1. ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
2. ਕੋਈ ਸਬੰਧ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਿਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕੋਈ ਫਲਨ (function) ਸਬੰਧ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕਿਸਮ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਡੋਮੇਨ ਮੁੱਲ, ਜਾਂ ਇਨਪੁਟ, ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਰੇਂਜ ਮੁੱਲ, ਜਾਂ ਆਊਟਪੁਟ, ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
3. ਫਲਨ ਸੰਕੇਤ (Function notation) ਇਨਪੁਟ ਨੂੰ ਆਊਟਪੁਟ ਨਾਲ y=f(x) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜੋੜਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। y=f(x)। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
4. ਸਾਰਣੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਫਲਨ ਨੂੰ ਕਤਾਰਾਂ ਜਾਂ ਕਾਲਮਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਊਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
5. ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਗਤ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲਈ ਇੱਕ ਆਊਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੇ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਰੂਪਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਇਨਪੁਟ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
6. ਕਿਸੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਫਲਨ ਮੁੱਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਉਹ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਆਊਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
7. ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦਾ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਰੂਪ ਕਿਸੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
8. ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਊਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਵੇਖੋ।
9. ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਆਊਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਜੋੜਨਾ ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 12 ਵੇਖੋ।
10. ਕੋਈ ਫਲਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ (one-to-one) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਹਰੇਕ ਆਊਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਸੰਗਤ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 13 ਵੇਖੋ।
11. ਕੋਈ ਗ੍ਰਾਫ ਫਲਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਖਿੱਚੀ ਗਈ ਕੋਈ ਵੀ ਲੰਬਤ ਰੇਖਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਨਾ ਕੱਟੇ। ਉਦਾਹਰਨ 14 ਵੇਖੋ।
12. ਇੱਕ-ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਟੈਸਟ (horizontal line test) ਪਾਸ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 15 ਵੇਖੋ।
13. ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਅਣਪ੍ਰਭਾਸ਼ਿਤ ਗਣਿਤਿਕ ਕਿਰਿਆ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਨ ਦਾ ਕਾਰਨ ਨਹੀਂ ਬਣਨਗੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਿਫਰ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲੈਣਾ।
14. ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਿਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
15. ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੇ ਗਏ ਫਲਨ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਵੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2, ਉਦਾਹਰਨ 3, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
16. ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਅੰਤਰਾਲ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਅਸਮਾਨਤਾ ਸੰਕੇਤ (inequality notation), ਸਮੂਹ-ਨਿਰਮਾਤਾ ਸੰਕੇਤ (set-builder notation), ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ ਸੰਕੇਤ (interval notation) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
17. ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਫਲਨਾਂ ਲਈ, ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
18. ਟੂਲਕਿਟ ਫਲਨਾਂ (toolkit functions) ਦੀ ਸਮਝ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 8, ਉਦਾਹਰਨ 9, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
19. ਇੱਕ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਾਲਾ ਫਲਨ (piecewise function) ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 12 ਵੇਖੋ।
20. ਇੱਕ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਾਲੇ ਫਲਨ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਉਪ-ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਹਰੇਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 13 ਵੇਖੋ।
21. ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ (rate of change) ਇੱਕ ਆਊਟਪੁਟ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਇਨਪੁਟ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨਾਲ ਜੋੜਦੀ ਹੈ। ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ (average rate of change) ਸਿਰਫ਼ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਡਾਟਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
22. ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
23. ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਊਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਜੋੜਿਆਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਵੀ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
24. ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਉੱਤੇ ਫਲਨ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਵੀ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਕਈ ਵਾਰ ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਵਜੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਦਰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਇੱਕ ਫਲਨ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਦਰ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
