ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋਗੇ।
ਸਮਝੋਗੇ ਕਿ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇਸਦੇ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹੈ।
ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋਗੇ।
ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋਗੇ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਡਿਸ਼ਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਕਤਾਰ। (ਸਿਹਰਾ: ਮੈਥਿਊ ਕੋਲਵਿਨ ਡੀ ਵਾਲੇ, ਫਲਿੱਕਰ)
ਵਕਰ ਐਂਟੀਨਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਟੈਲੀਵਿਜ਼ਨ ਅਤੇ ਟੈਲੀਫੋਨ ਸਿਗਨਲਾਂ, ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਅਤੇ ਪੁਲਾੜੀ ਜਹਾਜ਼ ਸੰਚਾਰ ਪ੍ਰਸਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਮਾਈਕ੍ਰੋਵੇਵ ਅਤੇ ਰੇਡੀਓ ਤਰੰਗਾਂ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਐਂਟੀਨਾ ਦਾ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ, ਜੋ ਅਕਸਰ ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਗਤੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਉੱਚ ਡਿਗਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲੋਂ ਘੱਟ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਉਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿਵਹਾਰ ਦੇ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਅਧਿਐਨ ਲਈ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਮੌਕਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ
ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ U-ਆਕਾਰ ਦਾ ਵਕਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਅਤਿਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਸਿਖਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਿਖਰ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਲੇ ਬਿੰਦੂ, ਜਾਂ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਿਖਰ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਬਿੰਦੂ, ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਸਿਖਰ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਸਮਮਿਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਿਖਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਸਮਮਿਤੀ ਦੀ ਧੁਰੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ 'ਤੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਉਹ ਮੌਜੂਦ ਹਨ, ਤਾਂ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ, ਜਾਂ ਰੂਟਸ, x ਦੇ ਉਹ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ 'ਤੇ y=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ, ਸਮਮਿਤੀ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ਸਿਖਰ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਿਖਰ (3,1) 'ਤੇ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਸਮਮਿਤੀ ਦੀ ਧੁਰੀ ਉਹ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜੋ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਨੂੰ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਮਮਿਤੀ ਦੀ ਧੁਰੀ x=3 ਹੈ। ਇਹ ਪੈਰਾਬੋਲਾ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦਾ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦੇ ਕੋਈ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਇਹ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ (0,7) 'ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੈ।
ਸਮਝਣਾ ਕਿ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹਨ
ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ a, b, ਅਤੇ c ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ a≠0। ਜੇ a>0, ਤਾਂ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਜੇ a<0, ਤਾਂ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਮਮਿਤੀ ਦੀ ਧੁਰੀ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਮਮਿਤੀ ਦੀ ਧੁਰੀ x=−b/2a ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸੂਤਰ, x=−b±√b²−4ac / 2a, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ax²+bx+c=0 ਨੂੰ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ, ਜਾਂ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੱਧੇ 'ਤੇ x ਦਾ ਮੁੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ x=−b/2a ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸਮਮਿਤੀ ਦੀ ਧੁਰੀ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4 ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਆਮ ਰੂਪ y=x²+4x+3 ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, a=1, b=4, ਅਤੇ c=3। ਕਿਉਂਕਿ a>0, ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਸਮਮਿਤੀ ਦੀ ਧੁਰੀ x=−4/2(1) =−2 ਹੈ। ਇਹ ਵੀ ਸਮਝ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ x=−2 ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਅੱਧਾ ਵੰਡਦੀ ਹੈ। ਸਿਖਰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਮਮਿਤੀ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਨਾਲ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਵਾਲੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਲਈ, ਸਿਖਰ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਲੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, (−2,−1)। x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ, ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਜਿੱਥੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, (−3,0) ਅਤੇ (−1,0) 'ਤੇ ਵਾਪਰਦੇ ਹਨ।
ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ (h,k) ਸਿਖਰ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਿਖਰ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਰੂਪ ਨੂੰ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਿਖਰ ਰੂਪ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ a>0, ਤਾਂ ਪਰਬਲੈ (parabola) ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਿਖਰ (vertex) ਇੱਕ ਨਿਊਨਤਮ (minimum) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ a<0, ਤਾਂ ਪਰਬਲੈ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਇੱਕ ਮਹੱਤਮ (maximum) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5, ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ (quadratic function) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ (standard form) y=−3 ( x+2 ) 2 +4 ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। y=−3 ( x+2 ) 2 +4। ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ x–h=x+2 ਹੈ, h=–2। h=–2। ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, a=−3, h=−2, ਅਤੇ k=4 ਹੈ। a=−3,h=−2, k=4। ਕਿਉਂਕਿ a<0, ਪਰਬਲੈ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਸਿਖਰ (–2, 4) ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। (–2, 4)।
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਇਸ ਗੱਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ y= x 2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਪਰਿਵਰਤਿਤ (transformed) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। y= x 2। ਚਿੱਤਰ 6 ਇਸ ਮੁੱਢਲੇ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ।
ਜੇਕਰ k>0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖਿਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਜੇਕਰ k<0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖਿਸਕਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ, k>0, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖਿਸਕਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ h>0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜੇਕਰ h<0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ, h<0, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਿਆ ਹੈ। a ਦਾ ਮੁੱਲ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਖਿੱਚ (stretch) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ | a |>1, ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਖਾਸ x- ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ x- ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਦੂਰ ਖਿਸਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਤੰਗ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਪਰ ਜੇਕਰ | a |<1, ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਖਾਸ x- ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ x- ਧੁਰੇ ਦੇ ਨੇੜੇ ਖਿਸਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਚੌੜਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸੰਕੋਚਨ (compression) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ, | a |>1, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਤੰਗ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਅਤੇ ਆਮ ਰੂਪ (general form) ਇੱਕੋ ਫਲਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਆਮ ਰੂਪ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ (expanding) ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਰੇਖੀ ਪਦਾਂ (linear terms) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ ਲਈ, ਗੁਣਾਂਕ (coefficients) ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।
ਇਹ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ (axis of symmetry) ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਸਥਿਰ ਪਦਾਂ (constant terms) ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਨਾ:
ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ k ਫਲਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ (output value) ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁੱਟ h ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ f(h)=k। f(h)=k।
ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ
ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਇੱਕ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਫਲਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਪਰਬਲੈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ f(x)=a x 2 +bx+c ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a,b, ਅਤੇ c ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (real numbers) ਹਨ ਅਤੇ a≠0। a≠0।
ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ f(x)=a (x−h) 2 +k ਹੈ। f(x)=a (x−h) 2 +k।
ਸਿਖਰ (h,k) ਇੱਥੇ ਸਥਿਤ ਹੈ:
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ, ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਫਲਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ (equation) ਲਿਖੋ।
ਪਰਬਲੈ ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿਸਕਾਅ (horizontal shift) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ; ਇਹ ਮੁੱਲ h ਹੈ। h। ਪਰਬਲੈ ਦੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿਸਕਾਅ (vertical shift) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ; ਇਹ ਮੁੱਲ k ਹੈ। k।
ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿਸਕਾਅ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ f(x)=a (x–h) 2 +k ਵਿੱਚ h ਅਤੇ k ਲਈ ਬਦਲੋ। f(x)=a (x–h) 2 +k।
ਪਰਬਲੈ ਉੱਤੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ x ਅਤੇ f(x) ਲਈ ਬਦਲੋ। x ਅਤੇ f(x)।
ਖਿੱਚ ਗੁਣਕ (stretch factor), | a | ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। | a |।
ਜੇਕਰ ਪਰਬਲੈ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ a>0। a>0। ਜੇਕਰ ਪਰਬਲੈ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ a<0 ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ x- ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ (reflected) ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। a<0।
ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਲਈ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ g ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ f(x)= x 2 ਦਾ ਪਰਿਵਰਤਨ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। f(x)= x 2
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ g ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ f(x)= x 2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ ਜੋ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਅਤੇ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕਿਆ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ g(x)=a (x+2) 2 –3 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਬਣਦਾ ਹੈ। g(x)=a (x+2) 2 –3।
(0,−1), (0,−1) ਜਿਹੇ ਵਕਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਬਦਲ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਖਿੱਚ ਦੇ ਗੁਣਕ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲਈ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਮਾਡਲ g(x)= 1 2 (x+2) 2 –3 ਹੈ। g(x)= 1 2 (x+2) 2 –3।
ਇਸਨੂੰ ਆਮ ਬਹੁਪਦੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਵਰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਸਿਖਰ ਦਾ ਸਥਾਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਨ; ਸਿਖਰ ਖਿੱਚਾਂ ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਨਾਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਉਪਯੋਗਤਾ ਉੱਤੇ ਟੇਬਲ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ Y1= 1 2 (x+2) 2 −3 ਦਾਖਲ ਕਰੋ। Y1= 1 2 (x+2) 2 −3। ਅੱਗੇ, TBLSET, TBLSET ਚੁਣੋ, ਫਿਰ TblStart=–6 TblStart=–6 ਅਤੇ ΔTbl = 2, ΔTbl = 2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਅਤੇ TABLE ਚੁਣੋ। TABLE। ਟੇਬਲ 1 ਦੇਖੋ।
ਸਤਰ: x x | –6 | –4 | –2 | 0 | 2
ਸਤਰ: y y | 5 | –1 | –3 | –1 | 5
ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਗ੍ਰਿਡ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਾਸਕਟਬਾਲ ਦੇ ਵਰਗਾਕਾਰ ਮਾਰਗ ਉੱਤੇ ਸੁਪਰਇੰਪੋਜ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਬਿੰਦੂ (–4, 7) ਬਾਸਕਟਬਾਲ ਦੀ ਟ੍ਰੈਜੈਕਟਰੀ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਗੇਂਦ ਦੇ ਮਾਰਗ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ। ਕੀ ਸ਼ੂਟਰ ਬਾਸਕਟ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ?
ਚਿੱਤਰ 8: (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: ਡੈਨ ਮੇਅਰ ਦੁਆਰਾ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ)
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਰਗਾਕਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ, ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਸਿਖਰ ਲੱਭੋ।
a,b,ਅਤੇ c ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। a,b,ਅਤੇ c।
h, h, ਸਿਖਰ ਦਾ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਲੱਭੋ, a a ਅਤੇ b b ਨੂੰ h=– b 2a ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ। h=– b 2a।
k, k, ਸਿਖਰ ਦਾ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਲੱਭੋ, k=f( h )=f( − b 2a ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ। k=f( h )=f( − b 2a )।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਵਰਗਾਕਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਖਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
ਵਰਗਾਕਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=2 x 2 –6x+7 ਦਾ ਸਿਖਰ ਲੱਭੋ। f(x)=2 x 2 –6x+7। ਵਰਗਾਕਾਰ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ (ਸਿਖਰ ਰੂਪ) ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਸਿਖਰ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ
ਸਿਖਰ ਦਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਤੇ, ਖਿੱਚ ਦਾ ਗੁਣਕ ਉਸੇ a a ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੋਵੇਗਾ ਜੋ ਅਸਲ ਵਰਗਾਕਾਰ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ,
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇੱਕ ਕਾਰਨ ਜਿਸ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ ਪਰਬਲੈ ਦੇ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ ਚਾਹ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਸਾਨੂੰ ਸੂਚਿਤ ਕਰੇਗਾ ਕਿ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਕਿੱਥੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ, (k), (k), ਅਤੇ ਇਹ ਕਿੱਥੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ, (x)। (x)।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਸਮੀਕਰਨ g(x)=13+ x 2 −6x, g(x)=13+ x 2 −6x ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਫਿਰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਕੋਈ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਪਰਬਲੈ ਦਾ ਇੱਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰਿਸਰ ਸੀਮਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਪਰਬਲੈ ਦਾ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ ਜਾਂ ਤਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਵੇਗਾ, ਪਰਿਸਰ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ y-ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣਗੇ ਜੋ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ y-ਸੰਯੋਜਕ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹਨ ਜਾਂ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ y-ਸੰਯੋਜਕ ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪਰਬਲੈ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੈ।
ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ f(x)=a x 2 +bx+c f(x)=a x 2 +bx+c ਦਾ ਪਰਿਸਰ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, f(x)≥f( − b 2a ), f(x)≥f( − b 2a ), ਜਾਂ [ f( − b 2a ),∞ ) ਹੈ। [ f( − b 2a ),∞ )।
ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਪਰਿਸਰ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, f(x)≤f( − b 2a ), f(x)≤f( − b 2a ), ਜਾਂ ( −∞,f( − b 2a ) ] ਹੈ। ( −∞,f( − b 2a ) ]।
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ f(x)=a (x−h) 2 +k f(x)=a (x−h) 2 +k ਦਾ ਪਰਿਸਰ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, f(x)≥k ਹੈ; f(x)≥k; ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਪਰਿਸਰ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, f(x)≤k ਹੈ। f(x)≤k.
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ, ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਨੂੰ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣੋ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ a ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ। ਜੇ a ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਰਬਲੈ ਦਾ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇ a ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਰਬਲੈ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਪਰਬਲੈ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ, k, ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ। k.
ਜੇ ਪਰਬਲੈ ਦਾ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਰਿਸਰ f(x)≥k, f(x)≥k, ਜਾਂ [ k,∞ ) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। [ k,∞ )। ਜੇ ਪਰਬਲੈ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਰਿਸਰ f(x)≤k, f(x)≤k, ਜਾਂ ( −∞,k ] ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ( −∞,k ]।
ਉਦਾਹਰਣ 4
ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
f(x)=−5 x 2 +9x−1. f(x)=−5 x 2 +9x−1. ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਵਾਂਗ, ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ a ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਪਰਬਲੈ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ ਦੇ x-x- ਮੁੱਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
f(h) ਦੁਆਰਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। f(h)।
ਰੇਂਜ f(x)≤ 61 20 , f(x)≤ 61 20 , ਜਾਂ ( −∞, 61 20 ]। ( −∞, 61 20 ]।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
f(x)=2 ( x− 4 7 ) 2 + 8 11 ਦੀ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਲੱਭੋ। f(x)=2 ( x− 4 7 ) 2 + 8 11।
ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਵਰਟੈਕਸ 'ਤੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ, ਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਸਥਿਤੀ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਸਲ-ਸੰਸਾਰ ਦੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਮਾਲੀਆ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
ਇੱਕ ਪਿਛਲੇ ਵਿਹੜੇ ਦਾ ਕਿਸਾਨ ਆਪਣੇ ਵਾੜੇ ਵਾਲੇ ਪਿਛਲੇ ਵਿਹੜੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਬਾਗ ਲਈ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਜਗ੍ਹਾ ਬੰਦ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਸਨੇ ਤਿੰਨ ਪਾਸੇ ਬੰਦ ਕਰਨ ਲਈ 80 ਫੁੱਟ ਤਾਰ ਦੀ ਵਾੜ ਖਰੀਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਹ ਚੌਥੀ ਸਾਈਡ ਵਜੋਂ ਵਿਹੜੇ ਦੀ ਵਾੜ ਦੇ ਇੱਕ ਭਾਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੇਗੀ।
ⓐ ਜੇਕਰ ਮੌਜੂਦਾ ਵਾੜ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਪਾਸੇ L ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਹੋਣ ਤਾਂ ਵਾੜ ਦੁਆਰਾ ਬੰਦ ਕੀਤੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ। L।
ⓑ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਬੰਦ ਖੇਤਰ ਲਈ ਉਸਨੂੰ ਆਪਣੇ ਬਾਗ ਦੇ ਕੀ ਮਾਪ ਬਣਾਉਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ?
ਹੱਲ
ਆਓ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਦਰਜ ਕਰਨ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 10 ਵਰਗਾ ਇੱਕ ਚਿੱਤਰ ਵਰਤੀਏ। ਇੱਕ ਅਸਥਾਈ ਵੇਰੀਏਬਲ, W, W, ਨੂੰ ਪੇਸ਼ ਕਰਨਾ ਵੀ ਮਦਦਗਾਰ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਬਾਗ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ ਪਿਛਲੇ ਵਿਹੜੇ ਦੀ ਵਾੜ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਵਾੜ ਦੇ ਭਾਗ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ।
ⓐ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਿਰਫ 80 ਫੁੱਟ ਵਾੜ ਉਪਲਬਧ ਹੈ, ਅਤੇ L+W+L=80, L+W+L=80, ਜਾਂ ਹੋਰ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, 2L+W=80। 2L+W=80। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਚੌੜਾਈ, W, W, ਨੂੰ L ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। L। W=80−2L W=80−2L ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਵਾੜ ਦੁਆਰਾ ਬੰਦ ਕੀਤੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੰਬਾਈ ਗੁਣਾ ਚੌੜਾਈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ A=LW=L(80−2L) A(L)=80L−2 L 2 A=LW=L(80−2L) A(L)=80L−2 L 2 ਇਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲੰਬਾਈ L ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਾੜ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। L। ਫੰਕਸ਼ਨ, ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ, A(L)=−2 L 2 +80L ਹੈ। A(L)=−2 L 2 +80L।
ਦੋਘਾਤੀ ਦਾ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲੇਗਾ, ਅਤੇ ਵਰਟੈਕਸ ਖੇਤਰ ਲਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੋਵੇਗਾ। ਵਰਟੈਕਸ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹਿਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਘਟਦੇ ਹੋਏ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ a a ਵਰਗ ਕੀਤੇ ਗਏ ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ, a=−2,b=80, a=−2,b=80, ਅਤੇ c=0। c=0।
ਵਰਟੈਕਸ ਲੱਭਣ ਲਈ:
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ 800 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ L=20 L=20 ਫੁੱਟ ਹੋਣ 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਛੋਟੇ ਪਾਸੇ 20 ਫੁੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਲੰਬੇ ਪਾਸੇ ਲਈ 40 ਫੁੱਟ ਵਾੜ ਬਚਦੀ ਹੈ। ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਲਈ, ਉਸਨੂੰ ਬਾਗ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬੰਦ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਛੋਟੇ ਪਾਸੇ 20 ਫੁੱਟ ਲੰਬੇ ਹੋਣ ਅਤੇ ਪਿਛਲੇ ਵਾੜ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਲੰਬਾ ਪਾਸਾ 40 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾ ਹੋਵੇ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ ਵੀ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿੱਥੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਮਾਲੀਆ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਇੱਕ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਮਾਲੀਆ ਲਈ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵਰਟੈਕਸ ਲੱਭੋ।
ਸ਼ਿਖਰ ਦਾ y-ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਅਧਿਕਤਮ ਮਾਲੀਆ ਲੱਭਣਾ
ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੀ ਇਕਾਈ ਕੀਮਤ ਉਸਦੀ ਸਪਲਾਈ ਅਤੇ ਮੰਗ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਭਾਵ, ਜੇ ਇਕਾਈ ਕੀਮਤ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਸਤੂ ਦੀ ਮੰਗ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਘਟ ਜਾਵੇਗੀ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਅਖਬਾਰ ਕੋਲ ਇਸ ਸਮੇਂ $30 ਦੀ ਤਿਮਾਹੀ ਚਾਰਜ 'ਤੇ 84,000 ਗਾਹਕ ਹਨ। ਬਾਜ਼ਾਰ ਖੋਜ ਨੇ ਸੁਝਾਅ ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇ ਮਾਲਕ ਕੀਮਤ ਨੂੰ $32 ਤੱਕ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹ 5,000 ਗਾਹਕ ਗੁਆ ਬੈਠਣਗੇ। ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਗਾਹਕੀ ਕੀਮਤ ਨਾਲ ਰੇਖਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਬੰਧਤ ਹੈ, ਅਖਬਾਰ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਮਾਲੀਏ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਮਾਹੀ ਗਾਹਕੀ ਲਈ ਕਿੰਨੀ ਕੀਮਤ ਵਸੂਲਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਮਾਲੀਆ ਉਹ ਪੈਸਾ ਹੈ ਜੋ ਕੋਈ ਕੰਪਨੀ ਕਮਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਮਾਲੀਆ ਪ੍ਰਤੀ ਗਾਹਕੀ ਕੀਮਤ ਨੂੰ ਗਾਹਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਜਾਂ ਮਾਤਰਾ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਵੇਰੀਏਬਲ, p ਪ੍ਰਤੀ ਗਾਹਕੀ ਕੀਮਤ ਲਈ ਅਤੇ Q ਮਾਤਰਾ ਲਈ ਪੇਸ਼ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਮਾਲੀਆ=pQ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਗਾਹਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕੀਮਤ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਬੰਧ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਸਮੇਂ p=30 ਅਤੇ Q=84,000 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇ ਕੀਮਤ $32 ਤੱਕ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਖਬਾਰ 5,000 ਗਾਹਕ ਗੁਆ ਬੈਠੇਗਾ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਦੂਜੀ ਜੋੜੀ ਮਿਲੇਗੀ, p=32 ਅਤੇ Q=79,000। ਇਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਢਲਾਣ ਹੋਵੇਗੀ
ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਾਗਜ਼ ਹਰ ਡਾਲਰ ਜੋ ਉਹ ਕੀਮਤ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਲਈ 2,500 ਗਾਹਕ ਗੁਆ ਬੈਠੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਹ ਸਾਨੂੰ Q=−2,500p+159,000 ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਲਾਗਤ ਅਤੇ ਗਾਹਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਆਪਣੇ ਮਾਲੀਆ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ।
ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਗਾਹਕੀ ਚਾਰਜ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਮਾਲੀਏ ਲਈ ਇੱਕ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਅਖਬਾਰ ਲਈ ਮਾਲੀਏ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਕੀਮਤ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸ਼ਿਖਰ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਮਾਡਲ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਧਿਕਤਮ ਮਾਲੀਆ ਉਦੋਂ ਹੋਵੇਗਾ ਜੇ ਅਖਬਾਰ ਗਾਹਕੀ ਲਈ $31.80 ਵਸੂਲਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਅਧਿਕਤਮ ਮਾਲੀਆ ਕੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਮਾਲੀਆ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਸਨੂੰ ਅੰਕੜਾ 12 ਵਿੱਚ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਕੇ ਵੀ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਅਧਿਕਤਮ ਮਾਲੀਆ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਦੋ-ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ x- ਅਤੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਪਰੋਕਤ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਸਾਨੂੰ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣ ਦੀ ਵੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਇਨਪੁਟ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਉਹਨਾਂ ਸਥਾਨਾਂ 'ਤੇ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅੰਕੜਾ 13 ਵਿੱਚ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਅੰਕੜਾ 13: ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋ-ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, y- ਅਤੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭੋ।
y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣ ਲਈ f(0) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ f(x)=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ y- ਅਤੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣਾ
ਦੋ-ਘਾਤੀ f(x)=3x^2+5x−2 ਦੇ y- ਅਤੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ f(0) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਾ ਕੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। f(0)।
ਇਸ ਲਈ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,−2) ਉੱਤੇ ਹੈ। (0,−2)।
x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ f(x)=0 ਦੇ ਸਾਰੇ ਹੱਲ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। f(x)=0।
ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਦੋਘਾਤੀ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਹੱਲ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਵਿਧੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (1/3,0) ਅਤੇ (−2,0) ਉੱਤੇ ਹਨ। (1/3,0) ਅਤੇ (−2,0)।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ (0,−2) ਉੱਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। (0,−2)। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ (1/3,0) ਅਤੇ (−2,0) ਉੱਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। (1/3,0) ਅਤੇ (−2,0)। ਚਿੱਤਰ 14 ਦੇਖੋ।
ਦੋਘਾਤੀ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖਣਾ
ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵਿੱਚ, ਦੋਘਾਤੀ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਕੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਦੋਘਾਤੀ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋਘਾਤੀ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ।
a ਅਤੇ b ਨੂੰ h=−b/2a ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। h=−b/2a।
k ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ x=h ਨੂੰ ਬਦਲੋ। k।
h ਅਤੇ k ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। h ਅਤੇ k।
x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣ ਵੇਲੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣਾ
ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=2x^2+4x−4 ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ। f(x)=2x^2+4x−4।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਦੋਘਾਤੀ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੋਘਾਤੀ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ a=2 ਹੈ। a=2। ਫਿਰ ਅਸੀਂ h ਅਤੇ k ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। h ਅਤੇ k।
ਇਸ ਲਈ ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ x-x-ਅੰਤਰਖੰਡ (−1−√3, 0) ਅਤੇ (−1+√3, 0) ਹਨ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਕੇ ਅਤੇ x-x-ਅੰਤਰਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 15 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ 'ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ' ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=13+x²−6x ਲਈ ਸਟੈਂਡਰਡ ਅਤੇ ਜਨਰਲ ਰੂਪ ਲੱਭਿਆ। ਹੁਣ y- ਅਤੇ x-x-ਅੰਤਰਖੰਡ (ਜੇ ਕੋਈ ਹੋਵੇ) ਲੱਭੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਨਾਲ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
x² + x + 2 = 0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਆਓ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a।
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਾਂਕ a, b ਅਤੇ c ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨ x² + x + 2 = 0 ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ a=1, b=1, ਅਤੇ c=2 ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ 'ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ −1+i√7 / 2 ਅਤੇ −1−i√7 / 2 ਜਾਂ −1/2 + i√7 / 2 ਅਤੇ −1/2 − i√7 / 2 ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ ਅਤੇ x-ਅੰਤਰਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਨੂੰ 40 ਫੁੱਟ ਉੱਚੀ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ 80 ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ H(t) = −16t² + 80t + 40 ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ⓐ ਗੇਂਦ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਕਦੋਂ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ?
ⓑ ਗੇਂਦ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
ⓒ ਗੇਂਦ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਕਦੋਂ ਵੱਜਦੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ⓐ ਗੇਂਦ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ। h = −80 / (2(−16)) = 80 / 32 = 5/2 = 2.5। ਗੇਂਦ 2.5 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ।
ⓑ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ ਦੇ y-y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਲੱਭੋ। k = H(−b/2a) = H(2.5) = −16(2.5)² + 80(2.5) + 40 = 140। ਗੇਂਦ 140 ਫੁੱਟ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ।
ⓒ ਗੇਂਦ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਕਦੋਂ ਵੱਜਦੀ ਹੈ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਉਚਾਈ ਕਦੋਂ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ, H(t) = 0। ਅਸੀਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। t = (−80 ± √(80² − 4(−16)(40))) / (2(−16)) = (−80 ± √8960) / −32। ਕਿਉਂਕਿ ਵਰਗ ਮੂਲ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਰਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਅਸੀਂ ਹੱਲਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। t = (−80 − √8960) / −32 ≈ 5.458 ਜਾਂ t = (−80 + √8960) / −32 ≈ −0.458। ਦੂਜਾ ਜਵਾਬ ਸਾਡੇ ਮਾਡਲ ਦੇ ਵਾਜਬ ਡੋਮੇਨ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗੇਂਦ ਲਗਭਗ 5.458 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਵੱਜੇਗੀ। ਚਿੱਤਰ 16 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਇੱਕ ਚੱਟਾਨ ਨੂੰ ਸਮੁੰਦਰ ਵੱਲ ਦੇਖ ਰਹੀ 112-ਫੁੱਟ ਉੱਚੀ ਚੱਟਾਨ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ 96 ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਮੁੰਦਰ ਤੋਂ ਚੱਟਾਨ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ H(t) = −16t² + 96t + 112 ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
1. ⓐ ਚੱਟਾਨ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਕਦੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੀ ਹੈ?
2. ⓑ ਚੱਟਾਨ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
3. ⓒ ਚੱਟਾਨ ਸਮੁੰਦਰ ਨਾਲ ਕਦੋਂ ਟਕਰਾਉਂਦੀ ਹੈ?
4. ਮੀਡੀਆ
5. ਦੂਜੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਵਰਗ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
6. ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਰਗ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
7. ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਰਗ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
8. ਵਰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਮੀਖਿਆ
9. ਵਰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
10. ਸ਼ਬਦਿਕ
11. ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖਣ ਦਾ ਫਾਇਦਾ ਦੱਸੋ।
12. ਕਿਸੇ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਸਿਖਰ (vertex) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ?
13. ਦੱਸੋ ਕਿ ਵਰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ a≠0 ਦੀ ਸ਼ਰਤ ਕਿਉਂ ਲਗਾਈ ਗਈ ਹੈ।
14. ਵਰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦਾ ਕੋਈ ਹੋਰ ਨਾਮ ਕੀ ਹੈ?
15. ਵਰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ (horizontal intercepts) ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਹੜੀਆਂ ਦੋ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਵਿਧੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ?
16. ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ
17. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਰਗ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਿਖਰ ਰੂਪ (vertex form) ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਦੱਸੋ।
18. f( x )= x 2 −12x+32
19. g( x )= x 2 +2x−3
20. f(x)= x 2 −x
21. f(x)= x 2 +5x−2
22. h( x )=2 x 2 +8x−10
23. k( x )=3 x 2 −6x−9
24. f(x)=2 x 2 −6x
f(x)=3x^2−5x−1
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਲੱਭੋ।
y(x)=2x^2+10x+12
f(x)=2x^2−10x+4
f(x)=−x^2+4x+3
f(x)=4x^2+x−1
h(t)=−4t^2+6t−1
f(x)=1/2 x^2+3x+1
f(x)=−1/3 x^2−2x+3
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ।
f(x)= (x−3)^2+2
f(x)=−2 (x+3)^2−6
f(x)=x^2+6x+4
f(x)=2x^2−4x+2
k(x)=3x^2−6x−9
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਉੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
x^2=−25
x^2=−8
x^2+36=0
x^2+27=0
x^2+2x+5=0
x^2−4x+5=0
x^2+8x+25=0
x^2−4x+13=0
x 2 +6x+25=0
x 2 −10x+26=0
x 2 −6x+10=0
x 2 −4x−20=0
x 2 −2x−10=0
2 x 2 +2x+5=0
5 x 2 −8x+5=0
5 x 2 +6x+2=0
2 x 2 −6x+5=0
x 2 +x+2=0
x 2 −2x+4=0
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਰਟੈਕਸ (h,k) ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ਪਤਾ ਕਰੋ।
(h,k)=(2,0),(x,y)=(4,4)
(h,k)=(−2,−1),(x,y)=(−4,3)
(h,k)=(0,1),(x,y)=(2,5)
(h,k)=(2,3),(x,y)=(5,12)
(h,k)=(−5,3),(x,y)=(2,9)
(h,k)=(3,2),(x,y)=(10,1)
(h,k)=(0,1),(x,y)=(1,0)
(h,k)=(1,0),(x,y)=(0,1)
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਵਰਟੈਕਸ, ਸਿਮਟਰੀ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਅਤੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਦੱਸੋ।
f(x)= x 2 −2x
f(x)= x 2 −6x−1
1. f(x)= x 2 −5x−6
2. f(x)= x 2 −7x+3
3. f(x)=−2 x 2 +5x−8
4. f(x)=4 x 2 −12x−3
5. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
6. ਸੰਖਿਆਤਮਕ
7. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜੋ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ, ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ਲੱਭੋ।
8. ਕਤਾਰ: x x | –2 | –1 | 0 | 1 | 2
9. ਕਤਾਰ: y y | 5 | 2 | 1 | 2 | 5
10. ਕਤਾਰ: x x | –2 | –1 | 0 | 1 | 2
11. ਕਤਾਰ: y y | 1 | 0 | 1 | 4 | 9
12. ਕਤਾਰ: x x | –2 | –1 | 0 | 1 | 2
13. ਕਤਾਰ: y y | –2 | 1 | 2 | 1 | –2
14. ਕਤਾਰ: x x | –2 | –1 | 0 | 1 | 2
15. ਕਤਾਰ: y y | –8 | –3 | 0 | 1 | 0
16. ਕਤਾਰ: x x | –2 | –1 | 0 | 1 | 2
17. ਕਤਾਰ: y y | 8 | 2 | 0 | 2 | 8
18. ਤਕਨਾਲੋਜੀ
19. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜਵਾਬ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
20. ਇੱਕੋ ਅਕਸ਼ਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ f(x)= x 2 ,f(x)=2 x 2 , ਅਤੇ f(x)= 1 3 x 2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
21. ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦਾ ਕੀ ਪ੍ਰਭਾਵ ਜਾਪਦਾ ਹੈ?
22. ਇੱਕੋ ਅਕਸ਼ਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਉੱਤੇ f(x)= x 2 ,f(x)= x 2 +2 ਅਤੇ f(x)= x 2 +5 ਅਤੇ f(x)= x 2 −3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜਨ ਦਾ ਕੀ ਪ੍ਰਭਾਵ ਜਾਪਦਾ ਹੈ?
23. ਇੱਕੋ ਅਕਸ਼ਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਉੱਤੇ f(x)= x 2 ,f(x)= (x−2) 2 ,f (x−3) 2 , ਅਤੇ f(x)= (x+4) 2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
24. ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ ਦਾ ਕੀ ਪ੍ਰਭਾਵ ਜਾਪਦਾ ਹੈ?
45 ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਪਿੰਡ ਦਾ ਮਾਰਗ, ਜਿਸਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੇਗ 80 ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ h(x)= −32 (80) 2 x 2 +x ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x x ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ ਹੈ ਜੋ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ ਅਤੇ h( x ) h( x ) ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ ਉਚਾਈ ਹੈ। ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ TRACE ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਿੰਡ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਇਸਨੇ 100 ਫੁੱਟ ਦੀ ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਹੋਵੇ।
ਇੱਕ ਸਸਪੈਂਸ਼ਨ ਬ੍ਰਿਜ ਨੂੰ ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ h(x)=.0001 x 2 ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ −2000≤x≤2000 ਅਤੇ | x | | x | ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਫੁੱਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ ਅਤੇ h( x ) h( x ) ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ ਉਚਾਈ ਹੈ। ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ TRACE ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ ਕਿ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਬ੍ਰਿਜ ਦੀ ਉਚਾਈ 100 ਫੁੱਟ ਹੈ।
ਵਿਸਥਾਰ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਵਰਟੈਕਸ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਵਰਟੈਕਸ (1,−2), ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
ਵਰਟੈਕਸ ( −1,2 ) ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
ਵਰਟੈਕਸ (−5,11), ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
ਵਰਟੈਕਸ (−100,100), ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਆਕਾਰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
(1,1) ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ f(x)=2 x 2 ਦਾ ਆਕਾਰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਵਰਟੈਕਸ y- y- ਅਕਸ 'ਤੇ ਹੈ।
(−1,4) ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ f(x)=2 x 2 ਦਾ ਆਕਾਰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਵਰਟੈਕਸ y- y- ਅਕਸ 'ਤੇ ਹੈ।
(2,3) ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ f(x)=3 x 2 ਦਾ ਆਕਾਰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਵਰਟੈਕਸ y- y- ਅਕਸ 'ਤੇ ਹੈ।
(1,−3) ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ f(x)=− x 2 ਦਾ ਆਕਾਰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਵਰਟੈਕਸ y- y- ਅਕਸ 'ਤੇ ਹੈ।
(4,3) ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ f(x)=5 x 2 ਦਾ ਆਕਾਰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਵਰਟੈਕਸ y- y- ਅਕਸ 'ਤੇ ਹੈ।
(1,−6) ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ f(x)=3 x 2 ਦਾ ਆਕਾਰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਵਰਟੈਕਸ ਦਾ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ −1 ਹੈ।
ਰੀਅਲ-ਵਰਲਡ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
200 ਫੁੱਟ ਵਾੜ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਘੇਰਿਆ ਹੋਇਆ ਖੇਤਰ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਰਲ ਦੇ ਮਾਪ ਲੱਭੋ।
300 ਫੁੱਟ ਵਾੜ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸੰਭਵ ਘੇਰਿਆ ਹੋਇਆ ਖੇਤਰ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ 2 ਸਮਾਨ ਆਕਾਰ ਦੇ ਪੈਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਹੋਇਆ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਰਲ ਦੇ ਮਾਪ ਲੱਭੋ।
500 ਫੁੱਟ ਵਾੜ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਘੇਰਿਆ ਹੋਇਆ ਖੇਤਰ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ 3 ਸਮਾਨ ਆਕਾਰ ਦੇ ਪੈਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਹੋਇਆ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਰਲ ਦੇ ਮਾਪ ਲੱਭੋ।
6 ਦੇ ਜੋੜ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਜੋੜਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ, ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਗੁਣਨਫਲ ਵਾਲਾ ਜੋੜਾ ਲੱਭੋ। ਗੁਣਨਫਲ ਕੀ ਹੈ?
12 ਦੇ ਅੰਤਰ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਜੋੜਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ, ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਗੁਣਨਫਲ ਵਾਲਾ ਜੋੜਾ ਲੱਭੋ। ਗੁਣਨਫਲ ਕੀ ਹੈ?
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸੈੱਲ ਫੋਨ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀ ਯੂਨਿਟ ਕੀਮਤ ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ p=$45−0.0125x ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x x ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਫੋਨਾਂ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਅਤੇ ਮਾਲੀਆ ਜੋ ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਡਾਲਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ R=x⋅p ਹੈ। ਮਾਲੀਆ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਉਤਪਾਦਨ ਪੱਧਰ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਰਾਕੇਟ ਨੂੰ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਲਾਂਚ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਸਮੇਂ, ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਸਮੁੰਦਰ ਤਲ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਇਸਦੀ ਉਚਾਈ, h( t )=−4.9 t 2 +229t+234 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਰਾਕੇਟ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਇੱਕ ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਚੋਟੀ ਤੋਂ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਮੇਂ, ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਇਸਦੀ ਉਚਾਈ, h( t )=−4.9 t 2 +24t+8 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ?
ਇੱਕ ਫੁੱਟਬਾਲ ਸਟੇਡੀਅਮ ਵਿੱਚ 62,000 ਦਰਸ਼ਕ ਬੈਠ ਸਕਦੇ ਹਨ। $11 ਦੀ ਟਿਕਟ ਕੀਮਤ ਨਾਲ, ਔਸਤ ਹਾਜ਼ਰੀ 26,000 ਰਹੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕੀਮਤ $9 ਤੱਕ ਘਟ ਗਈ, ਤਾਂ ਔਸਤ ਹਾਜ਼ਰੀ 31,000 ਹੋ ਗਈ। ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਹਾਜ਼ਰੀ ਟਿਕਟ ਕੀਮਤ ਨਾਲ ਰੇਖੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਕਿਹੜੀ ਟਿਕਟ ਕੀਮਤ ਮਾਲੀਆ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰੇਗੀ?
ਇੱਕ ਕਿਸਾਨ ਨੂੰ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇ ਉਹ ਪ੍ਰਤੀ ਏਕੜ 75 ਰੁੱਖ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਹਰ ਰੁੱਖ 20 ਬੁਸ਼ਲ ਫਲ ਦੇਵੇਗਾ। ਉਹ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰਤੀ ਏਕੜ ਲਗਾਏ ਗਏ ਹਰ ਵਾਧੂ ਰੁੱਖ ਲਈ, ਹਰ ਰੁੱਖ ਦੀ ਉਪਜ 3 ਬੁਸ਼ਲ ਘੱਟ ਜਾਵੇਗੀ। ਆਪਣੀ ਫਸਲ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਉਸਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀ ਏਕੜ ਕਿੰਨੇ ਰੁੱਖ ਲਗਾਉਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ?