ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਜਿਓਬੋਰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਢਲਾਣ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣਾ
ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਉਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਲੱਭਣਾ
ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਖੜ੍ਹੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਢਲਾਣ ਲੱਭਣਾ
ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਲੱਭਣ ਲਈ ਢਲਾਣ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਢਲਾਣ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ ਢਲਾਣ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 11.10
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
ਸਰਲ ਕਰੋ: 1−48−2.1−48−2. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 4.49 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 11.11
ਭਾਗ ਕਰੋ: 04,40.04,40. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 7.37 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 11.12
ਸਰਲ ਕਰੋ: 15−3,−153,−15−3.15−3,−153,−15−3. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 4.47 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਂਦੇ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕੁਝ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਜਾਣ ਵੇਲੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਝੁਕਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਕੁਝ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਝੁਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਕੁਝ ਰੇਖਾਵਾਂ ਬਹੁਤ ਖੜ੍ਹੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਕੁਝ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਤਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਕੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਝੁਕਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਇਸਦਾ ਝੁਕਾਅ ਖੜ੍ਹਾ ਜਾਂ ਸਮਤਲ ਹੈ?
ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਝੁਕਾਅ ਦੀ ਖੜ੍ਹਾਈ ਨੂੰ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਢਲਾਣ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੇ ਅਸਲ ਸੰਸਾਰ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਉਪਯੋਗ ਹਨ। ਇੱਕ ਛੱਤ ਦੀ ਢਲਾਣ ਅਤੇ ਇੱਕ ਹਾਈਵੇ ਜਾਂ ਵ੍ਹੀਲਚੇਅਰ ਰੈਂਪ ਦੀ ਗ੍ਰੇਡ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ ਸ਼ਾਬਦਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਢਲਾਣਾਂ ਦੇਖਦੇ ਹੋ। ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਸਾਈਕਲ ਚਲਾਉਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਪਹਾੜੀ ਉੱਤੇ ਪੰਪ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਜਾਂ ਪਹਾੜੀ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਕੋਸਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਢਲਾਣ ਮਹਿਸੂਸ ਕਰਦੇ ਹੋ।
ਜਿਓਬੋਰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਢਲਾਣ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉ
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਢਲਾਣ ਦੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ।
ਜਿਓਬੋਰਡ 'ਤੇ ਰਬੜ ਬੈਂਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਗ੍ਰਿਡ 'ਤੇ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕ ਠੋਸ ਤਰੀਕਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜਿਓਬੋਰਡ 'ਤੇ ਦੋ ਖੰਭਿਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਰਬੜ ਬੈਂਡ ਨੂੰ ਖਿੱਚ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਖੋਜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣੀ ਹੈ।
ਮੈਨੀਪੂਲੇਟਿਵ ਮੈਥੇਮੈਟਿਕਸ
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰਬੜ ਬੈਂਡ ਨੂੰ ਦੋ ਖੰਭਿਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖਿੱਚ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ ਤਾਂ ਜੋ ਚਿੱਤਰ 11.17 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਬਣਾਈ ਜਾ ਸਕੇ।
ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਵਰਗੀ ਲੱਗਦੀ ਹੈ?
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਖੰਭੇ ਤੋਂ ਇੱਕ ਰਬੜ ਬੈਂਡ ਦੇ ਇੱਕ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਸਿੱਧਾ ਉੱਪਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 11.18 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਪਾਸੇ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਤੀਜੇ ਖੰਭੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਤੀਜੇ ਖੰਭੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ 90°90° ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਖੜ੍ਹਾ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਖਿਤਿਜੀ ਹੋਵੇ।
ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਖੜ੍ਹੇ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਪੈਰਾਂ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਮਾਪਦੇ ਹਾਂ। ਖੜ੍ਹੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਰਾਈਜ਼ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 11.19 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
1. ਅੰਕ 11.20 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਮਿਲ ਸਕਦੀ ਹੈ।
2. ਸਾਡੇ ਜਿਓਬੋਰਡ ਉੱਤੇ, ਵਾਧਾ 22 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਰਬੜ ਬੈਂਡ ਲੰਬਕਾਰੀ ਲੱਤ ਉੱਤੇ 22 ਸਥਾਨ ਉੱਪਰ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੰਕ 11.21 ਦੇਖੋ।
3. ਵਾਧਾ ਕੀ ਹੈ? ਖੰਭਿਆਂ ਨੂੰ ਗਿਣਨ ਦੀ ਬਜਾਏ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖਾਲੀ ਸਥਾਨਾਂ ਨੂੰ ਗਿਣਨਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ! ਰਬੜ ਬੈਂਡ ਖਿਤਿਜੀ ਲੱਤ ਉੱਤੇ 33 ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਵਾਧਾ 33 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ।
4. ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਨ ਵਾਧੇ ਅਤੇ ਵਾਧੇ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਨ 23.23 ਹੈ। ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਢਲਾਨ ਹਮੇਸ਼ਾ ਅੱਖਰ m ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
5. ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਨ
6. ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਨ m=ਵਾਧਾਵਧਾ ਹੈ।
7. ਵਾਧਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਵਾਧਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ।
8. ਅੰਕ 11.21 ਵਿੱਚ ਜਿਓਬੋਰਡ ਉੱਤੇ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਨ ਕੀ ਹੈ?
9. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਜਿਓਬੋਰਡਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਖੰਭੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਖੰਭੇ ਨਾਲ ਜੁੜਨਾ ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਆਦਤ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਰਬੜ ਬੈਂਡ ਨੂੰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ।
10. ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਜਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਵਾਧਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਵਾਧਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਤੱਕ ਵਾਧਾ ਗਿਣਾਂਗੇ, ਜਿਵੇਂ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਪੈਰੇ ਨੂੰ ਪੜ੍ਹਦੇ ਹੋ, ਇਸ ਲਈ ਵਾਧਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇਗਾ।
11. ਕਿਉਂਕਿ ਢਲਾਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਵਾਧਾ ਉੱਤੇ ਵਾਧਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਧਾ ਗਿਣਨਾ ਅਤੇ ਫਿਰ ਵਾਧਾ ਗਿਣਨਾ ਆਸਾਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
12. ਉਦਾਹਰਨ 11.30
13. ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਜਿਓਬੋਰਡ ਉੱਤੇ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਨ ਕੀ ਹੈ?
14. ਹੱਲ
15. ਢਲਾਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
16. m = ਵਾਧਾਵਧਾ m = ਵਾਧਾਵਧਾ
17. ਖੱਬੇ ਖੰਭੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਖੰਭੇ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਰਬੜ ਬੈਂਡ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿੱਚ ਕੇ ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਤਿਕੋਣ ਬਣਾਓ।
18. ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਵਾਧਾ ਅਤੇ ਵਾਧਾ ਗਿਣੋ।
19. ਵਾਧਾ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ। m = 3 ਵਾਧਾ ਵਾਧਾ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ। m = 3 4 ਢਲਾਨ 3 4 ਹੈ। ਵਾਧਾ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ। m = 3 ਵਾਧਾ ਵਾਧਾ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ। m = 3 4 ਢਲਾਨ 3 4 ਹੈ।
20. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.58
21. ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਜਿਓਬੋਰਡ ਉੱਤੇ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਨ ਕੀ ਹੈ?
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.59
23. ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਜਿਓਬੋਰਡ ਉੱਤੇ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਨ ਕੀ ਹੈ?
24. ਉਦਾਹਰਨ 11.31
1. ਜਿਓਬੋਰਡ 'ਤੇ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਕੀ ਹੈ?
2. ਹੱਲ
3. ਢਲਾਣ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4. m = ਉੱਠਣਾ/ਦੌੜਨਾ m = ਉੱਠਣਾ/ਦੌੜਨਾ
5. ਖੱਬੇ ਖੂੰਟੀ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਖੂੰਟੀ ਤੱਕ ਰਬੜ ਬੈਂਡ ਖਿੱਚ ਕੇ ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਤਿਕੋਣ ਬਣਾਓ। ਇਸ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਲੱਤ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਰਬੜ ਬੈਂਡ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਖਿੱਚਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਉੱਠਣਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
6. ਉੱਠਣਾ −1 ਹੈ। m = −1 ਦੌੜਨਾ 3 ਹੈ। m = −1 3 m = − 1 3 ਢਲਾਣ − 1 3 ਹੈ। ਉੱਠਣਾ −1 ਹੈ। m = −1 ਦੌੜਨਾ 3 ਹੈ। m = −1 3 m = − 1 3 ਢਲਾਣ − 1 3 ਹੈ।
7. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.60
8. ਜਿਓਬੋਰਡ 'ਤੇ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਕੀ ਹੈ?
9. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.61
10. ਜਿਓਬੋਰਡ 'ਤੇ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਕੀ ਹੈ?
11. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਢਲਾਣ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਢਲਾਣ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 11.22 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਅੰਤਰ ਦੇਖਦੇ ਹੋ?
12. ਜਿਵੇਂ ਤੁਸੀਂ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਪੜ੍ਹਦੇ ਹੋ, ਚਿੱਤਰ A ਵਿੱਚ ਰੇਖਾ ਉੱਪਰ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ; ਇਸਦਾ ਢਲਾਣ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। ਰੇਖਾ ਚਿੱਤਰ B ਹੇਠਾਂ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ; ਇਸਦਾ ਢਲਾਣ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
13. ਉਦਾਹਰਨ 11.32
14. ਢਲਾਣ 12.12 ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿਓਬੋਰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
15. ਹੱਲ
16. ਜਿਓਬੋਰਡ 'ਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਖਾਸ ਢਲਾਣ ਨਾਲ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਉੱਠਣ ਅਤੇ ਦੌੜਨ ਨੂੰ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
17. ਕਤਾਰ: ਢਲਾਣ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | m=ਉੱਠਣਾ/ਦੌੜਨਾ m=ਉੱਠਣਾ/ਦੌੜਨਾ
18. ਕਤਾਰ: m ਨੂੰ 12 ਨਾਲ ਬਦਲੋ। | 12=ਉੱਠਣਾ/ਦੌੜਨਾ 12=ਉੱਠਣਾ/ਦੌੜਨਾ
19. ਇਸ ਲਈ, ਉੱਠਣਾ 11 ਇਕਾਈ ਹੈ ਅਤੇ ਦੌੜਨਾ 22 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ।
20. ਜਿਓਬੋਰਡ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਖੂੰਟੀ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਰਬੜ ਬੈਂਡ ਨੂੰ 11 ਇਕਾਈ ਉੱਪਰ ਖਿੱਚੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ 22 ਇਕਾਈ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ।
21. ਰਬੜ ਬੈਂਡ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਕਰਣ 12.12 ਦੇ ਢਲਾਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.62
23. ਦਿੱਤੇ ਢਲਾਣ: m=13.m=13. ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿਓਬੋਰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.63
geoboard 'ਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਢਲਾਨ m=32 ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 11.33
geoboard 'ਤੇ ਢਲਾਨ −14 ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਢਲਾਨ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | m=ਉੱਠਾ-ਦੌੜm=ਉੱਠਾ-ਦੌੜ
ਸਤਰ: m ਨੂੰ −14 ਨਾਲ ਬਦਲੋ। | −14=ਉੱਠਾ-ਦੌੜ−14=ਉੱਠਾ-ਦੌੜ
ਇਸ ਲਈ, ਉੱਠਾ −1 ਹੈ ਅਤੇ ਦੌੜ 4 ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਉੱਠਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਿੰਨ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਗਿਣਨ ਲਈ ਜਗ੍ਹਾ ਦੇਵੇ। ਅਸੀਂ ਰਬੜ ਬੈਂਡ ਨੂੰ 1 ਇਕਾਈ ਹੇਠਾਂ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ।
ਰਬੜ ਬੈਂਡ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਕਾਰਨ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਢਲਾਨ −14 ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 11.64
geoboard 'ਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਢਲਾਨ m=−21 ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਓ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 11.65
geoboard 'ਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਢਲਾਨ m=−13 ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਓ।
ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ geoboards 'ਤੇ ਜੋ ਮਾਡਲ ਬਣਾਇਆ ਹੈ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਗਰਿੱਡ 'ਤੇ ਦੇਖਾਂਗੇ। ਵਿਧੀ ਬਹੁਤ ਸਮਾਨ ਹੋਵੇਗੀ।
ਹੇਰਾਫੇਰੀ ਵਾਲੀ ਗਣਿਤ
ਢਲਾਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਉੱਠਾ ਅਤੇ ਦੌੜ ਗਿਣਨੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਪਰ ਅਸੀਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਿੱਥੋਂ ਕਰੀਏ?
ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਚੁਣਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਸਾਡੀਆਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਆਸਾਨ ਹੋ ਜਾਣ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਤਿਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਉੱਠਾ ਅਤੇ ਦੌੜ ਗਿਣ ਸਕੀਏ।
ਉਦਾਹਰਨ 11.34
ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ:
ਹੱਲ
ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ, ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਚੁਣੋ। ਅਸੀਂ (0,−3) ਅਤੇ (5,1) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ (0,−3) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ (5,1) ਤੱਕ, ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਤਿਕੋਣ ਬਣਾਓ।
ਸਤਰ: ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਪਾਸੇ 'ਤੇ ਉੱਠਾ ਗਿਣੋ। | ਉੱਠਾ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ।
1. ਕਤਾਰ: ਖਿਤਿਜੀ ਲੱਤ 'ਤੇ ਦੌੜ ਗਿਣੋ। | ਦੌੜ 5 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ।
2. ਕਤਾਰ: ਢਲਾਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ। | m=ਉੱਠਣਾ/ਦੌੜm=ਉੱਠਣਾ/ਦੌੜ
3. ਕਤਾਰ: ਉੱਠਣ ਅਤੇ ਦੌੜ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | m=45m=45
4. ਲਾਈਨ ਦੀ ਢਲਾਨ 4545 ਹੈ।
5. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਢਲਾਨ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਲਾਈਨ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਝੁਕਦੀ ਹੈ।
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.66
7. ਲਾਈਨ ਦੀ ਢਲਾਨ ਲੱਭੋ:
8. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.67
9. ਲਾਈਨ ਦੀ ਢਲਾਨ ਲੱਭੋ:
10. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
11. ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਢਲਾਨ ਲੱਭੋ।
12. ਕਦਮ 1. ਲਾਈਨ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹਨ।
13. ਕਦਮ 2. ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਤਿਕੋਣ ਬਣਾਓ, ਜਿਸਦਾ ਕਾਰਨ ਪਹਿਲੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
14. ਕਦਮ 3. ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਲੱਤਾਂ 'ਤੇ ਉੱਠਣ ਅਤੇ ਦੌੜ ਗਿਣੋ।
15. ਕਦਮ 4. ਢਲਾਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉੱਠਣ ਅਤੇ ਦੌੜ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲਓ। m=ਉੱਠਣਾ/ਦੌੜm=ਉੱਠਣਾ/ਦੌੜ
16. ਉਦਾਹਰਨ 11.35
17. ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਲਾਈਨ ਦੀ ਢਲਾਨ ਲੱਭੋ:
18. ਹੱਲ
19. ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ। ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਅਸੀਂ (0, 5) ਅਤੇ (3, 3) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਤਿਕੋਣ ਬਣਾਓ, ਜਿਸਦਾ ਕਾਰਨ ਪਹਿਲੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
20. ਕਤਾਰ: ਉੱਠਣ ਗਿਣੋ – ਇਹ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। | ਉੱਠਣ -2 ਹੈ।
21. ਕਤਾਰ: ਦੌੜ ਗਿਣੋ। | ਦੌੜ 3 ਹੈ।
22. ਕਤਾਰ: ਢਲਾਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ। | m=ਉੱਠਣਾ/ਦੌੜm=ਉੱਠਣਾ/ਦੌੜ
23. ਕਤਾਰ: ਉੱਠਣ ਅਤੇ ਦੌੜ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | m=−23m=−23
24. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | m=−23m=−23
1. ਕਤਾਰ: ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ −23.−23 ਹੈ।
2. ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਢਲਾਣ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਰੇਖਾ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਝੁਕੀ ਹੋਈ ਹੈ।
3. ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਵੱਖਰੇ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣਦੇ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ? ਆਓ ਇਸ ਵਾਰ ਵੱਖਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਦੁਬਾਰਾ ਪਤਾ ਕਰੀਏ। ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ (−3,7)(−3,7) ਅਤੇ (6,1).(6,1) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
4. (−3,7),(−3,7) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ, (6,1).(6,1) ਤੱਕ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤਿਕੋਣ ਬਣਾਓ।
5. ਕਤਾਰ: ਉੱਠਾਣ (rise) ਗਿਣੋ। | ਉੱਠਾਣ −6 ਹੈ।
6. ਕਤਾਰ: ਦੌੜ (run) ਗਿਣੋ। | ਦੌੜ 9 ਹੈ।
7. ਕਤਾਰ: ਢਲਾਣ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | m=ਉੱਠਾਣਦੌੜm=riserun
8. ਕਤਾਰ: ਉੱਠਾਣ ਅਤੇ ਦੌੜ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | m=−69m=−69
9. ਕਤਾਰ: ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। | m=−23m=−23
10. ਕਤਾਰ: ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ −23.−23 ਹੈ।
11. ਇਸ ਗੱਲ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋ—ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ!
12. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.68
13. ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰੋ:
14. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.69
15. ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰੋ:
16. ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ (y-intercepts) ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ (integer values) ਵਿੱਚ ਸਨ, ਇਸ ਲਈ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਜੋਂ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਸੀ। ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ ਤਾਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਆਸਾਨ ਹੋ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
17. ਉਦਾਹਰਨ 11.36
18. ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰੋ:
19. ਹੱਲ
20. ਕਤਾਰ: ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹਨ। | (2,3)(2,3) ਅਤੇ (7,6)(7,6)
21. ਕਤਾਰ: ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਕਿਹੜਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ? | (2,3)(2,3)
22. ਕਤਾਰ: (2,3)(2,3) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ, ਹੇਠਾਂ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ (7,6)(7,6) ਤੱਕ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਬਣਾਓ।
23. ਕਤਾਰ: ਉੱਠਾਣ (rise) ਗਿਣੋ। | ਉੱਠਾਣ 3 ਹੈ।
24. ਕਤਾਰ: ਦੌੜ (run) ਗਿਣੋ। | ਦੌੜ 5 ਹੈ।
ਢਲਾਨ ਦਾ ਸੂਤਰ ਵਰਤੋ।
ਉਠਾਅ ਅਤੇ ਦੌੜ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਢਲਾਨ 35.35 ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 11.70
ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ:
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 11.71
ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ:
ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਖੜ੍ਹੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਢਲਾਨ
ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਯਾਦ ਹੈ ਕਿ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਖੜ੍ਹੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਬਾਰੇ ਕੀ ਖਾਸ ਸੀ? ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਸੀ।
ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ y=b; ਸਾਰੇ y-ਸਮਨਵਯ ਸਮਾਨ ਹਨ।
ਖੜ੍ਹੀ ਰੇਖਾ x=a; ਸਾਰੇ x-ਸਮਨਵਯ ਸਮਾਨ ਹਨ।
ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ y=4 ਦੀ ਢਲਾਨ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਕਰੀਏ? ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ, ਉਸ ਉੱਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੇ ਜਾਣ, ਅਤੇ ਉਠਾਅ ਅਤੇ ਦੌੜ ਨੂੰ ਗਿਣਿਆ ਜਾਵੇ। ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 11.24 ਵਿੱਚ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਉਠਾਅ ਅਤੇ ਦੌੜ ਨੂੰ ਗਿਣਨ ਲਈ ਦੋ ਬਿੰਦੂ (0,4) ਅਤੇ (3,4) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਠਾਅ ਕੀ ਹੈ? | ਉਠਾਅ 0 ਹੈ।
ਦੌੜ ਕੀ ਹੈ? | ਦੌੜ 3 ਹੈ।
ਢਲਾਨ ਕੀ ਹੈ? | m=ਉਠਾਅ/ਦੌੜ
m=0/3
m=0
ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ y=4 ਦੀ ਢਲਾਨ 0.0 ਹੈ।
ਸਾਰੀਆਂ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਢਲਾਨ 0 ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ y-ਸਮਨਵਯ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਠਾਅ 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ
ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ, y=b, ਦੀ ਢਲਾਨ 0.0 ਹੈ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਖੜ੍ਹੀ ਰੇਖਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਰੇਖਾ x=3, ਜਿਸਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 11.25 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਉਠਾਅ ਅਤੇ ਦੌੜ ਨੂੰ ਗਿਣਨ ਲਈ ਦੋ ਬਿੰਦੂ (3,0) ਅਤੇ (3,2) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਠਾਅ ਕੀ ਹੈ? | ਉਠਾਅ 2 ਹੈ।
ਦੌੜ ਕੀ ਹੈ? | ਦੌੜ 0 ਹੈ।
row: What is the slope? | m=riserunm=riserun
row: m=20m=20
But we can’t divide by 0.0. Division by 00 is undefined. So we say that the slope of the vertical line x=3x=3 is undefined. The slope of all vertical lines is undefined, because the run is 0.0.
Slope of a Vertical Line
The slope of a vertical line, x=a,x=a, is undefined.
Example 11.37
Find the slope of each line:
ⓐ x=8x=8
ⓑ y=−5y=−5
Solution
ⓐ x=8x=8
This is a vertical line, so its slope is undefined.
ⓑ y=−5y=−5
This is a horizontal line, so its slope is 0.0.
Try It 11.72
Find the slope of the line: x=−4.x=−4.
Try It 11.73
Find the slope of the line: y=7.y=7.
Quick Guide to the Slopes of Lines
Use the Slope Formula to find the Slope of a Line between Two Points
Sometimes we need to find the slope of a line between two points and we might not have a graph to count out the rise and the run. We could plot the points on grid paper, then count out the rise and the run, but there is a way to find the slope without graphing.
Before we get to it, we need to introduce some new algebraic notation. We have seen that an ordered pair (x,y)(x,y) gives the coordinates of a point. But when we work with slopes, we use two points. How can the same symbol (x,y)(x,y) be used to represent two different points?
Mathematicians use subscripts to distinguish between the points. A subscript is a small number written to the right of, and a little lower than, a variable.
(x1,y1)readxsub1,ysub1(x1,y1)readxsub1,ysub1
(x2,y2) ਪੜ੍ਹੋ x2, y2
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਲਈ (x1,y1) ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਲਈ (x2,y2) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਜੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ (x3,y3), (x4,y4), ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਸੀ।
ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਚੜ੍ਹਾਈ ਅਤੇ ਦੌੜ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹੈ, ਆਓ ਅਸੀਂ Figure 11.26 ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ (2,3) ਅਤੇ (7,6) ਵਿਚਕਾਰ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਨ 'ਤੇ ਦੁਬਾਰਾ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ।
ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਸਬਸਕ੍ਰਿਪਟ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ 3.3 ਦੀ ਚੜ੍ਹਾਈ ਗਿਣੀ। ਚੜ੍ਹਾਈ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਵੀ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ 5.5 ਦੀ ਦੌੜ ਗਿਣੀ। ਦੌੜ ਨੂੰ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਵੀ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚੜ੍ਹਾਈ/ਦੌੜ: ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ | m=ਚੜ੍ਹਾਈ/ਦੌੜ
ਚੜ੍ਹਾਈ/ਦੌੜ: ਇਸ ਲਈ | m=3/5
ਚੜ੍ਹਾਈ ਅਤੇ ਦੌੜ ਨੂੰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਪਾ ਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। | m=6−3/7−2
ਪਰ 6 ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਦਾ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੈ, y2 ਅਤੇ 3 ਪਹਿਲੇ ਬਿੰਦੂ ਦਾ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ y1 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਚੜ੍ਹਾਈ ਨੂੰ ਸਬਸਕ੍ਰਿਪਟ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। | m=y2−y1/7−2
ਨਾਲ ਹੀ 7 ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਦਾ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੈ, x2 ਅਤੇ 2 ਪਹਿਲੇ ਬਿੰਦੂ ਦਾ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ x2 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਦੌੜ ਨੂੰ ਸਬਸਕ੍ਰਿਪਟ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। | m=y2−y1/x2−x1
ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਇਆ ਹੈ ਕਿ m=y2−y1/x2−x1 ਅਸਲ ਵਿੱਚ m=ਚੜ੍ਹਾਈ/ਦੌੜ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸੰਸਕਰਣ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਢਲਾਨ ਫਾਰਮੂਲਾ
ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (x1,y1) ਅਤੇ (x2,y2) ਵਿਚਕਾਰ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਹੈ
ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਲਈ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਕਹੋ:
ਮੈਨੀਪੂਲੇਟਿਵ ਗਣਿਤ
ਉਦਾਹਰਨ 11.38
ਬਿੰਦੂਆਂ (1,2) ਅਤੇ (4,5) ਵਿਚਕਾਰ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ (1,2) ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ #1 ਅਤੇ (4,5) ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ #2 ਕਹਾਂਗੇ। | (1,2)x1,y1 ਅਤੇ (4,5)x2,y2
ਢਲਾਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | m=y2−y1/x2−x1
ਢਲਾਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ:
ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਦਾ y ਪਹਿਲੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ y ਤੋਂ ਘਟਾਓ | m=5−2/x2−x1
ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਦਾ x ਪਹਿਲੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ x ਤੋਂ ਘਟਾਓ | m=5−2/4−1
1. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
2. m=1
3. ਆਓ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਢਲਾਨ ਨੂੰ ਗਿਣ ਕੇ ਇਸ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੀਏ।
4. ਉੱਠਣਾ 33 ਹੈ ਅਤੇ ਦੌੜ 3,3 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ
5. m = ਉੱਠਣਾ ਦੌੜ m = 3 3 m = 1 m = ਉੱਠਣਾ ਦੌੜ m = 3 3 m = 1
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.74
7. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂਆਂ: (8,5)(8,5) ਅਤੇ (6,3).(6,3) ਰਾਹੀਂ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
8. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.75
9. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂਆਂ: (1,5)(1,5) ਅਤੇ (5,9).(5,9) ਰਾਹੀਂ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
10. ਸਾਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਲੱਗੇਗਾ ਕਿ ਕਿਹੜੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ #1 ਅਤੇ ਕਿਹੜੇ ਨੂੰ #2 ਕਹਿਣਾ ਹੈ? ਆਓ ਢਲਾਨ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਪਤਾ ਕਰੀਏ, ਇਸ ਵਾਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਨਾਮ ਬਦਲ ਕੇ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਸੱਜੇ ਤੋਂ ਖੱਬੇ ਦੌੜ ਨੂੰ ਗਿਣਾਂਗੇ, ਇਹ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇਗੀ।
11. ਕਤਾਰ: ਅਸੀਂ (4,5)(4,5) ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ #1 ਅਤੇ (1,2)(1,2) ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ #2 ਕਹਾਂਗੇ।
12. ਕਤਾਰ: ਢਲਾਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ।
13. ਕਤਾਰ: ਢਲਾਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ:
14. ਕਤਾਰ: ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਦਾ y ਘਟਾਓ ਪਹਿਲੇ ਬਿੰਦੂ ਦਾ y
15. ਕਤਾਰ: ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਦਾ x ਘਟਾਓ ਪਹਿਲੇ ਬਿੰਦੂ ਦਾ x
16. ਕਤਾਰ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
17. ਕਤਾਰ: m=1
18. ਢਲਾਨ ਉਹੀ ਹੈ ਭਾਵੇਂ ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀਏ।
19. ਉਦਾਹਰਨ 11.39
20. ਬਿੰਦੂਆਂ (−2,−3)(−2,−3) ਅਤੇ (−7,4).(−7,4) ਰਾਹੀਂ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
21. ਹੱਲ
22. ਕਤਾਰ: ਅਸੀਂ (−2,−3)(−2,−3) ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ #1 ਅਤੇ (−7,4)(−7,4) ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ #2 ਕਹਾਂਗੇ।
23. ਕਤਾਰ: ਢਲਾਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ।
24. ਕਤਾਰ: ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ
y2 ਦਾ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ y1 ਦਾ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪਹਿਲੇ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਘਟਾਓ | m=4−(−3)x2−x1m=4−(−3)x2−x1
x2 ਦਾ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ x1 ਦਾ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪਹਿਲੇ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਘਟਾਓ | m=4−(−3)−7−(−2)m=4−(−3)−7−(−2)
ਸਰਲ ਕਰੋ। | m=7−5m=7−5
m=−75m=−75
ਆਓ ਇਸਨੂੰ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੀਏ।
m = ਉੱਠਾਣ ਦੌੜ m = −7 5 m = − 7 5 m = ਉੱਠਾਣ ਦੌੜ m = −7 5 m = − 7 5
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 11.76
ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਰਾਹੀਂ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰੋ: (−3,4)(−3,4) ਅਤੇ (2,−1).(2,−1).
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 11.77
ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਰਾਹੀਂ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰੋ: (−2,6)(−2,6) ਅਤੇ (−3,−4).(−3,−4).
ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ ਜਿਸ ਲਈ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਢਲਾਣ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੋਵੇ
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ, ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਕੇ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਇਆ ਹੈ।
ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਣ ਵਿਧੀ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ, ਸਾਨੂੰ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦਿੱਤੀ ਜਾਵੇਗੀ। ਜਦੋਂ ਅਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਢਲਾਣ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 11.40
ਬਿੰਦੂ (1,−1)(1,−1) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ ਜਿਸਦੀ ਢਲਾਣ m=34.m=34 ਹੈ।
ਹੱਲ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ, (1,−1).(1,−1) ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
ਉੱਠਾਣ ਅਤੇ ਦੌੜ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਢਲਾਣ ਫਾਰਮੂਲਾ m=riserunm=riserun ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਪਲਾਟ ਕੀਤੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਉੱਠਾਣ ਅਤੇ ਦੌੜ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ 33 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਅਤੇ 44 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਗਿਣਦੇ ਹਾਂ।
ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨਾਲ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਜਾਰੀ ਰਹਿਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸਿਰਿਆਂ 'ਤੇ ਤੀਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ 33 ਉੱਪਰ ਅਤੇ 4.4 ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਗਿਣ ਕੇ ਆਪਣੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ ਮਿਲਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 11.78
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਢਲਾਣ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ:
(2,−2),m=43(2,−2),m=43
1. ਯਤਨ ਕਰੋ 11.79
2. ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਢਲਾਣ (slope) ਨਾਲ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ:
3. (−2,3), ਢਲਾਣ=1/4
4. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
5. ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਢਲਾਣ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
6. ਕਦਮ 1. ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
7. ਕਦਮ 2. ਉੱਠਾਨ (rise) ਅਤੇ ਦੌੜ (run) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਢਲਾਣ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
8. ਕਦਮ 3. ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ, ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਉੱਠਾਨ ਅਤੇ ਦੌੜ ਨੂੰ ਗਿਣੋ।
9. ਕਦਮ 4. ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨਾਲ ਜੋੜੋ।
10. ਉਦਾਹਰਨ 11.41
11. y-ਅੰਤਰਖੰਡ (0,2) ਅਤੇ ਢਲਾਣ m=−2/3 ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
12. ਹੱਲ
13. ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਬਿੰਦੂ, y-ਅੰਤਰਖੰਡ (0,2) ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
14. ਉੱਠਾਨ ਅਤੇ ਦੌੜ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਢਲਾਣ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ m=ਉੱਠਾਨ/ਦੌੜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
15. (0,2) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ, ਉੱਠਾਨ ਅਤੇ ਦੌੜ ਨੂੰ ਗਿਣੋ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਕਰੋ।
16. ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨਾਲ ਜੋੜੋ।
17. ਯਤਨ ਕਰੋ 11.80
18. ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਅੰਤਰਖੰਡ ਅਤੇ ਢਲਾਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ:
19. y-ਅੰਤਰਖੰਡ 4, ਢਲਾਣ m=−5/2
20. ਯਤਨ ਕਰੋ 11.81
21. ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਅੰਤਰਖੰਡ ਅਤੇ ਢਲਾਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ:
22. x-ਅੰਤਰਖੰਡ −3, ਢਲਾਣ m=−3/4
23. ਉਦਾਹਰਨ 11.42
24. ਬਿੰਦੂ (−1,−3) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ ਜਿਸਦੀ ਢਲਾਣ m=4 ਹੈ।
1. ਹੱਲ
2. ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
3. ਕਤਾਰ: ਚੜ੍ਹਾਈ (rise) ਅਤੇ ਦੌੜ (run) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | m=4m=4
4. ਕਤਾਰ: 4 ਨੂੰ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। | riserun=41riserun=41
5. ਚੜ੍ਹਾਈ=4, ਦੌੜ=1
6. ਚੜ੍ਹਾਈ ਅਤੇ ਦੌੜ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰੋ।
7. ਦੂਜਾ ਬਿੰਦੂ ਲਗਾਓ। ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨਾਲ ਜੋੜੋ।
8. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.82
9. ਬਿੰਦੂ (−2,1) ਅਤੇ ਢਲਾਨ m=3 ਨਾਲ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
10. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.83
11. ਬਿੰਦੂ (4,−2) ਅਤੇ ਢਲਾਨ m=−2 ਨਾਲ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
12. ਢਲਾਨ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
13. ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਿਹਾ ਸੀ ਕਿ ਅਸਲ ਦੁਨੀਆ ਵਿੱਚ ਢਲਾਨ ਦੇ ਕਈ ਉਪਯੋਗ ਹਨ। ਆਓ ਹੁਣ ਕੁਝ ਦੇਖੀਏ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 11.43
15. ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਛੱਤ ਦੀ ਢਲਾਨ (pitch) ਛੱਤ ਦੀ ਢਲਾਨ ਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਢਲਾਨ ਨੂੰ ਜਾਣਨਾ ਉਨ੍ਹਾਂ ਜਲਵਾਯੂਆਂ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਭਾਰੀ ਬਰਫ਼ਬਾਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇ ਛੱਤ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਫਲੈਟ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਬਰਫ਼ ਦਾ ਭਾਰ ਇਸਨੂੰ ਢਹਿਣ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਛੱਤ ਦੀ ਢਲਾਨ ਕੀ ਹੈ?
16. ਹੱਲ
17. ਕਤਾਰ: ਢਲਾਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ। | m=riserunm=riserun
18. ਕਤਾਰ: ਚੜ੍ਹਾਈ ਅਤੇ ਦੌੜ ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | m=9 ft18 ftm=9 ft18 ft
19. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | m=12m=12
20. ਕਤਾਰ: ਛੱਤ ਦੀ ਢਲਾਨ 1/2 ਹੈ।
21. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.84
22. ਚੜ੍ਹਾਈ ਅਤੇ ਦੌੜ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਢਲਾਨ ਲੱਭੋ: ਚੜ੍ਹਾਈ = 1/4 ਅਤੇ ਦੌੜ = 2/4 ਵਾਲੀ ਛੱਤ।
23. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.85
24. ਚੜ੍ਹਾਈ ਅਤੇ ਦੌੜ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਢਲਾਨ ਲੱਭੋ: ਚੜ੍ਹਾਈ = 1/5 ਅਤੇ ਦੌੜ = 3/6 ਵਾਲੀ ਛੱਤ।
Have you ever thought about the sewage pipes going from your house to the street? Their slope is an important factor in how they take waste away from your house.
Example 11.44
Sewage pipes must slope down 1414 inch per foot in order to drain properly. What is the required slope?
Solution
row: Use the slope formula. | m=riserunm=riserun
row: m=−14in.1ftm=−14in.1ft
row: m=−14in.1ftm=−14in.1ft
row: Convert 1 foot to 12 inches. | m=−14in.12in.m=−14in.12in.
row: Simplify. | m=−148m=−148
row: The slope of the pipe is −148.−148.
Try It 11.86
Find the slope of the pipe: The pipe slopes down 1313 inch per foot.
Try It 11.87
Find the slope of the pipe: The pipe slopes down 3434 inch per yard.
Media
ACCESS ADDITIONAL ONLINE RESOURCES
Determine Positive slope from a Graph
Determine Negative slope from a Graph
Determine Slope from Two Points
Practice Makes Perfect
Use Geoboards to Model Slope
In the following exercises, find the slope modeled on each geoboard.
In the following exercises, model each slope. Draw a picture to show your results.
2 3 2 3
3 4 3 4
1. ੧ ੪ ੧ ੪
2. ੪ ੩ ੪ ੩
3. − ੧ ੨ − ੧ ੨
4. − ੩ ੪ − ੩ ੪
5. − ੨ ੩ − ੨ ੩
6. − ੩ ੨ − ੩ ੨
7. ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰੋ
8. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਹਰੇਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।
9. ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰੋ
10. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।
11. y = 3 y = 3
12. y = 1 y = 1
13. x = 4 x = 4
14. x = 2 x = 2
15. y = −2 y = −2
16. y = −3 y = −3
17. x = −5 x = −5
18. x = −4 x = −4
19. ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਢਲਾਣ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
20. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਜੋੜੇ ਵਿਚਕਾਰ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਢਲਾਣ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
21. ( ੧ , ੪ ) , ( ੩ , ੯ )
22. ( ੨ , ੩ ) , ( ੫ , ੭ )
23. ( ੦ , ੩ ) , ( ੪ , ੬ )
24. ( ੦ , ੧ ) , ( ੫ , ੪ )
( 2 , 5 ) , ( 4 , 0 ) ( 2 , 5 ) , ( 4 , 0 )
( 3 , 6 ) , ( 8 , 0 ) ( 3 , 6 ) , ( 8 , 0 )
( −3 , 3 ) , ( 2 , −5 ) ( −3 , 3 ) , ( 2 , −5 )
( −2 , 4 ) , ( 3 , −1 ) ( −2 , 4 ) , ( 3 , −1 )
( −1 , −2 ) , ( 2 , 5 ) ( −1 , −2 ) , ( 2 , 5 )
( −2 , −1 ) , ( 6 , 5 ) ( −2 , −1 ) , ( 6 , 5 )
( 4 , −5 ) , ( 1 , −2 ) ( 4 , −5 ) , ( 1 , −2 )
( 3 , −6 ) , ( 2 , −2 ) ( 3 , −6 ) , ( 2 , −2 )
ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਢਲਾਣ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਢਲਾਣ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
( 1 , −2 ) ; m = 3 4 ( 1 , −2 ) ; m = 3 4
( 1 , −1 ) ; m = 1 2 ( 1 , −1 ) ; m = 1 2
( 2 , 5 ) ; m = − 1 3 ( 2 , 5 ) ; m = − 1 3
( 1 , 4 ) ; m = − 1 2 ( 1 , 4 ) ; m = − 1 2
( −3 , 4 ) ; m = − 3 2 ( −3 , 4 ) ; m = − 3 2
( −2 , 5 ) ; m = − 5 4 ( −2 , 5 ) ; m = − 5 4
( −1 , −4 ) ; m = 4 3 ( −1 , −4 ) ; m = 4 3
( −3 , −5 ) ; m = 3 2 ( −3 , −5 ) ; m = 3 2
( 0 , 3 ) ; m = − 2 5 ( 0 , 3 ) ; m = − 2 5
( 0 , 5 ) ; m = − 4 3 ( 0 , 5 ) ; m = − 4 3
( −2 , 0 ) ; m = 3 4 ( −2 , 0 ) ; m = 3 4
( −1 , 0 ) ; m = 1 5 ( −1 , 0 ) ; m = 1 5
( −3 , 3 ) ; m = 2 ( −3 , 3 ) ; m = 2
( −4 , 2 ) ; m = 4 ( −4 , 2 ) ; m = 4
1. ( 1 , 5 ) ; m = −3
2. ( 2 , 3 ) ; m = −1
3. ਢਲਾਨ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਹੱਲ ਕਰੋ
4. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹਨਾਂ ਢਲਾਨ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
5. ਛੱਤ ਦੀ ਢਲਾਨ ਢਲਾਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ 12-ਇੰਚ ਦਾ ਲੈਵਲ ਲਿਆ ਜਾਵੇ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਛੱਤ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਜਾਵੇ। ਫਿਰ ਇੱਕ ਟੇਪ ਮਾਪ ਜਾਂ ਰੂਲਰ ਲਓ, ਅਤੇ ਲੈਵਲ ਦੇ ਦੂਜੇ ਸਿਰੇ ਤੋਂ ਛੱਤ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਤੱਕ ਮਾਪੋ। ਤੁਸੀਂ ਛੱਤ ਦੀ ਢਲਾਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਮਾਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਇਸ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਛੱਤ ਦੀ ਢਲਾਨ ਕੀ ਹੈ?
6. ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਛੱਤ ਦੀ ਢਲਾਨ ਕੀ ਹੈ?
7. ਸੜਕ ਦਾ ਗ੍ਰੇਡ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਸੜਕ ਦਾ 6% ਗ੍ਰੇਡ ਹੈ। ਸੜਕ ਦਾ ਗ੍ਰੇਡ ਇਸਦੀ ਢਲਾਨ ਹੈ ਜੋ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
8. ⓐ ਸੜਕ ਦੀ ਢਲਾਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
9. ⓑ ਇਸ ਢਲਾਨ ਜਾਂ ਗ੍ਰੇਡ ਨੂੰ ਕਿਹੜਾ ਉੱਠਣਾ ਅਤੇ ਦੌੜਨਾ ਦਰਸਾਏਗਾ?
10. ਹਾਈਵੇ ਗ੍ਰੇਡ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਸੜਕ 50 ਫੁੱਟ ਹਾਈਵੇ ਲਈ 22 ਫੁੱਟ ਉੱਠਦੀ ਹੈ।
11. ⓐ ਹਾਈਵੇ ਦੀ ਢਲਾਨ ਕੀ ਹੈ?
12. ⓑ ਹਾਈਵੇ ਦਾ ਗ੍ਰੇਡ ਇਸਦੀ ਢਲਾਨ ਹੈ ਜੋ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਹਾਈਵੇ ਦਾ ਗ੍ਰੇਡ ਕੀ ਹੈ?
13. ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਗਣਿਤ
14. ਵ੍ਹੀਲਚੇਅਰ ਰੈਂਪ ਵ੍ਹੀਲਚੇਅਰ ਰੈਂਪਾਂ ਲਈ ਨਿਯਮ 12-ਇੰਚ ਦੀ ਦੌੜ ਲਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 1-ਇੰਚ ਦਾ ਉੱਠਣਾ ਲੋੜੀਂਦੇ ਹਨ।
15. ⓐ ਦਰਵਾਜ਼ੇ ਤੱਕ 24-ਇੰਚ ਦੇ ਉੱਠਣ ਨੂੰ ਅਨੁਕੂਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਰੈਂਪ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਦੌੜ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ?
16. ⓑ ਇਸ ਰੈਂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਮਾਡਲ ਬਣਾਓ।
17. ਵ੍ਹੀਲਚੇਅਰ ਰੈਂਪ 16-ਇੰਚ ਦੀ ਦੌੜ ਲਈ 1-ਇੰਚ ਦਾ ਉੱਠਣਾ ਰੈਂਪ 'ਤੇ ਚੜ੍ਹਨ ਵਾਲੇ ਵ੍ਹੀਲਚੇਅਰ ਸਵਾਰ ਲਈ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
18. ⓐ ਦਰਵਾਜ਼ੇ ਤੱਕ 24-ਇੰਚ ਦੇ ਉੱਠਣ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਅਨੁਕੂਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਰੈਂਪ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਦੌੜ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ?
19. ⓑ ਇਸ ਰੈਂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਮਾਡਲ ਬਣਾਓ।
20. ਲਿਖਣ ਦੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ
21. ਢਲਾਨ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਬਾਰੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕੀ ਦੱਸਦਾ ਹੈ?
22. ਢਲਾਨ m=12 ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਢਲਾਨ m=2 ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ?
23. ਇੱਕ ਖੜ੍ਹੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਿਉਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ?
24. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਢਲਾਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਕਿਵੇਂ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹੋ।
1. ਆਤਮ-ਪੜਤਾਲ
2. ⓐ ਅਭਿਆਸ ਮੁਕੰਮਲ ਕਰਨ ਮਗਰੋਂ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਬਾਰੇ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
3. ⓑ ਚੈਕਲਿਸਟ ਉੱਤੇ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਭਾਗ ਬਾਰੇ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਨੂੰ 1–10 ਦੇ ਪੈਮਾਨੇ ਉੱਤੇ ਤੁਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਦਰਜਾ ਦਿਓਗੇ? ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਸੁਧਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?