ਸੁਤੰਤਰ ਅਤੇ ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੇ ਦਾ ਅਰਥ ਇੱਕੋ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਸੁਤੰਤਰ ਘਟਨਾਵਾਂ
ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੇਕਰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸੱਚ ਹੋਣ:
P(A|B) = P(A)
P(B|A) = P(B)
P(A AND B) = P(A)P(B)
ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ A ਅਤੇ B ਸੁਤੰਤਰ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦਾ ਗਿਆਨ ਦੂਜੀ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਪਾਸੇ ਦੇ ਦੋ ਰੋਲਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਸੁਤੰਤਰ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ। ਪਹਿਲੇ ਰੋਲ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦੂਜੇ ਰੋਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ। ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਉਪਰੋਕਤ ਸ਼ਰਤਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਜੇਕਰ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਹ ਨਿਰਭਰ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ।
ਨਮੂਨਾ ਲੈਣਾ ਬਦਲਾਵ ਨਾਲ ਜਾਂ ਬਦਲਾਵ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਬਦਲਾਵ ਨਾਲ: ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਹਰੇਕ ਮੈਂਬਰ ਨੂੰ ਚੁਣਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸ ਮੈਂਬਰ ਕੋਲ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਚੁਣੇ ਜਾਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਬਦਲਾਵ ਨਾਲ ਨਮੂਨਾ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲੀ ਚੋਣ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦੂਜੀ ਚੋਣ ਦੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਬਦਲੇਗਾ।
ਬਦਲਾਵ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ: ਜਦੋਂ ਬਦਲਾਵ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਨਮੂਨਾ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਹਰੇਕ ਮੈਂਬਰ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਵਾਰ ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਦੂਜੀ ਚੋਣ ਦੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਪਹਿਲੀ ਚੋਣ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਭਰ ਜਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਇਹ ਪਤਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ A ਅਤੇ B ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ ਜਾਂ ਨਿਰਭਰ, ਤਾਂ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਉਹ ਨਿਰਭਰ ਹਨ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਤੁਸੀਂ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਸਾਬਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.4
ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ 52 ਪੱਤਿਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ, ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼ਫਲ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਡੇਕ ਹੈ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਸੂਟ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਸੂਟ ਕਲੱਬ, ਡਾਇਮੰਡ, ਹਾਰਟਸ ਅਤੇ ਸਪੇਡਜ਼ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਸੂਟ ਵਿੱਚ 13 ਪੱਤੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਉਸ ਸੂਟ ਦਾ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (ਜੈਕ), Q (ਕਵੀਨ), K (ਕਿੰਗ) ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
a. ਬਦਲਾਵ ਨਾਲ ਨਮੂਨਾ ਲੈਣਾ: ਮੰਨ ਲਓ ਤੁਸੀਂ ਬਦਲਾਵ ਨਾਲ ਤਿੰਨ ਪੱਤੇ ਚੁਣਦੇ ਹੋ। 52 ਪੱਤਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਪਹਿਲਾ ਪੱਤਾ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਚੁਣਦੇ ਹੋ ਉਹ ਸਪੇਡਜ਼ ਦੀ Q ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਪੱਤੇ ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਰੱਖਦੇ ਹੋ, ਪੱਤਿਆਂ ਨੂੰ ਸ਼ਫਲ ਕਰਦੇ ਹੋ ਅਤੇ 52-ਪੱਤਿਆਂ ਦੇ ਡੇਕ ਵਿੱਚੋਂ ਦੂਜਾ ਪੱਤਾ ਚੁਣਦੇ ਹੋ। ਇਹ ਕਲੱਬ ਦਾ ਦਸ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਪੱਤੇ ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਰੱਖਦੇ ਹੋ, ਪੱਤਿਆਂ ਨੂੰ ਸ਼ਫਲ ਕਰਦੇ ਹੋ ਅਤੇ 52-ਪੱਤਿਆਂ ਦੇ ਡੇਕ ਵਿੱਚੋਂ ਤੀਜਾ ਪੱਤਾ ਚੁਣਦੇ ਹੋ। ਇਸ ਵਾਰ, ਪੱਤਾ ਦੁਬਾਰਾ ਸਪੇਡਜ਼ ਦੀ Q ਹੈ। ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਚੋਣਾਂ {ਸਪੇਡਜ਼ ਦੀ Q, ਕਲੱਬ ਦਾ ਦਸ, ਸਪੇਡਜ਼ ਦੀ Q} ਹਨ। ਤੁਸੀਂ ਸਪੇਡਜ਼ ਦੀ Q ਦੋ ਵਾਰ ਚੁਣੀ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ 52-ਪੱਤਿਆਂ ਦੇ ਡੇਕ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਪੱਤਾ ਚੁਣਦੇ ਹੋ।
b. ਬਦਲਾਵ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਨਮੂਨਾ ਲੈਣਾ: ਮੰਨ ਲਓ ਤੁਸੀਂ ਬਦਲਾਵ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਤਿੰਨ ਪੱਤੇ ਚੁਣਦੇ ਹੋ। 52 ਪੱਤਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਪਹਿਲਾ ਪੱਤਾ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਚੁਣਦੇ ਹੋ ਉਹ ਹਾਰਟਸ ਦਾ K ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਪੱਤੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਰੱਖਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਡੇਕ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ 51 ਪੱਤਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਦੂਜਾ ਪੱਤਾ ਚੁਣਦੇ ਹੋ। ਇਹ ਡਾਇਮੰਡ ਦਾ ਤਿੰਨ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਪੱਤੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਰੱਖਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਡੇਕ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ 50 ਪੱਤਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਤੀਜਾ ਪੱਤਾ ਚੁਣਦੇ ਹੋ। ਤੀਜਾ ਪੱਤਾ ਸਪੇਡਜ਼ ਦਾ J ਹੈ। ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਚੋਣਾਂ {ਹਾਰਟਸ ਦਾ K, ਡਾਇਮੰਡ ਦਾ ਤਿੰਨ, ਸਪੇਡਜ਼ ਦਾ J} ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਤੁਸੀਂ ਪੱਤੇ ਬਦਲਾਵ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਚੁਣੇ ਹਨ, ਤੁਸੀਂ ਇੱਕੋ ਪੱਤੇ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਨਹੀਂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 3.4
ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ 52 ਪੱਤਿਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ, ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼ਫਲ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਡੇਕ ਹੈ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਸੂਟ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਸੂਟ ਕਲੱਬ, ਡਾਇਮੰਡ, ਹਾਰਟਸ ਅਤੇ ਸਪੇਡਜ਼ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਸੂਟ ਵਿੱਚ 13 ਪੱਤੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (ਜੈਕ), Q (ਕਵੀਨ), K (ਕਿੰਗ) ਉਸ ਸੂਟ ਦੇ ਹਨ। ਤਿੰਨ ਪੱਤੇ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਮੰਨ ਲਓ ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਚੁਣੇ ਗਏ ਪੱਤੇ ਸਪੇਡਜ਼ ਦੀ Q, ਹਾਰਟਸ ਦਾ K ਅਤੇ ਸਪੇਡਜ਼ ਦੀ Q ਹਨ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਨਮੂਨਾ ਬਦਲਾਵ ਨਾਲ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸੀ ਜਾਂ ਬਦਲਾਵ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ?
ਮੰਨ ਲਓ ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਚੁਣੇ ਗਏ ਪੱਤੇ ਸਪੇਡਜ਼ ਦੀ Q, ਹਾਰਟਸ ਦਾ K, ਅਤੇ ਸਪੇਡਜ਼ ਦਾ J ਹਨ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਨਮੂਨਾ ਬਦਲਾਵ ਨਾਲ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸੀ ਜਾਂ ਬਦਲਾਵ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ?
ਉਦਾਹਰਨ 3.5
ਸਮੱਸਿਆ
ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ 52 ਪੱਤਿਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ, ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼ਫਲ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਡੇਕ ਹੈ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਸੂਟ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਸੂਟ ਕਲੱਬ, ਡਾਇਮੰਡ, ਹਾਰਟਸ, ਅਤੇ ਸਪੇਡਜ਼ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਸੂਟ ਵਿੱਚ 13 ਪੱਤੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (ਜੈਕ), Q (ਕਵੀਨ), ਅਤੇ K (ਕਿੰਗ) ਉਸ ਸੂਟ ਦੇ ਹਨ। S = ਸਪੇਡਜ਼, H = ਹਾਰਟਸ, D = ਡਾਇਮੰਡ, C = ਕਲੱਬ।
ਮੰਨ ਲਓ ਤੁਸੀਂ ਚਾਰ ਪੱਤੇ ਚੁਣਦੇ ਹੋ, ਪਰ ਕੋਈ ਵੀ ਪੱਤਾ ਡੇਕ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੇ। ਤੁਹਾਡੇ ਪੱਤੇ QS, 1D, 1C, QD ਹਨ।
ਮੰਨ ਲਓ ਤੁਸੀਂ ਚਾਰ ਪੱਤੇ ਚੁਣਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਅਗਲਾ ਪੱਤਾ ਚੁਣਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹਰੇਕ ਪੱਤੇ ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਰੱਖਦੇ ਹੋ। ਤੁਹਾਡੇ ਪੱਤੇ KH, 7D, 6D, KH ਹਨ।
ਕੀ a. ਜਾਂ b. ਵਿੱਚੋਂ ਤੁਸੀਂ ਬਦਲਾਵ ਨਾਲ ਨਮੂਨਾ ਲਿਆ ਅਤੇ ਕਿਹੜਾ ਬਦਲਾਵ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਨਮੂਨਾ ਲਿਆ?