ਸਥਾਨਕ ਵੱਧਤਮ ਉਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਫਲਨ ਵੱਧਣ ਤੋਂ ਘਟਣ ਵੱਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਗੁਆਂਢੀ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲੋਂ ਵੱਡਾ (ਵਧੇਰੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਘੱਟ ਨਕਾਰਾਤਮਕ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਥਾਨਕ ਘੱਟਤਮ ਉਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਫਲਨ ਘਟਣ ਤੋਂ ਵੱਧਣ ਵੱਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ (ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁੱਟ ਵਧਦਾ ਹੈ) ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਗੁਆਂਢੀ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲੋਂ ਛੋਟਾ (ਵਧੇਰੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਘੱਟ ਸਕਾਰਾਤਮਕ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਘੱਟਤਮ ਅਤੇ ਵੱਧਤਮ ਨੂੰ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵੇਂ ਬਿੰਦੂ ਵੱਧਤਮ ਅਤੇ ਘੱਟਤਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਦੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਫਲਨਾਂ ਉੱਤੇ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਕਾਰਜ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਹਿਲੇ (ਅੰਦਰੂਨੀ) ਫਲਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੂਜੇ (ਬਾਹਰੀ) ਫਲਨ ਦਾ ਇਨਪੁੱਟ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਦੋ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਫਲਨ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਅਰਥ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਫਲਨ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫਲਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨੂੰ ਇਨਪੁੱਟ ਵਜੋਂ ਲੈ ਕੇ ਬਾਹਰੀ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਉਹਨਾਂ ਇਨਪੁੱਟਾਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਜੋ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫਲਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਬਾਹਰੀ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
ਜਿਵੇਂ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਫਲਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਨੂੰ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਸੰਖਿਆ ਜੋੜ ਕੇ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਨੂੰ ਇਨਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਸੰਖਿਆ ਜੋੜ ਕੇ ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3, ਉਦਾਹਰਨ 4, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਵ ਨੂੰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰਨਾ ਲੰਬਵਤ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਲੰਬਵਤ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਬਦਲਾਵਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨੂੰ –1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਇਨਪੁੱਟ ਨੂੰ –1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਦੋਵੇਂ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਅੰਤਿਮ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਟੇਬੂਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਊਟਪੁਟ ਕਤਾਰਾਂ ਜਾਂ ਕਾਲਮਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਉਸ ਅਨੁਸਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਵੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਦੇਖੋ।
ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ y-y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਾਪੇਖ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਸਾਪੇਖ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਰਤ f(x)=f(−x) ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। f(x)=f(−x)।
ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਰਤ f(x)=−f(−x) ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। f(x)=−f(−x)।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿਸ਼ਮ, ਸਮ, ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਹੀ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ 12 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਆਊਟਪੁਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੰਕੁਚਿਤ ਜਾਂ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 13, ਉਦਾਹਰਨ 14, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 15 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੰਕੁਚਿਤ ਜਾਂ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 16, ਉਦਾਹਰਨ 17, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 18 ਦੇਖੋ।
ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਅੰਤਿਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਦੋਵੇਂ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪਰਿਵਰਤਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਪਰਿਵਰਤਨ ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 19 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 20 ਦੇਖੋ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀਆਂ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਲਈ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੰਭਾਵਿਤ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀਆਂ ਰੇਂਜਾਂ, ਨੂੰ ਵੀ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ 'V' ਅੱਖਰ ਵਰਗਾ ਦਿਸਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਨਾ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਿਸ਼ਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਅਣਜਾਣ ਵੇਰੀਏਬਲ ਇੱਕ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਪੁਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਧਨ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਣਜਾਣ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਦੋ ਹੱਲ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ, ਦੋ ਹੱਲ, ਜਾਂ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਅਸਮਾਨਤਾ ਇੱਕ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ ਪਰ | A |<B,| A |≤B,| A |>B, ਜਾਂ | A |≥B ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। | A |<B,| A |≤B,| A |>B, ਜਾਂ | A |≥B। ਇਸਨੂੰ ਹੱਲ ਸੈੱਟ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਹ ਪਰਖ ਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜੇ ਭਾਗ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੀ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
ਜੇਕਰ g(x) f(x) ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਹੈ, f(x), ਤਾਂ g(f(x))=f(g(x))=x। g(f(x))=f(g(x))=x। ਉਦਾਹਰਨ 1, ਉਦਾਹਰਨ 2, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦਾ ਇੱਕ ਇਨਵਰਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਹੋਣ ਲਈ, ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ (ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਟੈਸਟ ਪਾਸ ਕਰਨਾ) ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਆਪਣੇ ਪੂਰੇ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਉਹ ਆਪਣੇ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਕੁਝ ਹਿੱਸੇ ਉੱਤੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਇਨਵਰਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਊਟਪੁਟ ਕਤਾਰਾਂ ਦਾ ਆਦਾਨ-ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਖਾਸ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਕਿਸੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਉਲਟ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ y=f(x) ਨੂੰ x ਲਈ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਲੇਬਲ x ਅਤੇ y ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਦਿਓ। ਉਦਾਹਰਨ 7, ਉਦਾਹਰਨ 8, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ, ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ y=x ਰੇਖਾ ਦੇ ਪਾਰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਦੇਖੋ।