ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲੌਟ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਖੜ੍ਹੀਆਂ ਅਤੇ ਲੇਟਵੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਤਿਆਰੀ 11.4
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: 3x+23x+2 ਜਦੋਂ x=−1.x=−1। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 3.56 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 11.5
ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: 5x+2y=205x+2y=20 y ਲਈ।y। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 9.62 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 11.6
ਸਰਲ ਕਰੋ: 38(−24)।38(−24)। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 4.28 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ
ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ 3x+2y=63x+2y=6 ਦੇ ਕੁਝ ਹੱਲ ਲੱਭੇ। ਉਹ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਆਰਡਰ ਕੀਤੇ ਜੋੜੇ (0,3)(0,3), (2,0)(2,0), (1,32)(1,32), (4,−3)(4,−3), ਸਮੀਕਰਨ 3x+2y=63x+2y=6 ਦੇ ਕੁਝ ਹੱਲ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਪਲੌਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਬਿੰਦੂ ਕਿਵੇਂ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇਕਸਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ? ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ 3x+2y=63x+2y=6 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਨਾਲ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਰੇਖਾ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਤੀਰਾਂ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ। ਇਹ ਤੀਰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਰੇਖਾ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।
ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹਰ ਹੱਲ ਇਸ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹਨ!
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜਿਸ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ (−2,6)(−2,6) ਹਨ, ਉਹ ਚਿੱਤਰ 11.8 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x=−2x=−2 ਅਤੇ y=6y=6 ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ (4,1)(4,1) ਸਮੀਕਰਨ 3x+2y=63x+2y=6 ਦਾ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਬਿੰਦੂ (4,1)(4,1) ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਇਹ ਕਹਾਵਤ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ, "ਇੱਕ ਤਸਵੀਰ ਹਜ਼ਾਰ ਸ਼ਬਦਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।" ਰੇਖਾ ਤੁਹਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਹੱਲ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ। ਅਤੇ, ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹਰ ਹੱਲ ਇਸ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹੈ। ਇਸ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 3x+2y=63x+2y=6 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ
ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹਰ ਹੱਲ ਇਸ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 11.15
y=2x−3y=2x−3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੇਠਾਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
1. ਹਰੇਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਲਈ ਫੈਸਲਾ ਕਰੋ
2. ⓐ ਕੀ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ?
3. ⓑ ਕੀ ਬਿੰਦੂ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹੈ?
4. (a) (0,–3)(0,–3)
5. (b) (3,3)(3,3)
6. (c) (2,−3)(2,−3)
7. (d) (−1,−5)(−1,−5)
8. ਹੱਲ
9. ਇਹ ਜਾਂਚਣ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ, xx- ਅਤੇ yy-ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
10. ⓐ
11. ⓑ ਬਿੰਦੂਆਂ A: (0,−3)(0,−3) B: (3,3)(3,3) C: (2,−3)(2,−3) ਅਤੇ D: (−1,−5)(−1,−5) ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ। ਬਿੰਦੂ (0,−3)(0,−3), (3,3)(3,3), ਅਤੇ (−1,−5)(−1,−5) ਰੇਖਾ y=2x−3y=2x−3 'ਤੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (2,−3)(2,−3) ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਹੈ।
12. ਜਿਹੜੇ ਬਿੰਦੂ y=2x−3y=2x−3 ਦੇ ਹੱਲ ਹਨ, ਉਹ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹਨ, ਪਰ ਜਿਹੜਾ ਬਿੰਦੂ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਉਹ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਹੈ।
13. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 11.29
14. y=3x−1y=3x−1 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
15. ਹਰੇਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਲਈ, ਫੈਸਲਾ ਕਰੋ
16. ⓐ ਕੀ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ?
17. ⓑ ਕੀ ਬਿੰਦੂ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹੈ?
18. (0,−1)(0,−1)
19. (2,2)(2,2)
20. (3,−1)(3,−1)
21. (−1,−4)(−1,−4)
22. ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
23. ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਈ ਤਰੀਕੇ ਵਰਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਜਿਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਸੀ, ਉਸਨੂੰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨਾ, ਜਾਂ ਪੁਆਇੰਟ-ਪਲਾਟਿੰਗ ਵਿਧੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
24. ਆਓ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ y=2x+1y=2x+1 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਈਏ।
We start by finding three points that are solutions to the equation. We can choose any value for xx or y,y, and then solve for the other variable.
Since yy is isolated on the left side of the equation, it is easier to choose values for x.x. We will use 0,1,0,1, and -2-2 for xx for this example. We substitute each value of xx into the equation and solve for y.y.
We can organize the solutions in a table. See Table 11.2.
row: y=2x+1y=2x+1
row: xx | yy | (x,y)(x,y)
row: 00 | 11 | (0,1)(0,1)
row: 11 | 33 | (1,3)(1,3)
row: −2−2 | −3−3 | (−2,−3)(−2,−3)
Now we plot the points on a rectangular coordinate system. Check that the points line up. If they did not line up, it would mean we made a mistake and should double-check all our work. See Figure 11.9.
Draw the line through the three points. Extend the line to fill the grid and put arrows on both ends of the line. The line is the graph of y=2x+1.y=2x+1.
How To
Graph a linear equation by plotting points.
Step 1. Find three points whose coordinates are solutions to the equation. Organize them in a table.
Step 2. Plot the points on a rectangular coordinate system. Check that the points line up. If they do not, carefully check your work.
Step 3. Draw the line through the points. Extend the line to fill the grid and put arrows on both ends of the line.
It is true that it only takes two points to determine a line, but it is a good habit to use three points. If you plot only two points and one of them is incorrect, you can still draw a line but it will not represent the solutions to the equation. It will be the wrong line. If you use three points, and one is incorrect, the points will not line up. This tells you something is wrong and you need to check your work. See Figure 11.11.
Figure 11.11: Look at the difference between (a) and (b). All three points in (a) line up so we can draw one line through them. The three points in (b) do not line up. We cannot draw a single straight line through all three points.
Example 11.16
Graph the equation y=−3x.y=−3x.
Solution
Find three points that are solutions to the equation. It’s easier to choose values for x,x, and solve for y.y. Do you see why?
List the points in a table.
row: y=−3xy=−3x
row: xx | yy | (x,y)(x,y)
row: 00 | 00 | (0,0)(0,0)
row: 11 | 33 | (1,−3)(1,−3)
row: −2−2 | 66 | (−2,6)(−2,6)
Plot the points, check that they line up, and draw the line as shown.
Try It 11.30
Graph the equation by plotting points: y=−4x.y=−4x.
Try It 11.31
Graph the equation by plotting points: y=x.y=x.
When an equation includes a fraction as the coefficient of x,x, we can substitute any numbers for x.x. But the math is easier if we make ‘good’ choices for the values of x.x. This way we will avoid fraction answers, which are hard to graph precisely.
Example 11.17
Graph the equation y=12x+3.y=12x+3.
Solution
Find three points that are solutions to the equation. Since this equation has the fraction 1212 as a coefficient of x,x, we will choose values of xx carefully. We will use zero as one choice and multiples of 22 for the other choices.
The points are shown in the table.
row: y=12x+3y=12x+3
row: xx | yy | (x,y)(x,y)
row: 00 | 33 | (0,3)(0,3)
row: 22 | 44 | (2,4)(2,4)
row: 44 | 55 | (4,5)(4,5)
Plot the points, check that they line up, and draw the line as shown.
Try It 11.32
Graph the equation: y=13x−1.y=13x−1.
Try It 11.33
Graph the equation: y=14x+2.y=14x+2.
So far, all the equations we graphed had yy given in terms of x.x. Now we’ll graph an equation with xx and yy on the same side.
Example 11.18
Graph the equation x+y=5.x+y=5.
Solution
Find three points that are solutions to the equation. Remember, you can start with any value of xx or y.y.
We list the points in a table.
row: x+y=5x+y=5
row: xx | yy | (x,y)(x,y)
row: 00 | 55 | (0,5)(0,5)
row: 11 | 44 | (1,4)(1,4)
row: 44 | 11 | (4,1)(4,1)
Then plot the points, check that they line up, and draw the line.
Try It 11.34
Graph the equation: x+y=−2.x+y=−2.
Try It 11.35
Graph the equation: x−y=6.x−y=6.
In the previous example, the three points we found were easy to graph. But this is not always the case. Let’s see what happens in the equation 2x+y=3.2x+y=3. If yy is 0,0, what is the value of x?x?
The solution is the point (32,0).(32,0). This point has a fraction for the xx-coordinate. While we could graph this point, it is hard to be precise graphing fractions. Remember in the example y=12x+3,y=12x+3, we carefully chose values for xx so as not to graph fractions at all. If we solve the equation 2x+y=32x+y=3 for y,y, it will be easier to find three solutions to the equation.
Now we can choose values for xx that will give coordinates that are integers. The solutions for x=0,x=1,x=0,x=1, and x=−1x=−1 are shown.
row: y=−2x+3y=−2x+3
row: xx | yy | (x,y)(x,y)
row: 00 | 33 | (0,3)(0,3)
row: 11 | 11 | (1,1)(1,1)
row: −1−1 | 55 | (-1,5)(-1,5)
11.19 ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ
ਸਮੀਕਰਨ 3x+y=−1 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉ।
ਹੱਲ
ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਹੋਣ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
3x+y=−1 y=−3x−1
ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭਣ ਲਈ x ਨੂੰ 0, 1, ਅਤੇ −1 ਮੰਨਾਂਗੇ। ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ, ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਉਹ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਅਤੇ ਲਾਈਨ ਖਿੱਚੋ।
ਸਾਰਣੀ: y=−3x−1
ਸਾਰਣੀ: x | y | (x,y)
0 | −1 | (0,−1)
1 | −4 | (1,−4)
−1 | 2 | (−1,2)
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਲੱਗੇਗਾ ਕਿ ਤੁਹਾਡਾ ਗ੍ਰਾਫ ਕਿਤਾਬ ਦੇ ਜਵਾਬਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਨੂੰ ਜਿੱਥੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ, ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ।
11.36 ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ
ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉ: 2x+y=2.
11.37 ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ
ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉ: 4x+y=−3.
ਖੜ੍ਹੀਆਂ ਅਤੇ ਲੇਟਵੀਆਂ ਲਾਈਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉ
ਕੀ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਸਿਰਫ਼ x ਅਤੇ ਕੋਈ y ਨਹੀਂ, ਜਾਂ ਸਿਰਫ਼ y ਅਤੇ ਕੋਈ x ਨਹੀਂ? ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਟੇਬਲ ਕਿਵੇਂ ਬਣਾਵਾਂਗੇ?
ਆਓ ਸਮੀਕਰਨ x=−3 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ। ਸਮੀਕਰਨ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ x ਹਮੇਸ਼ਾ −3 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ y 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਭਾਵੇਂ y ਕੁਝ ਵੀ ਹੋਵੇ, x ਦਾ ਮੁੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ −3 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਟੇਬਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ x ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ −3 ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ y ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਚੁਣੋ। ਕਿਉਂਕਿ x, y 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ, ਤੁਸੀਂ ਕੋਈ ਵੀ ਅੰਕ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹੋ ਜੋ ਤੁਹਾਨੂੰ ਪਸੰਦ ਹੋਵੇ। ਪਰ ਸਾਡੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਹੋਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਲਈ 1, 2, ਅਤੇ 3 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਸਾਰਣੀ: x=−3
ਸਾਰਣੀ: x | y | (x,y)
−3 | 1 | (−3,1)
1. ਕਤਾਰ: −3−3 | 22 | (−3,2)(−3,2)
2. ਕਤਾਰ: −3−3 | 33 | (−3,3)(−3,3)
3. ਫਿਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਨਾਲ ਜੋੜੋ। ਚਿੱਤਰ 11.12 ਵਿੱਚ ਦੇਖੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਖੜ੍ਵੀਂ ਰੇਖਾ ਹੈ।
4. ਖੜ੍ਵੀਂ ਰੇਖਾ
5. ਇੱਕ ਖੜ੍ਵੀਂ ਰੇਖਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ x=a ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
6. ਰੇਖਾ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ (a,0) ਤੇ ਪਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ।
7. ਉਦਾਹਰਨ 11.20
8. ਸਮੀਕਰਨ x=2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਇਹ ਕਿਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਰੇਖਾ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ?