ਹੱਲ
a. ਬਦਲਾਵ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ; b. ਬਦਲਾਵ ਨਾਲ
1. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 3.5
2. ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ 52 ਪੱਤਿਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਠੀਕ, ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਫੈਂਟਿਆ ਹੋਇਆ ਡੇਕ ਹੈ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਸੂਟ ਹਨ। ਸੂਟ ਕਲੱਬ, ਡਾਇਮੰਡ, ਹਾਰਟਸ ਅਤੇ ਸਪੇਡ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਸੂਟ ਵਿੱਚ 13 ਪੱਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਉਸ ਸੂਟ ਦੇ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (ਜੈਕ), Q (ਕੁਈਨ), ਅਤੇ K (ਕਿੰਗ) ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। S = ਸਪੇਡ, H = ਹਾਰਟਸ, D = ਡਾਇਮੰਡ, C = ਕਲੱਬ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਬਿਨਾਂ ਬਦਲ ਦੇ ਚਾਰ ਪੱਤੇ ਨਮੂਨਾ ਲੈਂਦੇ ਹੋ। ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੇ ਸੰਭਵ ਹਨ? ਬਦਲ ਨਾਲ ਨਮੂਨਾ ਲੈਣ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਸਵਾਲ ਪੁੱਛੋ।
QS, 1D, 1C, QD
KH, 7D, 6D, KH
QS, 7D, 6D, KS
3. ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ
4. A ਅਤੇ B ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ ਜੇਕਰ ਉਹ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਨਹੀਂ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀਆਂ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ A ਅਤੇ B ਕੋਈ ਵੀ ਨਤੀਜਾ ਸਾਂਝਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਅਤੇ P(A AND B) = 0।
5. ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, ਅਤੇ C = {7, 9}। A AND B = {4, 5}। P(A AND B) = 2/10 ਅਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, A ਅਤੇ B ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹਨ। A ਅਤੇ C ਕੋਈ ਵੀ ਅੰਕ ਸਾਂਝੇ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਇਸ ਲਈ P(A AND C) = 0। ਇਸ ਲਈ, A ਅਤੇ C ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ।
6. ਜੇਕਰ ਇਹ ਪਤਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ A ਅਤੇ B ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਉਹ ਨਹੀਂ ਹਨ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਤੁਸੀਂ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਸਾਬਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਇਹਨਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਅਤੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ।
7. ਉਦਾਹਰਨ 3.6
8. ਦੋ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕੇ ਉਛਾਲੋ। (ਇਹ ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਹੈ।)
9. ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ {HH, HT, TH, TT} ਹੈ ਜਿੱਥੇ T = ਟੇਲਜ਼ (ਪੂਛ) ਅਤੇ H = ਹੈੱਡਜ਼ (ਸਿਰ)। ਨਤੀਜੇ HH, HT, TH, ਅਤੇ TT ਹਨ। ਨਤੀਜੇ HT ਅਤੇ TH ਵੱਖਰੇ ਹਨ। HT ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਸਿੱਕੇ 'ਤੇ ਹੈੱਡ ਆਇਆ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਸਿੱਕੇ 'ਤੇ ਟੇਲ ਆਇਆ। TH ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਸਿੱਕੇ 'ਤੇ ਟੇਲ ਆਇਆ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਸਿੱਕੇ 'ਤੇ ਹੈੱਡ ਆਇਆ।
10. ਮੰਨ ਲਓ A = ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ ਟੇਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ। (ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ ਟੇਲ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਜ਼ੀਰੋ ਜਾਂ ਇੱਕ ਟੇਲ।) ਫਿਰ A ਨੂੰ {HH, HT, TH} ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜਾ HH ਜ਼ੀਰੋ ਟੇਲ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। HT ਅਤੇ TH ਹਰ ਇੱਕ ਇੱਕ ਟੇਲ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ।
11. ਮੰਨ ਲਓ B = ਸਾਰੇ ਟੇਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ। B ਨੂੰ {TT} ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। B, A ਦਾ ਪੂਰਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ B = A′। ਨਾਲ ਹੀ, P(A) + P(B) = P(A) + P(A′) = 1।
12. A ਅਤੇ B ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ P(A) = 3/4 ਅਤੇ P(B) = 1/4 ਹਨ।
13. ਮੰਨ ਲਓ C = ਸਾਰੇ ਹੈੱਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ। C = {HH}। ਕਿਉਂਕਿ B = {TT}, P(B AND C) = 0। B ਅਤੇ C ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ। (B ਅਤੇ C ਕੋਈ ਮੈਂਬਰ ਸਾਂਝੇ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਕਿਉਂਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਸਾਰੇ ਟੇਲ ਅਤੇ ਸਾਰੇ ਹੈੱਡ ਨਹੀਂ ਰੱਖ ਸਕਦੇ।)
14. ਮੰਨ ਲਓ D = ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਟੇਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ। D = {TT}। P(D) = 1/4
15. ਮੰਨ ਲਓ E = ਪਹਿਲੇ ਉਛਾਲ 'ਤੇ ਹੈੱਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ। (ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਦੂਜੇ ਉਛਾਲ 'ਤੇ ਹੈੱਡ ਜਾਂ ਟੇਲ ਆ ਸਕਦਾ ਹੈ।) E = {HT, HH}। P(E) = 2/4
16. ਦੋ ਉਛਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ (ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੋ) ਟੇਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ F = ਦੋ ਉਛਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਟੇਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ। F = {HT, TH, TT}। P(F) = 3/4
17. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 3.6
18. ਬਦਲ ਨਾਲ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ 52-ਪੱਤਿਆਂ ਵਾਲੇ ਡੇਕ ਤੋਂ ਦੋ ਪੱਤੇ ਕੱਢੋ। ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਕਾਲਾ ਪੱਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
19. ਉਦਾਹਰਨ 3.7
20. ਸਮੱਸਿਆ
21. ਦੋ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕੇ ਉਛਾਲੋ। ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
22. ਮੰਨ ਲਓ F = ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ ਟੇਲ (ਜ਼ੀਰੋ ਜਾਂ ਇੱਕ ਟੇਲ) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ।
23. ਮੰਨ ਲਓ G = ਦੋ ਚਿਹਰੇ ਜੋ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੋਣ ਦੀ ਘਟਨਾ।
24. ਮੰਨ ਲਓ H = ਪਹਿਲੇ ਉਛਾਲ 'ਤੇ ਹੈੱਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ ਜਿਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੂਜੇ ਉਛਾਲ 'ਤੇ ਹੈੱਡ ਜਾਂ ਟੇਲ ਆਵੇ।
ਕੀ F ਅਤੇ G ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬੇ-ਮੇਲ ਹਨ?
ਮੰਨ ਲਓ J = ਸਾਰੇ ਪੱਛਮ ਆਉਣ ਦੀ ਘਟਨਾ। ਕੀ J ਅਤੇ H ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬੇ-ਮੇਲ ਹਨ?
ਹੱਲ
ਉਦਾਹਰਨ 3.6 ਵਿੱਚ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ ਵੱਲ ਦੇਖੋ।
ਸਿਰਫ਼ ਜ਼ੀਰੋ (0) ਜਾਂ ਇੱਕ (1) ਪੱਛਮ ਆਉਂਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਨਤੀਜੇ HH, TH, HT ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। P(F) = 3/4
ਦੋ ਚਿਹਰੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ HH ਜਾਂ TT ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ। P(G) = 2/4
ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਸਿੱਕਾ ਉਛਾਲਣ 'ਤੇ ਹੈੱਡ ਆਉਣਾ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਵਾਰ ਸਿੱਕਾ ਉਛਾਲਣ 'ਤੇ ਹੈੱਡ ਜਾਂ ਟੇਲ ਆਉਣਾ HH ਜਾਂ HT ਨਤੀਜਿਆਂ ਵੇਲੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। P(H) = 2/4
F ਅਤੇ G ਵਿੱਚ HH ਸਾਂਝਾ ਹੈ ਇਸ ਲਈ P(F AND G) ਸਿਫ਼ਰ (0) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। F ਅਤੇ G ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬੇ-ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਸਾਰੇ ਪੱਛਮ ਆਉਣ ਦੀ ਘਟਨਾ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਦੋਵੇਂ ਸਿੱਕਿਆਂ 'ਤੇ ਪੱਛਮ ਆਉਂਦਾ ਹੈ (TT)। H ਦੇ ਨਤੀਜੇ HH ਅਤੇ HT ਹਨ।
J ਅਤੇ H ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਵੀ ਸਾਂਝਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਇਸ ਲਈ P(J AND H) = 0। J ਅਤੇ H ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬੇ-ਮੇਲ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 3.7
ਇੱਕ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਦੋ ਗੇਂਦਾਂ ਹਨ, ਇੱਕ ਚਿੱਟੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਲਾਲ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਇਸਨੂੰ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਗੇਂਦ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ (ਬਦਲ ਕੇ ਚੋਣ)। ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ:
ਮੰਨ ਲਓ F = ਦੋ ਵਾਰ ਚਿੱਟੀ ਗੇਂਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ।
ਮੰਨ ਲਓ G = ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰੰਗਾਂ ਦੀਆਂ ਗੇਂਦਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ।
ਮੰਨ ਲਓ H = ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਚਿੱਟੀ ਗੇਂਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ।
ਕੀ F ਅਤੇ G ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬੇ-ਮੇਲ ਹਨ?
ਕੀ G ਅਤੇ H ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬੇ-ਮੇਲ ਹਨ?
ਉਦਾਹਰਨ 3.8
ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ, ਛੇ-ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਪਾਸਾ ਰੋਲ ਕਰੋ। ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਘਟਨਾ A = ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਟਾਂਕ ਹੈ। ਫਿਰ A = {1, 3, 5}। ਮੰਨ ਲਓ ਘਟਨਾ B = ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਜਿਸਤ ਹੈ। ਫਿਰ B = {2, 4, 6}।
A ਦਾ ਪੂਰਕ, A′ ਪਤਾ ਕਰੋ। A ਦਾ ਪੂਰਕ, A′, B ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ A ਅਤੇ B ਮਿਲ ਕੇ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। P(A) + P(B) = P(A) + P(A′) = 1। ਨਾਲ ਹੀ, P(A) = 3/6 ਅਤੇ P(B) = 3/6।
ਮੰਨ ਲਓ ਘਟਨਾ C = ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਟਾਂਕ ਪਾਸੇ। ਫਿਰ C = {3, 5}। ਮੰਨ ਲਓ ਘਟਨਾ D = ਪੰਜ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਸਾਰੇ ਜਿਸਤ ਪਾਸੇ। ਫਿਰ D = {2, 4}। P(C AND D) = 0 ਕਿਉਂਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਟਾਂਕ ਅਤੇ ਜਿਸਤ ਪਾਸਾ ਨਹੀਂ ਰੱਖ ਸਕਦੇ। ਇਸ ਲਈ, C ਅਤੇ D ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬੇ-ਮੇਲ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ।
ਮੰਨ ਲਓ ਘਟਨਾ E = ਪੰਜ ਤੋਂ ਘੱਟ ਸਾਰੇ ਪਾਸੇ। E = {1, 2, 3, 4}।
ਸਮੱਸਿਆ
ਕੀ C ਅਤੇ E ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬੇ-ਮੇਲ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ? (ਜਵਾਬ ਹਾਂ ਜਾਂ ਨਹੀਂ)। ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ?
1. ਹੱਲ
2. ਨਹੀਂ। C = {3, 5} ਅਤੇ E = {1, 2, 3, 4}। P(C AND E) = 1/6। ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੇ ਹੋਣ ਲਈ, P(C AND E) ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
3. P(C|A) ਪਤਾ ਕਰੋ। ਇਹ ਇੱਕ ਸ਼ਰਤੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਘਟਨਾ C = {3, 5} ਹੈ ਅਤੇ ਘਟਨਾ A = {1, 3, 5} ਹੈ। P(C|A) ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ A ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ C ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਤੁਸੀਂ ਅਸਲ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ਤੋਂ {1, 3, 5} ਤੱਕ ਘਟਾ ਦਿੱਤਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, P(C|A) = 2/3।
4. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 3.8
5. ਮੰਨ ਲਓ ਘਟਨਾ A = ਸਪੈਨਿਸ਼ ਸਿੱਖਣਾ। ਮੰਨ ਲਓ ਘਟਨਾ B = ਜਰਮਨ ਸਿੱਖਣਾ। ਫਿਰ A AND B = ਸਪੈਨਿਸ਼ ਅਤੇ ਜਰਮਨ ਸਿੱਖਣਾ। ਮੰਨ ਲਓ P(A) = 0.4 ਅਤੇ P(B) = 0.2। P(A AND B) = 0.08। ਕੀ ਘਟਨਾਵਾਂ A ਅਤੇ B ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ? ਸੰਕੇਤ: ਤੁਹਾਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦਿਖਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ:
P(A|B) = P(A)
P(B|A) = P(B)
P(A AND B) = P(A)P(B)
6. ਉਦਾਹਰਨ 3.9
7. ਮੰਨ ਲਓ ਘਟਨਾ G = ਗਣਿਤ ਦੀ ਕਲਾਸ ਲੈਣਾ। ਮੰਨ ਲਓ ਘਟਨਾ H = ਵਿਗਿਆਨ ਦੀ ਕਲਾਸ ਲੈਣਾ। ਫਿਰ, G AND H = ਗਣਿਤ ਦੀ ਕਲਾਸ ਅਤੇ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀ ਕਲਾਸ ਲੈਣਾ। ਮੰਨ ਲਓ P(G) = 0.6, P(H) = 0.5, ਅਤੇ P(G AND H) = 0.3। ਕੀ G ਅਤੇ H ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ?
8. ਜੇਕਰ G ਅਤੇ H ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦਿਖਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ:
P(G|H) = P(G)
P(H|G) = P(H)
P(G AND H) = P(G)P(H)
NOTE
9. ਤੁਹਾਡੀ ਚੋਣ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਕਿਹੜੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇੱਥੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਰੀਕੇ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿਉਂਕਿ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਜ਼ਰੂਰੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਹੈ।
10. ਸਮੱਸਿਆ
a. Show that P(G|H) = P(G).
11. ਹੱਲ
P(G|H) = P(G AND H) P(H) P(G AND H) P(H) = 0.3 0.5 0.3 0.5 = 0.6 = P(G)
12. ਸਮੱਸਿਆ
b. Show P(G AND H) = P(G)P(H).
13. ਹੱਲ
P(G)P(H) = (0.6)(0.5) = 0.3 = P(G AND H)
14. ਕਿਉਂਕਿ G ਅਤੇ H ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ, ਇਹ ਜਾਣਨਾ ਕਿ ਕੋਈ ਵਿਅਕਤੀ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀ ਕਲਾਸ ਲੈ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਗਣਿਤ ਦੀ ਕਲਾਸ ਲੈਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ। ਜੇਕਰ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ (ਭਾਵ, ਉਹ ਨਿਰਭਰ ਹੁੰਦੀਆਂ) ਤਾਂ ਇਹ ਜਾਣਨਾ ਕਿ ਕੋਈ ਵਿਅਕਤੀ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀ ਕਲਾਸ ਲੈ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਗਣਿਤ ਲੈਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿੰਦਾ। ਅਭਿਆਸ ਲਈ, ਇਹ ਦਿਖਾਓ ਕਿ P(H|G) = P(H) ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕਿ G ਅਤੇ H ਸੁਤੰਤਰ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ।
15. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 3.9
16. ਇੱਕ ਬੈਗ ਵਿੱਚ, ਛੇ ਲਾਲ ਗੋਲੀਆਂ ਅਤੇ ਚਾਰ ਹਰੀਆਂ ਗੋਲੀਆਂ ਹਨ। ਲਾਲ ਗੋਲੀਆਂ 'ਤੇ 1, 2, 3, 4, 5, ਅਤੇ 6 ਨੰਬਰ ਲਿਖੇ ਹੋਏ ਹਨ। ਹਰੀਆਂ ਗੋਲੀਆਂ 'ਤੇ 1, 2, 3, ਅਤੇ 4 ਨੰਬਰ ਲਿਖੇ ਹੋਏ ਹਨ।
17. R = ਇੱਕ ਲਾਲ ਗੋਲੀ
18. G = ਇੱਕ ਹਰੀ ਗੋਲੀ
19. O = ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਨੰਬਰ ਵਾਲੀ ਗੋਲੀ
20. ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ S = {R1, R2, R3, R4, R5, R6, G1, G2, G3, G4} ਹੈ।
21. S ਵਿੱਚ ਦਸ ਨਤੀਜੇ ਹਨ। P(G AND O) ਕੀ ਹੈ?
22. ਉਦਾਹਰਨ 3.10
23. ਸਮੱਸਿਆ
24. ਮੰਨ ਲਓ ਘਟਨਾ C = ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਦੀ ਕਲਾਸ ਲੈਣਾ। ਮੰਨ ਲਓ ਘਟਨਾ D = ਭਾਸ਼ਣ ਦੀ ਕਲਾਸ ਲੈਣਾ।
Suppose P(C) = 0.75, P(D) = 0.3, P(C|D) = 0.75 and P(C AND D) = 0.225.
1. ਤੁਹਾਡੇ ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਾਬਤ ਕਰੋ।
2. ਕੀ C ਅਤੇ D ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ?
3. ਕੀ C ਅਤੇ D ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੇ ਹਨ?
What is P(D|C)?
4. ਹੱਲ
Yes, because P(C|D) = P(C).
5. ਨਹੀਂ, ਕਿਉਂਕਿ P(C AND D) ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
P(D|C) = P(C AND D) P(C) P(C AND D) P(C) = 0.225 0.75 0.225 0.75 = 0.3
6. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 3.10
7. ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਲਾਇਬ੍ਰੇਰੀ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਘਟਨਾਵਾਂ B = ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਇੱਕ ਕਿਤਾਬ ਚੁਣਦਾ ਹੈ ਅਤੇ D = ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਇੱਕ DVD ਚੁਣਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ P(B) = 0.40, P(D) = 0.30 ਅਤੇ P(B AND D) = 0.20।
Find P(B|D).
Find P(D|B).
8. ਕੀ B ਅਤੇ D ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ?
9. ਕੀ B ਅਤੇ D ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੇ ਹਨ?
10. ਉਦਾਹਰਨ 3.11
11. ਇੱਕ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਲਾਲ ਕਾਰਡ ਅਤੇ ਪੰਜ ਨੀਲੇ ਕਾਰਡ ਹਨ। ਲਾਲ ਕਾਰਡਾਂ 'ਤੇ 1, 2, ਅਤੇ 3 ਨੰਬਰ ਲਿਖੇ ਹੋਏ ਹਨ, ਅਤੇ ਨੀਲੇ ਕਾਰਡਾਂ 'ਤੇ 1, 2, 3, 4, ਅਤੇ 5 ਨੰਬਰ ਲਿਖੇ ਹੋਏ ਹਨ। ਕਾਰਡਾਂ ਨੂੰ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮਿਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਹੱਥ ਪਾਉਂਦੇ ਹੋ (ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਨਹੀਂ ਸਕਦੇ) ਅਤੇ ਇੱਕ ਕਾਰਡ ਕੱਢਦੇ ਹੋ।
12. ਮੰਨ ਲਓ R = ਲਾਲ ਕਾਰਡ ਕੱਢਿਆ ਗਿਆ, B = ਨੀਲਾ ਕਾਰਡ ਕੱਢਿਆ ਗਿਆ, E = ਸਮ-ਅੰਕ ਵਾਲਾ ਕਾਰਡ ਕੱਢਿਆ ਗਿਆ।
13. ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5। S ਵਿੱਚ ਅੱਠ ਨਤੀਜੇ ਹਨ।
14. P(R) = 3/8। P(B) = 5/8। P(R AND B) = 0। (ਤੁਸੀਂ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਲਾਲ ਅਤੇ ਨੀਲਾ ਦੋਵੇਂ ਕਾਰਡ ਨਹੀਂ ਕੱਢ ਸਕਦੇ।)
15. P(E) = 3/8। (ਤਿੰਨ ਸਮ-ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਕਾਰਡ ਹਨ, R2, B2, ਅਤੇ B4।)
16. P(E|B) = 2/5। (ਪੰਜ ਨੀਲੇ ਕਾਰਡ ਹਨ: B1, B2, B3, B4, ਅਤੇ B5। ਨੀਲੇ ਕਾਰਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, ਦੋ ਸਮ-ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਹਨ; B2 ਅਤੇ B4।)
17. P(B|E) = 2/3। (ਤਿੰਨ ਸਮ-ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਕਾਰਡ ਹਨ: R2, B2, ਅਤੇ B4। ਸਮ-ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਕਾਰਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, ਦੋ ਨੀਲੇ ਹਨ; B2 ਅਤੇ B4।)
18. ਘਟਨਾਵਾਂ R ਅਤੇ B ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ P(R AND B) = 0।
19. ਮੰਨ ਲਓ G = 3 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਨੰਬਰ ਵਾਲਾ ਕਾਰਡ। G = {B4, B5}। P(G) = 2/8। ਮੰਨ ਲਓ H = ਇੱਕ ਅਤੇ ਚਾਰ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ, ਸਮੇਤ, ਨੰਬਰ ਵਾਲਾ ਨੀਲਾ ਕਾਰਡ। H = {B1, B2, B3, B4}। P(G|H) = 1/4। (H ਵਿੱਚ ਇਕਲੌਤਾ ਕਾਰਡ ਜਿਸਦਾ ਨੰਬਰ ਤਿੰਨ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਉਹ B4 ਹੈ।) ਕਿਉਂਕਿ 2/8 = 1/4, P(G) = P(G|H), ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ G ਅਤੇ H ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ।
20. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 3.11
21. ਇੱਕ ਬਾਸਕਟਬਾਲ ਅਰੇਨਾ ਵਿੱਚ,
22. 70% ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਕ ਘਰੇਲੂ ਟੀਮ ਲਈ ਉਤਸ਼ਾਹਤ ਕਰ ਰਹੇ ਹਨ।
23. 25% ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਕ ਨੀਲਾ ਪਹਿਨੇ ਹੋਏ ਹਨ।
24. 20% ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਕ ਨੀਲਾ ਪਹਿਨੇ ਹੋਏ ਹਨ ਅਤੇ ਵਿਦੇਸ਼ੀ ਟੀਮ ਲਈ ਉਤਸ਼ਾਹਤ ਕਰ ਰਹੇ ਹਨ।
ਦੂਜੀ ਟੀਮ ਦੇ ਸਮਰਥਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, 67% ਨੀਲੇ ਰੰਗ ਦੇ ਕੱਪੜੇ ਪਾਏ ਹੋਏ ਹਨ।
ਮੰਨ ਲਓ A ਉਹ ਘਟਨਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਕ ਦੂਜੀ ਟੀਮ ਦਾ ਸਮਰਥਨ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ B ਉਹ ਘਟਨਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਕ ਨੀਲੇ ਰੰਗ ਦੇ ਕੱਪੜੇ ਪਾਏ ਹੋਏ ਹੈ। ਕੀ ਦੂਜੀ ਟੀਮ ਦਾ ਸਮਰਥਨ ਕਰਨ ਅਤੇ ਨੀਲੇ ਰੰਗ ਦੇ ਕੱਪੜੇ ਪਾਉਣ ਦੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ? ਕੀ ਉਹ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ?
ਉਦਾਹਰਨ 3.12
ਸਮੱਸਿਆ
ਇੱਕ ਖਾਸ ਕਾਲਜ ਕਲਾਸ ਵਿੱਚ, 60% ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਔਰਤਾਂ ਹਨ। ਕਲਾਸ ਦੇ ਸਾਰੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਪੰਜਾਹ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦੇ ਲੰਮੇ ਵਾਲ ਹਨ। 45% ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਔਰਤਾਂ ਹਨ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਲੰਮੇ ਵਾਲ ਹਨ। ਔਰਤ ਵਿਦਿਆਰਥਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, 75% ਦੇ ਲੰਮੇ ਵਾਲ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ W ਉਹ ਘਟਨਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਔਰਤ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ L ਉਹ ਘਟਨਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੇ ਲੰਮੇ ਵਾਲ ਹਨ। ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੀ ਔਰਤ ਹੋਣ ਅਤੇ ਲੰਮੇ ਵਾਲ ਹੋਣ ਦੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ?
ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ:
P(W) = 0.60; P(L) = 0.50
P(W AND L) = 0.45
P(L|W) = 0.75
NOTE
ਤੁਹਾਡੀ ਚੋਣ ਉਸ ਜਾਣਕਾਰੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਸੂਚੀ 'ਤੇ ਪਹਿਲੀ ਜਾਂ ਆਖਰੀ ਸ਼ਰਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਅਜੇ P(W|L) ਨਹੀਂ ਪਤਾ, ਇਸ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਦੂਜੀ ਸ਼ਰਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ।
ਹੱਲ
> ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ P(W AND L) = P(W)P(L)। ਸਾਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ P(W AND L) = 0.45, ਪਰ P(W)P(L) = (0.60)(0.50) = 0.30। ਔਰਤ ਹੋਣ ਅਤੇ ਲੰਮੇ ਵਾਲ ਹੋਣ ਦੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ P(W AND L) , P(W)P(L) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ P(L|W) , P(L) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ P(L|W) = 0.75, ਪਰ P(L) = 0.50; ਉਹ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਔਰਤ ਹੋਣ ਅਤੇ ਲੰਮੇ ਵਾਲ ਹੋਣ ਦੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਔਰਤ ਹੋਣ ਅਤੇ ਲੰਮੇ ਵਾਲ ਹੋਣ ਦੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹਨ; ਇਹ ਜਾਣਨਾ ਕਿ ਕੋਈ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਔਰਤ ਹੈ, ਇਸ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੇ ਲੰਮੇ ਵਾਲ ਹਨ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 3.12
ਮਾਰਕ ਕੰਮ 'ਤੇ ਜਾਣ ਲਈ ਕਿਹੜਾ ਰਸਤਾ ਚੁਣਨਾ ਹੈ, ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਵਿਕਲਪ I = ਇੰਟਰਸਟੇਟ ਅਤੇ F = ਪੰਜਵੀਂ ਸਟਰੀਟ ਹਨ।
P(I) = 0.44 ਅਤੇ P(F) = 0.56
P(I AND F) = 0 ਕਿਉਂਕਿ ਮਾਰਕ ਕੰਮ 'ਤੇ ਜਾਣ ਲਈ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਰਸਤਾ ਚੁਣੇਗਾ।
P(I OR F) ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 3.13
ਸਮੱਸਿਆ
ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕਾ (ਸਿੱਕੇ ਦੇ ਦੋ ਪਾਸੇ, H ਅਤੇ T ਹਨ) ਉਛਾਲੋ। ਨਤੀਜੇ ________ ਹਨ। ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰੋ। ____ ਨਤੀਜੇ ਹਨ।
ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ, ਛੇ-ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਪਾਸਾ (ਪਾਸੇ 'ਤੇ 1, 2, 3, 4, 5 ਜਾਂ 6 ਬਿੰਦੂ ਹਨ) ਉਛਾਲੋ। ਨਤੀਜੇ ________________ ਹਨ। ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰੋ। ___ ਨਤੀਜੇ ਹਨ।
ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ _______ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕਾ ਉਛਾਲਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਉਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ, ਛੇ-ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਪਾਸਾ ਉਛਾਲਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਭਾਗ c. ਵਿੱਚ ਜਵਾਬ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ (ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਦਾ ਆਕਾਰ) ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਕੀ ਹਨ? (ਸੰਕੇਤ: ਦੋ ਨਤੀਜੇ H1 ਅਤੇ T6 ਹਨ।)
ਘਟਨਾ A = ਸਿੱਕੇ 'ਤੇ ਹੈੱਡ (H) ਆਉਣਾ ਜਿਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਪਾਸੇ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਮ ਸੰਖਿਆ (2, 4, 6) ਆਉਣਾ। A = {_________________}। P(A) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਘਟਨਾ B = ਸਿੱਕੇ 'ਤੇ ਹੈੱਡ ਆਉਣਾ ਜਿਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਪਾਸੇ 'ਤੇ ਤਿੰਨ ਆਉਣਾ। B = {________}। P(B) ਪਤਾ ਕਰੋ।
Are A and B mutually exclusive? (Hint: What is P(A AND B)? If P(A AND B) = 0, then A and B are mutually exclusive.)
Are A and B independent? (Hint: Is P(A AND B) = P(A)P(B)? If P(A AND B) = P(A)P(B), then A and B are independent. If not, then they are dependent).
Solution
H and T; 2
1, 2, 3, 4, 5, 6; 6
2(6) = 12
T1, T2, T3, T4, T5, T6, H1, H2, H3, H4, H5, H6
A = {H2, H4, H6}; P(A) = 3 12 3 12
B = {H3}; P(B) = 1 12 1 12
Yes, because P(A AND B) = 0
P(A AND B) = 0.P(A)P(B) = 312·112=148312·112=148. P(A AND B) does not equal P(A)P(B), so A and B are dependent.
Try It 3.13
A box has two balls, one white and one red. We select one ball, put it back in the box, and select a second ball (sampling with replacement). Let T be the event of getting the white ball twice, F the event of picking the white ball first, S the event of picking the white ball in the second drawing.
Compute P(T).
Compute P(T|F).
Are T and F independent?.
Are F and S mutually exclusive?
Are F and S independent?