ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਤਿੰਨਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 10.6
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
ਵੰਡੋ: 2(x+3).2(x+3). ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆ ਦਿੱਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 7.17 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 10.7
ਵੰਡੋ: −11(4−3a).−11(4−3a). ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆ ਦਿੱਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 7.26 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 10.8
ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ: x2+9x+7x+63.x2+9x+7x+63. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆ ਦਿੱਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 2.21 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਵੰਡ ਗੁਣ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ 2(x−3).2(x−3) ਵਰਗੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵੰਡ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਿਆ। ਤੁਸੀਂ ਕੰਸਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋਵੇਂ ਪਦ, xand3,xand3, ਨੂੰ 2,2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ, ਜਿਸ ਨਾਲ 2x−6.2x−6 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਇਆ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਨਵੇਂ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਨਾਲ, ਤੁਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ, x−3,x−3, ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੋਨੋਮੀਅਲ, 2.2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰ ਰਹੇ ਸੀ। ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਕੁਝ ਵੀ ਨਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹੈ!
ਉਦਾਹਰਨ 10.28
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: 3(x+7).3(x+7).
ਹੱਲ
ਸਤਰ: 3(x+7)3(x+7)
ਸਤਰ: ਵੰਡੋ।
ਸਤਰ: 3·x+3·73·x+3·7
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | 3x+213x+21
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 10.55
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: 6(x+8).6(x+8).
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 10.56
2(y+12).2(y+12) ਦਾ ਗੁਣਾ।
1. ਦਸਾਂ ਨੌਹਾਂ ਦੀ ਕਮਾਈ, ਸੱਚੀ ਸੁੱਚੀ ਰੋਟੀ।
ਗੁਣਾਂ: x(x−8).x(x−8).
1. ਹੱਲ
1. ਕਤਾਰ: ਵੰਡੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
1. ਇਸ ਨੂੰ 10.57 ਤੱਕ ਅਜ਼ਮਾਓ
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: y(y−9).y(y−9).
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.58
1. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: p(p−13).p(p−13).
1. ਉਦਾਹਰਨ 10.30
10x(4x+y) ਦਾ ਗੁਣਾ 10x(4x+y) ਨਾਲ।
1. ਹੱਲ
1. ਕਤਾਰ: ਵੰਡੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.59
8x(x+3y) ਦਾ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.60
3r(6r+s).3r(6r+s) ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ।
ਇਕਪਦੀ ਨੂੰ ਤਿੰਨਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਵੀ ਲਗਭਗ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੀ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ।
1. ਉਦਾਹਰਨ 10.31
−10x³ − 14x² + 6x
1. ਹੱਲ
1. −2x(5x^2+7x−3)−2x(5x^2+7x−3)
1. ਵੰਡੋ।
2. −10x3−14x2+6x−10x3−14x2+6x
3. ਸਰਲ ਕਰੋ। | −20x3−28x2+12x
4. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 10.61
5. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: −32y3−20y2+36y.
6. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 10.62
7. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: −54x3−6x2+6x.
8. ਉਦਾਹਰਨ 10.32
9. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: 4y5−32y4+4y3.
10. ਹੱਲ
11. 4y5−32y4+4y3
12. ਵੰਡੋ।
13. 4y3⋅y2−4y3⋅8y+4y3⋅1
14. ਸਰਲ ਕਰੋ। | 4y5−32y4+4y3
15. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 10.63
16. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: 12x4−9x3+27x2.
17. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 10.64
18. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: 24y4−16y3−32y2.
19. ਹੁਣ ਦੂਜਾ ਗੁਣਕ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਹੋਵੇਗਾ।
20. ਉਦਾਹਰਨ 10.33
21. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: xp+3p.
22. ਹੱਲ
23. xp+3p
24. ਵੰਡੋ।
x⋅p+3⋅px⋅p+3⋅p
xp+3pxp+3p
੧੦.੬੫ ਅਜ਼ਮਾਓ
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+8)p.(x+8)p.
