1. ਅਭਿਆਸਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ
2. ਤੁਸੀਂ ਅਧਿਆਇ 3: ਬਹੁਪਦ ਅਤੇ ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਗਏ ਹੋ। ਆਓ ਉਹਨਾਂ ਮੁੱਖ ਸ਼ਬਦਾਂ, ਸੰਕਲਪਾਂ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੀਏ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਸਿੱਖੇ ਹਨ।
3. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ
4. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਕਿਰਿਆ ਕਰੋ।
5. ( 4+3i )+( −2−5i )
6. ( 6−5i )−( 10+3i )
7. ( 2−3i )( 3+6i )
8. 2−i 2+i
9. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
10. x 2 −4x+5=0
11. x 2 +2x+10=0
12. ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ
13. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ, ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਧੁਰੇ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਦਿਓ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
14. f(x)= x 2 −4x−5
15. f(x)=−2 x 2 −4x
16. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
17. ਸਿਖਰ (–2,3) ਹੈ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (3,6) ਹੈ।
18. ਸਿਖਰ (–3,6.5) ਹੈ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (2,6) ਹੈ।
19. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉੱਤਰ ਦਿਓ।
20. ਜ਼ਮੀਨ ਦੇ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਲਾਟ ਨੂੰ ਵਾੜ ਨਾਲ ਘੇਰਨਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਨਦੀ ਦੇ ਨਾਲ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਵਾੜ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੁੱਲ ਉਪਲਬਧ ਵਾੜ 600 ਮੀਟਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਖੇਤਰਫਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਪਲਾਟ ਦੇ ਮਾਪ ਲੱਭੋ।
21. 120 ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਦੀ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਵੇਗ ਨਾਲ 45 ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਕੀਤੀ ਗਈ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਦੀ ਉਚਾਈ, h, ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ, x, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, h(x)= −32 (120) 2 x 2 +x ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਵਸਤੂ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਲੱਭੋ।
22. ਸ਼ਕਤੀ ਫਲਨ ਅਤੇ ਬਹੁਪਦ ਫਲਨ
23. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਫਲਨ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਫਲਨ ਹੈ ਅਤੇ, ਜੇਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਘਾਤ ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਦਿਓ।
24. f(x)=4 x 5 −3 x 3 +2x−1
f(x) = 5x+1 − x^2
f(x) = x^2 (3−6x+ x^2)
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
f(x) = 2x^4 + 3x^3 − 5x^2 + 7
f(x) = 4x^3 − 6x^2 + 2
f(x) = 2x^2 (1+3x− x^2)
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਿਫ਼ਰ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ।
f(x) = (x+3)^2 (2x−1) (x+1)^3
f(x) = x^5 + 4x^4 + 4x^3
f(x) = x^3 − 4x^2 + x − 4
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਅਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ।
ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ 2 ਅਤੇ 3 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪੈਂਦਾ ਹੈ, ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = x^3 − 5x + 1 ਲਈ।
ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਦਾ ਭਾਗ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਭਾਗਫਲ ਅਤੇ ਬਾਕ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਲੰਬੇ ਭਾਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
x^3 − 2x^2 + 4x + 4 ਨੂੰ x − 2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ
3x^4 − 4x^2 + 4x + 8 ਨੂੰ x + 1 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਭਾਗਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਭਾਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਭਾਜਕ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਲਿਖੋ।
x^3 − 2x^2 + 5x − 1 ਨੂੰ x + 3 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ
x^3 + 4x + 10 ਨੂੰ x − 3 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ
2x^3 + 6x^2 − 11x − 12 ਨੂੰ x + 4 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ
3x^4 + 3x^3 + 2x + 2 ਨੂੰ x + 1 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਰੈਸ਼ਨਲ ਜ਼ੀਰੋ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
2 x 3 −3 x 2 −18x−8=0 2 x 3 −3 x 2 −18x−8=0
3 x 3 +11 x 2 +8x−4=0 3 x 3 +11 x 2 +8x−4=0
2 x 4 −17 x 3 +46 x 2 −43x+12=0 2 x 4 −17 x 3 +46 x 2 −43x+12=0
4 x 4 +8 x 3 +19 x 2 +32x+12=0 4 x 4 +8 x 3 +19 x 2 +32x+12=0
For the following exercises, use Descartes’ Rule of Signs to find the possible number of positive and negative solutions.
x 3 −3 x 2 −2x+4=0 x 3 −3 x 2 −2x+4=0
2 x 4 − x 3 +4 x 2 −5x+1=0 2 x 4 − x 3 +4 x 2 −5x+1=0
Rational Functions
For the following rational functions, find the intercepts and the vertical and horizontal asymptotes, and then use them to sketch a graph.
f(x)= x+2 x−5 f(x)= x+2 x−5
f(x)= x 2 +1 x 2 −4 f(x)= x 2 +1 x 2 −4
f(x)= 3 x 2 −27 x 2 +x−2 f(x)= 3 x 2 −27 x 2 +x−2
f(x)= x+2 x 2 −9 f(x)= x+2 x 2 −9
For the following exercises, find the slant asymptote.
f(x)= x 2 −1 x+2 f(x)= x 2 −1 x+2
f(x)= 2 x 3 − x 2 +4 x 2 +1 f(x)= 2 x 3 − x 2 +4 x 2 +1
Inverses and Radical Functions
For the following exercises, find the inverse of the function with the domain given.
f(x)= (x−2) 2 ,x≥2 f(x)= (x−2) 2 ,x≥2
f(x)= (x+4) 2 −3,x≥−4 f(x)= (x+4) 2 −3,x≥−4
f(x)= x 2 +6x−2,x≥−3 f(x)= x 2 +6x−2,x≥−3
f(x)=2 x 3 −3 f(x)=2 x 3 −3
f(x)= 4x+5 −3 f(x)= 4x+5 −3
f(x)= x−3 2x+1 f(x)= x−3 2x+1
1. ਵਿਭਿੰਨਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮਾਡਲਿੰਗ
2. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਅਣਜਾਣ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
3. y, x ਦੇ ਵਰਗ ਨਾਲ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਜਦੋਂ x=3, y=36, ਤਾਂ y ਲੱਭੋ ਜੇਕਰ x=4।
4. y, x ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਨਾਲ ਉਲਟੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਜਦੋਂ x=25, y=2, ਤਾਂ y ਲੱਭੋ ਜੇਕਰ x=4।
5. y, x ਦੇ ਘਣ ਅਤੇ z ਨਾਲ ਸਾਂਝੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਜਦੋਂ x=1 ਅਤੇ z=2, y=6, ਤਾਂ y ਲੱਭੋ ਜੇਕਰ x=2 ਅਤੇ z=3।
6. y, x ਅਤੇ z ਦੇ ਵਰਗ ਨਾਲ ਸਾਂਝੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਤੇ w ਦੇ ਘਣ ਨਾਲ ਉਲਟੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਜਦੋਂ x=3, z=4, ਅਤੇ w=2, y=48, ਤਾਂ y ਲੱਭੋ ਜੇਕਰ x=4, z=5, ਅਤੇ w=3।
7. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
8. ਧਰਤੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦਾ ਭਾਰ, ਧਰਤੀ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਦੇ ਵਰਗ ਨਾਲ ਉਲਟੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਵਿਅਕਤੀ ਧਰਤੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ 'ਤੇ (ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 3,960 ਮੀਲ) 150 ਪੌਂਡ ਦਾ ਭਾਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਿਅਕਤੀ ਦਾ ਭਾਰ ਲੱਭੋ ਜੇਕਰ ਉਹ ਸਤ੍ਹਾ ਤੋਂ 20 ਮੀਲ ਉੱਪਰ ਹੈ।
9. ਇੱਕ ਆਦਰਸ਼ ਗੈਸ ਦਾ ਆਇਤਨ V, ਤਾਪਮਾਨ T ਨਾਲ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਤੇ ਦਬਾਅ P ਨਾਲ ਉਲਟੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਵਿੱਚ 310 ਡਿਗਰੀ K ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਅਤੇ 18 ਐਟਮੌਸਫੇਅਰ ਦੇ ਦਬਾਅ 'ਤੇ 120 ਲੀਟਰ ਆਇਤਨ ਵਾਲਾ ਆਕਸੀਜਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦਬਾਅ ਲੱਭੋ ਜੇਕਰ ਆਇਤਨ ਨੂੰ 100 ਲੀਟਰ ਤੱਕ ਘਟਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇ ਅਤੇ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ 320 ਡਿਗਰੀ K ਤੱਕ ਵਧਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇ।