Review Exercises
Finding Composite and Inverse Functions
Find and Evaluate Composite Functions
In the following exercises, for each pair of functions, find ⓐ (f ∘ g)(x), ⓑ (g ∘ f)(x), and ⓒ (f · g)(x).
f(x)=7x−2f(x)=7x−2 andg(x)=5x+1g(x)=5x+1
f(x)=4xf(x)=4x andg(x)=x2+3xg(x)=x2+3x
In the following exercises, evaluate the composition.
For functionsf(x)=3x2+2f(x)=3x2+2 andg(x)=4x−3,g(x)=4x−3, findⓐ (f∘g)(−3)(f∘g)(−3)ⓑ (g∘f)(−2)(g∘f)(−2)ⓒ (f∘f)(−1)(f∘f)(−1)
For functionsf(x)=2x3+5f(x)=2x3+5 andg(x)=3x2−7,g(x)=3x2−7, findⓐ (f∘g)(−1)(f∘g)(−1)ⓑ (g∘f)(−2)(g∘f)(−2)ⓒ (g∘g)(1)(g∘g)(1)
Determine Whether a Function is One-to-One
In the following exercises, for each set of ordered pairs, determine if it represents a function and if so, is the function one-to-one.
{ ( −3 , −5 ) , ( −2 , −4 ) , ( −1 , −3 ) , ( 0 , −2 ) , { ( −3 , −5 ) , ( −2 , −4 ) , ( −1 , −3 ) , ( 0 , −2 ) , ( −1 , −1 ) , ( −2 , 0 ) , ( −3 , 1 ) } ( −1 , −1 ) , ( −2 , 0 ) , ( −3 , 1 ) }
{ ( −3 , 0 ) , ( −2 , −2 ) , ( −1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , { ( −3 , 0 ) , ( −2 , −2 ) , ( −1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 3 , −1 ) } ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 3 , −1 ) }
{ ( −3 , 3 ) , ( −2 , 1 ) , ( −1 , −1 ) , ( 0 , −3 ) , { ( −3 , 3 ) , ( −2 , 1 ) , ( −1 , −1 ) , ( 0 , −3 ) , ( 1 , −5 ) , ( 2 , −4 ) , ( 3 , −2 ) } ( 1 , −5 ) , ( 2 , −4 ) , ( 3 , −2 ) }
In the following exercises, determine whether each graph is the graph of a function and if so, is it one-to-one.
ⓐ
ⓑ
ⓐ
ⓑ
Find the Inverse of a Function
In the following exercise, find the inverse of the function. Determine the domain and range of the inverse function.
{ ( −3 , 10 ) , ( −2 , 5 ) , ( −1 , 2 ) , ( 0 , 1 ) } { ( −3 , 10 ) , ( −2 , 5 ) , ( −1 , 2 ) , ( 0 , 1 ) }
In the following exercise, graph the inverse of the one-to-one function shown.
In the following exercises, verify that the functions are inverse functions.
f(x)=3x+7f(x)=3x+7 andg(x)=x−73g(x)=x−73
f(x)=2x+9f(x)=2x+9 andg(x)=x+92g(x)=x+92
In the following exercises, find the inverse of each function.
f ( x ) = 6 x − 11 f ( x ) = 6 x − 11
f ( x ) = x 3 + 13 f ( x ) = x 3 + 13
f ( x ) = 1 x + 5 f ( x ) = 1 x + 5
f ( x ) = x − 1 5 f ( x ) = x − 1 5
Evaluate and Graph Exponential Functions
Graph Exponential Functions
In the following exercises, graph each of the following functions.
f ( x ) = 4 x f ( x ) = 4 x
f ( x ) = ( 1 5 ) x f ( x ) = ( 1 5 ) x
g ( x ) = ( 0.75 ) x g ( x ) = ( 0.75 ) x
g ( x ) = 3 x + 2 g ( x ) = 3 x + 2
f ( x ) = ( 2.3 ) x − 3 f ( x ) = ( 2.3 ) x − 3
f ( x ) = e x + 5 f ( x ) = e x + 5
f ( x ) = − e x f ( x ) = − e x
Solve Exponential Equations
In the following exercises, solve each equation.
3 5 x − 6 = 81 3 5 x − 6 = 81
2 x 2 = 16 2 x 2 = 16
9 x = 27 9 x = 27
5 x 2 + 2 x = 1 5 5 x 2 + 2 x = 1 5
e 4 x · e 7 = e 19 e 4 x · e 7 = e 19
e x 2 e 15 = e 2 x e x 2 e 15 = e 2 x
Use Exponential Models in Applications
In the following exercises, solve.
Felix invested $12,000$12,000 in a savings account. If the interest rate is 4%4% how much will be in the account in 12 years by each method of compounding?
ⓐ compound quarterlyⓑ compound monthlyⓒ compound continuously.
Sayed deposits $20,000$20,000 in an investment account. What will be the value of his investment in 30 years if the investment is earning 7%7% per year and is compounded continuously?
A researcher at the Center for Disease Control and Prevention is studying the growth of a bacteria. She starts her experiment with 150 of the bacteria that grows at a rate of 15%15% per hour. She will check on the bacteria every 24 hours. How many bacteria will he find in 24 hours?
In the last five years the population of the United States has grown at a rate of 0.7%0.7% per year to about 318,900,000. If this rate continues, what will be the population in 5 more years?
Evaluate and Graph Logarithmic Functions
Convert Between Exponential and Logarithmic Form
In the following exercises, convert from exponential to logarithmic form.
5 4 = 625 5 4 = 625
10 −3 = 1 1,000 10 −3 = 1 1,000
63 1 5 = 63 5 63 1 5 = 63 5
e y = 16 e y = 16
In the following exercises, convert each logarithmic equation to exponential form.
7 = log 2 128 7 = log 2 128
5 = log 100,000 5 = log 100,000
4 = ln x 4 = ln x
Evaluate Logarithmic Functions
In the following exercises, solve for x.
log x 125 = 3 log x 125 = 3
log 7 x = −2 log 7 x = −2
log 1 2 1 16 = x log 1 2 1 16 = x
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਹਰੇਕ ਲਘੂਗਣਕ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕ 2 32 ਲਘੂਗਣਕ 2 32
ਲਘੂਗਣਕ 8 1 ਲਘੂਗਣਕ 8 1
ਲਘੂਗਣਕ 3 1/9 ਲਘੂਗਣਕ 3 1/9
ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
y = ਲਘੂਗਣਕ 5 x
y = ਲਘੂਗਣਕ 1/4 x
y = ਲਘੂਗਣਕ 0.8 x
ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕ a 36 = 5
ln x = -3
ਲਘੂਗਣਕ 2 (5x - 7) = 3
ln e^(3x) = 24
ਲਘੂਗਣਕ (x^2 - 21) = 2
ਅਰਜ਼ੀਆਂ ਵਿੱਚ ਲਘੂਗਣਕ ਮਾਡਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
10^-3 ਵਾਟ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਇੰਚ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ ਵਾਲੀ ਰੇਲ ਗੱਡੀ ਦੀ ਸੀਟੀ ਦਾ ਡੇਸੀਬਲ ਪੱਧਰ ਕਿੰਨਾ ਹੈ?
