ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ
ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ
ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ
ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਵਿਧੀ ਚੁਣੋ
ਤਿਆਰੀ 11.7
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
ਹੱਲ ਕਰੋ: 3x+4y=−123x+4y=−12 ਲਈ xx ਜਦੋਂ y=0.y=0। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 9.62 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 11.8
ਕੀ ਬਿੰਦੂ (0,−5)(0,−5) x-ਧੁਰੇx-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਹੈ ਜਾਂ y-ਧੁਰੇy-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ? ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 11.5 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 11.9
ਕਿਹੜੇ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਸਮੀਕਰਨ 2x−y=6?2x−y=6 ਦੇ ਹੱਲ ਹਨ? ⓐ (6,0)(6,0) ⓑ (0,−6)(0,−6) ⓒ (4,−2)। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 11.8 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ
ਹਰੇਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਹਰ ਵਿਅਕਤੀ ਜੋ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਕੋਈ ਵੀ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਦੋ ਵਿਅਕਤੀ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਵੱਖਰੇ ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਪਹਿਲੀ ਨਜ਼ਰੇ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਦਿਖਾਈ ਦੇ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਉੱਤੇ ਵੱਖਰੇ ਬਿੰਦੂ ਲੇਬਲ ਕੀਤੇ ਹੋਣਗੇ। ਪਰ ਜੇ ਸਾਰਾ ਕੰਮ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਤਾਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕੋ ਰੇਖਾ ਹੋਣਗੀਆਂ। ਇਹ ਪਛਾਣਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਕਿ ਉਹ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਰੇਖਾ ਹਨ, ਇਹ ਫੋਕਸ ਕਰਨਾ ਹੈ ਕਿ ਰੇਖਾ ਧੁਰਿਆਂ ਨੂੰ ਕਿੱਥੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਰੇਖਾ ਦਾ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਰੇਖਾ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ
ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ x-ਧੁਰੇx-ਧੁਰੇ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇy-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਰੇਖਾ ਦਾ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਆਓ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 11.14 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਰੇਖਾ x-ਧੁਰੇx-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕਿੱਥੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ:
ਸਤਰ: ਚਿੱਤਰ: | ਰੇਖਾ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਇੱਥੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ: | ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ
ਸਤਰ: 42 | 3 | (3,0)
ਸਤਰ: 43 | 4 | (4,0)
ਸਤਰ: 44 | 5 | (5,0)
1. ਕਤਾਰ: 45 | 0 | (0,0)
2. ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕੋਈ ਪੈਟਰਨ ਵੇਖਦੇ ਹੋ?
3. ਹਰ ਕਤਾਰ ਲਈ, ਜਿਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਰੇਖਾ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਉਸ ਦਾ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ। ਜਿਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਰੇਖਾ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਉਸ ਦਾ ਰੂਪ (a,0) ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਅਤੇ ਉਸ ਨੂੰ ਰੇਖਾ ਦਾ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ y ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
4. ਹੁਣ, ਆਓ ਉਨ੍ਹਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵੱਲ ਵੇਖੀਏ ਜਿੱਥੇ ਇਹ ਰੇਖਾਵਾਂ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ।
5. ਕਤਾਰ: ਚਿੱਤਰ: | ਰੇਖਾ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਇੱਥੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ: | ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਲਈ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ
6. ਕਤਾਰ: 42 | 6 | (0,6)
7. ਕਤਾਰ: 43 | -3 | (0,-3)
8. ਕਤਾਰ: 44 | -5 | (0,-5)
9. ਕਤਾਰ: 45 | 0 | (0,0)
10. ਰੇਖਾ ਦਾ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ
11. x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, (a, 0), ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ y ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
12. y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, (0, b), ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ।
13. y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 11.23
15. ਹਰ ਰੇਖਾ ਦੇ x- ਅਤੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ:
16. ਕਤਾਰ: ⓐ x+2y=4
17. ਕਤਾਰ: ⓑ 3x−y=6
18. ਕਤਾਰ: ⓒ x+y=−5
19. ਹੱਲ
20. ਕਤਾਰ: ⓐ
21. ਕਤਾਰ: ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (4, 0) 'ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। | x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (4, 0) ਹੈ।
22. ਕਤਾਰ: ਗ੍ਰਾਫ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (0, 2) 'ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। | y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0, 2) ਹੈ।
23. ਕਤਾਰ: ⓑ
24. ਕਤਾਰ: ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (2, 0) 'ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। | x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (2, 0) ਹੈ।
ਰੇਖਾ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (0, −6) 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। | y-ਅੰਤਰਖੰਡ (0, −6) ਹੈ।
ⓒ
ਰੇਖਾ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (−5, 0) 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। | x-ਅੰਤਰਖੰਡ (−5, 0) ਹੈ।
ਰੇਖਾ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (0, −5) 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। | y-ਅੰਤਰਖੰਡ (0, −5) ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 11.44
ਰੇਖਾ ਦੇ x-ਅਤੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ: x−y=2.x−y=2.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 11.45
ਰੇਖਾ ਦੇ x-ਅਤੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ: 2x+3y=6.2x+3y=6.
