ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ 'i' ਦੇ ਗੁਣਜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸੰਕਲਪੀ ਤਲ 'ਤੇ ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ।
ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਓ।
ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰੋ।
ਗਣਿਤ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਨਿਰੰਤਰ ਆਪਣੇ ਆਪ 'ਤੇ ਉਸਾਰੀ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਰਿਣਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ, ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੁਆਰਾ ਛੱਡੀ ਗਈ ਖਾਲੀ ਥਾਂ ਨੂੰ ਭਰਦੇ ਹਨ। ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ, ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ, ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੁਆਰਾ ਛੱਡੀ ਗਈ ਖਾਲੀ ਥਾਂ ਨੂੰ ਭਰਦਾ ਹੈ। ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੁਆਰਾ ਛੱਡੀ ਗਈ ਖਾਲੀ ਥਾਂ ਨੂੰ ਭਰਦਾ ਹੈ। ਹੈਰਾਨੀ ਦੀ ਗੱਲ ਨਹੀਂ, ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਵੀ ਖਾਲੀ ਥਾਵਾਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਅਜੇ ਵੀ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ
ਸਾਡੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਅਨੁਮਾਨ +2 ਜਾਂ –2 ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਪਰ ਜੇ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ +2 ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਹ ਕੰਮ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਜੇ ਅਸੀਂ –2 ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਹ ਕੰਮ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਹੱਲ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਹੁਣ ਤੱਕ ਜਿੰਨਾ ਅਸੀਂ ਗਏ ਹਾਂ, ਉਸ ਤੋਂ ਅੱਗੇ ਜਾਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਆਖ਼ਰਕਾਰ, ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੈ ਜੋ ਇਹਨਾਂ ਵਰਗੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਅਤੇ ਇਸ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ।
ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ 'i' ਦੇ ਗੁਣਜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਰਕ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਮੂਲ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਰੈਡੀਕੈਂਡ (radicand) ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਰਿਣਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਮੂਲ ਨੂੰ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ (imaginary number) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ 'i' ਨੂੰ ਰਿਣਾਤਮਕ ਇੱਕ (negative 1) ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ, ਰੈਡੀਕਲ (radical) ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ,
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ 'i' ਦੇ ਗੁਣਜ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। –25 ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ 5i ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਨਾ ਕਿ –5i ਦੀ ਕਿਉਂਕਿ 25 ਦਾ ਮੁੱਖ ਮੂਲ (principal root) ਧਨਾਤਮਕ ਮੂਲ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ (complex number) ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ। ਇੱਕ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਰੂਪ (standard form) ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਸਨੂੰ a+bi ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ 'a' ਵਾਸਤਵਿਕ ਭਾਗ ਹੈ ਅਤੇ 'bi' ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 5+2i ਇੱਕ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, 3+4i ਵੀ ਹੈ।
ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਯਾਦ ਕਰੋ, ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੁਬਾਰਾ, ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸੁਮੇਲ ਹਨ।
ਕਾਲਪਨਿਕ ਅਤੇ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ
ਇੱਕ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ a+bi ਰੂਪ ਦੀ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿੱਥੇ
'a' ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਾਸਤਵਿਕ ਭਾਗ ਹੈ।
'bi' ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਹੈ।
ਜੇ b=0, ਤਾਂ a+bi ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਜੇ a=0 ਅਤੇ b ≠ 0, ਤਾਂ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮ (even) ਮੂਲ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
–a ਨੂੰ a ⋅ –1 ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
–1 ਨੂੰ i ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
1. ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ⋅i ⋅i ਲਿਖੋ।
2. ਉਦਾਹਰਨ 1
3. ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ
4. −9 −9 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
5. ਹੱਲ
6. −9 = 9 −1 =3i −9 = 9 −1 =3i
7. ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇਹ 0+3i ਹੈ। 0+3i।
8. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
9. −24 −24 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
10. ਕਾਲਪਨਿਕ ਤਲ ਉੱਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ
11. ਅਸੀਂ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਉਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਵੀ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਸੰਬੋਧਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਾਲਪਨਿਕ ਤਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰਾ ਵਾਸਤਵਿਕ ਭਾਗ ਨੂੰ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰਾ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਤਲ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਿਆਂ (a,b), (a,b) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ a a ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਲਈ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ b b ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰੇ ਲਈ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
12. ਆਓ ਸੰਖਿਆ −2+3i. −2+3i. ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ। ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਾਸਤਵਿਕ ਭਾਗ −2 −2 ਹੈ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ 3i. 3i. ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ (−2,3) (−2,3) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ −2+3i −2+3i ਨੂੰ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
13. ਕਾਲਪਨਿਕ ਤਲ
14. ਕਾਲਪਨਿਕ ਤਲ ਵਿੱਚ, ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰਾ ਵਾਸਤਵਿਕ ਧੁਰਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰਾ ਕਾਲਪਨਿਕ ਧੁਰਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
15. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
16. ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ, ਕਾਲਪਨਿਕ ਤਲ ਉੱਤੇ ਉਸਦੇ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਓ।
17. ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਭਾਗ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।
18. ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਭਾਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਚੱਲੋ।
19. ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਚੱਲੋ।
20. ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
21. ਉਦਾਹਰਨ 2
22. ਕਾਲਪਨਿਕ ਤਲ ਉੱਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ
23. ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ 3−4i 3−4i ਨੂੰ ਕਾਲਪਨਿਕ ਤਲ ਉੱਤੇ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
24. ਹੱਲ
1. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅਸਲ ਭਾਗ 3 ਹੈ, ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ −4i ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ (3,−4) ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
2. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
3. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ −4−i ਨੂੰ ਜਟਿਲ ਤਲ ਉੱਤੇ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
4. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ
5. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਉੱਤੇ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
6. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ: ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ
7. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ:
8. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਘਟਾਓ:
9. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
10. ਦੋ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਾਟ ਪਤਾ ਕਰੋ।
11. ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਅਸਲ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
12. ਅਸਲ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ।
13. ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 3
15. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ
16. 3−4i ਅਤੇ 2+5i ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
17. ਹੱਲ
18. ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ।
19. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
20. 3–4i ਵਿੱਚੋਂ 2+5i ਨੂੰ ਘਟਾਓ।
21. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾ
22. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਾ ਵਰਗਾ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੁੱਖ ਅੰਤਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗਾਂ ਨਾਲ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
23. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
24. ਆਓ ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ। ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਦੋਪਦੀ ਨਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ,
How To
Given a complex number and a real number, multiply to find the product.
Use the distributive property.
Simplify.
Example 4
Multiplying a Complex Number by a Real Number
Find the product 4(2+5i). 4(2+5i).
Solution
Distribute the 4.
Try It #4
Find the product −4(2+6i). −4(2+6i).
Multiplying Complex Numbers Together
Now, let’s multiply two complex numbers. We can use either the distributive property or the FOIL method. Recall that FOIL is an acronym for multiplying First, Outer, Inner, and Last terms together. Using either the distributive property or the FOIL method, we get
Because i 2 =−1, i 2 =−1, we have
To simplify, we combine the real parts, and we combine the imaginary parts.
How To
Given two complex numbers, multiply to find the product.
Use the distributive property or the FOIL method.
Simplify.
Example 5
Multiplying a Complex Number by a Complex Number
Multiply ( 4+3i )(2−5i). ( 4+3i )(2−5i).
Solution
Use (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #5
2. (3−4i)(2+3i) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। (3−4i)(2+3i)।
3. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਭਾਗ
4. ਦੋ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਭਾਗ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਗੁਣਾ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਭਾਗ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਭਿੰਨ ਦਾ ਹਰ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਪਦ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕੀਏ ਜੋ ਹਰ ਦੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਦੇਵੇ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਹਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੀਏ। ਇਸ ਪਦ ਨੂੰ ਹਰ ਦੇ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, a+bi ਦਾ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ a−bi ਹੈ।
5. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਉਲਟਾ ਸਬੰਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: a+bi ਦਾ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ a−bi ਹੈ, ਅਤੇ a−bi ਦਾ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ a+bi ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਜਦੋਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਜਟਿਲ ਹੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਹੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
6. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ c+di ਨੂੰ a+bi ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ ਨਾ ਤਾਂ a ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ b ਸਿਫਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਭਾਗ ਨੂੰ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਹਰ ਦੇ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਨੂੰ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
7. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਹਰ ਦੇ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
8. ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
9. ਸਰਲ ਕਰੋ, ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਕਿ i² =−1 ਹੈ।
10. ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ
11. ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ a+bi ਦਾ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ a−bi ਹੈ। ਇਹ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਾਸਤਵਿਕ ਭਾਗ ਅਣਬਦਲਿਆ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
12. ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
13. ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 6
15. ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਲੱਭਣਾ
16. ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਲੱਭੋ।
17. ⓐ 2+i 5
18. ⓑ − 1 2 i
19. ਹੱਲ
20. ⓐ ਸੰਖਿਆ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ a+bi ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ a−bi ਹੈ, ਜਾਂ 2−i 5 ਹੈ।
21. ⓑ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ a+bi ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ 0− 1 2 i ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ a−bi ਹੈ, ਜਾਂ 0+ 1 2 i ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ 1 2 i ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
22. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
23. ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਿਰਫ ਉਹਨਾਂ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਦੋਵੇਂ ਭਾਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਤੋਂ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ i ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
24. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
Given two complex numbers, divide one by the other.
Write the division problem as a fraction.
Determine the complex conjugate of the denominator.
Multiply the numerator and denominator of the fraction by the complex conjugate of the denominator.
Simplify.
Example 7
Dividing Complex Numbers
Divide ( 2+5i ) ( 2+5i ) by ( 4−i ). ( 4−i ).
Solution
We begin by writing the problem as a fraction.
Then we multiply the numerator and denominator by the complex conjugate of the denominator.
To multiply two complex numbers, we expand the product as we would with polynomials (the process commonly called FOIL).
Note that this expresses the quotient in standard form.
Example 8
Substituting a Complex Number into a Polynomial Function
Let f(x)= x 2 −5x+2. f(x)= x 2 −5x+2. Evaluate f( 3+i ). f( 3+i ).
Solution
Substitute x=3+i x=3+i into the function f(x)= x 2 −5x+2 f(x)= x 2 −5x+2 and simplify.
Analysis
We write f(3+i)=−5+i. f(3+i)=−5+i. Notice that the input is 3+i 3+i and the output is −5+i. −5+i.
Try It #6
Let f(x)=2 x 2 −3x. f(x)=2 x 2 −3x. Evaluate f( 8−i ). f( 8−i ).
Example 9
Substituting an Imaginary Number in a Rational Function
1. ਮੰਨ ਲਓ f( x )= 2+x x+3 । f( x )= 2+x x+3 । f( 10i ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। f( 10i ) ।
2. ਹੱਲ
3. x=10i x=10i ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ।
4. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
5. ਮੰਨ ਲਓ f(x)= x+1 x−4 । f(x)= x+1 x−4 । f( −i ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। f( −i ) ।
6. i ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨਾ
7. i ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਚੱਕਰੀ ਹਨ। ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ i ਨੂੰ ਵਧਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
8. ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ i ਦੀ ਪੰਜਵੀਂ ਘਾਤ, i, ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਹ ਪਹਿਲੀ ਘਾਤ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ i ਨੂੰ ਵਧਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਰਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ 4 ਦਾ ਚੱਕਰ ਦੇਖਾਂਗੇ। ਆਓ i ਦੀਆਂ ਅਗਲੀਆਂ 4 ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੀਏ। i.
9. ਉਦਾਹਰਨ 10
10. i ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨਾ i
11. i 35 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। i 35 ।
12. ਹੱਲ
13. ਕਿਉਂਕਿ i 4 =1, i 4 =1, ਅਸੀਂ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਜਿੰਨੇ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ i 4 ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਕੇ ਸਰਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ 4, 35 ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਵਾਰ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: 35=4⋅8+3। 35=4⋅8+3।
Q&A
14. ਕੀ ਅਸੀਂ i 35 ਨੂੰ ਹੋਰ ਮਦਦਗਾਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? i 35
15. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ i 35 ਨੂੰ i 3 ਤੱਕ ਘਟਾ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਘਾਤ ਨੂੰ 4 ਨਾਲ ਵੰਡ ਕੇ ਅਤੇ ਸਰਲ ਰੂਪ ਲੱਭਣ ਲਈ ਬਾਕੀ ਨੂੰ ਵਰਤ ਕੇ। ਪਰ ਸ਼ਾਇਦ i 35 ਦਾ ਕੋਈ ਹੋਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਧੇਰੇ ਉਪਯੋਗੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਾਰਣੀ 1 ਕੁਝ ਹੋਰ ਸੰਭਾਵੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ।
16. ਕਤਾਰ: i 35 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ | i 34 ⋅i | i 33 ⋅ i 2 | i 31 ⋅ i 4 | i 19 ⋅ i 16
17. ਕਤਾਰ: ਘਟਾਇਆ ਹੋਇਆ ਰੂਪ | ( i 2 ) 17 ⋅i | i 33 ⋅( −1 ) | i 31 ⋅1 | i 19 ⋅ ( i 4 ) 4
18. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਰੂਪ | ( −1 ) 17 ⋅i | − i 33 | i 31 | i 19
19. ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਉਹੀ ਜਵਾਬ ਦੇਵੇਗਾ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਸੀ ਪਰ ਸਾਡੀ ਪਿਛਲੀ ਵਿਧੀ ਨਾਲੋਂ ਕਈ ਹੋਰ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈ ਸਕਦੀ ਹੈ।
20. ਮੀਡੀਆ
21. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
22. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ
23. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
24. ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
1. ਆਇਓਟਾ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਚਾੜ੍ਹਨਾ
2. ਕਿਰਿਆਤਮਕ
3. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਸਮਝਾਓ।
4. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਾ ਮੂਲ ਸਿਧਾਂਤ ਕੀ ਹੈ?
5. ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਣ ਦਿਓ ਜੋ ਦਰਸਾਏ ਕਿ ਦੋ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਕਾਲਪਨਿਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
6. ਜਟਿਲ ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਪਲਾਟ ਦੀ ਕੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੈ?
7. ਬੀਜਗਣਿਤਕ
8. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਬੀਜਗਣਿਤਕ ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
9. ਜੇਕਰ f(x) = x² + x - 4, ਤਾਂ f(2i) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
10. ਜੇਕਰ f(x) = x³ - 2, ਤਾਂ f(i) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
11. ਜੇਕਰ f(x) = x² + 3x + 5, ਤਾਂ f(2+i) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
12. ਜੇਕਰ f(x) = 2x² + x - 3, ਤਾਂ f(2-3i) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
13. ਜੇਕਰ f(x) = (x+1)/(2-x), ਤਾਂ f(5i) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
14. ਜੇਕਰ f(x) = (1+2x)/(x+3), ਤਾਂ f(4i) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
15. ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
16. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਤੇ ਅਵਾਸਤਵਿਕ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
17. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜਟਿਲ ਤਲ 'ਤੇ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
18. 1−2i
19. −2+3i
20. i
21. −3−4i
22. ਸੰਖਿਆਤਮਕ
23. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਕਿਰਿਆ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਰਲ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
24. (3+2i) + (5−3i)
(−2−4i)+(1+6i)
(−5+3i)−(6−i)
(2−3i)−(3+2i)
(−4+4i)−(−6+9i)
(2+3i)(4i)
(5−2i)(3i)
(6−2i)(5)
(−2+4i)(8)
(2+3i)(4−i)
(−1+2i)(−2+3i)
(4−2i)(4+2i)
(3+4i)(3−4i)
(3+4i)$^2$
(6−2i)$^3$
(−5+3i)/(2i)
(6+4i)/i
(2−3i)/(4+3i)
(3+4i)/(2−i)
(2+3i)/(2−3i)
−9+3i−16i
−(−4−4i)−(−25i)
2+(−12i)/2
4+(−20i)/2
i/8
1. ਆਇਟਾ 15
2. ਆਇਟਾ 22
3. ਤਕਨਾਲੋਜੀ
4. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉੱਤਰ ਦੇਣ ਵਿੱਚ ਸਹਾਇਤਾ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5. (1+ਆਇਟਾ) k (1+ਆਇਟਾ) k ਦਾ ਮੁੱਲ k=4, 8, ਅਤੇ 12 ਲਈ ਪਤਾ ਕਰੋ। k=4, 8, ਅਤੇ 12। ਜੇ k=16 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। k=16।
6. (1−ਆਇਟਾ) k (1−ਆਇਟਾ) k ਦਾ ਮੁੱਲ k=2, 6, ਅਤੇ 10 ਲਈ ਪਤਾ ਕਰੋ। k=2, 6, ਅਤੇ 10। ਜੇ k=14 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। k=14।
7. (1+ਆਇਟਾ)k − (1−ਆਇਟਾ) k (1+ਆਇਟਾ)k − (1−ਆਇਟਾ) k ਦਾ ਮੁੱਲ k=4, 8, ਅਤੇ 12 k=4, 8, ਅਤੇ 12 ਲਈ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜੇ k=16 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। k=16।
8. ਦਿਖਾਓ ਕਿ x 6 +1=0 x 6 +1=0 ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ 3 2 + 1 2 ਆਇਟਾ ਹੈ। 3 2 + 1 2 ਆਇਟਾ।
9. ਦਿਖਾਓ ਕਿ x 8 −1=0 x 8 −1=0 ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ 2 2 + 2 2 ਆਇਟਾ ਹੈ। 2 2 + 2 2 ਆਇਟਾ।
10. ਵਿਸਤਾਰ
11. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
12. 1 ਆਇਟਾ + 4 ਆਇਟਾ 3 1 ਆਇਟਾ + 4 ਆਇਟਾ 3
13. 1 ਆਇਟਾ 11 − 1 ਆਇਟਾ 21 1 ਆਇਟਾ 11 − 1 ਆਇਟਾ 21
14. ਆਇਟਾ 7 ( 1+ ਆਇਟਾ 2 ) ਆਇਟਾ 7 ( 1+ ਆਇਟਾ 2 )
15. ਆਇਟਾ −3 +5 ਆਇਟਾ 7 ਆਇਟਾ −3 +5 ਆਇਟਾ 7
16. ( 2+ਆਇਟਾ )( 4−2ਆਇਟਾ ) (1+ਆਇਟਾ) ( 2+ਆਇਟਾ )( 4−2ਆਇਟਾ ) (1+ਆਇਟਾ)
17. ( 1+3ਆਇਟਾ )( 2−4ਆਇਟਾ ) (1+2ਆਇਟਾ) ( 1+3ਆਇਟਾ )( 2−4ਆਇਟਾ ) (1+2ਆਇਟਾ)
18. ( 3+ਆਇਟਾ ) 2 ( 1+2ਆਇਟਾ ) 2 ( 3+ਆਇਟਾ ) 2 ( 1+2ਆਇਟਾ ) 2
19. 3+2ਆਇਟਾ 2+ਆਇਟਾ +( 4+3ਆਇਟਾ ) 3+2ਆਇਟਾ 2+ਆਇਟਾ +( 4+3ਆਇਟਾ )
20. 4+ਆਇਟਾ ਆਇਟਾ + 3−4ਆਇਟਾ 1−ਆਇਟਾ 4+ਆਇਟਾ ਆਇਟਾ + 3−4ਆਇਟਾ 1−ਆਇਟਾ
21. 3+2ਆਇਟਾ 1+2ਆਇਟਾ − 2−3ਆਇਟਾ 3+ਆਇਟਾ 3+2ਆਇਟਾ 1+2ਆਇਟਾ − 2−3ਆਇਟਾ 3+ਆਇਟਾ