ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ ਜਾਂ ਨਿਰਭਰ ਹਨ ਅਤੇ ਕੀ ਉਹ ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਨਿਯਮਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਗੁਣਨ ਨਿਯਮ
ਜੇਕਰ A ਅਤੇ B ਇੱਕ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ: P(A ਅਤੇ B) = P(B)P(A|B)।
This rule may also be written as: P(A|B) = P(A AND B) P(B) P(A AND B) P(B)
(B ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ A ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, A ਅਤੇ B ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ B ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨਾਲ ਵੰਡਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।)
If A and B are independent, then P(A|B) = P(A). Then P(A AND B) = P(A|B)P(B) becomes P(A AND B) = P(A)P(B).
ਜੋੜ ਨਿਯਮ
ਜੇਕਰ A ਅਤੇ B ਇੱਕ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹਨ, ਤਾਂ: P(A ਜਾਂ B) = P(A) + P(B) - P(A ਅਤੇ B)।
If A and B are mutually exclusive, then P(A AND B) = 0. Then P(A OR B) = P(A) + P(B) - P(A AND B) becomes P(A OR B) = P(A) + P(B).
ਉਦਾਹਰਨ 3.14
ਕਲਾਸ ਛੁੱਟੀਆਂ ਬਿਤਾਉਣ ਲਈ ਕਿੱਥੇ ਜਾਣਾ ਹੈ, ਇਹ ਚੁਣਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਦੋ ਵਿਕਲਪ ਹਨ: A = ਨਿਊਜ਼ੀਲੈਂਡ ਅਤੇ B = ਅਲਾਸਕਾ।
ਕਲਾਸ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਛੁੱਟੀ ਦਾ ਖਰਚਾ ਚੁੱਕ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਸਦੇ A ਚੁਣਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ P(A) = 0.6 ਹੈ ਅਤੇ ਉਸਦੇ B ਚੁਣਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ P(B) = 0.35 ਹੈ।
P(A ਅਤੇ B) = 0 ਕਿਉਂਕਿ ਕਲਾਸ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਛੁੱਟੀ ਦਾ ਖਰਚਾ ਚੁੱਕ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ, ਉਸਦੇ ਨਿਊਜ਼ੀਲੈਂਡ ਜਾਂ ਅਲਾਸਕਾ ਜਾਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ P(A ਜਾਂ B) = P(A) + P(B) = 0.6 + 0.35 = 0.95 ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਉਸਦੇ ਕਿਤੇ ਵੀ ਛੁੱਟੀ 'ਤੇ ਨਾ ਜਾਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 0.05 ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 3.14
ਅੰਨਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਕਾਰ ਖਰੀਦਣੀ ਪਈ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਦੋ ਵਿਕਲਪ ਹਨ, ਕਾਰ A ਅਤੇ ਕਾਰ B। ਅੰਨਾ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਕਾਰ ਦਾ ਖਰਚਾ ਚੁੱਕ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਅੰਨਾ ਦੇ ਕਾਰ A ਖਰੀਦਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ P(A) = 0.25 ਹੈ, ਅਤੇ ਅੰਨਾ ਦੇ ਕਾਰ B ਖਰੀਦਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ P(B) = 0.65 ਹੈ। ਪਤਾ ਕਰੋ:
P(A AND B)P(A AND B)
P(A OR B)P(A OR B)
ਉਦਾਹਰਨ 3.15
ਕਾਰਲੋਸ ਕਾਲਜ ਫੁੱਟਬਾਲ ਖੇਡਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਉਹ ਸ਼ੂਟ ਕਰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਉਹ 65% ਵਾਰ ਗੋਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕਾਰਲੋਸ ਅਗਲੀ ਗੇਮ ਵਿੱਚ ਲਗਾਤਾਰ ਦੋ ਗੋਲ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੇਗਾ। A = ਉਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਯਤਨ 'ਤੇ ਕਾਰਲੋਸ ਦੀ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਘਟਨਾ। P(A) = 0.65। B = ਉਸਦੇ ਦੂਜੇ ਯਤਨ 'ਤੇ ਕਾਰਲੋਸ ਦੀ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਘਟਨਾ। P(B) = 0.65। ਕਾਰਲੋਸ ਲਗਾਤਾਰ ਸ਼ੂਟ ਕਰਨ ਦਾ ਰੁਝਾਨ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲਾ ਗੋਲ ਕਰਨ ਦੇ ਬਾਅਦ ਦੂਜਾ ਗੋਲ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 0.90 ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
a. ਉਸਦੇ ਦੋਵੇਂ ਗੋਲ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?
b. ਕਾਰਲੋਸ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਗੋਲ ਜਾਂ ਦੂਜੇ ਗੋਲ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?
c. ਕੀ A ਅਤੇ B ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ?
d. ਕੀ A ਅਤੇ B ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੇ ਹਨ?
ਹੱਲ
a. The problem is asking you to find P(A AND B) = P(B AND A). Since P(B|A) = 0.90: P(B AND A) = P(B|A) P(A) = (0.90)(0.65) = 0.585
ਕਾਰਲੋਸ 0.585 ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨਾਲ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਗੋਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
b. ਸਮੱਸਿਆ ਤੁਹਾਨੂੰ P(A ਜਾਂ B) ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਹਿ ਰਹੀ ਹੈ।
P(A OR B) = P(A) + P(B) - P(A AND B) = 0.65 + 0.65 - 0.585 = 0.715
ਕਾਰਲੋਸ 0.715 ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨਾਲ ਪਹਿਲਾ ਗੋਲ ਜਾਂ ਦੂਜਾ ਗੋਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਨਹੀਂ, ਉਹ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ P(B ਅਤੇ A) = 0.585 ਹੈ।
P(B)P(A) = (0.65)(0.65) = 0.423
0.423 ≠ 0.585 = P(B ਅਤੇ A)
So, P(B AND A) is not equal to P(B)P(A).
d. ਨਹੀਂ, ਉਹ ਨਹੀਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ P(A ਅਤੇ B) = 0.585 ਹੈ।
ਆਪਸੀ ਨਿਵੇਕਲੇ ਹੋਣ ਲਈ, P(A ਅਤੇ B) ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 3.15
ਹੈਲਨ ਬਾਸਕਟਬਾਲ ਖੇਡਦੀ ਹੈ। ਫ੍ਰੀ ਥ੍ਰੋਅ ਲਈ, ਉਹ 75% ਵਾਰ ਸ਼ਾਟ ਮਾਰਦੀ ਹੈ। ਹੈਲਨ ਨੂੰ ਹੁਣ ਦੋ ਫ੍ਰੀ ਥ੍ਰੋਅ ਕਰਨੇ ਪੈਣਗੇ। C = ਪਹਿਲਾ ਸ਼ਾਟ ਮਾਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ। P(C) = 0.75। D = ਦੂਜਾ ਸ਼ਾਟ ਮਾਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ। P(D) = 0.75। ਪਹਿਲਾ ਸ਼ਾਟ ਮਾਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੂਜਾ ਫ੍ਰੀ ਥ੍ਰੋਅ ਮਾਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 0.85 ਹੈ। ਦੋਵੇਂ ਫ੍ਰੀ ਥ੍ਰੋਅ ਮਾਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 3.16
ਇੱਕ ਕਮਿਊਨਿਟੀ ਸਵੀਮ ਟੀਮ ਵਿੱਚ 150 ਮੈਂਬਰ ਹਨ। ਸੱਤਰ-ਪੰਜ ਮੈਂਬਰ ਐਡਵਾਂਸਡ ਤੈਰਾਕ ਹਨ। ਚਾਲੀ-ਸੱਤ ਮੈਂਬਰ ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਤੈਰਾਕ ਹਨ। ਬਾਕੀ ਨੌਵਿਸ ਤੈਰਾਕ ਹਨ। ਐਡਵਾਂਸਡ ਤੈਰਾਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਚਾਲੀ ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਵਾਰ ਅਭਿਆਸ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਤੈਰਾਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਤੀਹ ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਵਾਰ ਅਭਿਆਸ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਨੌਵਿਸ ਤੈਰਾਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਦਸ ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਵਾਰ ਅਭਿਆਸ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਵੀਮ ਟੀਮ ਦੇ ਇੱਕ ਮੈਂਬਰ ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
a. ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਮੈਂਬਰ ਇੱਕ ਨੌਵਿਸ ਤੈਰਾਕ ਹੈ?
b. ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਮੈਂਬਰ ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਵਾਰ ਅਭਿਆਸ ਕਰਦਾ ਹੈ?
c. ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਮੈਂਬਰ ਇੱਕ ਐਡਵਾਂਸਡ ਤੈਰਾਕ ਹੈ ਅਤੇ ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਵਾਰ ਅਭਿਆਸ ਕਰਦਾ ਹੈ?
d. ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਮੈਂਬਰ ਇੱਕ ਐਡਵਾਂਸਡ ਤੈਰਾਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਤੈਰਾਕ ਹੈ? ਕੀ ਐਡਵਾਂਸਡ ਤੈਰਾਕ ਅਤੇ ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਤੈਰਾਕ ਹੋਣਾ ਆਪਸੀ ਨਿਵੇਕਲੇ ਹਨ? ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ?
e. ਕੀ ਨੌਵਿਸ ਤੈਰਾਕ ਹੋਣਾ ਅਤੇ ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਵਾਰ ਅਭਿਆਸ ਕਰਨਾ ਸੁਤੰਤਰ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ? ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ?
ਹੱਲ
a. 28/150
b. 80/150
c. 40/150
d. P(ਐਡਵਾਂਸਡ ਅਤੇ ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ) = 0, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਆਪਸੀ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ। ਇੱਕ ਤੈਰਾਕ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਐਡਵਾਂਸਡ ਤੈਰਾਕ ਅਤੇ ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਤੈਰਾਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ।
e. ਨਹੀਂ, ਇਹ ਸੁਤੰਤਰ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹਨ। P(ਨੌਵਿਸ ਅਤੇ ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਵਾਰ ਅਭਿਆਸ) = 0.0667 P(ਨੌਵਿਸ)P(ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਵਾਰ ਅਭਿਆਸ) = 0.0996 0.0667 ≠ 0.0996
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 3.16
ਇੱਕ ਸਕੂਲ ਵਿੱਚ 200 ਸੀਨੀਅਰ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 140 ਅਗਲੇ ਸਾਲ ਕਾਲਜ ਜਾਣਗੇ। ਚਾਲੀ ਸਿੱਧੇ ਕੰਮ 'ਤੇ ਜਾਣਗੇ। ਬਾਕੀ ਗੈਪ ਈਅਰ ਲੈ ਰਹੇ ਹਨ। ਕਾਲਜ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਸੀਨੀਅਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਪੰਜਾਹ ਖੇਡਾਂ ਖੇਡਦੇ ਹਨ। ਸਿੱਧੇ ਕੰਮ 'ਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਸੀਨੀਅਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਤੀਹ ਖੇਡਾਂ ਖੇਡਦੇ ਹਨ। ਗੈਪ ਈਅਰ ਲੈਣ ਵਾਲੇ ਸੀਨੀਅਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਪੰਜ ਖੇਡਾਂ ਖੇਡਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਸੀਨੀਅਰ ਗੈਪ ਈਅਰ ਲੈ ਰਿਹਾ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 3.17
Felicity attends Modesto JC in Modesto, CA. The probability that Felicity enrolls in a math class is 0.2 and the probability that she enrolls in a speech class is 0.65. The probability that she enrolls in a math class GIVEN that she enrolls in speech class is 0.25.
Let: M = math class, S = speech class, M|S = math given speech
Problem
What is the probability that Felicity enrolls in math and speech? Find P(M AND S) = P(M|S)P(S).
What is the probability that Felicity enrolls in math or speech classes? Find P(M OR S) = P(M) + P(S) - P(M AND S).
Are M and S independent? Is P(M|S) = P(M)?
Are M and S mutually exclusive? Is P(M AND S) = 0?
Solution
a. 0.1625, b. 0.6875, c. No, d. No
Try It 3.17
A student goes to the library. Let events B = the student checks out a book and D = the student checks out a DVD. Suppose that P(B) = 0.40, P(D) = 0.30 and P(D|B) = 0.5.
Find P(B AND D).
Find P(B OR D).
Example 3.18
Studies show that about one woman in seven (approximately 14.3%) who live to be 90 will develop breast cancer. Suppose that of those women who develop breast cancer, a test is negative 2% of the time. Also suppose that in the general population of women, the test for breast cancer is negative about 85% of the time. Let B = woman develops breast cancer and let N = tests negative. Suppose one woman is selected at random.
Problem
a. What is the probability that the woman develops breast cancer? What is the probability that woman tests negative?
b. Given that the woman has breast cancer, what is the probability that she tests negative?
c. What is the probability that the woman has breast cancer AND tests negative?
d. What is the probability that the woman has breast cancer or tests negative?
e. Are having breast cancer and testing negative independent events?
f. Are having breast cancer and testing negative mutually exclusive?
Solution
a. P(B) = 0.143; P(N) = 0.85
b. P(N|B) = 0.02
c. P(B AND N) = P(B)P(N|B) = (0.143)(0.02) = 0.0029
d. P(B OR N) = P(B) + P(N) - P(B AND N) = 0.143 + 0.85 - 0.0029 = 0.9901
e. No. P(N) = 0.85; P(N|B) = 0.02. So, P(N|B) does not equal P(N).
f. No. P(B AND N) = 0.0029. For B and N to be mutually exclusive, P(B AND N) must be zero.
Try It 3.18
A school has 200 seniors of whom 140 will be going to college next year. Forty will be going directly to work. The remainder are taking a gap year. Fifty of the seniors going to college play sports. Thirty of the seniors going directly to work play sports. Five of the seniors taking a gap year play sports. What is the probability that a senior is going to college and plays sports?
Example 3.19
Problem
Refer to the information in Example 3.18. P = tests positive.
Given that a woman develops breast cancer, what is the probability that she tests positive. Find P(P|B) = 1 - P(N|B).
What is the probability that a woman develops breast cancer and tests positive. Find P(B AND P) = P(P|B)P(B).
What is the probability that a woman does not develop breast cancer. Find P(B′) = 1 - P(B).
What is the probability that a woman tests positive for breast cancer. Find P(P) = 1 - P(N).
Solution
a. 0.98; b. 0.1401; c. 0.857; d. 0.15
Try It 3.19
A student goes to the library. Let events B = the student checks out a book and D = the student checks out a DVD. Suppose that P(B) = 0.40, P(D) = 0.30 and P(D|B) = 0.5.
Find P(B′).
Find P(D AND B).
Find P(B|D).
Find P(D AND B′).
Find P(D|B′).