ਸੰਭਾਵਨਾ ਇੱਕ ਮਾਪ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਪ੍ਰਯੋਗ ਜਾਂ ਗਤੀਵਿਧੀ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਬਾਰੇ ਸਾਡੀ ਕਿੰਨੀ ਨਿਸ਼ਚਿਤਤਾ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਪ੍ਰਯੋਗ ਇੱਕ ਯੋਜਨਾਬੱਧ ਕਾਰਵਾਈ ਹੈ ਜੋ ਨਿਯੰਤਰਿਤ ਹਾਲਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਨਤੀਜਾ ਪੂਰਵ-ਨਿਰਧਾਰਤ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨੂੰ ਮੌਕਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕਾ ਦੋ ਵਾਰ ਉਛਾਲਣਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਨਤੀਜਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਯੋਗ ਦਾ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ। ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦੇ ਤਿੰਨ ਤਰੀਕੇ ਹਨ: ਸੰਭਵ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਨਾ, ਇੱਕ ਟ੍ਰੀ ਡਾਇਗ੍ਰਾਮ ਬਣਾਉਣਾ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਵੇਨ ਡਾਇਗ੍ਰਾਮ ਬਣਾਉਣਾ। ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵੱਡਾ ਅੱਖਰ S ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕਾ ਉਛਾਲਦੇ ਹੋ, S = {H, T} ਜਿੱਥੇ H = ਹੈੱਡਸ ਅਤੇ T = ਟੇਲਸ ਨਤੀਜੇ ਹਨ।
ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੁਮੇਲ ਹੈ। ਵੱਡੇ ਅੱਖਰ ਜਿਵੇਂ ਕਿ A ਅਤੇ B ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਪ੍ਰਯੋਗ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕਾ ਉਛਾਲਣਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਘਟਨਾ A ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ ਹੈੱਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਘਟਨਾ A ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ P(A) ਲਿਖੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਉਸ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਸਾਪੇਖਿਕ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਜ਼ੀਰੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋਵੇਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ (ਭਾਵ, ਜ਼ੀਰੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ)। P(A) = 0 ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਘਟਨਾ A ਕਦੇ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ। P(A) = 1 ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਘਟਨਾ A ਹਮੇਸ਼ਾ ਵਾਪਰਦੀ ਹੈ। P(A) = 0.5 ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਘਟਨਾ A ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਜਾਂ ਨਾ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕਾ ਵਾਰ-ਵਾਰ ਉਛਾਲਦੇ ਹੋ (20 ਤੋਂ 2,000 ਤੋਂ 20,000 ਵਾਰ) ਤਾਂ ਹੈੱਡ ਦੀ ਸਾਪੇਖਿਕ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ 0.5 (ਹੈੱਡ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ) ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ।
ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵੀ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦਾ ਹਰ ਨਤੀਜਾ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨਾਲ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ, ਛੇ-ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਪਾਸਾ ਸੁੱਟਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਹਰ ਪਾਸਾ (1, 2, 3, 4, 5, ਜਾਂ 6) ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਪਾਸੇ ਦੇ ਵਾਂਗ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕਾ ਉਛਾਲਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਹੈੱਡ (H) ਅਤੇ ਟੇਲ (T) ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਪ੍ਰੀਖਿਆ 'ਤੇ ਸੱਚ/ਝੂਠ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦਾ ਜਵਾਬ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਸਹੀ ਜਵਾਬ ਜਾਂ ਗਲਤ ਜਵਾਬ ਚੁਣਨ ਦੀ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਰੱਖਦੇ ਹੋ।
ਜਦੋਂ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਨਤੀਜੇ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵੀ ਹੋਣ ਤਾਂ ਘਟਨਾ A ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਘਟਨਾ A ਲਈ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਗਿਣੋ ਅਤੇ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਾਲ ਵੰਡੋ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਡਾਇਮ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਨਿਕਲ ਸੁੱਟਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ {HH, TH, HT, TT} ਹੈ ਜਿੱਥੇ T = ਟੇਲਸ ਅਤੇ H = ਹੈੱਡਸ। ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਨਤੀਜੇ ਹਨ। A = ਇੱਕ ਹੈੱਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ। ਦੋ ਨਤੀਜੇ ਹਨ ਜੋ ਇਸ ਸ਼ਰਤ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦੇ ਹਨ {HT, TH}, ਇਸ ਲਈ P(A) = 2/4 = 0.5।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇਸਦੇ ਪਾਸਿਆਂ 'ਤੇ ਸੰਖਿਆਵਾਂ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ਨਾਲ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਛੇ-ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਪਾਸਾ ਸੁੱਟਦੇ ਹੋ। ਘਟਨਾ E = ਪੰਜ ਤੋਂ ਘੱਟ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਰੋਲ ਕਰਨਾ। ਦੋ ਨਤੀਜੇ {5, 6} ਹਨ। P(E) = 2/6। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਪਾਸਾ ਕੁਝ ਹੀ ਵਾਰ ਸੁੱਟਦੇ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਹੈਰਾਨੀ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗੀ ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਡੇ ਦੇਖੇ ਗਏ ਨਤੀਜੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨਾਲ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦੇ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਪਾਸਾ ਬਹੁਤ ਵੱਡੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਸੁੱਟਦੇ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਕਿ, ਕੁੱਲ ਮਿਲਾ ਕੇ, 2/6 ਰੋਲ "ਪੰਜ ਤੋਂ ਘੱਟ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ" ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣਗੇ। ਤੁਸੀਂ ਬਿਲਕੁਲ 2/6 ਦੀ ਉਮੀਦ ਨਹੀਂ ਕਰੋਗੇ। ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਸਾਪੇਖਿਕ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਸਿਧਾਂਤਕ ਸੰਭਾਵਨਾ 2/6 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚੇਗੀ ਕਿਉਂਕਿ ਦੁਹਰਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵੱਡੀ ਹੁੰਦੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਯੋਗਾਂ ਦੀ ਇਹ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਵੱਡੇ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਵਜੋਂ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜੋ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੀਆਂ ਦੁਹਰਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਪ੍ਰਯੋਗ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਾਪੇਖਿਕ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਸਿਧਾਂਤਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਅਤੇ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਭਾਵੇਂ ਨਤੀਜੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਪੈਟਰਨ ਜਾਂ ਕ੍ਰਮ ਅਨੁਸਾਰ ਨਹੀਂ ਵਾਪਰਦੇ, ਕੁੱਲ ਮਿਲਾ ਕੇ, ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਦੇਖੀ ਗਈ ਸਾਪੇਖਿਕ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਸਿਧਾਂਤਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚੇਗੀ। (ਸ਼ਬਦ 'ਅਨੁਭਵੀ' ਅਕਸਰ 'ਦੇਖੇ ਗਏ' ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਥਾਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।)
ਇਹ ਮਹਿਸੂਸ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਨਤੀਜੇ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਇੱਕ ਸਿੱਕਾ ਜਾਂ ਪਾਸਾ ਨਿਰਪੱਖ, ਜਾਂ ਪੱਖਪਾਤੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਯੂਰਪ ਵਿੱਚ ਦੋ ਗਣਿਤ ਦੇ ਪ੍ਰੋਫੈਸਰਾਂ ਨੇ ਆਪਣੇ ਅੰਕੜਾ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੂੰ ਬੈਲਜੀਅਨ ਇੱਕ ਯੂਰੋ ਸਿੱਕੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਵਾਈ ਅਤੇ ਖੋਜ ਕੀਤੀ ਕਿ 250 ਟਰਾਇਲਾਂ ਵਿੱਚ, 56% ਸਮੇਂ ਹੈੱਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਇਆ ਅਤੇ 44% ਸਮੇਂ ਟੇਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਇਆ। ਅੰਕੜੇ ਇਹ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਸਿੱਕਾ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕਾ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਅਜਿਹੇ ਪੱਖਪਾਤ ਬਾਰੇ ਵਧੇਰੇ ਸਟੀਕ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਣ ਲਈ ਹੋਰ ਦੁਹਰਾਵਾਂ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋਣਗੀਆਂ। ਕੁਝ ਪਾਸੇ ਪੱਖਪਾਤੀ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਆਪਣੇ ਘਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਖੇਡ ਵਿੱਚ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖੋ; ਹਰ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਛੋਟੇ ਮੋਰੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਉੱਕਰੇ ਹੋਏ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਫਿਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਲਈ ਪੇਂਟ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਤੁਹਾਡੇ ਪਾਸੇ ਪੱਖਪਾਤੀ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ ਵੀ; ਇਹ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ ਨਤੀਜੇ ਪਾਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਮੋਰੀਆਂ ਦੀ ਵੱਖਰੀ ਗਿਣਤੀ ਕਾਰਨ ਹੋਏ ਥੋੜ੍ਹੇ ਭਾਰ ਦੇ ਅੰਤਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਜੂਆ ਕੈਸੀਨੋ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਰੋਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਬਹੁਤ ਪੈਸਾ ਕਮਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਕੈਸੀਨੋ ਪਾਸੇ ਪੱਖਪਾਤ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਬਣਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਕੈਸੀਨੋ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਪਾਸੇ ਸਮਤਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ; ਮੋਰੀਆਂ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪੇਂਟ ਨਾਲ ਭਰਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਘਣਤਾ ਉਸ ਸਮੱਗਰੀ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਤੋਂ ਪਾਸੇ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਹਰ ਪਾਸਾ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕੇ। ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਤਕਨੀਕਾਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਜੋ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵੀ ਨਹੀਂ ਹਨ।
"OR" Event:An outcome is in the event A OR B if the outcome is in A or is in B or is in both A and B.The event A OR B can also be written as A Union B, with notation as follows:A∪BA∪BFor example, let A = {1, 2, 3, 4, 5} and B = {4, 5, 6, 7, 8}.Then A∪BA∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Notice that 4 and 5 are NOT listed twice.
