੇਲ ਇੱਕ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 9.6 ਦੇਖੋ।
4. ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ।
5. ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਸਿਖਰ ਦਾ y-ਸੁਮੇਲ ਹੈ
6. ਜੇ ਪਰਵਾਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ।
7. ਜੇ ਪਰਵਾਲਾ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ।
8. ਉਦਾਹਰਨ 9.51
9. ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x²+2x−8 ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।f(x)=x²+2x−8।
10. ਹੱਲ
11. ਕਤਾਰ: ਕਿਉਂਕਿ a ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਪਰਵਾਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
12. ਕਤਾਰ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
13. ਕਤਾਰ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x=−1 ਹੈ।x=−1।
14. ਕਤਾਰ: ਸਿਖਰ x=−1 ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹੈ।x=−1।
15. ਕਤਾਰ: f(−1) ਪਤਾ ਕਰੋ।f(−1)।
16. ਕਤਾਰ: ਸਿਖਰ (−1,−9) ਹੈ।(−1,−9)।
17. ਕਤਾਰ: ਕਿਉਂਕਿ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸਿਖਰ ਦਾ y-ਸੁਮੇਲ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ y-ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੋਘਾਤੀ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ −9 ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x=−1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।x=−1।
18. ਕਤਾਰ: ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਿਖਾਓ।
19. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.101
20. ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x²−8x+12 ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।f(x)=x²−8x+12।
21. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.102
22. ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=−4x²+16x−11 ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।f(x)=−4x²+16x−11।
23. ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ
24. ਉਚਾਈ ਫੁੱਟ ਵਿੱਚ, h, ਨੂੰ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸੁੱਟੇ ਗਏ ਪਿੰਡ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੇਗ, v₀, t ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ।
This formula is a quadratic function, so its graph is a parabola. By solving for the coordinates of the vertex (t, h), we can find how long it will take the object to reach its maximum height. Then we can calculate the maximum height.
Example 9.52
The quadratic equation h(t) = −16t2 + 176t + 4 models the height of a volleyball hit straight upwards with velocity 176 feet per second from a height of 4 feet.
ⓐ How many seconds will it take the volleyball to reach its maximum height? ⓑ Find the maximum height of the volleyball.
Solution
row: h(t)=−16t2+176t+4h(t)=−16t2+176t+4
row: Since a is negative, the parabola opens downward.
row: The quadratic function has a maximum.
ⓐ
row: Find the equation of the axis of symmetry. | t=−b2a t=−1762(−16) t=5.5t=−b2a t=−1762(−16) t=5.5
row: The equation of the axis of symmetry is t=5.5.t=5.5.
row: The vertex is on the line t=5.5.t=5.5. | The maximum occurs when t=5.5t=5.5 seconds.
ⓑ
row: Find h(5.5).h(5.5).Use a calculator to simplify. | h(t)=−16t2+176t+4 h(t)=−16(5.5)2+176(5.5)+4 h(t)=488h(t)=−16t2+176t+4 h(t)=−16(5.5)2+176(5.5)+4 h(t)=488
row: The vertex is (5.5,488).(5.5,488).
Since the parabola has a maximum, the h-coordinate of the vertex is the maximum value of the quadratic function.
The maximum value of the quadratic is 488 feet and it occurs when t = 5.5 seconds.
After 5.5 seconds, the volleyball will reach its maximum height of 488 feet.
Try It 9.103
Solve, rounding answers to the nearest tenth.
The quadratic function h(t) = −16t2 + 128t + 32 is used to find the height of a stone thrown upward from a height of 32 feet at a rate of 128 ft/sec. How long will it take for the stone to reach its maximum height? What is the maximum height?
Try It 9.104
A path of a toy rocket thrown upward from the ground at a rate of 208 ft/sec is modeled by the quadratic function of h(t) = −16t2 + 208t. When will the rocket reach its maximum height? What will be the maximum height?
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with graphing quadratic functions using properties.
Quadratic Functions: Axis of Symmetry and Vertex
Finding x- and y-intercepts of a Quadratic Function
Graphing Quadratic Functions
Solve Maxiumum or Minimum Applications
Quadratic Applications: Minimum and Maximum
Practice Makes Perfect
Recognize the Graph of a Quadratic Function
In the following exercises, graph the functions by plotting points.
f ( x ) = x 2 + 3 f ( x ) = x 2 + 3
f ( x ) = x 2 − 3 f ( x ) = x 2 − 3
y = − x 2 + 1 y = − x 2 + 1
f ( x ) = − x 2 − 1 f ( x ) = − x 2 − 1
For each of the following exercises, determine if the parabola opens up or down.
ⓐ f(x)=−2x2−6x−7f(x)=−2x2−6x−7 ⓑ f(x)=6x2+2x+3f(x)=6x2+2x+3
ⓐ f(x)=4x2+x−4f(x)=4x2+x−4 ⓑ f(x)=−9x2−24x−16f(x)=−9x2−24x−16
ⓐ f(x)=−3x2+5x−1f(x)=−3x2+5x−1 ⓑ f(x)=2x2−4x+5f(x)=2x2−4x+5
ⓐ f(x)=x2+3x−4f(x)=x2+3x−4 ⓑ f(x)=−4x2−12x−9f(x)=−4x2−12x−9
Find the Axis of Symmetry and Vertex of a Parabola
In the following functions, find ⓐ the equation of the axis of symmetry and ⓑ the vertex of its graph.
f ( x ) = x 2 + 8 x − 1 f ( x ) = x 2 + 8 x − 1
f ( x ) = x 2 + 10 x + 25 f ( x ) = x 2 + 10 x + 25
f ( x ) = − x 2 + 2 x + 5 f ( x ) = − x 2 + 2 x + 5
f ( x ) = −2 x 2 − 8 x − 3 f ( x ) = −2 x 2 − 8 x − 3
ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭੋ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਉਸ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
f ( x ) = x 2 + 7 x + 6
f ( x ) = x 2 + 10 x − 11
f ( x ) = x 2 + 8 x + 12
f ( x ) = x 2 + 5 x + 6
f ( x ) = − x 2 + 8 x − 19
f ( x ) = −3 x 2 + x − 1
f ( x ) = x 2 + 6 x + 13
f ( x ) = x 2 + 8 x + 12
f ( x ) = 4 x 2 − 20 x + 25
f ( x ) = − x 2 − 14 x − 49
f ( x ) = − x 2 − 6 x − 9
f ( x ) = 4 x 2 + 4 x + 1
ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੁਆਡਰੇਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਸਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
f ( x ) = x 2 + 6 x + 5
f ( x ) = x 2 + 4 x − 12
f ( x ) = x 2 + 4 x + 3
f ( x ) = x 2 − 6 x + 8
f ( x ) = 9 x 2 + 12 x + 4
f ( x ) = − x 2 + 8 x − 16
f ( x ) = − x 2 + 2 x − 7
f ( x ) = 5 x 2 + 2
f ( x ) = 2 x 2 − 4 x + 1
f ( x ) = 3 x 2 − 6 x − 1
f ( x ) = 2 x 2 − 4 x + 2
f ( x ) = −4 x 2 − 6 x − 2
f ( x ) = − x 2 − 4 x + 2
f ( x ) = x 2 + 6 x + 8
f ( x ) = 5 x 2 − 10 x + 8
f ( x ) = −16 x 2 + 24 x − 9
f ( x ) = 3 x 2 + 18 x + 20
f ( x ) = −2 x 2 + 8 x − 10
ਉੱਚਤਮ ਅਤੇ ਨਿਊਨਤਮ ਅਰਜ਼ੀਆਂ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉੱਚਤਮ ਜਾਂ ਨਿਊਨਤਮ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
f ( x ) = 2 x 2 + x − 1
y = −4 x 2 + 12 x − 5
y = x 2 − 6 x + 15
y = − x 2 + 4 x − 5
y = −9 x 2 + 16
y = 4 x 2 − 49
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੱਲ ਕਰੋ। ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਤੀਰ ਨੂੰ 45 ਫੁੱਟ ਉੱਚੇ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਤੋਂ 168 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਦਾਗਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਤੀਰ ਨੂੰ ਆਪਣੀ ਉੱਚਤਮ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉੱਚਤਮ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ h(t) = −16t2 + 168t + 45 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਪੱਥਰ ਨੂੰ 20 ਫੁੱਟ ਉੱਚੇ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਤੋਂ 160 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸੁੱਟਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਪੱਥਰ ਨੂੰ ਆਪਣੀ ਉੱਚਤਮ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉੱਚਤਮ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ h(t) = −16t2 + 160t + 20 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 109 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੇਗ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸੁੱਟਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਆਪਣੀ ਉੱਚਤਮ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉੱਚਤਮ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ h(t) = −16t2 + 109t + 0 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 122 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੇਗ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸੁੱਟਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਆਪਣੀ ਉੱਚਤਮ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉੱਚਤਮ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ h(t) = −16t2 + 122t + 0 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਸਟੋਰ ਦਾ ਮਾਲਕ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਖਾਸ ਕੰਪਿਊਟਰ ਲਈ x ਡਾਲਰ ਚਾਰਜ ਕਰਕੇ, ਉਹ ਹਰ ਹਫ਼ਤੇ 40 − x ਕੰਪਿਊਟਰ ਵੇਚ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ R(x) = −x2 +40x ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਆਮਦਨ, R, ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੀ ਵਿਕਰੀ ਕੀਮਤ x ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਹ ਵਿਕਰੀ ਕੀਮਤ ਲੱਭੋ ਜੋ ਉਸਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਆਮਦਨ ਦੇਵੇਗੀ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਆਮਦਨ ਦੀ ਰਕਮ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਰਿਟੇਲਰ ਜੋ ਬੈਕਪੈਕ ਵੇਚਦਾ ਹੈ, ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ x ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਤੀ ਵੇਚ ਕੇ, ਉਹ ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ 100 − x ਬੈਕਪੈਕ ਵੇਚ ਸਕੇਗਾ। R(x) = −x² +100x ਦਾ ਵਰਗ-ਫੰਕਸ਼ਨ (quadratic function) R, ਜੋ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਬੈਕਪੈਕ ਦੀ ਵਿਕਰੀ ਕੀਮਤ x ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਹ ਵਿਕਰੀ ਕੀਮਤ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਉਸਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮਾਲੀਆ (revenue) ਦੇਵੇਗੀ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮਾਲੀਏ ਦੀ ਰਕਮ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਰਿਟੇਲਰ ਜੋ ਫੈਸ਼ਨ ਬੂਟ ਵੇਚਦਾ ਹੈ, ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ x ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਤੀ ਵੇਚ ਕੇ, ਉਹ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ 70 − x ਬੂਟ ਵੇਚ ਸਕੇਗਾ। R(x) = −x² +70x ਦੇ ਵਰਗ-ਫੰਕਸ਼ਨ (quadratic function) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਮਾਲੀਆ (revenue) ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ ਜਦੋਂ ਫੈਸ਼ਨ ਬੂਟਾਂ ਦੀ ਔਸਤ ਵਿਕਰੀ ਕੀਮਤ x ਹੋਵੇ। ਉਹ ਵਿਕਰੀ ਕੀਮਤ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਉਸਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮਾਲੀਆ (revenue) ਦੇਵੇਗੀ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮਾਲੀਏ ਦੀ ਰਕਮ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸੈੱਲ ਫ਼ੋਨ ਕੰਪਨੀ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਖਾਸ ਸੈੱਲ ਫ਼ੋਨ ਲਈ x ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਤੀ ਚਾਰਜ ਕਰਕੇ, ਉਹ ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ 8 − x ਸੈੱਲ ਫ਼ੋਨ ਵੇਚ ਸਕਦੀ ਹੈ। R(x) = −x² +8x ਦੇ ਵਰਗ-ਫੰਕਸ਼ਨ (quadratic function) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਮਾਲੀਆ (revenue) ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ ਜਦੋਂ ਸੈੱਲ ਫ਼ੋਨ ਦੀ ਵਿਕਰੀ ਕੀਮਤ x ਹੋਵੇ। ਉਹ ਵਿਕਰੀ ਕੀਮਤ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਉਸਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮਾਲੀਆ (revenue) ਦੇਵੇਗੀ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮਾਲੀਏ ਦੀ ਰਕਮ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਪਸ਼ੂ ਪਾਲਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਦਰਿਆ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੇ ਤਿੰਨ ਪਾਸੇ ਵਾੜੇ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਕੋਰਲ (corral) ਬਣਾਉਣ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉਸਨੂੰ 240 ਫੁੱਟ ਵਾੜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੋਰਲ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ (area) ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। A(x)=x(120−x) ਦਾ ਵਰਗ-ਸਮੀਕਰਨ (quadratic equation) ਦਰਿਆ ਦੇ ਨਾਲ ਕੋਰਲ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, x, ਲਈ ਕੋਰਲ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ, A, ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਦਰਿਆ ਦੇ ਨਾਲ ਕੋਰਲ ਦੀ ਉਹ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਖੇਤਰਫਲ (area) ਦੇਵੇਗੀ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਕੋਰਲ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਖੇਤਰਫਲ (area) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਇੱਕ ਪਸ਼ੂ-ਡਾਕਟਰ (veterinarian) ਜਿਸ ਕੁੱਤਿਆਂ ਦੀ ਉਹ ਦੇਖਭਾਲ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਲਈ ਆਪਣੀ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦਾ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਹਰੀ ਦੌੜਨ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ ਬਣਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉਸਨੂੰ 100 ਫੁੱਟ ਵਾੜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਖੇਤਰਫਲ (area) ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। A(x)=x(50−x) ਦਾ ਵਰਗ-ਫੰਕਸ਼ਨ (quadratic function) ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, x, ਜੋ ਕਿ ਕੁੱਤਿਆਂ ਦੇ ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘੇਰੇਗੀ, ਲਈ ਕੁੱਤਿਆਂ ਦੇ ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ, A, ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ (area) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਉਹ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਕੁੱਤਿਆਂ ਦੇ ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘੇਰੇਗੀ ਤਾਂ ਜੋ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਖੇਤਰਫਲ (area) ਮਿਲ ਸਕੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਕੁੱਤਿਆਂ ਦੇ ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਖੇਤਰਫਲ (area) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਜ਼ਮੀਨ ਮਾਲਕ ਆਪਣੇ ਗੈਰਾਜ ਦੇ ਪਿੱਛੇ, ਆਪਣੇ ਗੈਰਾਜ ਨੂੰ "ਕੰਧਾਂ" ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਜੋਂ ਵਰਤ ਕੇ, ਇੱਕ ਵਾੜਿਆ ਹੋਇਆ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਾਟੀਓ (patio) ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉਹ 80 ਫੁੱਟ ਵਾੜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਖੇਤਰਫਲ (area) ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ। A(x) = x(80 − 2x) ਦਾ ਵਰਗ-ਫੰਕਸ਼ਨ (quadratic function) ਪਾਟੀਓ (patio) ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ (area) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਹੈ। ਪਾਟੀਓ (patio) ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਖੇਤਰਫਲ (area) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਤਿੰਨ ਛੋਟੇ ਬੱਚਿਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਪਰਿਵਾਰ ਨੇ ਹੁਣੇ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਘਰ ਵਿੱਚ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਵਿਹੜਾ ਵਾੜਿਆ ਹੋਇਆ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਪਿਛਲੇ ਮਾਲਕ ਨੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਵਿਹੜੇ ਦੇ ਕੁਝ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਘੇਰਨ ਲਈ 300 ਫੁੱਟ ਵਾੜ ਦਿੱਤੀ। A(x)=x(150−x) ਦੇ ਵਰਗ-ਫੰਕਸ਼ਨ (quadratic function) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਾੜੇ ਵਾਲੇ ਵਿਹੜੇ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਖੇਤਰਫਲ (area) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਲਿਖਣ ਅਭਿਆਸ
f(x)=x² ਅਤੇ f(x)=x²−1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ (graphs) ਕਿਵੇਂ ਵੱਖਰੇ ਹਨ? ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਏ ਸਨ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀ ਅੰਤਰ ਹੈ? ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਿਵੇਂ ਸਮਾਨ ਹਨ?
ਪੈਰਾਬੋਲਾ (parabola) ਦੇ ਸਿਖਰ (vertex) ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਪੈਰਾਬੋਲਾ (parabola) ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟ (intercepts) ਕਿਵੇਂ ਲੱਭੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਤੁਸੀਂ ਵਰਗ-ਫੰਕਸ਼ਨ (quadratic function) ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ (graph) ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ (discriminant) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?
ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
ⓐ ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓑ ਚੈਕਲਿਸਟ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਅਗਲੇ ਭਾਗ ਲਈ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਤਿਆਰ ਹੋ? ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ?