ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ (continuous probability density function) ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੋਟੇਸ਼ਨ f(x) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮਾਧਿਅਮ ਅਲਜਬਰਾ (intermediate algebra) ਸ਼ਾਇਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ (functions) ਨਾਲ ਤੁਹਾਡੀ ਪਹਿਲੀ ਰਸਮੀ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਰਹੀ ਹੋਵੇ। ਸੰਭਾਵਨਾ (probability) ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਵਿੱਚ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਸੀਂ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ (x-axis) ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ (area) ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ। ਕਿਉਂਕਿ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਭਾਵਨਾ ਇੱਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਖੇਤਰਫਲ ਵੀ ਇੱਕ ਹੈ। ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡਾਂ (continuous probability distributions) ਲਈ, ਸੰਭਾਵਨਾ = ਖੇਤਰਫਲ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.1
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 1/20, 0 ≤ x ≤ 20, 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। x ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ (real number) ਹੈ। f(x) = 1/20 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ (graph) ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ (horizontal line) ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ 0 ≤ x ≤ 20, f(x) ਨੂੰ x = 0 ਅਤੇ x = 20, ਸਮੇਤ, ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
f(x) = 1/20, 0 ≤ x ≤ 20, ਲਈ।
f(x) = 1/20, 0 ≤ x ≤ 20, ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡ (horizontal line segment) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ 0 ≤ x ≤ 20।
f(x) = 1/20, ਜਿੱਥੇ 0 ≤ x ≤ 20, ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ, ਇੱਕ ਆਇਤ (rectangle) ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਆਧਾਰ = 20 ਅਤੇ ਉਚਾਈ = 1/20 ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ f(x) = 1/20 ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ 0 < x < 2।
REMINDER
ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = (ਆਧਾਰ)(ਉਚਾਈ)।
ਖੇਤਰਫਲ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ x ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਦੋ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ 0.1 ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ P(0 < x < 2) = P(x < 2) = 0.1 ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ f(x) = 1/20 ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ 4 < x < 15।
ਖੇਤਰਫਲ ਸੰਭਾਵਨਾ P(4 < x < 15) = 0.55 ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ P(x = 15) ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ x-y ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ, x = 15 ਇੱਕ ਖੜ੍ਹੀ ਰੇਖਾ (vertical line) ਹੈ। ਇੱਕ ਖੜ੍ਹੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਕੋਈ ਚੌੜਾਈ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ (ਜਾਂ ਸਿਫ਼ਰ ਚੌੜਾਈ ਹੁੰਦੀ ਹੈ)। ਇਸ ਲਈ, P(x = 15) = (ਆਧਾਰ)(ਉਚਾਈ) = (0)(1/20)(1/20) = 0।
P(X ≤ x), ਜਿਸਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਵੰਡਾਂ (continuous distributions) ਲਈ P(X < x) ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਸੰਚਤ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ (cumulative distribution function) ਜਾਂ CDF ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। "ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ" (less than or equal to) ਚਿੰਨ੍ਹ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ। ਅਸੀਂ P(X > x) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ CDF ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। CDF "ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ" (area to the left) ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ P(X > x) "ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ" (area to the right) ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਨਿਰੰਤਰ ਵੰਡਾਂ ਲਈ P(X > x) ਦੀ ਗਣਨਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: P(X > x) = 1 – P(X < x)।
ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ f(x) ਅਤੇ x ਨਾਲ ਲੇਬਲ ਕਰੋ। ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ x ਅਤੇ y ਮੁੱਲਾਂ (values) ਨਾਲ x ਅਤੇ y ਧੁਰਿਆਂ ਨੂੰ ਸਕੇਲ (scale) ਕਰੋ। f(x) = 1/20, 0 ≤ x ≤ 20।
ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ x ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵੱਲ ਦੇਖੋ। x = 2.3 ਅਤੇ x = 12.7 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਸ਼ੇਡ (shade) ਕਰੋ। ਫਿਰ ਇੱਕ ਆਇਤ ਦੇ ਸ਼ੇਡ ਕੀਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.1
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 1/8, 0 ≤ x ≤ 8, 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਅਤੇ P(2.5 < x < 7.5) ਲੱਭੋ।