ਇਸ ਮਾਡਿਊਲ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਇੱਕਲੇ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਮੱਧਮਾਨ ਲਈ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਿਆ ਜਿੱਥੇ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਵਿਭਾਜਨ (standard deviation) ਪਤਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਮੱਧਮਾਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗਲਤੀ ਦੀ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਮੱਧਮਾਨ ਲਈ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ (EBM) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
(ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ, ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ) = (ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ – EBM, ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ + EBM)
EBM ਦੀ ਗਣਨਾ ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਆਕਾਰ ਅਤੇ ਲੋੜੀਂਦੇ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਦੇ ਪੱਧਰ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪੱਧਰ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਨਮੂਨਿਆਂ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪੱਧਰ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ EBM ਵੀ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਆਕਾਰ ਵਧਦਾ ਹੈ, EBM ਘਟਦਾ ਹੈ। ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ (central limit theorem) ਅਨੁਸਾਰ,
EBM = z σ / √n
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਤੋਂ, ਤੁਸੀਂ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ (EBM) ਜਾਂ ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਮੱਧਮਾਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਿੱਛੇ ਵੱਲ ਕੰਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ ਅਤੇ ਮੱਧਮਾਨ ਦਾ ਅੰਤਰ ਲੱਭੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ ਪਤਾ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਉੱਪਰਲੀ ਅਤੇ ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ ਗਿਣ ਕੇ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ ਅਤੇ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਅੰਤਰ ਲੱਭੋ। ਜੇਕਰ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ ਅਣਜਾਣੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀਆਂ ਉੱਪਰਲੀ ਅਤੇ ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦਾ ਔਸਤ ਕੱਢੋ।
ਕਈ ਵਾਰ ਖੋਜਕਰਤਾ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹਨ ਕਿ ਉਹ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪੱਧਰ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਗਲਤੀ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੇ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਮੱਧਮਾਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਟੀਚੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ EBM ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ n ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ:
n = (z² σ²) / EBM²
ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਖੋਜਕਰਤਾ ਅਧਿਐਨ ਅਧੀਨ ਮਾਪ ਦੇ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਭਾਜਨ, σ, ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਜਾਣਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, σ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਵਜੋਂ ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਭਾਜਨ, s, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਆਮ ਹੈ। ਜਦੋਂ σ ਪਤਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਆਮ ਵੰਡ (normal distribution) ਸਹੀ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਜਦੋਂ s ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਵਜੋਂ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਇਹ ਓਨੀ ਸਹੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਸਟੂਡੈਂਟ ਦਾ t-ਵੰਡ (Student’s t-distribution) ਬਹੁਤ ਬਿਹਤਰ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ t-ਸਕੋਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ:
t = (x̄ - μ) / (s / √n)
t-ਸਕੋਰ n – 1 ਡਿਗਰੀ ਆਜ਼ਾਦੀ (degrees of freedom) ਨਾਲ ਸਟੂਡੈਂਟ ਦੇ t-ਵੰਡ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵੰਡ ਦੇ ਅਧੀਨ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਗਣਨਾ EBM = (tα/₂) * (s / √n) ਨਾਲ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ tα/₂ ਉਹ t-ਸਕੋਰ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ α/₂ ਖੇਤਰਫਲ ਹੋਵੇ, s ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਵਿਭਾਜਨ ਹੈ, ਅਤੇ n ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਆਕਾਰ ਹੈ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ α ਲਈ tα/₂ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ, ਜਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕੁਝ ਅੰਕੜਾਤਮਕ ਮਾਪ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਸਰਵੇਖਣ ਪ੍ਰਸ਼ਨ, ਗੁਣਾਤਮਕ (qualitative) ਦੀ ਬਜਾਏ ਮਾਤਰਾਤਮਕ (quantitative) ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਮਾਪਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਆਬਾਦੀ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਇੱਕ ਅਨੁਪਾਤ (proportion) ਹੈ। ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਮੱਧਮਾਨਾਂ ਲਈ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਅਨੁਪਾਤ ਲਈ ਇੱਕ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਬਣਾਉਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਫਾਰਮੂਲੇ ਥੋੜੇ ਵੱਖਰੇ ਹਨ, ਪਰ ਉਹ ਇੱਕੋ ਤਰਕ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਮੰਨ ਲਓ p̂, ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ, x/n, ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ n ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਆਕਾਰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ q̂ = 1 – p̂। ਫਿਰ ਆਬਾਦੀ ਅਨੁਪਾਤ ਲਈ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
(ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ, ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ) = (p̂ – EBP, p̂ + EBP) = (p̂ – z√(p̂q̂/n), p̂ + z√(p̂q̂/n))
ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ "ਪਲੱਸ ਫੋਰ" ਵਿਧੀ (plus four method) ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਵੰਡ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਭਾਜਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਗਲਤੀ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਇੱਕ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਹੈ। ਬਸ ਅਧਿਐਨ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਵਾਧੂ ਪਰਖਾਂ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ; ਦੋ ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਅਤੇ ਦੋ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ ਹਨ। p̂ = (x+2)/(n+4) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਅੱਗੇ ਵਧੋ। ਜਦੋਂ ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਆਕਾਰ ਛੋਟੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਸ ਵਿਧੀ ਨੇ ਵੱਡੇ ਨਮੂਨਿਆਂ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਮਿਆਰੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਸਹੀ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਨ ਲਈ ਦਿਖਾਇਆ ਹੈ।