੧੦.੬੬ ਅਜ਼ਮਾਓ
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (a+4)p.(a+4)p.
ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਜਿਵੇਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕੇ ਹਨ, ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਦੋ-ਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਈ ਵਿਧੀਆਂ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।
ਵਿਤ੍ਰਕ ਗੁਣਨਖੰਡ (Distributive Property) ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਅਸੀਂ ਵਿਤ੍ਰਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਉਦਾਹਰਨ ੧੦.੩੩ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਦੇਖੋ।
ਅਸੀਂ pp ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ pp ਦਾ ਵਿਤ੍ਰਕ ਕੀਤਾ
ਜੇਕਰ pp ਦੀ ਬਜਾਏ ਸਾਡੇ ਕੋਲ (x+7)(x+7) ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ?
(x+7)(x+7) ਦਾ ਵਿਤ੍ਰਕ ਕਰੋ।
ਦੁਬਾਰਾ ਵਿਤ੍ਰਕ ਕਰੋ। | x2+7x+3x+21x2+7x+3x+21
ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। | x2+10x+21x2+10x+21
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਚਾਰ ਪਦ ਸਨ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੀ ਦੋ-ਪਦੀ ਦੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਦੋ-ਪਦੀ ਦੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ—ਚਾਰ ਗੁਣਾ।
ਜੋੜ ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹੋ।
ਉਦਾਹਰਨ ੧੦.੩੪
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+6)(x+8).(x+6)(x+8).
ਹੱਲ
(x+6)(x+8)(x+6)(x+8)
(x+8)(x+8) ਦਾ ਵਿਤ੍ਰਕ ਕਰੋ।
ਦੁਬਾਰਾ ਵਿਤ੍ਰਕ ਕਰੋ। | x2+8x+6x+48x2+8x+6x+48
ਸਰਲ ਕਰੋ। | x2+14x+48x2+14x+48
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.67
2. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+8)(x+9).(x+8)(x+9).
3. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.68
4. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (a+4)(a+5).(a+4)(a+5).
5. ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਚੱਲ (variable) ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ (coefficient) ਹੋਵੇ।
6. ਉਦਾਹਰਨ 10.35
7. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (2x+9)(3x+4).(2x+9)(3x+4).
8. ਹੱਲ
9. ਕਤਾਰ: (2x+9)(3x+4)(2x+9)(3x+4)
10. ਕਤਾਰ: ਵੰਡੋ। (3x+4)(3x+4)
11. ਕਤਾਰ: ਦੁਬਾਰਾ ਵੰਡੋ। | 6x2+8x+27x+366x2+8x+27x+36
12. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 6x2+35x+366x2+35x+36
13. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.69
14. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (5x+9)(4x+3).(5x+9)(4x+3).
15. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.70
16. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (10m+9)(8m+7).(10m+9)(8m+7).
17. ਪਿਛਲੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਜੋੜ ਸਨ। ਜਦੋਂ ਅੰਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਧਿਆਨ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਸਹੀ ਹੋਣ।
18. ਉਦਾਹਰਨ 10.36
19. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (4y+3)(6y−5).(4y+3)(6y−5).
20. ਹੱਲ
21. ਕਤਾਰ: (4y+3)(6y−5)(4y+3)(6y−5)
22. ਕਤਾਰ: ਵੰਡੋ।
23. ਕਤਾਰ: ਦੁਬਾਰਾ ਵੰਡੋ। | 24y2−20y+18y−1524y2−20y+18y−15
24. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 24y2−2y−1524y2−2y−15
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.71
2. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (7y+1)(8y−3)
3. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.72
4. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (3x+2)(5x−8)
5. ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ, ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਇੱਕ ਤਿੰਨਪਦੀ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
6. ਉਦਾਹਰਨ 10.37
7. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+2)(x−y)
8. ਹੱਲ
9. ਕਤਾਰ: ਵੰਡੋ।
10. ਕਤਾਰ: ਮੁੜ ਵੰਡੋ।
11. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | ਜੋੜਨ ਲਈ ਕੋਈ ਸਮਾਨ ਪਦ ਨਹੀਂ ਹਨ।
12. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.73
13. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+5)(x−y)
14. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.74
15. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+2y)(x−1)
16. FOIL ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
17. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਚਾਰ ਪਦ ਮਿਲਦੇ ਹਨ। ਕਈ ਵਾਰ ਤੁਸੀਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਇੱਕ ਤਿੰਨਪਦੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਪਰ ਕਈ ਵਾਰ ਜੋੜਨ ਲਈ ਕੋਈ ਸਮਾਨ ਪਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਆਓ ਆਖਰੀ ਉਦਾਹਰਨ ਨੂੰ ਮੁੜ ਦੇਖੀਏ ਅਤੇ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਧਿਆਨ ਦੇਈਏ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਚਾਰ ਪਦ ਕਿਵੇਂ ਮਿਲੇ।
18. ਪਹਿਲਾ ਪਦ, x², ਕਿੱਥੋਂ ਆਇਆ?
19. ਇਹ x ਅਤੇ x, (x+2) ਅਤੇ (x−y) ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ।
20. ਅਗਲਾ ਪਦ, −xy, x ਅਤੇ −y, ਦੋ ਬਾਹਰੀ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ।
21. ਤੀਜਾ ਪਦ, +2x, 2 ਅਤੇ x, ਦੋ ਅੰਦਰੂਨੀ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ।
22. ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ, −2y, ਦੋ ਆਖਰੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਆਇਆ।
23. ਅਸੀਂ "ਪਹਿਲਾ, ਬਾਹਰੀ, ਅੰਦਰੂਨੀ, ਆਖਰੀ" ਨੂੰ FOIL ਵਜੋਂ ਸੰਖੇਪ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅੱਖਰ 'ਪਹਿਲਾ, ਬਾਹਰੀ, ਅੰਦਰੂਨੀ, ਆਖਰੀ' ਲਈ ਖੜ੍ਹੇ ਹਨ। FOIL ਸ਼ਬਦ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਆਸਾਨ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਚਾਰ ਗੁਣਨਫਲ ਲੱਭੀਏ। ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ FOIL ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
24. ਆਓ (x+3)(x+7) ਨੂੰ ਮੁੜ ਦੇਖੀਏ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ FOIL ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
1. ਮਿਸਾਲ 10.38
2. FOIL ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+6)(x+9).(x+6)(x+9).
3. ਹੱਲ
4. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ: ਪਹਿਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
5. ਕਤਾਰ: ਦੂਜਾ ਕਦਮ: ਬਾਹਰੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
6. ਕਤਾਰ: ਤੀਜਾ ਕਦਮ: ਅੰਦਰੂਨੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
7. ਕਤਾਰ: ਚੌਥਾ ਕਦਮ: ਅੰਤਿਮ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
8. ਕਤਾਰ: ਪੰਜਵਾਂ ਕਦਮ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ, ਜਦੋਂ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ, ਜੋੜੋ।
9. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.75
10. FOIL ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+7)(x+8).(x+7)(x+8).
11. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.76
12. FOIL ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (y+14)(y+2).(y+14)(y+2).
13. ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ FOIL ਵਿਧੀ ਦੇ ਕਦਮਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। FOIL ਵਿਧੀ ਕੇਵਲ ਦੋ-ਪਦੀ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਹੋਰ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਲਈ ਨਹੀਂ!
14. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
15. ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ FOIL ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
16. ਕਦਮ 1. ਪਹਿਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
17. ਕਦਮ 2. ਬਾਹਰੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
18. ਕਦਮ 3. ਅੰਦਰੂਨੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
19. ਕਦਮ 4. ਅੰਤਿਮ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
20. ਕਦਮ 5. ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ, ਜਦੋਂ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ, ਜੋੜੋ।
21. ਮਿਸਾਲ 10.39
22. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (y−8)(y+6).(y−8)(y+6).
23. ਹੱਲ
24. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ: ਪਹਿਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 2: ਬਾਹਰੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
2. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 3: ਅੰਦਰੂਨੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
3. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 4: ਆਖਰੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
4. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 5: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
5. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.77
6. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (y−3)(y+8)।
7. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.78
8. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (q−4)(q+5)।
9. ਉਦਾਹਰਨ 10.40
10. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (2a+3)(3a−1)।
11. ਹੱਲ
12. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
13. ਕਤਾਰ: ਬਾਹਰੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
14. ਕਤਾਰ: ਅੰਦਰੂਨੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
15. ਕਤਾਰ: ਆਖਰੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
16. ਕਤਾਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
17. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.79
18. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (4a+9)(5a−2)।
19. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.80
20. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (7x+4)(7x−8)।
21. ਉਦਾਹਰਨ 10.41
22. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (5x−y)(2x−7)।
23. ਹੱਲ
24. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਗੁਣਨਫਲ: ਬਾਹਰੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਗੁਣਨਫਲ: ਅੰਦਰੂਨੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਗੁਣਨਫਲ: ਅੰਤਿਮ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। ਇੱਥੇ ਕੋਈ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.81
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (12x−y)(x−5)।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.82
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (6a−b)(2a−9)।
ਖੜਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
FOIL ਵਿਧੀ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਤੇਜ਼ ਵਿਧੀ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਸਿਰਫ ਦੋਪਦੀਆਂ ਲਈ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਿਤਰਨ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਿਧੀ ਜੋ ਸਾਰੀਆਂ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਲਈ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਉਹ ਖੜਵੀਂ ਵਿਧੀ ਹੈ। ਇਹ ਉਸ ਵਿਧੀ ਵਰਗੀ ਹੀ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਤੁਸੀਂ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹੋ। ਦੋ-ਅੰਕੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਦੇਖੋ।
ਤੁਸੀਂ 138.138 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ 2323 ਨੂੰ 66 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹੋ।
ਫਿਰ ਤੁਸੀਂ 2323 ਨੂੰ 4,4 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਅੰਸ਼ਕ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਸਹੀ ਕਾਲਮਾਂ ਵਿੱਚ ਇਕਸਾਰ ਕਰਦੇ ਹੋ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਅੰਸ਼ਕ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹੋ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸੇ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.42
ਖੜਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (5x−1)(2x−7)।
ਹੱਲ
ਇਸ ਨਾਲ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ ਕਿ ਕਿਹੜੀ ਦੋਪਦੀ ਉੱਪਰ ਰੱਖੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਕਾਲਮਾਂ ਨੂੰ ਇਕਸਾਰ ਕਰੋ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ 23(46) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਕੀਤਾ ਸੀ।
ਪੰਗਤੀ: 2x−7 ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਪੰਗਤੀ: 2x−7 ਨੂੰ 5x ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅੰਸ਼ਕ ਗੁਣਨਫਲ FOIL ਵਿਧੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.83
ਖੜਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (4m−9)(3m−7)।
1. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 10.84
2. ਲੰਬਕਾਰੀ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (6n−5)(7n−2)।
3. ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿੰਨ ਵਿਧੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਵਿਧੀ ਦਾ ਅਭਿਆਸ ਕਰਨਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ, ਅਤੇ ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ ਕਿ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਿਹੜੀ ਪਸੰਦ ਹੈ। ਤਿੰਨ ਵਿਧੀਆਂ ਇੱਥੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਸੂਚੀਬੱਧ ਹਨ।
4. ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
5. ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦਾ ਗੁਣ
FOIL Method
6. ਲੰਬਕਾਰੀ ਵਿਧੀ
7. ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
8. ਅਸੀਂ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ, ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ, ਅਤੇ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, FOIL ਵਿਧੀ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਨਹੀਂ ਕਰੇਗੀ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਜਾਂ ਤਾਂ ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦੇ ਗੁਣ ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦੇ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
9. ਉਦਾਹਰਨ 10.43
10. ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦੇ ਗੁਣ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+3)(2x2−5x+8)।
11. ਹੱਲ
12. ਕਤਾਰ: ਵੰਡੋ।
13. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 2x3−5x2+8x+6x2−15x+24
14. ਕਤਾਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। | 2x3+x2−7x+24
15. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 10.85
16. ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦੇ ਗੁਣ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (y−1)(y2−7y+2)।
17. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 10.86
18. ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦੇ ਗੁਣ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+2)(3x2−4x+5)।
19. ਹੁਣ ਆਓ ਇਸੇ ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਕਰੀਏ।
20. ਉਦਾਹਰਨ 10.44
21. ਲੰਬਕਾਰੀ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+3)(2x2−5x+8)।
22. ਹੱਲ
23. ਘੱਟ ਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਰੱਖਣਾ ਆਸਾਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਾਨੂੰ ਘੱਟ ਅੰਸ਼ਕ ਗੁਣਨਫਲ ਮਿਲਦੇ ਹਨ।
24. ਕਤਾਰ: (2x2−5x+8) ਨੂੰ 3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
1. (2x²−5x+8)(2x²−5x+8) ਨੂੰ xx ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
2. ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
3. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.87
4. ਲੰਬਕਾਰੀ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (y−1)(y²−7y+2)।
5. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.88
6. ਲੰਬਕਾਰੀ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+2)(3x²−4x+5)।
7. ਮੀਡੀਆ
ACCESS ADDITIONAL ONLINE RESOURCES
8. ਮੋਨੋਮੀਅਲਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
9. ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
10. ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ 22
11. ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲਾਂ ਦੀ ਗੁਣਾ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ
12. ਵਿਤਰਨ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
13. ਬਾਈਨੋਮੀਅਲਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
14. ਅਭਿਆਸ ਪਰਪੱਕਤਾ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ
15. ਇੱਕ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਇੱਕ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
16. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
17. 4 ( x + 10 )
18. 6 ( y + 8 )
19. 15 ( r − 24 )
20. 12 ( v − 30 )
21. −3 ( m + 11 )
22. −4 ( p + 15 )
23. −8 ( z − 5 )
24. −3 ( x − 9 )
ਉ (ਉ + 5) ਉ (ਉ + 5)
੧. ਕ (ਕ + ੭) ਕ (ਕ + ੭)
1. n ( n 2 − 3 n ) n ( n 2 − 3 n )
1. ਸ (ਸ² - 6ਸ) ਸ (ਸ² - 6ਸ)
12 x ( x − 10 ) 12 x ( x − 10 )
9 ਮ ( ਮ − 11 ) 9 ਮ ( ਮ − 11 )
−9a(3a+5)−9a(3a+5)
−8p^2 − 28p − 8p^2 − 28p
6 x ( 4 x + y ) 6 x ( 4 x + y )
1. ੫ ਞ (੯ ਞ + ਬ) ੫ ਞ (੯ ਞ + ਬ)
5 ਪ (11 ਪ - 5 ਞ) 5 ਪ (11 ਪ - 5 ਞ)
12 u ( 3 u − 4 v ) 12 u ( 3 u − 4 v )
3 ( v 2 + 10 v + 25 ) 3 ( v 2 + 10 v + 25 )
6 ( x² + 8x + 16 ) 6 ( x² + 8x + 16 )
2 n ( 4 n 2 − 4 n + 1 ) 2 n ( 4 n 2 − 4 n + 1 )
3 r ( 2 r 2 − 6 r + 2 ) 3 r ( 2 r 2 − 6 r + 2 )
−8y³ − 16y² + 120y
−5 ਮ ( ਮ² + 3 ਮ − 18 )
5 q 3 ( q 2 − 2 q + 6 ) 5 q 3 ( q 2 − 2 q + 6 )
9 r 3 ( r 2 − 3 r + 5 ) 9 r 3 ( r 2 − 3 r + 5 )
−4 z 2 ( 3 z 2 + 12 z − 1 ) −4 z 2 ( 3 z 2 + 12 z − 1 )
−3 x 2 ( 7 x 2 + 10 x − 1 ) −3 x 2 ( 7 x 2 + 10 x − 1 )
( 2 y − 9 ) y ( 2 y − 9 ) y
1. ( 8 ਬ - 1 ) ਬ ( 8 ਬ - 1 ) ਬ
1. (ਡਬਲਯੂ − 6) · 8 (ਡਬਲਯੂ − 6) · 8
( k − 4 ) · 5 ( k − 4 ) · 5
ਦੋ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: ⓐ ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਗੁਣ ⓑ FOIL ਵਿਧੀ ⓒ ਖੜ੍ਹੀ ਵਿਧੀ
( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 4 ) ( x + 6 )
1. (ਉ + ੮) (ਉ + ੨) (ਉ + ੮) (ਉ + ੨)
( n + 12 ) ( n − 3 ) ( n + 12 ) ( n − 3 )
( y + 3 ) ( y − 9 ) ( y + 3 ) ( y − 9 )
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਕੋਈ ਵੀ ਵਿਧੀ ਵਰਤੋ।
( y + ੮ ) ( y + ੩ ) ( y + ੮ ) ( y + ੩ )
( x + 5 ) ( x + 9 ) ( x + 5 ) ( x + 9 )
1. (ਅ + 6) (ਅ + 16) (ਅ + 6) (ਅ + 16)
( ਕ + ੮ ) ( ਕ + ੧੨ ) ( ਕ + ੮ ) ( ਕ + ੧੨ )
1. (ਉ - ੫) (ਉ - ੮) (ਉ - ੫) (ਉ - ੮)
1. (ਰ - 6) (ਰ - 2) (ਰ - 6) (ਰ - 2)
( ζ − 10 ) ( ζ − 22 ) ( ζ − 10 ) ( ζ − 22 )
(ਬ - ੫) (ਬ - ੨੪) (ਬ - ੫) (ਬ - ੨੪)
( x − 4 ) ( x + 7 ) ( x − 4 ) ( x + 7 )
(ਸ − 3) (ਸ + 8) (ਸ − 3) (ਸ + 8)
( v + 12 ) ( v − 5 ) ( v + 12 ) ( v − 5 )
( d + 15 ) ( d − 4 ) ( d + 15 ) ( d − 4 )
( 6 n + 5 ) ( n + 1 ) ( 6 n + 5 ) ( n + 1 )
(੭ਯ + ੧) (ਯ + ੩) (੭ਯ + ੧) (ਯ + ੩)
(2m - 9)(10m + 1)(2m - 9)(10m + 1)
( 5 r − 4 ) ( 12 r + 1 ) ( 5 r − 4 ) ( 12 r + 1 )
(4c - 1)(4c + 1)(4c - 1)(4c + 1)
( 8 n − 1 ) ( 8 n + 1 ) ( 8 n − 1 ) ( 8 n + 1 )
1. ( 3 u − 8 ) ( 5 u − 14 ) ( 3 u − 8 ) ( 5 u − 14 )
(੨੦੦੭ - ੫੦੦੦) (੭੦੦੦ - ੧੧੦੦੦) (੨੦੦੭ - ੫੦੦੦) (੭੦੦੦ - ੧੧੦੦੦)
(ੳ + ਅ) (੨ੳ + ੩ਅ) (ੳ + ਅ) (੨ੳ + ੩ਅ)
(ਰ + ਸ) (3ਰ + 2ਸ) (ਰ + ਸ) (3ਰ + 2ਸ)
( 5x − y ) ( x − 4 ) ( 5x − y ) ( x − 4 )
( 4 ζ − y ) ( ζ − 6 ) ( 4 ζ − y ) ( ζ − 6 )
ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ⓐ ਵੰਡਣ ਵਾਲੇ ਗੁਣ ਅਤੇ ⓑ ਖੜ੍ਹਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
1. (ਉ + 4) (ਉ 2 + 3ਉ + 2) (ਉ + 4) (ਉ 2 + 3ਉ + 2)
( x + 5 ) ( x 2 + 8 x + 3 ) ( x + 5 ) ( x 2 + 8 x + 3 )
( ਏ + ੧੦ ) ( ੩ ਏ ² + ਏ − ੫ ) ( ਏ + ੧੦ ) ( ੩ ਏ ² + ਏ − ੫ )
(ਨ + 8) (4ਨ² + ਨ - 7) (ਨ + 8) (4ਨ² + ਨ - 7)
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਕੋਈ ਵੀ ਤਰੀਕਾ ਵਰਤੋ।
( y − 6 ) ( y 2 − 10 y + 9 ) ( y − 6 ) ( y 2 − 10 y + 9 )
( k − 3 ) ( k 2 − 8 k + 7 ) ( k − 3 ) ( k 2 − 8 k + 7 )
( 2 x + 1 ) ( x 2 − 5 x − 6 ) ( 2 x + 1 ) ( x 2 − 5 x − 6 )
( 5 v + 1 ) ( v 2 − 6 v − 10 ) ( 5 v + 1 ) ( v 2 − 6 v − 10 )
ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਗਣਿਤ
1. ਮਾਨਸਿਕ ਗਣਨਾ ਤੁਸੀਂ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਮੰਨ ਲਓ ਤੁਹਾਨੂੰ 1313 ਨੂੰ 1515 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। 1313 ਨੂੰ 10+310+3 ਅਤੇ 1515 ਨੂੰ 10+5.10+5 ਵਜੋਂ ਸੋਚੋ।
ⓐ (10+3)(10+5)(10+3)(10+5) ਨੂੰ FOIL ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
1. 13·1513·15 ਨੂੰ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
1. ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਕਿਹੜਾ ਤਰੀਕਾ ਸੌਖਾ ਹੈ? ਕਿਉਂ?
2. ਮਾਨਸਿਕ ਗਣਨਾ ਤੁਸੀਂ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਮੰਨ ਲਓ ਤੁਹਾਨੂੰ 18.18 ਨੂੰ 17.17 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। 18.18 ਨੂੰ 20−2 ਅਤੇ 17.17 ਨੂੰ 20−3 ਵਜੋਂ ਸੋਚੋ।
3. ⓐ FOIL ਵਿਧੀ ਨਾਲ (20−2)(20−3)(20−2)(20−3) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
4. ⓑ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ 18·1718·17 ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
5. ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਕਿਹੜਾ ਤਰੀਕਾ ਸੌਖਾ ਹੈ? ਕਿਉਂ?
6. ਲਿਖਣ ਦੇ ਅਭਿਆਸ
7. ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਵਰਤਣਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦੇ ਹੋ—ਵਿਤਰੀ ਗੁਣ, FOIL ਵਿਧੀ, ਜਾਂ ਖੜ੍ਹਵੀਂ ਵਿਧੀ? ਕਿਉਂ?
8. ਇੱਕ ਤਿੰਨਪਦੀ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਵਰਤਣਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦੇ ਹੋ—ਵਿਤਰੀ ਗੁਣ ਜਾਂ ਖੜ੍ਹਵੀਂ ਵਿਧੀ? ਕਿਉਂ?
9. ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
10. ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
11. ⓑ ਇਹ ਚੈਕਲਿਸਟ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੱਸਦੀ ਹੈ? ਸੁਧਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੇ ਕਦਮ ਚੁੱਕੋਗੇ?