1. ਮੂਲ ਸਿਧਾਂਤ
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸੰਰਚਨਾ: ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ f ਅਤੇ g ਦੀ ਸੰਰਚਨਾ, f∘g, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ (f∘g)(x) = f(g(x)) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ f(g(x)) ਨੂੰ f of g of x ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ।
1. ਜੇਕਰ ਹਰੇਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ, ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਫਲਨ ਹੈ।
1. ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟਾ ਜੋ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ: ਜੇਕਰ f(x) ਇੱਕ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ (x,y) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਉਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ f−1(x) ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਿਆਂ (y,x) ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ।
ਉਲਟ ਫਲਨ: ਇੱਕ-ਇੱਕ ਫਲਨ $f$ ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ (domain) ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ $x$ ਲਈ ਅਤੇ $f^{-1}$ ਲਈ, $f^{-1}(f(x))=x$ ਅਤੇ $f(f^{-1}(x))=x$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
1. ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭੀਏ: ਕਦਮ 1. f(x) ਲਈ y ਬਦਲੋ। ਕਦਮ 2. ਚੱਲਾਂ x ਅਤੇ y ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। ਕਦਮ 3. y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਕਦਮ 4. y ਲਈ f−1(x) ਬਦਲੋ। ਕਦਮ 5. ਤਸਦੀਕ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉਲਟ ਹਨ।
1. f(x)=ax:f(x)=ax: ਦੇ ਗੁਣ ਜਦੋਂ a>1a>1 ਜਦੋਂ 0<a<10<a<1 ਪ੍ਰਦੇਸ਼ (−∞,∞)(−∞,∞) ਪ੍ਰਦੇਸ਼ (−∞,∞)(−∞,∞) ਪਰਿਸੀਮਾ (0,∞)(0,∞) ਪਰਿਸੀਮਾ (0,∞)(0,∞) x-ਅੰਤਰ ਕੋਈ ਨਹੀਂ x-ਅੰਤਰ ਕੋਈ ਨਹੀਂ y-ਅੰਤਰ (0,1)(0,1) y-ਅੰਤਰ (0,1)(0,1) ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ (1,a),(−1,1a)(1,a),(−1,1a) ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ (1,a),(−1,1a)(1,a),(−1,1a) ਅਸੀਮਾ x-ਧੁਰਾ, y=0y=0 ਰੇਖਾ ਅਸੀਮਾ x-ਧੁਰਾ, y=0y=0 ਰੇਖਾ ਮੂਲ ਆਕਾਰ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਮੂਲ ਆਕਾਰ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ
1. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨ ਦਾ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ: ਜੇਕਰ a>0 ਅਤੇ a≠1 ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਜੇਕਰ ax=ay, ਤਾਂ x=y।
1. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ: ਜੇ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਆਧਾਰ ਲਿਖੋ। ਦੂਜਾ ਕਦਮ: ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। ਤੀਜਾ ਕਦਮ: ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਚੌਥਾ ਕਦਮ: ਹੱਲ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
1. ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਵਿਆਜ: ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਮੂਲ ਧਨ, P, P, ਵਿਆਜ ਦਰ, r, r, ਨਾਲ tt ਸਾਲਾਂ ਲਈ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਵਾਂ ਬਕਾਇਆ, A, A, A=P(1+rn)ntਹੋਵੇਗਾ ਜਦੋਂ ਸਾਲ ਵਿੱਚ nt ਵਾਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। A=Pertਜਦੋਂ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। A=P(1+rn)ntਹੋਵੇਗਾ ਜਦੋਂ ਸਾਲ ਵਿੱਚ nt ਵਾਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। A=Pertਜਦੋਂ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
1. ਘਾਤਕ ਵਾਧਾ ਅਤੇ ਘਾਟ: ਮੂਲ ਮਾਤਰਾ, A0, ਲਈ ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਦਰ, r, ਨਾਲ ਸਮੇਂ t, ਲਈ ਵਧਦੀ ਜਾਂ ਘਟਦੀ ਹੈ, ਅੰਤਿਮ ਮਾਤਰਾ, A, A = A0ert ਹੈ।
