1. ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
2. ਕਿਸੇ ਵੀ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ 'i' ਦੇ ਗੁਣਜ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। 'i'। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
3. ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਜਟਿਲ ਤਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ। ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰਾ ਅਸਲ ਧੁਰਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰਾ ਕਾਲਪਨਿਕ ਧੁਰਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
4. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਅਸਲ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਜੋੜਿਆ ਅਤੇ ਘਟਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
5. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
6. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਬਹੁਪਦਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਵਿਤਰਨ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 4, ਉਦਾਹਰਨ 5, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।
7. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰਨ ਲਈ, ਹਰ ਨੂੰ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਤੋਂ ਮੁਕਤ ਕਰਨ ਲਈ ਹਰ ਦੇ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗੀ ਨਾਲ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 6, ਉਦਾਹਰਨ 7, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
8. 'i' ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਚੱਕਰੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਹਰ ਚੌਥੀ ਘਾਤ 'ਤੇ ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਦੇਖੋ।
9. ਦੋ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
10. ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਪਰਵਲਯ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪਰਵਲਯ ਇੱਕ 'U' ਆਕਾਰ ਦਾ ਵਕਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹ ਸਕਦਾ ਹੈ।
11. ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ ਸਿਖਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਸਿਫ਼ਰ, ਜਾਂ x-ਅੰਤਰਖੰਡ, ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਪਰਵਲਯ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਪਰਵਲਯ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1, ਉਦਾਹਰਨ 7, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।
12. ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਕਸਰ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਜਾਂ ਸਿਖਰ ਰੂਪ ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਸਿਖਰ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਪਛਾਣਨ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ। ਕੋਈ ਵੀ ਰੂਪ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
13. ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਸਿਖਰ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
14. ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਰੇਂਜ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ ਵੱਖਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
15. ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਸਿਖਰ ਦੇ y-ਮੁੱਲ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
16. ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਕਈ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਮਾਲੀਆ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
17. ਕੁਝ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
18. ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਅੰਤਰਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਿਆ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਦੇਖੋ।
19. ਘਾਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਅਧਾਰ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
20. ਜਦੋਂ ਇਨਪੁਟ ਬੇਅੰਤ ਘੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਬੇਅੰਤ ਵੱਧ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਵਿਵਹਾਰ ਅੰਤ ਵਿਵਹਾਰ ਅਖਵਾਉਂਦਾ ਹੈ।
21. ਅੰਤ ਵਿਵਹਾਰ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਘਾਤ ਸਮ ਜਾਂ ਟਾਂਕ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
22. ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਰਤਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਘਾਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
23. ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਘਾਤ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਵਿੱਚ ਵਾਪਰਦੀ ਹੈ। ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ ਵਾਲੀ ਸ਼ਰਤ ਨੂੰ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਸ਼ਰਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਸ਼ਰਤ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
24. ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅੰਤ ਵਿਵਹਾਰ ਉਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਸ਼ਰਤ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਘਾਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿਵਹਾਰ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
n ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ (polynomial) ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ n x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (x-intercepts) ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ n−1 ਮੁੜਨ ਬਿੰਦੂ (turning points) ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 8, ਉਦਾਹਰਨ 9, ਉਦਾਹਰਨ 10, ਉਦਾਹਰਨ 11, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 12 ਵੇਖੋ।
2 ਡਿਗਰੀ ਜਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ ਫਲਨ (polynomial functions) ਨਿਰਵਿਘਨ, ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦ ਫਲਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ (zeros) ਲੱਭਣ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਇਸਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ (factored) ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਫਲਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ। ਉਦਾਹਰਨ 2, ਉਦਾਹਰਨ 3, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦ ਫਲਨ ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ (graph) ਬਣਾਉਣਾ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਸਿਫ਼ਰ ਦੀ ਗੁਣਨਤਾ (multiplicity) ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ 'ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਨੂੰ, ਜਿਸਦੀ ਗੁਣਨਤਾ ਵਿਸ਼ਮ (odd multiplicity) ਹੋਵੇ, 'ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ (horizontal axis) ਨੂੰ ਕੱਟੇਗਾ।
ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਨੂੰ, ਜਿਸਦੀ ਗੁਣਨਤਾ ਸਮ (even multiplicity) ਹੋਵੇ, 'ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੋਹੇਗਾ।
ਬਹੁਪਦ ਫਲਨ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ (end behavior) ਇਸਦੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ (leading term) 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਬਹੁਪਦ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇਸਦੇ ਮੁੜਨ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।
n ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ ਫਲਨ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ n−1 ਮੁੜਨ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁਣਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭੋ, ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਅੰਤਿਮ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ n−1 ਮੁੜਨ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਸਥਾਨਕ (local) ਅਤੇ ਸਰਬੋਤਮ (global) ਅਤਿਅੰਤਮਾਂ (extremas) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਵੇਖੋ।
ਅੰਤਰ-ਮਾਨ ਥਿਊਰਮ (Intermediate Value Theorem) ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ f(a) ਅਤੇ f(b) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਉਲਟ ਹੋਣ, ਤਾਂ a ਅਤੇ b ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਮਾਨ c ਅਜਿਹਾ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਲਈ f(c)=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦ ਲੰਬੀ ਵੰਡ (polynomial long division) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਜਾਂ ਘੱਟ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਥਮ (Division Algorithm) ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਭਾਜ (dividend) ਨੂੰ ਭਾਜਕ (divisor) ਅਤੇ ਭਾਗਫਲ (quotient) ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ (remainder) ਜੋੜ ਕੇ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸੰਖੇਪ ਵੰਡ (synthetic division) ਇੱਕ ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ x−k ਰੂਪ ਦੇ ਦੋਪਦੀ (binomial) ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3, ਉਦਾਹਰਨ 4, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਖੇਤਰਫਲ (area) ਅਤੇ ਆਇਤਨ (volume) ਸਮੇਤ ਅਰਜ਼ੀ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ (application problems) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
f(k) ਲੱਭਣ ਲਈ, x−k ਦੁਆਰਾ ਭਾਗ ਕੀਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਬਹੁਪਦ f(x) ਦੇ ਬਾਕੀ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
k, f(x) ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਜੇਕਰ (x−k), f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਗੁਣਾਂਕਾਂ (integer coefficients) ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ ਫਲਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸਿਫ਼ਰ (rational zero) ਦਾ ਮਾਨ ਅਚੱਲ ਪਦ (constant term) ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ (leading coefficient) ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗਾ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਭਾਵੀ ਪਰਿਮੇਯ ਸਿਫ਼ਰ ਅਚੱਲ ਪਦ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਸੰਖੇਪ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਹੁਪਦ ਫਲਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ (Fundamental Theorem) ਅਨੁਸਾਰ, ਹਰੇਕ ਬਹੁਪਦ ਫਲਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਸੰਕੀਰਨ ਸਿਫ਼ਰ (complex zero) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
0 ਤੋਂ ਵੱਧ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਹਰੇਕ ਬਹੁਪਦ ਫਲਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਸੰਕੀਰਨ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਬਹੁਲਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਫਲਨ ਦਾ ਡਿਗਰੀ ਜਿੰਨੇ ਹੀ ਗੁਣਕ ਹੋਣਗੇ। ਹਰ ਗੁਣਕ (x−c), (x−c) ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿੱਥੇ c ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਫਲਨ ਦੇ ਧਨ ਅਸਲ ਸਿਫਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜਾਂ ਤਾਂ ਫਲਨ ਵਿੱਚ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ ਜਾਂ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਮ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘੱਟ ਹੈ।
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਫਲਨ ਦੇ ਰਿਣ ਅਸਲ ਸਿਫਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜਾਂ ਤਾਂ f(−x) ਵਿੱਚ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ ਜਾਂ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਮ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘੱਟ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਾਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫਲਨਾਂ f(x)= 1 x ਅਤੇ f(x)= 1 x 2 ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਅਤੇ ਅੰਤ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਤੀਰ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਜੋ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਪੱਧਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਦਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੇ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਖੜ੍ਹਵੇਂ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਦਰਾਂ ਅਤੇ ਇਕਾਗਰਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫਲਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫਲਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਜੋ ਹਰ ਨੂੰ ਸਿਫਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫਲਨ ਦੇ ਖੜ੍ਹਵੇਂ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਉੱਥੇ ਵਾਪਰਨਗੇ ਜਿੱਥੇ ਫਲਨ ਦਾ ਹਰ ਸਿਫਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਸ਼ ਸਿਫਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਲਨ ਵਾਪਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਇਨਪੁਟ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਸਿਫਰ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫਲਨ ਦਾ ਅੰਤ ਵਿਵਹਾਰ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਏਗਾ। ਉਦਾਹਰਨ 7, ਉਦਾਹਰਨ 8, ਉਦਾਹਰਨ 9, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
ਗ੍ਰਾਫ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ, ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਅਤੇ ਐਸਿੰਪਟੋਟਸ 'ਤੇ ਵਿਵਹਾਰ, ਅਤੇ ਅੰਤ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਲੱਭ ਕੇ ਬਣਾਓ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਵੇਖੋ।
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫਲਨ ਦੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ x= x 1 , x 2 ,…, x n , ਖੜ੍ਹਵੇਂ ਐਸਿੰਪਟੋਟਸ x= v 1 , v 2 ,…, v m , ਅਤੇ ਕੋਈ x i =ਕੋਈ v j ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਫਲਨ ਨੂੰ f(x)=a (x− x 1 ) p 1 (x− x 2 ) p 2 ⋯ (x− x n ) p n (x− v 1 ) q 1 (x− v 2 ) q 2 ⋯ (x− v m ) q n ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 12 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫਲਨ ਦਾ ਉਲਟ ਇੱਕ ਵਰਗਮੂਲ ਫਲਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ f −1 ਇੱਕ ਫਲਨ f ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ, ਤਾਂ f ਫਲਨ f −1 ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਹਾਲਾਂਕਿ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਬਹੁਪਦ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕੁਝ ਬੁਨਿਆਦੀ ਬਹੁਪਦ ਉਲਟਾਉਣਯੋਗ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਕੁਝ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਫਲਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ ਜਿਸ 'ਤੇ ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੋਵੇਗਾ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਰੈਡੀਕਲ ਫਲਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਜਵਾਬ ਦੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਪਾਬੰਦੀ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਉਲਟ ਅਤੇ ਰੈਡੀਕਲ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸਬੰਧ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ ਦੂਜੀ ਮਾਤਰਾ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਨੂੰ ਸਿੱਧਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਜੋ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਸਿੱਧੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅਨੁਪਾਤ ਹੋਵੇਗਾ।
ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸਬੰਧ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ ਦੂਜੀ ਮਾਤਰਾ ਦੁਆਰਾ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਜੋ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ ਹੋਵੇਗਾ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਕਈ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨਾਲ ਸਿੱਧੇ ਜਾਂ ਉਲਟੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਸੰਯੁਕਤ ਪਰਿਵਰਤਨ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।