9. ਹੱਲ
10. ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਚੱਲ, x, ਹੈ, ਅਤੇ x ਹਮੇਸ਼ਾ 2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ x ਹਮੇਸ਼ਾ 2 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ y ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
11. ਕਤਾਰ: x=2
12. ਕਤਾਰ: x | y | (x,y)
13. ਕਤਾਰ: 2 | 1 | (2,1)
14. ਕਤਾਰ: 2 | 2 | (2,2)
15. ਕਤਾਰ: 2 | 3 | (2,3)
16. ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਜਿਵੇਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
17. ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਖੜ੍ਵੀਂ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜੋ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ 2 ਤੇ ਪਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ।
18. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.38
19. ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ: x=5।
20. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.39
21. ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ: x=−2।
22. ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ y ਹੋਵੇ ਪਰ x ਨਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ? ਆਓ ਸਮੀਕਰਨ y=4 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਈਏ। ਇਸ ਵਾਰ y-ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ y, x ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ।
23. ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਰੇ y ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ 4 ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਫਿਰ x ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਚੁਣੋ।
24. ਅਸੀਂ x-ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ 0, 2, ਅਤੇ 4 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
row: y=4y=4
row: xx | yy | (x,y)(x,y)
row: 00 | 44 | (0,4)(0,4)
row: 22 | 44 | (2,4)(2,4)
row: 44 | 44 | (4,4)(4,4)
Plot the points and connect them, as shown in Figure 11.13. This graph is a horizontal line passing through the y-axisy-axis at 4.4.
Horizontal Line
A horizontal line is the graph of an equation that can be written in the form y=b.y=b.
The line passes through the y-axisy-axis at (0,b).(0,b).
Example 11.21
Graph the equation y=−1.y=−1.
Solution
The equation y=−1y=−1 has only variable, y.y. The value of yy is constant. All the ordered pairs in the table have the same yy-coordinate, −1−1. We choose 0,3,0,3, and −3−3 as values for x.x.
row: y=−1y=−1
row: xx | yy | (x,y)(x,y)
row: −3−3 | −1−1 | (−3,−1)(−3,−1)
row: 00 | −1−1 | (0,−1)(0,−1)
row: 33 | −1−1 | (3,−1)(3,−1)
The graph is a horizontal line passing through the yy-axis at –1–1 as shown.
Try It 11.40
Graph the equation: y=−4.y=−4.
Try It 11.41
Graph the equation: y=3.y=3.
The equations for vertical and horizontal lines look very similar to equations like y=4x.y=4x. What is the difference between the equations y=4xy=4x and y=4?y=4?
y=4xy=4x ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ xx ਅਤੇ yy ਦੋਵੇਂ ਹਨ। yy ਦਾ ਮੁੱਲ xx ਦੇ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। yy-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ xx ਦੇ ਮੁੱਲ ਅਨੁਸਾਰ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।
y=4y=4 ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਹੈ। yy ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਥਿਰ ਹੈ। yy-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹਮੇਸ਼ਾ 4 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ xx ਦੇ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ।
ਗ੍ਰਾਫ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ y=4xy=4x ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਤਿਰਛੀ ਰੇਖਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿ y=4y=4 ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 11.2
y=−3xy=−3x ਅਤੇ y=−3y=−3 ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਤਿੰਨ ਹੱਲ ਲੱਭੋ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ xx ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਦੂਜੇ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਸੂਚੀਬੱਧ ਹਨ।
ਗ੍ਰਾਫ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 11.4
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ: y=−4xy=−4x ਅਤੇ y=−4.y=−4.
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 11.43
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ: y=3y=3 ਅਤੇ y=3x.y=3x.
ਮੀਡੀਆ
ACCESS ADDITIONAL ONLINE RESOURCES
ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਭਿੰਨਾਂ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
ਅਭਿਆਸ ਪਰਪੱਕਤਾ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਲਈ, ਫੈਸਲਾ ਕਰੋ
ⓐ ਕੀ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ?
ⓑ ਕੀ ਬਿੰਦੂ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹੈ?