1. y=logax:y=logax ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਗੁਣ: ਜਦੋਂ a>1a>1 ਜਦੋਂ 0<a<10<a<1 ਪ੍ਰਦੇਸ਼ (0,∞)(0,∞) ਪ੍ਰਦੇਸ਼ (0,∞)(0,∞) ਪਰਿਸਰ (−∞,∞)(−∞,∞) ਪਰਿਸਰ (−∞,∞)(−∞,∞) x-ਅੰਤਰਖੰਡ (1,0)(1,0) x-ਅੰਤਰਖੰਡ (1,0)(1,0) y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਕੋਈ ਨਹੀਂ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਕੋਈ ਨਹੀਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ (a,1),(a,1),(1a,−1)(1a,−1) ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ (a,1),(a,1),(1a,−1)(1a,−1) ਅਸੀਮਟੋਟ y-ਧੁਰਾ ਅਸੀਮਟੋਟ y-ਧੁਰਾ ਮੂਲ ਆਕਾਰ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਮੂਲ ਆਕਾਰ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ
ਧੁਨੀ ਦਾ ਡੈਸੀਬਲ ਪੱਧਰ: ਕਿਸੇ ਧੁਨੀ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ, I, ਜੋ ਵਰਗ ਇੰਚ ਪ੍ਰਤੀ ਵਾਟ (watts per square inch) ਵਿੱਚ ਮਾਪੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਦੇ ਡੈਸੀਬਲ (decibels) ਵਿੱਚ ਮਾਪੇ ਗਏ ਲਾਊਡਨੈੱਸ ਪੱਧਰ, D, ਦਾ ਸੂਤਰ D=10log(I10−12) ਹੈ।
ਭੂਚਾਲ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ: ਭੂਚਾਲ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ RR ਨੂੰ R=logI,R=logI ਦੁਆਰਾ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ I ਇਸ ਦੀਆਂ ਝਟਕਾ ਤਰੰਗਾਂ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ ਹੈ।
1. ਲਘੂ-ਗਣਿਤ ਦੇ ਗੁਣ: ਲਘੂ-ਗਣਿਤ (a) 1 = 0 ਲਘੂ-ਗਣਿਤ (a) a = 1
1. ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਉਲਟੇ ਗੁਣ ਜੇ a>0, a≠1, x>0 ਹੋਵੇ, ਤਾਂ a^(log_a x) = x x^(log_a a) = x
ਲਘੂਰਤਨਕ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣਨਖੰਡ ਜੇਕਰ M>0, N>0, a>0 ਅਤੇ a≠1, ਤਾਂ, log_a(M·N) = log_a(M) + log_a(N) ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਲਘੂਰਤਨਕ, ਲਘੂਰਤਨਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਲਘੂਰਤਨ ਦਾ ਭਾਗ ਗੁਣਨਖੰਡ ਜੇ M>0, N>0, a>0 ਅਤੇ a≠1, ਤਾਂ, loga(M/N) = logaM - logaN ਭਾਗ ਦਾ ਲਘੂਰਤਨ, ਲਘੂਰਤਨਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਲਘੂਰਕ ਦਾ ਘਾਤ ਗੁਣ ਜੇਕਰ M>0, a>0, a≠1 ਅਤੇ p ਕੋਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ, logaMp=plogaM ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਘਾਤ ਦਾ ਲਘੂਰਕ, ਉਸ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਲਘੂਰਕ ਦਾ ਘਾਤ ਗੁਣਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
1. ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਜੇ M>0, a>0, a≠1 ਅਤੇ p ਕੋਈ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ, ਗੁਣ ਧਰਮ ਆਧਾਰ a ਆਧਾਰ e loga1=0 ln1=0 logaa=1 lne=1 ਵਿਪਰੀਤ ਗੁਣ ਧਰਮ alogax=x logaax=x elnx=x lnex=x ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਧਰਮ loga(M·N)=logaM+logaN ln(M·N)=lnM+lnN ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਗੁਣ ਧਰਮ loga(M/N)=logaM−logaN ln(M/N)=lnM−lnN ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਗੁਣ ਧਰਮ logaMp=plogaM lnMp=plnM
ਲੋਗਾਰਿਦਮ ਦੇ ਅਧਾਰ ਬਦਲਣ ਦਾ ਸੂਤਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਲੋਗਾਰਿਦਮ ਦੇ ਅਧਾਰ a ਅਤੇ b, ਅਤੇ M>0 ਲਈ, log_a M = log_b M / log_b a log_a M = log M / log a (ਜਦੋਂ ਨਵਾਂ ਅਧਾਰ 10 ਹੋਵੇ) log_a M = ln M / ln a (ਜਦੋਂ ਨਵਾਂ ਅਧਾਰ e ਹੋਵੇ)
ਲੋਗਾਰਿਦਮਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ: M>0, N>0, a>0, ਅਤੇ a≠1 ਕੋਈ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ: ਜੇਕਰ log_a M = log_a N, ਤਾਂ M = N. ਜੇਕਰ log_a M = log_a N, ਤਾਂ M = N.
1. ਚੱਕਰਵਰਤੀ ਵਿਆਜ: ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਮੂਲ ਧਨ, P, ਸਾਲਾਨਾ r ਦਰ 'ਤੇ, t ਸਾਲਾਂ ਲਈ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਨਵੀਂ ਬਕਾਇਆ, A, ਇਹ ਹੋਵੇਗੀ: A=P(1+rn)nt ਜਦੋਂ ਸਾਲ ਵਿੱਚ n ਵਾਰ ਚੱਕਰਵਰਤੀ ਵਿਆਜ ਲਾਇਆ ਜਾਵੇ। A=Pert ਜਦੋਂ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵਰਤੀ ਵਿਆਜ ਲਾਇਆ ਜਾਵੇ।
1. ਘਾਤਕ ਵਾਧਾ ਅਤੇ ਘਾਟ: ਇੱਕ ਮੂਲ ਮਾਤਰਾ, A0A0, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਦਰ, r, ਨਾਲ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮੇਂ t ਲਈ ਵਧਦੀ ਜਾਂ ਘਟਦੀ ਹੈ, ਅੰਤਿਮ ਮਾਤਰਾ, A, ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ, A=A0ert.A=A0ert.