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਮੁੱਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓐ ਲਘੂਗਣਕ 7 1 ⓑ ਲਘੂਗਣਕ 12 12
ⓐ 5 ਲਘੂਗਣਕ 5 13 ⓑ ਲਘੂਗਣਕ 3 3 - 9
ⓐ 10 ਲਘੂਗਣਕ 5 ⓑ ਲਘੂਗਣਕ 10 -3
1. ⓐ ਏਲਨ8ਏਲਨ8 ⓑ ਲਾਈਨ5ਲਾਈਨ5
2. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। ਜੇ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਸਰਲ ਕਰੋ।
3. ਲਘੂਗਣਕ 4 ( 64 x y ) ਲਘੂਗਣਕ 4 ( 64 x y )
4. ਲਘੂਗਣਕ 10,000 m ਲਘੂਗਣਕ 10,000 m
5. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। ਜੇ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਸਰਲ ਕਰੋ।
6. ਲਘੂਗਣਕ 7 49 y ਲਘੂਗਣਕ 7 49 y
7. ਏਲਨ e 5 2 ਏਲਨ e 5 2
8. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਘਾਤ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਲਘੂਗਣਕ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ। ਜੇ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਸਰਲ ਕਰੋ।
9. ਲਘੂਗਣਕ x −9 ਲਘੂਗਣਕ x −9
10. ਲਘੂਗਣਕ 4 z 7 ਲਘੂਗਣਕ 4 z 7
11. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। ਜੇ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਸਰਲ ਕਰੋ।
12. ਲਘੂਗਣਕ 3 ( 4 x 7 y 8 ) ਲਘੂਗਣਕ 3 ( 4 x 7 y 8 )
13. ਲਘੂਗਣਕ 5 8 a 2 b 6 c d 3 ਲਘੂਗਣਕ 5 8 a 2 b 6 c d 3
14. ਏਲਨ 3 x 2 − y 2 z 4 ਏਲਨ 3 x 2 − y 2 z 4
15. ਲਘੂਗਣਕ 6 7 x 2 6 y 3 z 5 3 ਲਘੂਗਣਕ 6 7 x 2 6 y 3 z 5 3
16. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕਰੋ। ਜੇ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਸਰਲ ਕਰੋ।
17. ਲਘੂਗਣਕ 2 56 − ਲਘੂਗਣਕ 2 7 ਲਘੂਗਣਕ 2 56 − ਲਘੂਗਣਕ 2 7
18. 3 ਲਘੂਗਣਕ 3 x + 7 ਲਘੂਗਣਕ 3 y 3 ਲਘੂਗਣਕ 3 x + 7 ਲਘੂਗਣਕ 3 y
19. ਲਘੂਗਣਕ 5 ( x 2 − 16 ) − 2 ਲਘੂਗਣਕ 5 ( x + 4 ) ਲਘੂਗਣਕ 5 ( x 2 − 16 ) − 2 ਲਘੂਗਣਕ 5 ( x + 4 )
20. 1 4 ਲਘੂਗਣਕ y − 2 ਲਘੂਗਣਕ ( y − 3 ) 1 4 ਲਘੂਗਣਕ y − 2 ਲਘੂਗਣਕ ( y − 3 )
21. ਅਧਾਰ ਬਦਲਣ ਦਾ ਸੂਤਰ ਵਰਤੋ
22. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰਕੇ, ਹਰੇਕ ਲਘੂਗਣਕ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
23. ਲਘੂਗਣਕ 5 97 ਲਘੂਗਣਕ 5 97
24. ਲਘੂਗਣਕ 3 16 ਲਘੂਗਣਕ 3 16
Solve Exponential and Logarithmic Equations
Solve Logarithmic Equations Using the Properties of Logarithms
In the following exercises, solve for x.
3 log 5 x = log 5 216 3 log 5 x = log 5 216
log 2 x + log 2 ( x − 2 ) = 3 log 2 x + log 2 ( x − 2 ) = 3
log ( x − 1 ) − log ( 3 x + 5 ) = − log x log ( x − 1 ) − log ( 3 x + 5 ) = − log x
log 4 ( x − 2 ) + log 4 ( x + 5 ) = log 4 8 log 4 ( x − 2 ) + log 4 ( x + 5 ) = log 4 8
ln ( 3 x − 2 ) = ln ( x + 4 ) + ln 2 ln ( 3 x − 2 ) = ln ( x + 4 ) + ln 2
Solve Exponential Equations Using Logarithms
In the following exercises, solve each exponential equation. Find the exact answer and then approximate it to three decimal places.
2 x = 101 2 x = 101
e x = 23 e x = 23
( 1 3 ) x = 7 ( 1 3 ) x = 7
7 e x + 3 = 28 7 e x + 3 = 28
e x − 4 + 8 = 23 e x − 4 + 8 = 23
Use Exponential Models in Applications
Jerome invests $18,000$18,000 at age 17. He hopes the investments will be worth $30,000$30,000 when he turns 26. If the interest compounds continuously, approximately what rate of growth will he need to achieve his goal? Is that a reasonable expectation?
Elise invests $4500$4500 in an account that compounds interest monthly and earns 6%.6%. How long will it take for her money to double?
Researchers recorded that a certain bacteria population grew from 100 to 300 in 8 hours. At this rate of growth, how many bacteria will there be in 24 hours?
Mouse populations can double in 8 months (A=2A0).(A=2A0). How long will it take for a mouse population to triple?
The half-life of radioactive iodine is 60 days. How much of a 50 mg sample will be left in 40 days?