"AND" Event:An outcome is in the event A AND B if the outcome is in both A and B at the same time.The event A AND B can also be written as A Intersection B, with notation as follows:A∩BA∩BFor example, let A and B be {1, 2, 3, 4, 5} and {4, 5, 6, 7, 8}, respectively.Then A∩BA∩B= {4, 5}.
The complement of event A is denoted A′ (read "A prime"). A′ consists of all outcomes that are NOT in A. Notice that P(A) + P(A′) = 1. For example, let S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} and let A = {1, 2, 3, 4}. Then, A′ = {5, 6}. P(A) = 4646, P(A′) = 2626, and P(A) + P(A′) = 4 6 + 2 6 4 6 + 2 6 = 1
The conditional probability of A given B is written P(A|B). P(A|B) is the probability that event A will occur given that the event B has already occurred. A conditional reduces the sample space. We calculate the probability of A from the reduced sample space B. The formula to calculate P(A|B) is P(A|B) = P(A AND B) P(B) P(A AND B) P(B) where P(B) is greater than zero.
For example, suppose we toss one fair, six-sided die. The sample space S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Let A = face is 2 or 3 and B = face is even (2, 4, 6). To calculate P(A|B), we count the number of outcomes 2 or 3 in the sample space B = {2, 4, 6}. Then we divide that by the number of outcomes B (rather than S).
We get the same result by using the formula. Remember that S has six outcomes.
P(A|B) = P(AANDB) P(B) = (the number of outcomes that are 2 or 3 and even in S) 6 (the number of outcomes that are even in S) 6 = 1 6 3 6 = 1 3 P(AANDB) P(B) = (the number of outcomes that are 2 or 3 and even in S) 6 (the number of outcomes that are even in S) 6 = 1 6 3 6 = 1 3
Understanding Terminology and SymbolsIt is important to read each problem carefully to think about and understand what the events are. Understanding the wording is the first very important step in solving probability problems. Reread the problem several times if necessary. Clearly identify the event of interest. Determine whether there is a condition stated in the wording that would indicate that the probability is conditional; carefully identify the condition, if any.
Example 3.1
Problem
The sample space S is the whole numbers starting at one and less than 20.
S = _____________________________ Let event A = the even numbers and event B = numbers greater than 13.
A = _____________________, B = _____________________
P(A) = _____________, P(B) = ________________
A AND B = ____________________, A OR B = ________________
P(A AND B) = _________, P(A OR B) = _____________
A′ = _____________, P(A′) = _____________
P(A) + P(A′) = ____________
P(A|B) = ___________, P(B|A) = _____________; are the probabilities equal?
Solution
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}, B = {14, 15, 16, 17, 18, 19}
P(A) = 919 919, P(B) = 6 19 6 19
A AND B = {14,16,18}, A OR B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19}
P(A AND B) = 319 319, P(A OR B) = 12 19 12 19
A′ = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19; P(A′) = 1019 1019
P(A) + P(A′) = 1 (919 919 + 1019 1019 = 1)
P(A|B) = P(A AND B) P(B) P(A AND B) P(B) = 3 6 3 6, P(B|A) = P(A AND B) P(A) P(A AND B) P(A) = 3 9 3 9, No
Try It 3.1
The sample space S is all the ordered pairs of two whole numbers, the first from one to three and the second from one to four (Example: (1, 4)).
S = _____________________________ Let event A = the sum is even and event B = the first number is prime.
A = _____________________, B = _____________________
P(A) = _____________, P(B) = ________________
A AND B = ____________________, A OR B = ________________
P(A AND B) = _________, P(A OR B) = _____________
B′ = _____________, P(B′) = _____________
P(A) + P(A′) = ____________
P(A|B) = ___________, P(B|A) = _____________; are the probabilities equal?
Example 3.2
Problem
A fair, six-sided die is rolled. Describe the sample space S, identify each of the following events with a subset of S and compute its probability (an outcome is the number of dots that show up).
Event T = the outcome is two.
Event A = the outcome is an even number.
Event B = the outcome is less than four.
The complement of A.
A GIVEN B
B GIVEN A
A AND B
A OR B
A OR B′
Event N = the outcome is a prime number.
Event I = the outcome is seven.
Solution
T = {2}, P(T) = 1616
A = {2, 4, 6}, P(A) = 1212
B = {1, 2, 3}, P(B) = 1212
A′ = {1, 3, 5}, P(A′) = 1212
A|B = {2}, P(A|B) = 1313
B|A = {2}, P(B|A) = 1313
A AND B = {2}, P(A AND B) = 1616
A OR B = {1, 2, 3, 4, 6}, P(A OR B) = 5656
A OR B′ = {2, 4, 5, 6}, P(A OR B′) = 2323
N = {2, 3, 5}, P(N) = 1212
ਇੱਕ ਛੇ-ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਪਾਸੇ 'ਤੇ ਸੱਤ ਬਿੰਦੂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। P(7) = 0.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 3.2
1 ਤੋਂ 10 ਤੱਕ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ S ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ, ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ S ਦੇ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣੋ, ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ (ਇੱਕ ਨਤੀਜਾ ਚੁਣੀ ਗਈ ਸੰਖਿਆ ਹੈ)।
ਘਟਨਾ F = ਨਤੀਜਾ 5 ਹੈ।
ਘਟਨਾ A = ਸੰਖਿਆ 6 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ।
ਘਟਨਾ B = ਸੰਖਿਆ ਟਾਂਕ ਹੈ।
B ਦਾ ਪੂਰਕ।
A GIVEN B.
B GIVEN A.
A OR B.
A’ OR B.
ਘਟਨਾ P = ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਘਟਨਾ M = ਸੰਖਿਆ 3 ਦਾ ਗੁਣਜ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.3
ਸਾਰਣੀ 3.1 ਲਿੰਗ ਅਤੇ ਸੱਜੇ- ਜਾਂ ਖੱਬੇ-ਹੱਥ ਹੋਣ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਸੰਗਠਿਤ 100 ਵਿਅਕਤੀਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਮੂਨੇ S ਦੀ ਵੰਡ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਕਤਾਰ: ਸੱਜੇ-ਹੱਥ | ਖੱਬੇ-ਹੱਥ
ਕਤਾਰ: ਮਰਦ | 43 | 9
ਕਤਾਰ: ਔਰਤਾਂ | 44 | 4
ਸਮੱਸਿਆ
ਆਓ ਘਟਨਾਵਾਂ M = ਵਿਸ਼ਾ ਮਰਦ ਹੈ, F = ਵਿਸ਼ਾ ਔਰਤ ਹੈ, R = ਵਿਸ਼ਾ ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਹੈ, L = ਵਿਸ਼ਾ ਖੱਬੇ-ਹੱਥ ਹੈ। ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ:
P(M)
P(F)
P(R)
P(L)
P(M AND R)
P(F AND L)
P(M OR F)
P(M OR R)
P(F OR L)
P(M')
P(R|M)
P(F|L)
P(L|F)
ਹੱਲ
P(M) = 0.52
P(F) = 0.48
P(R) = 0.87
P(L) = 0.13
P(M AND R) = 0.43
P(F AND L) = 0.04
P(M OR F) = 1
P(M OR R) = 0.96
P(F OR L) = 0.57
P(M') = 0.48
P(R|M) = 0.8269 (ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ)
P(F|L) = 0.3077 (ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ)
P(L|F) = 0.0833
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 3.3
ਸਾਰਣੀ ਲਿੰਗ ਅਤੇ ਚਾਹ ਜਾਂ ਕੌਫੀ ਪਸੰਦ ਕਰਨ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਸੰਗਠਿਤ 100 ਵਿਅਕਤੀਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਮੂਨੇ S ਦੀ ਵੰਡ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਕਤਾਰ: ਚਾਹ | ਕੌਫੀ
ਕਤਾਰ: ਆਦਮੀ | 22 | 26
1. ਕਤਾਰ: ਔਰਤਾਂ | 16 | 36
2. ਆਓ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਈਏ: M = ਵਿਸ਼ਾ ਇੱਕ ਮਰਦ ਹੈ, W = ਵਿਸ਼ਾ ਇੱਕ ਔਰਤ ਹੈ, T = ਵਿਸ਼ਾ ਚਾਹ ਪਸੰਦ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ C = ਵਿਸ਼ਾ ਕੌਫੀ ਪਸੰਦ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ:
P(M)
P(W)
P(T)
P(C)
P(M AND T)
P(W and C)
P(M OR W)
P(M OR T)
P(W OR C)
P(M')
P(T|M)
P(W|C)
P(C|W)