ਜਨ-ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਮਾਧਿਅਮ ਲਈ ਇੱਕ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ, ਜਦੋਂ ਜਨ-ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਵਿਭਚਲਨ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਸਿੱਟੇ 'ਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਹੈ ਕਿ ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਿਅਮਾਂ ਦਾ ਨਮੂਨਾ ਵੰਡ ਲਗਭਗ ਇੱਕ ਆਮ ਵੰਡ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਮਾਧਿਅਮ x ¯ = 10 ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ 90% ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ (5, 15) ਬਣਾਇਆ ਹੈ ਜਿੱਥੇ EBM = 5 ਹੈ।
ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਅਣਜਾਣ ਜਨ-ਸੰਖਿਆ ਮਾਧਿਅਮ μ ਲਈ ਇੱਕ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਜਿੱਥੇ ਜਨ-ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਵਿਭਚਲਨ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ μ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਵਜੋਂ x ¯ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ ਗਲਤੀ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇੱਥੇ, ਗਲਤੀ ਦੀ ਸੀਮਾ (EBM) ਨੂੰ ਇੱਕ ਜਨ-ਸੰਖਿਆ ਮਾਧਿਅਮ ਲਈ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ (ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ EBM) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਿਅਮ x ¯ ਅਣਜਾਣ ਜਨ-ਸੰਖਿਆ ਮਾਧਿਅਮ μ ਦਾ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ।
ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਅਨੁਮਾਨ ਦਾ ਰੂਪ ਹੋਵੇਗਾ:
(ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ - ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ, ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ + ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ) ਜਾਂ, ਸੰਕੇਤਾਂ ਵਿੱਚ, (x ¯ –EBM, x ¯ +EBM)
ਗਲਤੀ ਦੀ ਸੀਮਾ (EBM) ਭਰੋਸਾ ਪੱਧਰ (ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ CL) 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਭਰੋਸਾ ਪੱਧਰ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਗਣਨਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਅਨੁਮਾਨ ਦੁਆਰਾ ਸਹੀ ਜਨ-ਸੰਖਿਆ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਕਹਿਣਾ ਵਧੇਰੇ ਸਹੀ ਹੈ ਕਿ ਭਰੋਸਾ ਪੱਧਰ ਉਹ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਜਦੋਂ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਨਮੂਨੇ ਲਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਸਹੀ ਜਨ-ਸੰਖਿਆ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਵਾਰ, ਇਹ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਵਿਅਕਤੀ ਦੀ ਚੋਣ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਉਹ 90% ਜਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦਾ ਭਰੋਸਾ ਪੱਧਰ ਚੁਣੇ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਵਿਅਕਤੀ ਆਪਣੇ ਸਿੱਟਿਆਂ ਬਾਰੇ ਵਾਜਬੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਯਕੀਨਨ ਹੋਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਹੋਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਲਫ਼ਾ (α) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। α ਭਰੋਸਾ ਪੱਧਰ, CL ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। α ਉਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਅਣਜਾਣ ਜਨ-ਸੰਖਿਆ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਸ਼ਾਮਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, α + CL = 1।
ਉਦਾਹਰਨ 8.1
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਮੂਨੇ ਤੋਂ ਡਾਟਾ ਇਕੱਠਾ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਿਅਮ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਪਰ ਅਸੀਂ ਪੂਰੀ ਜਨ-ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਮਾਧਿਅਮ ਨਹੀਂ ਜਾਣਦੇ।
ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਿਅਮ ਸੱਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਮਾਧਿਅਮ ਲਈ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ 2.5 ਹੈ।
x ¯ = 7 ਅਤੇ EBM = 2.5
ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ (7 – 2.5, 7 + 2.5) ਹੈ, ਅਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਨਾਲ (4.5, 9.5) ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਜੇ ਭਰੋਸਾ ਪੱਧਰ (CL) 95% ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, "ਅਸੀਂ 95% ਭਰੋਸੇ ਨਾਲ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਨ-ਸੰਖਿਆ ਮਾਧਿਅਮ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ 4.5 ਅਤੇ 9.5 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ।"
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 8.1
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਨਮੂਨੇ ਤੋਂ ਡਾਟਾ ਹੈ। ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਿਅਮ 15 ਹੈ, ਅਤੇ ਮਾਧਿਅਮ ਲਈ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ 3.2 ਹੈ।
ਜਨ-ਸੰਖਿਆ ਮਾਧਿਅਮ ਲਈ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਅਨੁਮਾਨ ਕੀ ਹੈ?
ਜਨ-ਸੰਖਿਆ ਮਾਧਿਅਮ ਲਈ ਇੱਕ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਜਿਸਦਾ ਮਿਆਰੀ ਵਿਭਚਲਨ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਤੱਥ 'ਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਹੈ ਕਿ ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਿਅਮ ਲਗਭਗ ਇੱਕ ਆਮ ਵੰਡ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਮਾਧਿਅਮ x ¯ = 2 ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ 90% ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ (1.8, 2.2) ਬਣਾਇਆ ਹੈ ਜਿੱਥੇ EBM = 0.1 ਹੈ।
90% ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਆਮ ਵੰਡ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇ ਕੇਂਦਰੀ 90% ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰੀ 90% ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕੁੱਲ α = 10% ਨੂੰ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ, ਜਾਂ ਆਮ ਵੰਡ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ 5% ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਕੇਂਦਰੀ 90% ਨੂੰ ਕੈਪਚਰ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਗਣਨਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਿਅਮ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ 1.645 "ਮਿਆਰੀ ਵਿਭਚਲਨ" ਬਾਹਰ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਮੁੱਲ 1.645 ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਆਮ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਤੋਂ z-ਸਕੋਰ ਹੈ ਜੋ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ 0.90 ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ, ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ 0.05 ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ, ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ 0.05 ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ "ਮਿਆਰੀ ਵਿਭਚਲਨ" ਜੋ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਉਹ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਰਹੇ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਲਈ ਢੁਕਵਾਂ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਸਾਨੂੰ ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਿਅਮਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਭਚਲਨ, ਜੋ ਕਿ σ n ਹੈ, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਭਿੰਨ σ n ਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ "ਮਾਧਿਅਮ ਦੀ ਮਿਆਰੀ ਗਲਤੀ" ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਜਨ-ਸੰਖਿਆ ਮਿਆਰੀ ਵਿਭਚਲਨ σ ਤੋਂ ਮਾਧਿਅਮ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਭਚਲਨ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੱਖ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
X ¯ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਰਥਾਤ, X ¯ ~ N( μ X , σ n )
ਜਦੋਂ ਜਨ-ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਵਿਭਚਲਨ σ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਇੱਕ ਅਣਜਾਣ ਜਨ-ਸੰਖਿਆ ਮਾਧਿਅਮ ਲਈ ਇੱਕ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਅਨੁਮਾਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਯਾਦ੍ਰਿਕ ਨਮੂਨੇ ਤੋਂ ਡਾਟਾ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਬਣਾਉਣ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨ ਦੇ ਕਦਮ ਹਨ: @@@
ਨਮੂਨਾ ਡਾਟਾ ਤੋਂ ਨਮੂਨਾ ਮੱਧਮਾਨ $\bar{x}$ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਨ $\sigma$ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪੱਧਰ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ z-ਸਕੋਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ EBM ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਬਣਾਓ।
ਇੱਕ ਵਾਕ ਲਿਖੋ ਜੋ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਪ੍ਰਸੰਗ ਵਿੱਚ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ। (ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਕੀ ਅਰਥ ਹੈ, ਇਹ ਦੱਸੋ।)
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹਰੇਕ ਕਦਮ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ ਦੇਖਾਂਗੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਨਾਲ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਵਾਂਗੇ।
ਦੱਸੇ ਗਏ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪੱਧਰ ਲਈ z-ਸਕੋਰ ਲੱਭਣਾ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਨ $\sigma$ ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ EBM ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਆਮ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ z ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੋ ਮਿਆਰੀ ਆਮ ਵੰਡ Z ~ N(0, 1) ਦੇ ਮੱਧ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪੱਧਰ (ਦਸ਼ਮਲਵ ਰੂਪ ਵਿੱਚ) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਖੇਤਰਫਲ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪੱਧਰ, CL, ਮਿਆਰੀ ਆਮ ਵੰਡ ਦੇ ਮੱਧ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ। CL = 1 – α, ਇਸ ਲਈ α ਉਹ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ ਜੋ ਦੋ ਪੂਛਾਂ ਵਿੱਚ ਬਰਾਬਰ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਪੂਛ ਵਿੱਚ α/2 ਖੇਤਰਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
z-ਸਕੋਰ ਜਿਸਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ α/2 ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ $z_{\alpha/2}$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜਦੋਂ CL = 0.95, α = 0.05 ਅਤੇ α/2 = 0.025; ਅਸੀਂ $z_{\alpha/2} = z_{0.025}$ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
$z_{0.025}$ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖੇਤਰਫਲ 0.025 ਹੈ ਅਤੇ $z_{0.025}$ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖੇਤਰਫਲ 1 – 0.025 = 0.975 ਹੈ।
$z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$, ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਜਾਂ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਆਮ ਸੰਭਾਵਨਾ ਟੇਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ।
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
invNorm(0.975, 0, 1) = 1.96
NOTE
$z_{\alpha/2}$ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਯਾਦ ਰੱਖੋ; ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ invNorm ਕਮਾਂਡ ਵਿੱਚ ਆਖਰੀ ਦੋ ਇਨਪੁਟ 0, 1 ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਆਮ ਵੰਡ Z ~ N(0, 1) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋ।
ਵਿਆਖਿਆ ਲਿਖਣਾ
ਵਿਆਖਿਆ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪੱਧਰ (CL) ਨੂੰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੱਸਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਦੱਸਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਆਬਾਦੀ ਮਾਪਦੰਡ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ (ਇੱਥੇ, ਇੱਕ ਆਬਾਦੀ ਮੱਧਮਾਨ), ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ (ਦੋਵੇਂ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ) ਦੱਸਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। "ਅਸੀਂ ___% ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਨਾਲ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੱਚਾ ਆਬਾਦੀ ਮੱਧਮਾਨ (ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਪ੍ਰਸੰਗ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ) ___ ਅਤੇ ___ (ਉਚਿਤ ਇਕਾਈਆਂ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ) ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ।"
ਉਦਾਹਰਨ 8.2
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅੰਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਅੰਕ ਇੱਕ ਅਣਜਾਣ ਆਬਾਦੀ ਮੱਧਮਾਨ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਆਬਾਦੀ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਨ ਨਾਲ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੰਡੇ ਗਏ ਹਨ। 36 ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਯਾਦ੍ਰਿਕ ਨਮੂਨਾ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਮੂਨਾ ਮੱਧਮਾਨ (ਨਮੂਨਾ ਮੱਧਮਾਨ ਅੰਕ) 68 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਆਬਾਦੀ ਮੱਧਮਾਨ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਅੰਕ (ਸਾਰੀਆਂ ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ 'ਤੇ ਮੱਧਮਾਨ ਅੰਕ) ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਅਨੁਮਾਨ ਲੱਭੋ।
ਸਮੱਸਿਆ
ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸੱਚੇ (ਆਬਾਦੀ) ਮੱਧਮਾਨ ਲਈ 90% ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਤੁਸੀਂ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਸਿੱਧੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਪਹਿਲਾ ਹੱਲ ਕਦਮ-ਦਰ-ਕਦਮ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਦੂਜਾ ਹੱਲ TI-83, 83+, ਅਤੇ 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ ਕਦਮ-ਦਰ-ਕਦਮ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ:
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਣਜਾਣ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਮੱਧਮਾਨ ਲਈ ਇੱਕ ਭਰੋਸੇਯੋਗ ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਸੂਤਰ ਹੈ:
90% ਭਰੋਸੇਯੋਗ ਅੰਤਰਾਲ ਲਈ, ਆਮ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ 0.90 ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ (ਚਿੱਤਰ 8.3 ਦੇਖੋ)। ਆਮ ਵੰਡ ਦੇ ਦੋ ਪੂਛਾਂ ਲਈ ਬਾਕੀ ਖੇਤਰ ਫਿਰ 0.10 ਹੈ, ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਖੱਬੀ ਪੂਛ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ 0.10 ਦਾ ਅੱਧਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 0.05 ਹੈ। ਖੱਬੀ ਪੂਛ ਵਿੱਚ 0.05 ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਕੱਟਣ ਵਾਲਾ ਸੰਬੰਧਿਤ z-ਸਕੋਰ 1.645 ਹੈ।
ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਏਸ਼ਨ σ = 3σ = 3 ਹੈ।
ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਵੀ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ n = 36 ਅਤੇ ਨਮੂਨਾ ਮੱਧਮਾਨ X¯=68X¯=68 ਹੈ।
ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਭਰੋਸੇਯੋਗ ਅੰਤਰਾਲ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨਤੀਜੇ ਨਿਕਲਦੇ ਹਨ:
ਅਸੀਂ 90% ਭਰੋਸੇ ਨਾਲ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਰੇ ਅੰਕੜੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਲਈ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਸਕੋਰ 67.18 ਅਤੇ 68.82 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ।
ਹੱਲ
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
STAT ਦਬਾਓ ਅਤੇ TESTS ਵੱਲ ਐਰੋ ਕਰੋ। 7:ZInterval ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ। ENTER ਦਬਾਓ। Stats ਵੱਲ ਐਰੋ ਕਰੋ ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਓ। ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ ਅਤੇ σ ਲਈ ਤਿੰਨ, x ¯ x ¯ ਲਈ 68, n ਲਈ 36, ਅਤੇ C-level ਲਈ .90 ਦਰਜ ਕਰੋ। Calculate ਵੱਲ ਐਰੋ ਕਰੋ ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਓ। ਭਰੋਸੇਯੋਗ ਅੰਤਰਾਲ ਹੈ (ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ)(67.178, 68.822)।
90% ਭਰੋਸੇ ਦੇ ਪੱਧਰ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ: ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਬਣਾਏ ਗਏ ਸਾਰੇ ਭਰੋਸੇਯੋਗ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਨੱਬੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਅਸਲ ਮੱਧਮਾਨ ਅੰਕੜੇ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਸਕੋਰ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 100 ਭਰੋਸੇਯੋਗ ਅੰਤਰਾਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 90 ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਮੱਧਮਾਨ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਸਕੋਰ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨਗੇ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 8.2
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪੀਜ਼ਾ ਡਿਲੀਵਰੀ ਦਾ ਔਸਤ ਸਮਾਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਣਜਾਣ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਮੱਧਮਾਨ ਅਤੇ ਛੇ ਮਿੰਟਾਂ ਦੇ ਆਬਾਦੀ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਏਸ਼ਨ ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। 28 ਪੀਜ਼ਾ ਡਿਲੀਵਰੀ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਮੂਨਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਨਮੂਨਾ ਮੱਧਮਾਨ ਡਿਲੀਵਰੀ ਸਮਾਂ 36 ਮਿੰਟ ਹੈ।
ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਮੱਧਮਾਨ ਡਿਲੀਵਰੀ ਸਮੇਂ ਲਈ 90% ਭਰੋਸੇਯੋਗ ਅੰਤਰਾਲ ਅਨੁਮਾਨ ਲੱਭੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.3
ਸਪੈਸੀਫਿਕ ਅਬਜ਼ਾਰਪਸ਼ਨ ਰੇਟ (SAR) ਇੱਕ ਸੈੱਲ ਫੋਨ ਲਈ ਉਪਭੋਗਤਾ ਦੇ ਸਰੀਰ ਦੁਆਰਾ ਰੇਡੀਓ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ (RF) ਊਰਜਾ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਹੈਂਡਸੈੱਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਹਰ ਸੈੱਲ ਫੋਨ RF ਊਰਜਾ ਨਿਕਾਲਦਾ ਹੈ। ਵੱਖ-ਵੱਖ ਫੋਨ ਮਾਡਲਾਂ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ SAR ਮਾਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਸੰਯੁਕਤ ਰਾਜ ਅਮਰੀਕਾ ਵਿੱਚ ਵਿਕਰੀ ਲਈ ਫੈਡਰਲ ਕਮਿਊਨੀਕੇਸ਼ਨਜ਼ ਕਮਿਸ਼ਨ (FCC) ਤੋਂ ਪ੍ਰਮਾਣਿਕਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਸੈੱਲ ਫੋਨ ਲਈ SAR ਪੱਧਰ ਪ੍ਰਤੀ ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ 1.6 ਵਾਟ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਹੀਂ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਟੇਬਲ 8.1 FCC ਦੁਆਰਾ ਮਾਪੇ ਗਏ ਸੈੱਲ ਫੋਨ ਮਾਡਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਚੋਣ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ SAR ਪੱਧਰ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: 30 ਸੈੱਲ ਫੋਨਾਂ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਲਈ SAR ਡਾਟਾ
ਸਤਰ: 1.11 | 1.36 | 0.74
ਸਤਰ: 1.48 | 1.34 | 0.5
ਸਤਰ: 1.43 | 1.18 | 0.4
ਸਤਰ: 1.3 | 1.3 | 0.867
ਸਤਰ: 1.09 | 1.26 | 0.68
1. ਕਤਾਰ: 0.455 | 1.29 | 0.51
2. ਕਤਾਰ: 1.41 | 0.36 | 1.13
3. ਕਤਾਰ: 0.82 | 0.52 | 0.3
4. ਕਤਾਰ: 0.78 | 1.6 | 1.48
5. ਕਤਾਰ: 1.25 | 1.39 | 1.38
6. ਸਮੱਸਿਆ
7. ਸੈੱਲ ਫੋਨਾਂ ਲਈ ਖਾਸ ਸੋਖਣ ਦਰਾਂ (SARs) ਦੇ ਸੱਚੇ (ਆਬਾਦੀ) ਮਾਧਿਅਮ ਲਈ 98% ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭੋ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਨ σ = 0.337 ਹੈ।
8. ਹੱਲ
9. ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਲੱਭ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ: ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਿਅਮ।
10. x ¯ =1.024
11. ਅੱਗੇ, EBM ਲੱਭੋ। ਕਿਉਂਕਿ ਤੁਸੀਂ 98% ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਬਣਾ ਰਹੇ ਹੋ, CL = 0.98।
12. ਤੁਹਾਨੂੰ z0.01 ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਗੁਣ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਆਮ ਘਣਤਾ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ z0.01 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ 0.01 ਹੈ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ 0.99 ਹੈ। z0.01 = 2.326 ਲੱਭਣ ਲਈ ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ, ਕੰਪਿਊਟਰ, ਜਾਂ ਮਿਆਰੀ ਆਮ ਵੰਡ ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਟੇਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
13. EBM=( z 0.01 ) σ n =(2.326) 0.337 30 =0.1431
14. 98% ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭਣ ਲਈ, x ¯ ±EBM ਲੱਭੋ।
15. x ¯ – EBM = 1.024 – 0.1431 = 0.8809
16. x ¯ + EBM = 1.024 + 0.1431 = 1.1671
17. ਅਸੀਂ 98% ਭਰੋਸੇ ਨਾਲ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੰਯੁਕਤ ਰਾਜ ਅਮਰੀਕਾ ਵਿੱਚ ਸੈੱਲ ਫੋਨਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਲਈ ਸੱਚਾ SAR ਮਾਧਿਅਮ 0.8809 ਅਤੇ 1.1671 ਵਾਟ ਪ੍ਰਤੀ ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ।
18. ਹੱਲ
19. TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
20. STAT ਦਬਾਓ ਅਤੇ TESTS ਵੱਲ ਐਰੋ ਕਰੋ।
21. 7:ZInterval ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ।
Press ENTER.
22. Stats ਵੱਲ ਐਰੋ ਕਰੋ ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਓ।
23. ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲ ਦਰਜ ਕਰੋ: σ: 0.337 x ¯ :1.024 n: 30 C-level: 0.98
24. Calculate ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਓ।
ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ (ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ) (0.881, 1.167) ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 8.3
ਸਾਰਣੀ 8.2 ਵੀਹ ਸੈੱਲ ਫ਼ੋਨ ਮਾਡਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਰੈਂਡਮ ਨਮੂਨਾ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਸੰਯੁਕਤ ਰਾਜ ਅਮਰੀਕਾ ਵਿੱਚ ਵਰਤੋਂ ਲਈ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਸੈੱਲ ਫ਼ੋਨਾਂ ਲਈ ਸੱਚੇ ਮਾਧਿਅਮ SAR ਦੀ 93% ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਡਾਟਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲਨ σ = 0.337 ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: ਵੀਹ ਸੈੱਲ ਫ਼ੋਨਾਂ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਲਈ SAR ਡਾਟਾ
ਸਾਰਣੀ: 1.48 | 1.53
ਸਾਰਣੀ: 0.8 | 0.68
ਸਾਰਣੀ: 1.15 | 1.4
ਸਾਰਣੀ: 1.36 | 1.24
ਸਾਰਣੀ: 0.77 | 0.57
ਸਾਰਣੀ: 0.462 | 0.2
ਸਾਰਣੀ: 1.36 | 0.51
ਸਾਰਣੀ: 1.39 | 0.3
ਸਾਰਣੀ: 1.3 | 0.73
ਸਾਰਣੀ: 0.7 | 0.869
ਉਦਾਹਰਨ 8.3 ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਗਣਨਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਵੇਖੋ। ਇਹ ਅੰਤਰਾਲ ਕਈ ਕਾਰਨਾਂ ਕਰਕੇ ਵੱਖਰੇ ਹਨ: ਉਹ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਨਮੂਨਿਆਂ ਤੋਂ ਗਣਨਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ, ਨਮੂਨਿਆਂ ਦਾ ਆਕਾਰ ਵੱਖਰਾ ਸੀ, ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪੱਧਰਾਂ ਲਈ ਗਣਨਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ। ਭਾਵੇਂ ਅੰਤਰਾਲ ਵੱਖਰੇ ਹਨ, ਉਹ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦੇ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਅਗਲੇ ਭਾਗ ਦਾ ਵਿਸ਼ਾ ਹਨ।
ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪੱਧਰ ਜਾਂ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਬਦਲਣਾ
ਉਦਾਹਰਨ 8.4
ਸਮੱਸਿਆ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ 95% ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪੱਧਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਦਾਹਰਨ 8.2 ਵਿੱਚ ਮੂਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਸੱਚੇ (ਆਬਾਦੀ) ਮਾਧਿਅਮ ਅੰਕੜਾ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਸਕੋਰ ਲਈ 95% ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਿਅਮ, x ¯ x ¯, ਅਤੇ EBM ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
x ¯ x ¯ = 68
EBM = ( z α 2 )( σ n ) ( z α 2 )( σ n )
σ = 3; n = 36; ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪੱਧਰ 95% ਹੈ (CL = 0.95)।
1. ਸੀ.ਐਲ. = 0.95, ਇਸ ਲਈ α = 1 – ਸੀ.ਐਲ. = 1 – 0.95 = 0.05
2. α 2 =0.025 z α 2 = z 0.025
3. z0.025 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ 0.025 ਹੈ ਅਤੇ z0.025 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ 1 – 0.025 = 0.975 ਹੈ।
4. z α 2 = z 0.025 =1.96
5. ਜਦੋਂ TI-83, 83+, ਜਾਂ 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ 'ਤੇ invnorm(0.975,0,1) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। (ਇਹ ਹੋਰ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ 'ਤੇ ਢੁਕਵੇਂ ਕਮਾਂਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਜਾਂ ਸਟੈਂਡਰਡ ਨਾਰਮਲ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਟੇਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੀ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।)
6. ਈ.ਬੀ.ਐਮ. = (1.96)( 3 36 ) ( 3 36 ) = 0.98
7. x ¯ – ਈ.ਬੀ.ਐਮ. = 68 – 0.98 = 67.02
8. x ¯ + ਈ.ਬੀ.ਐਮ. = 68 + 0.98 = 68.98
9. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਮੂਲ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ 95% ਭਰੋਸਾ ਪੱਧਰ ਲਈ ਈ.ਬੀ.ਐਮ. ਵੱਡਾ ਹੈ।
10. ਅਸੀਂ 95% ਭਰੋਸੇ ਨਾਲ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਰੇ ਸਟੈਟਿਸਟਿਕਸ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਸਕੋਰਾਂ ਲਈ ਸੱਚੀ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਮਤਲਬ 67.02 ਅਤੇ 68.98 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ।
11. 95% ਭਰੋਸਾ ਪੱਧਰ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ: ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਬਣਾਏ ਗਏ ਸਾਰੇ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਪੈਂਤੀਨਵੇਂ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਸੱਚੇ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਮਤਲਬ ਸਟੈਟਿਸਟਿਕਸ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਸਕੋਰ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੇ ਹਨ।
12. ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ: 90% ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ (67.18, 68.82) ਹੈ। 95% ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ (67.02, 68.98) ਹੈ। 95% ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਚੌੜਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋ, ਕਿਉਂਕਿ ਖੇਤਰ 0.95, ਖੇਤਰ 0.90 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਇਹ ਸਮਝ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ 95% ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਚੌੜਾ ਹੈ। ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਸੱਚੇ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਮਤਲਬ ਸਟੈਟਿਸਟਿਕਸ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਸਕੋਰ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚੌੜਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
13. ਸਾਰ: ਭਰੋਸਾ ਪੱਧਰ ਬਦਲਣ ਦਾ ਪ੍ਰਭਾਵ
14. ਭਰੋਸਾ ਪੱਧਰ ਵਧਾਉਣ ਨਾਲ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ ਵਧ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਚੌੜਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
15. ਭਰੋਸਾ ਪੱਧਰ ਘਟਾਉਣ ਨਾਲ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ ਘੱਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਤੰਗ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
16. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 8.4
17. ਪੀਜ਼ਾ-ਡਿਲੀਵਰੀ ਅਜ਼ਮਾਓ ਅਭਿਆਸ ਵੱਲ ਮੁੜੋ। ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਛੇ ਮਿੰਟ ਹੈ ਅਤੇ ਨਮੂਨਾ ਮਤਲਬ ਡਿਲੀਵਰੀ ਸਮਾਂ 36 ਮਿੰਟ ਹੈ। 20 ਦੇ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਸੱਚੇ ਮਤਲਬ ਪੀਜ਼ਾ ਡਿਲੀਵਰੀ ਸਮੇਂ ਲਈ 95% ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਅਨੁਮਾਨ ਲੱਭੋ।
18. ਉਦਾਹਰਨ 8.5
19. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਦਾਹਰਨ 8.2 ਦੀ ਮੂਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਜੇ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
20. ਸਮੱਸਿਆ
21. ਸਭ ਕੁਝ ਉਹੀ ਰੱਖੋ ਸਿਵਾਏ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਦੇ। ਮੂਲ 90% ਭਰੋਸਾ ਪੱਧਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ n = 36 ਦੀ ਬਜਾਏ n = 100 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ ਅਤੇ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਨੂੰ n = 36 ਦੀ ਬਜਾਏ n = 25 ਤੱਕ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
22. x ¯ = 68
23. ਈ.ਬੀ.ਐਮ. = ( z α 2 )( σ n )
24. σ = 3; ਭਰੋਸਾ ਪੱਧਰ 90% (ਸੀ.ਐਲ.=0.90) ਹੈ; z α 2 = z0.05 = 1.645.
Solution
If we increase the sample size n to 100, we decrease the error bound.
When n = 100: EBM = ( z α 2 )( σ n ) ( z α 2 )( σ n ) = (1.645)( 3 100 ) ( 3 100 ) = 0.4935.
Solution
If we decrease the sample size n to 25, we increase the error bound.
When n = 25: EBM = ( z α 2 )( σ n ) ( z α 2 )( σ n ) = (1.645)( 3 25 ) ( 3 25 ) = 0.987.
Summary: Effect of Changing the Sample Size
Increasing the sample size causes the error bound to decrease, making the confidence interval narrower.
Decreasing the sample size causes the error bound to increase, making the confidence interval wider.
Try It 8.5
Refer back to the pizza-delivery Try It exercise. The mean delivery time is 36 minutes and the population standard deviation is six minutes. Assume the sample size is changed to 50 restaurants with the same sample mean. Find a 90% confidence interval estimate for the population mean delivery time.
Working Backwards to Find the Error Bound or Sample Mean
When we calculate a confidence interval, we find the sample mean, calculate the error bound, and use them to calculate the confidence interval. However, sometimes when we read statistical studies, the study may state the confidence interval only. If we know the confidence interval, we can work backwards to find both the error bound and the sample mean.
From the upper value for the interval, subtract the sample mean,
OR, from the upper value for the interval, subtract the lower value. Then divide the difference by two.
Subtract the error bound from the upper value of the confidence interval,
OR, average the upper and lower endpoints of the confidence interval.
Notice that there are two methods to perform each calculation. You can choose the method that is easier to use with the information you know.
Example 8.6
Suppose we know that a confidence interval is (67.18, 68.82) and we want to find the error bound. We may know that the sample mean is 68, or perhaps our source only gave the confidence interval and did not tell us the value of the sample mean.
Calculate the Error Bound:
If we know that the sample mean is 68: EBM = 68.82 – 68 = 0.82.
If we don't know the sample mean: EBM = (68.82−67.18) 2 (68.82−67.18) 2 = 0.82.
Calculate the Sample Mean:
ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਗਲਤੀ ਦੀ ਸੀਮਾ ਪਤਾ ਹੋਵੇ: x ¯ x ¯ = 68.82 – 0.82 = 68
ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਗਲਤੀ ਦੀ ਸੀਮਾ ਪਤਾ ਨਾ ਹੋਵੇ: x ¯ x ¯ = (67.18+68.82) 2 (67.18+68.82) 2 = 68.
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 8.6
ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ (42.12, 47.88) ਹੈ। ਗਲਤੀ ਦੀ ਸੀਮਾ ਅਤੇ ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਿਅਮ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਦੀ ਗਣਨਾ n
ਜੇ ਖੋਜਕਰਤਾ ਇੱਕ ਖਾਸ ਗਲਤੀ ਦੀ ਮਾਰਜਿਨ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹ ਲੋੜੀਂਦੇ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਜਦੋਂ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲਨ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਮਾਧਿਅਮ ਲਈ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ ਫਾਰਮੂਲਾ EBM = ( z α 2 )( σ n ) ( z α 2 )( σ n ) ਹੈ।
ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ n = z 2 σ 2 EB M 2 z 2 σ 2 EB M 2 ਹੈ, ਜੋ ਕਿ n ਲਈ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ, z, z α 2 z α 2 ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਲੋੜੀਂਦੇ ਭਰੋਸੇ ਦੇ ਪੱਧਰ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ। ਇੱਕ ਖੋਜਕਰਤਾ ਜੋ ਇੱਕ ਅਧਿਐਨ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰਧਾਰਤ ਭਰੋਸੇ ਦਾ ਪੱਧਰ ਅਤੇ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਅਧਿਐਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.7
ਫੁੱਟਹਿਿੱਲ ਕਾਲਜ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਉਮਰ ਦਾ ਆਬਾਦੀ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲਨ 15 ਸਾਲ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 95% ਭਰੋਸਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਿਅਮ ਉਮਰ ਫੁੱਟਹਿਿੱਲ ਕਾਲਜ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਮਾਧਿਅਮ ਉਮਰ ਦੇ ਦੋ ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਿੰਨੇ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਚੁਣੇ ਗਏ ਫੁੱਟਹਿਿੱਲ ਕਾਲਜ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦਾ ਸਰਵੇਖਣ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਸਮੱਸਿਆ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ σ = 15 ਅਤੇ EBM = 2।
z = z0.025 = 1.96, ਕਿਉਂਕਿ ਭਰੋਸੇ ਦਾ ਪੱਧਰ 95% ਹੈ।
n = z 2 σ 2 EB M 2 z 2 σ 2 EB M 2 = ( 1.96 ) 2 ( 15 ) 2 2 2 ( 1.96 ) 2 ( 15 ) 2 2 2 = 216.09 ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ।
n = 217 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡਾ ਹੋਵੇ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹਮੇਸ਼ਾ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਅਗਲੇ ਉੱਚ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਇਸ ਲਈ, 217 ਫੁੱਟਹਿਿੱਲ ਕਾਲਜ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦਾ ਸਰਵੇਖਣ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ 95% ਭਰੋਸਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਅਸੀਂ ਫੁੱਟਹਿਿੱਲ ਕਾਲਜ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਮਾਧਿਅਮ ਉਮਰ ਦੇ ਦੋ ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹਾਂ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 8.7
ਹਾਈ ਸਕੂਲ ਬਾਸਕਟਬਾਲ ਖਿਡਾਰੀਆਂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦਾ ਆਬਾਦੀ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲਨ ਤਿੰਨ ਇੰਚ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 95% ਭਰੋਸਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਿਅਮ ਉਚਾਈ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਮਾਧਿਅਮ ਉਚਾਈ ਦੇ ਇੱਕ ਇੰਚ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਿੰਨੇ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਚੁਣੇ ਗਏ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦਾ ਸਰਵੇਖਣ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?