ਰੇਖਾ ਦੇ ਅੰਤਰਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਇਹ ਪਛਾਣਨਾ ਕਿ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ y ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਇਸਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਰੇਖਾ ਦੇ ਅੰਤਰਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, y=0y=0 ਮੰਨੋ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, x=0x=0 ਮੰਨੋ ਅਤੇ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ x ਅਤੇ y ਪਤਾ ਕਰੋ
ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
ਰੇਖਾ ਦਾ x-ਅੰਤਰਖੰਡ, y=0y=0 ਮੰਨੋ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਰੇਖਾ ਦਾ y-ਅੰਤਰਖੰਡ, x=0x=0 ਮੰਨੋ ਅਤੇ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
x | y
0
0
ਉਦਾਹਰਨ 11.24
2x+y=62x+y=6 ਦੇ ਅੰਤਰਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 11.15 ਭਰਾਂਗੇ।
x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, y=0y=0 ਮੰਨੋ:
y ਲਈ 0 ਬਦਲੋ।
ਜੋੜੋ।
1. ਸਤਰ: 2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ।
2. ਸਤਰ: x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (3, 0) ਹੈ।
3. y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ, x=0 ਮੰਨੋ:
4. ਸਤਰ: x ਲਈ 0 ਬਦਲੋ।
5. ਸਤਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
6. ਸਤਰ: ਜੋੜੋ।
7. ਸਤਰ: y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0, 6) ਹੈ।
8. ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਬਿੰਦੂ (3,0) ਅਤੇ (0,6) ਹਨ।
9. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.46
10. ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ: 3x+y=12
11. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.47
12. ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ: x+4y=8
13. ਉਦਾਹਰਨ 11.25
14. 4x−3y=12 ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ।
15. ਹੱਲ
16. x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ, y=0 ਮੰਨੋ।
17. ਸਤਰ: 4x−3y=12
18. ਸਤਰ: y ਲਈ 0 ਬਦਲੋ। | 4x−3·0=12
19. ਸਤਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 4x−0=12
20. ਸਤਰ: ਘਟਾਓ। | 4x=12
21. ਸਤਰ: 4 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ। | x=3
22. x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (3, 0) ਹੈ।
23. y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ, x=0 ਮੰਨੋ।
24. ਸਤਰ: 4x−3y=12
row: Substitute 0 for x.x. | 4·0−3y=124·0−3y=12
row: Multiply. | 0−3y=120−3y=12
row: Simplify. | −3y=12−3y=12
row: Divide by −3. | y=−4y=−4
The y-intercepty-intercept is (0,−4).(0,−4).
The intercepts are the points (−3,0)(−3,0) and (0,−4).(0,−4).
row: 4x−3y=124x−3y=12
row: x | y
row: 33 | 00
row: 00 | −4−4
Try It 11.48
Find the intercepts of the line: 3x−4y=12.3x−4y=12.
Try It 11.49
Find the intercepts of the line: 2x−4y=8.2x−4y=8.
Graph a Line Using the Intercepts
To graph a linear equation by plotting points, you can use the intercepts as two of your three points. Find the two intercepts, and then a third point to ensure accuracy, and draw the line. This method is often the quickest way to graph a line.
Example 11.26
Graph −x+2y=6−x+2y=6 using intercepts.
Solution
First, find the x-intercept.x-intercept. Let y=0,y=0,
− x + 2 y = 6 − x + 2 ( 0 ) = 6 − x = 6 x = −6 − x + 2 y = 6 − x + 2 ( 0 ) = 6 − x = 6 x = −6
The x-interceptx-intercept is (–6, 0).(–6,0).
Now find the y-intercept.y-intercept. Let x=0.x=0.
− x + 2 y = 6 −0 + 2 y = 6 2 y = 6 y = 3 − x + 2 y = 6 −0 + 2 y = 6 2 y = 6 y = 3
y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0, 3) ਹੈ।
1. ਇੱਕ ਤੀਜਾ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ। ਅਸੀਂ x=2, x=2 ਵਰਤਾਂਗੇ।
− x + 2 y = 6 −2 + 2 y = 6 2 y = 8 y = 4
1. ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਤੀਜਾ ਹੱਲ (2, 4).(2,4) ਹੈ।
1. ਤਿੰਨ ਨੁਕਤਿਆਂ ਦਾ ਸਾਰ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਦਰਸਾਓ।
−x+2y=6
1. ਕਤਾਰ: x | y | (x,y)
1. ਕਤਾਰ: −6−6 | 00 | (−6,0)(−6,0)
1. ਕਤਾਰ: 00 | 33 | (0,3)(0,3)
1. ਕਤਾਰ: 22 | 44 | (2,4)(2,4)
1. ਕੀ ਬਿੰਦੂ ਇਕੱਠੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ? ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲਾਈਨ ਖਿੱਚੋ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.50
ਰੇਖਾ x−2y=4 ਨੂੰ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
੧੧.੫੧. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ
1. −x+3y=6 ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਾਈਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
1. ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ (intercepts) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਬਣਾਓ।
1. ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ। x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ। y=0 ਮੰਨੋ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। x=0 ਮੰਨੋ ਅਤੇ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
2. ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਤੀਜਾ ਹੱਲ ਲੱਭੋ।
3. ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਉਹ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦੇ ਹਨ।
4. ਲਕੀਰ ਖਿੱਚੋ।
1. ਉਦਾਹਰਣ 11.27
ਗ੍ਰਾਫ਼ 4x−3y=12 ਨੂੰ ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਬਣਾਓ।
1. ਹੱਲ
Find the intercepts and a third point.
We list the points and show the graph.
row: 4x−3y=124x−3y=12
row: xx | yy | (x,y)(x,y)
row: 33 | 00 | (3,0)(3,0)
row: 00 | −4−4 | (0,−4)(0,−4)
row: 66 | 44 | (6,4)(6,4)
Try It 11.52
Graph the line using the intercepts: 5x−2y=10.5x−2y=10.
Try It 11.53
Graph the line using the intercepts: 3x−4y=12.3x−4y=12.
Example 11.28
Graph y=5xy=5x using the intercepts.
Solution
This line has only one intercept! It is the point (0,0).(0,0).
To ensure accuracy, we need to plot three points. Since the intercepts are the same point, we need two more points to graph the line. As always, we can choose any values for x,x, so we’ll let xx be 11 and −1.−1.
Organize the points in a table.
row: y=5xy=5x
row: xx | yy | (x,y)(x,y)
row: 00 | 00 | (0,0)(0,0)
row: 11 | 55 | (1,5)(1,5)
row: −1−1 | −5−5 | (−1,−5)(−1,−5)
Plot the three points, check that they line up, and draw the line.
Try It 11.54
y=4x ਦੀ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 11.55
y=−x ਦੀ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਵਿਧੀ ਚੁਣੋ।
ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਭ ਤੋਂ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਵਿਧੀ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ। ਇਹ ਸਾਰਣੀ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਛੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਵਰਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਵਿਧੀਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਸਫ: ਸਮੀਕਰਨ | ਵਿਧੀ
ਸਫ: #1 | y=2x+1 | ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨਾ
ਸਫ: #2 | y=12x+3 | ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨਾ
ਸਫ: #3 | x=−7 | ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ
ਸਫ: #4 | y=4 | ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ
ਸਫ: #5 | 2x+y=6 | ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ
ਸਫ: #6 | 4x−3y=12 | ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ
ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ ਕੀ ਹੈ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਇਸਦੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਵਿਧੀ ਚੁਣਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ?
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ #1 ਅਤੇ #2 ਵਿੱਚ, y ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਅਲੱਗ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਗੁਣਾਂਕ 1 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ x ਲਈ ਮੁੱਲ ਬਦਲ ਕੇ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸੰਬੰਧਿਤ y-ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਰਲ ਕੀਤਾ।
ਸਮੀਕਰਨ #3 ਅਤੇ #4 ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਉਸ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਇਹ ਦੂਜੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਇਸ ਰੂਪ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲੰਬਵਤ ਜਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਸਮੀਕਰਨ #5 ਅਤੇ #6 ਵਿੱਚ, x ਅਤੇ y ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਇੱਕੋ ਪਾਸੇ ਹਨ। ਇਹ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨ Ax+By=C ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ x- ਅਤੇ y- ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਲੱਭਣ ਲਈ y=0 ਅਤੇ x=0 ਬਦਲਿਆ, ਅਤੇ ਫਿਰ x ਜਾਂ y ਲਈ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਚੁਣ ਕੇ ਤੀਜਾ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭਿਆ।
ਇਹ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਵਿਧੀ ਚੁਣਨ ਲਈ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਰਣਨੀਤੀ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਵਿਧੀ ਚੁਣੋ।
ਕਦਮ 1. ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਜਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਹੈ। x=a ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜੋ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ a 'ਤੇ ਪਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। y=b ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜੋ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ b 'ਤੇ ਪਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਕਦਮ 2. ਜੇਕਰ y ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਅਲੱਗ ਹੈ। ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। x ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਤਿੰਨ ਮੁੱਲ ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸੰਬੰਧਿਤ y-ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 3. ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ Ax+By=C ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਲੱਭੋ। x- ਅਤੇ y- ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇੱਕ ਤੀਜਾ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 11.29
ਹਰੇਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਵਿਧੀ ਪਛਾਣੋ:
ⓐ y=−3
ⓑ 4x−6y=12
ⓒ x=2
ⓓ y=25x−1
ਹੱਲ
ⓐ y=−3
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਚੱਲ, y, ਹੈ। ਇਸ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜੋ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ −3 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ।
ⓑ 4x−6y=12
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ Ax+By=C ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਅਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ।
ⓒ x=2
ਇੱਥੇ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਚੱਲ, x, ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਖੜਵੀਂ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜੋ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ 2 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ।
ⓓ y=25x−1
ਕਿਉਂਕਿ y ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਅਲੱਗ ਹੈ, ਇਸ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਹੋਵੇਗਾ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 11.56
ਹਰੇਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ:
ⓐ 3x+2y=12
ⓑ y=4
ⓒ y=15x−4
ⓓ x=−7
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 11.57
ਹਰੇਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ:
ⓐ x=6
ⓑ y=−34x+1
ⓒ y=−8
4x−3y=−14x−3y=−1
ਮੀਡੀਆ
ACCESS ADDITIONAL ONLINE RESOURCES
ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ (intercepts) ਲੱਭ ਕੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ
ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ (intercepts) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (intercepts) ਦੱਸੋ
ਅਭਿਆਸ ਪਰਪੱਕਤਾ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ (intercepts) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, x-x- ਅਤੇ y-y- ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (intercepts) ਲੱਭੋ।
ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ x-x- ਅਤੇ y-y- ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (intercepts) ਲੱਭੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (intercepts) ਲੱਭੋ।
x + y = 4 x + y = 4
x + y = 3 x + y = 3
x + y = −2 x + y = −2
x + y = −5 x + y = −5
x − y = 5 x − y = 5
x − y = 1 x − y = 1
x − y = −3 x − y = −3
x − y = −4 x − y = −4
x + 2 y = 8 x + 2 y = 8
x + 2 y = 10 x + 2 y = 10
3 x + y = 6 3 x + y = 6
3 x + y = 9 3 x + y = 9
x −3 y = 12 x −3 y = 12
x −2 y = 8 x −2 y = 8
੪ x − y = ੮ ੪ x − y = ੮
੫ x − y = ੫ ੫ x − y = ੫
੨ x + ੫ y = ੧੦ ੨ x + ੫ y = ੧੦
੨ x + ੩ y = ੬ ੨ x + ੩ y = ੬
੩ x −੨ y = ੧੨ ੩ x −੨ y = ੧੨
੩ x −੫ y = ੩੦ ੩ x −੫ y = ੩੦
y = ੧ ੩ x −੧ y = ੧ ੩ x −੧
y = ੧ ੪ x −੧ y = ੧ ੪ x −੧
y = ੧ ੫ x + ੨ y = ੧ ੫ x + ੨
y = ੧ ੩ x + ੪ y = ੧ ੩ x + ੪
y = ੩ x y = ੩ x
y = −੨ x y = −੨ x
y = −੪ x y = −੪ x
y = ੫ x y = ੫ x
intercepts ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, intercepts ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
− x + ੫ y = ੧੦ − x + ੫ y = ੧੦
− x + ੪ y = ੮ − x + ੪ y = ੮
x + ੨ y = ੪ x + ੨ y = ੪
x + ੨ y = ੬ x + ੨ y = ੬
x + y = ੨ x + y = ੨
x + y = ੫ x + y = ੫
x + y = ੩ x + y = ੩
x + y = −੧ x + y = −੧
੧. x − y = ੧ x − y = ੧
੨. x − y = ੨ x − y = ੨
੩. x − y = −੪ x − y = −੪
੪. x − y = −੩ x − y = −੩
੫. ੪ x + y = ੪ ੪ x + y = ੪
੬. ੩ x + y = ੩ ੩ x + y = ੩
੭. ੩ x − y = −੬ ੩ x − y = −੬
੮. ੨ x − y = −੮ ੨ x − y = −੮
੯. ੨ x + ੪ y = ੧੨ ੨ x + ੪ y = ੧੨
੧੦. ੩ x + ੨ y = ੧੨ ੩ x + ੨ y = ੧੨
੧੧. ੩ x −੨ y = ੬ ੩ x −੨ y = ੬
੧੨. ੫ x −੨ y = ੧੦ ੫ x −੨ y = ੧੦
੧੩. ੨ x −੫ y = −੨੦ ੨ x −੫ y = −੨੦
੧੪. ੩ x −੪ y = −੧੨ ੩ x −੪ y = −੧੨
੧੫. y = −੨ x y = −੨ x
੧੬. y = −੪ x y = −੪ x
੧੭. y = x y = x
੧੮. y = ੩ x y = ੩ x
੧੯. ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਵਿਧੀ ਚੁਣੋ।
੨੦. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
੨੧. x = ੨ x = ੨
੨੨. y = ੪ y = ੪
੨੩. y = ੫ y = ੫
੨੪. x = −੩ x = −੩
y = −3 x + 4
y = −5 x + 2
x − y = 5
x − y = 1
y = 2 3 x −1
y = 4 5 x −3
y = −3
y = −1
3 x −2 y = −12
2 x −5 y = −10
y = − 1 4 x + 3
y = − 1 3 x + 5
ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਗਣਿਤ
ਸੜਕ ਯਾਤਰਾ ਡੈਮੀਅਨ ਸ਼ਿਕਾਗੋ ਤੋਂ ਡੇਨਵਰ ਤੱਕ ਗੱਡੀ ਚਲਾ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੀ ਦੂਰੀ 1,000 ਮੀਲ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ x-ਧੁਰਾ ਡੈਮੀਅਨ ਦੇ ਸ਼ਿਕਾਗੋ ਛੱਡਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਬੀਤੇ ਘੰਟਿਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। y-ਧੁਰਾ ਉਸ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਉਸਨੂੰ ਅਜੇ ਤੈਅ ਕਰਨੀ ਹੈ।
ⓐ x- ਅਤੇ y- ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ
ⓑ ਡੈਮੀਅਨ ਲਈ x- ਅਤੇ y- ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦਾ ਕੀ ਅਰਥ ਹੈ, ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਸੜਕ ਯਾਤਰਾ ਓਜ਼ੀ ਨੇ ਆਪਣੀ ਟਰੱਕ ਦੀ ਟੈਂਕੀ ਭਰਵਾਈ ਅਤੇ ਸੜਕ ਯਾਤਰਾ 'ਤੇ ਗਿਆ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ x-ਧੁਰਾ ਓਜ਼ੀ ਦੁਆਰਾ ਭਰਵਾਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਤੈਅ ਕੀਤੇ ਗਏ ਮੀਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। y-ਧੁਰਾ ਟਰੱਕ ਦੀ ਟੈਂਕੀ ਵਿੱਚ ਗੈਸ ਦੇ ਗੈਲਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ⓐ x- ਅਤੇ y- ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ।
ⓑ ਓਜ਼ੀ ਲਈ x- ਅਤੇ y- ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦਾ ਕੀ ਅਰਥ ਹੈ, ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਲਿਖਣ ਅਭਿਆਸ
ਤੁਸੀਂ 3x−2y=6 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਦੇ ਹੋ?
ਤੁਸੀਂ 5x−y=10 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਦੇ ਹੋ?
ਕੀ ਤੁਸੀਂ 4x+y=−4 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਜਾਂ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਪਲੋਟ ਕਰਕੇ ਬਣਾਉਣਾ ਪਸੰਦ ਕਰੋਗੇ? ਕਿਉਂ?
ਕੀ ਤੁਸੀਂ y=23x−2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਜਾਂ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਪਲੋਟ ਕਰਕੇ ਬਣਾਉਣਾ ਪਸੰਦ ਕਰੋਗੇ? ਕਿਉਂ?
1. ਆਪੇ ਪਰਖ
ⓐ ਅਭਿਆਸ ਮੁਕੰਮਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
੧. ⓑ ਇਹ ਚੈਕਲਿਸਟ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਡੀ ਮੁਹਾਰਤ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੱਸਦੀ ਹੈ? ਸੁਧਾਰ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੇ ਕਦਮ ਚੁੱਕੋਗੇ?