y=x+2y=x+2
(0,2)(0,2)
(1,2)(1,2)
(−1,1)(−1,1)
( − 3 , 1 ) ( − 3 , 1 )
y=x−4y=x−4
(0,−4)(0,−4)
(3,−1)(3,−1)
(2,2)(2,2)
( 1 , − 5 ) ( 1 , − 5 )
y=12x−3y=12x−3
(0,−3)(0,−3)
(2,−2)(2,−2)
(−2,−4)(−2,−4)
( 4 , 1 ) ( 4 , 1 )
y=13x+2y=13x+2
(0,2)(0,2)
(3,3)(3,3)
(−3,2)(−3,2)
( − 6 , 0 ) ( − 6 , 0 )
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
y = 3 x − 1 y = 3 x − 1
y = 2 x + 3 y = 2 x + 3
y = −2 x + 2 y = −2 x + 2
y = −3 x + 1 y = −3 x + 1
y = x + 2
y = x − 3
y = − x − 3
y = − x − 2
y = 2 x
y = 3 x
y = −4 x
y = −2 x
y = 1 2 x + 2
y = 1 3 x − 1
y = 4 3 x − 5
y = 3 2 x − 3
y = − 2 5 x + 1
y = − 4 5 x − 1
y = − 3 2 x + 2
y = − 5 3 x + 4
x + y = 6
x + y = 4
x + y = −3
x + y = −2
x − y = 2
x − y = 1
x − y = −1
x − y = −3
− x + y = 4
− x + y = 3
− x − y = 5
− x − y = 1
3 x + y = 7
5 x + y = 6
2 x + y = −3
4 x + y = −5
2 x + 3 y = 12
3 x − 4 y = 12
1 3 x + y = 2
1 2 x + y = 3
ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਖੜ੍ਹੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਖੜ੍ਹੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
x = 4
x = 3
x = −2
x = −5
y = 3
y = 1
y = −5
y = −2
x = 7 3
x = 5 4
In the following exercises, graph each pair of equations in the same rectangular coordinate system.
y=−12xy=−12x and y=−12y=−12
y=−13xy=−13x and y=−13y=−13
y=2xy=2x and y=2y=2
y=5xy=5x and y=5y=5
Mixed Practice
In the following exercises, graph each equation.
y=4xy=4x
y=2xy=2x
y=−12x+3y=−12x+3
y=14x−2y=14x−2
y=−xy=−x
y=xy=x
x−y=3x−y=3
x+y=−5x+y=−5
4x+y=24x+y=2
2x+y=62x+y=6
y=−1y=−1
y=5y=5
2x+6y=122x+6y=12
5x+2y=105x+2y=10
x=3x=3
x=−4x=−4
Everyday Math
ਮੋਟਰ ਹੋਮ ਦਾ ਖਰਚਾ ਰੌਬਿਨਸਨ ਪਰਿਵਾਰ ਨੇ ਛੁੱਟੀਆਂ ਬਿਤਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਹਫ਼ਤੇ ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਮੋਟਰ ਹੋਮ ਕਿਰਾਏ 'ਤੇ ਲਿਆ। ਇਸ ਦਾ ਕਿਰਾਇਆ $594$594 ਸੀ ਅਤੇ ਨਾਲ ਹੀ ਪ੍ਰਤੀ ਮੀਲ $0.32$0.32 ਦਾ ਖਰਚਾ ਸੀ, ਇਸ ਲਈ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ y=594+0.32xy=594+0.32x, xx ਮੀਲ ਚੱਲਣ ਲਈ y,y, ਲਾਗਤ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। 400, 800, ਅਤੇ 1,200 ਮੀਲ ਚੱਲਣ ਲਈ ਕਿਰਾਏ ਦਾ ਖਰਚਾ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਸਲਵਾਡੋਰ ਨੂੰ ਉਸ ਕਲਾ ਗੈਲਰੀ ਵਿੱਚ ਜਿੱਥੇ ਉਹ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ, $200$200 ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤਾ ਮਿਲਦੇ ਹਨ, ਨਾਲ ਹੀ ਉਸ ਵੱਲੋਂ ਕੀਤੀ ਵਿਕਰੀ ਦਾ 15%15% ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ y=200+0.15xy=200+0.15x, xx ਡਾਲਰ ਦੀ ਕਲਾਕ੍ਰਿਤੀ ਵੇਚਣ ਲਈ ਉਸ ਵੱਲੋਂ ਕਮਾਈ ਗਈ yy ਰਕਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। ਸਲਵਾਡੋਰ ਵੱਲੋਂ $900, $1,600, ਅਤੇ $2,000$900, $1,600, ਅਤੇ $2,000$ ਦੀ ਵਿਕਰੀ ਕਰਨ 'ਤੇ ਕਮਾਈ ਗਈ ਰਕਮ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਲਿਖਣ ਦੇ ਅਭਿਆਸ
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ y=15x−2y=15x−2 ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਉਣ ਵਾਸਤੇ ਤਿੰਨ x-ਮੁੱਲx-ਮੁੱਲ ਕਿਵੇਂ ਚੁਣੋਗੇ।
ਇੱਕ ਖੜ੍ਹੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪੱਧਰੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀ ਅੰਤਰ ਹੈ?
ਸਵੈ-ਪੜਤਾਲ
ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓑ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਸਾਰੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਕਰੋਗੇ?