ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣ ਲਈ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰੋ।
ਪਾਰਕ ਰੇਂਜਰ ਅਤੇ ਹੋਰ ਟ੍ਰੇਲ ਪ੍ਰਬੰਧਕ ਪਗਡੰਡੀਆਂ ਜਾਂ ਹੋਰ ਲੈਂਡਮਾਰਕਸ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਚੱਟਾਨਾਂ ਦੇ ਢੇਰ, ਸਟੈਕ, ਜਾਂ ਹੋਰ ਪ੍ਰਬੰਧ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੈਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। (ਰੇਂਜਰ ਅਤੇ ਵਾਤਾਵਰਣ ਵਿਗਿਆਨੀ ਹਾਈਕਰਾਂ ਨੂੰ ਉਲਝਣ ਤੋਂ ਬਚਣ ਅਤੇ ਪੌਦਿਆਂ ਅਤੇ ਜਾਨਵਰਾਂ ਦੇ ਨਿਵਾਸ ਸਥਾਨਾਂ ਨੂੰ ਬਚਾਉਣ ਲਈ ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਨਿਰਾਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ।) ਬੱਜਰੀ ਦੇ ਢੇਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੈਰਨ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਉਚਾਈ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਦੁੱਗਣੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਆਇਤਨ ਇੱਕ ਪ੍ਰਾਇਮਰੀ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਆਇਤਨ V ਨੂੰ ਅਰਧ ਵਿਆਸ r ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਆਇਤਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ: ਇੱਕ ਗਾਹਕ 100 ਘਣ ਫੁੱਟ ਬੱਜਰੀ ਖਰੀਦਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਢੇਰ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ ਜਿਸਦੀ ਉਚਾਈ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋਵੇ। ਨਵੇਂ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਕੀ ਹੈ? ਇਸ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ r ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ V ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦੀ ਅਤੇ ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟਾਂ ਅਤੇ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਰੈਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ
ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਅਤੇ g ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ f ਵਿੱਚ ਹਰ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੀ (a,b) ਲਈ, ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ, g ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੀ (b,a) ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੀਆਂ ਵਿੱਚ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਅਦਲਾ-ਬਦਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਹੋਣ ਲਈ, ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਸਟੇਨੇਬਿਲਟੀ ਕਲੱਬ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਟ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ ਦੇ ਵਹਾਅ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਾਣੀ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਟ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ ਦੀ ਸਤਹ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਉਂਕਿ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਆਕਾਰ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੋਣਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋਵੇਗਾ, ਅਸੀਂ ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਲਾਗੂ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ x ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਤੇ y ਨੂੰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮਾਪਿਆ ਜਾਵੇਗਾ, ਜਿਸਦਾ ਮੂਲ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਹੋਵੇਗਾ। ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ।
ਇਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਆਕਾਰ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਨੂੰ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ y(x)=ax^2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗੀ। ਸਾਡੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (6, 18) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ, ਜਿਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਖਿੱਚਣ ਵਾਲੇ ਕਾਰਕ a ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਡੇ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਪਾਣੀ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਪਾਣੀ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪਾਣੀ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਚੌੜਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਡੂੰਘਾਈ y ਲਈ ਚੌੜਾਈ 2x ਦਿੱਤੀ ਜਾਵੇਗੀ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਉਪਰੋਕਤ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਅਤੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਆਉਟਪੁਟ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਦੋ ਇਨਪੁਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕੋ ਆਉਟਪੁਟ ਪੈਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ।
ਉਲਟ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ 'ਤੇ ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਕਾਰਾਤਮਕ x ਮੁੱਲਾਂ ਤੱਕ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰਨਾ ਸਮਝਦਾਰੀ ਵਾਲਾ ਹੈ। ਇਸ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਇਨਪੁਟ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਉਲਟ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਇਹ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸਕਾਰਾਤਮਕ x ਮੁੱਲਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੱਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਲੋੜੀਂਦਾ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ x ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ, ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਪਾਣੀ ਦੀ ਕੁੱਲ ਚੌੜਾਈ 2x ਹੋਵੇਗੀ। ਟ੍ਰਾਫ 3 ਫੁੱਟ (36 ਇੰਚ) ਲੰਬਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਫਿਰ ਹੋਵੇਗਾ:
ਇਹ ਉਦਾਹਰਨ ਦੋ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ:
ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਇੱਕ ਵਰਗਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੋਵੇਂ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਪਾਵਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ।
ਜੜ੍ਹਾਂ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਰੈਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕੁਝ ਬੁਨਿਆਦੀ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਦੇ ਉਲਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਇਨਵਰਟੀਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ f^{-1}(x) ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਵਧਾਨੀ: f −1 (x) f −1 (x) ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) f(x) ਦੇ ਉਲਟ (reciprocal) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। "–1" ਦੀ ਇਸ ਵਰਤੋਂ ਨੂੰ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਰਾਖਵਾਂ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) f(x) ਦੇ ਉਲਟ (reciprocal) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ (f(x))−1 = 1/f(x) ਲਿਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ।
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸਬੰਧ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ "ਰੱਦ" ਕਰ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ f−1 f−1 ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ, ਤਾਂ f f ਫੰਕਸ਼ਨ f−1 f−1 ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਜੋ ਵੀ x x ਉੱਤੇ ਕਰਦਾ ਹੈ, f−1 f−1 ਉਸਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ—ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਵੀ। ਵਧੇਰੇ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
ਅਤੇ
ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਹੋਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨਾ
ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨ, f f ਅਤੇ g, g, ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ f f ਅਤੇ g g ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x x ਲਈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਕਿਸੇ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸੀਮਤ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੋਵੇ।
f(x) f(x) ਨੂੰ y y ਨਾਲ ਬਦਲੋ।
x x ਅਤੇ y y ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
y y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਨਾਮ f−1(x) f−1(x) ਰੱਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨਾ
ਦਿਖਾਓ ਕਿ f(x) = 1/(x+1) f(x) = 1/(x+1) ਅਤੇ f−1(x) = 1/(x−1) f−1(x) = 1/(x−1) ਉਲਟ ਹਨ, x≠0,−1 x≠0,−1 ਲਈ।
ਹੱਲ
ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ f−1(f(x)) = x f−1(f(x)) = x ਅਤੇ f(f−1(x)) = x। f(f−1(x)) = x।
ਇਸ ਲਈ, f(x) = 1/(x+1) f(x) = 1/(x+1) ਅਤੇ f−1(x) = 1/(x−1) f−1(x) = 1/(x−1) ਉਲਟ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਦਿਖਾਓ ਕਿ f(x) = (x+5)/3 f(x) = (x+5)/3 ਅਤੇ f−1(x) = 3x−5 f−1(x) = 3x−5 ਉਲਟ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਕਿਊਬਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 5x³ + 1 f(x) = 5x³ + 1 ਦਾ ਉਲਟ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇਹ ਬੁਨਿਆਦੀ ਕਿਊਬਿਕ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਰੂਪਾਂਤਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਾਡੇ ਗਿਆਨ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ। x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਉਲਟ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
Look at the graph of f f and f –1 . f –1 . Notice that the two graphs are symmetrical about the line y=x. y=x. This is always the case when graphing a function and its inverse function.
Also, since the method involved interchanging x x and y, y, notice corresponding points. If (a,b) (a,b) is on the graph of f, f, then (b,a) (b,a) is on the graph of f –1 . f –1 . Since (0,1) (0,1) is on the graph of f, f, then (1,0) (1,0) is on the graph of f –1 . f –1 . Similarly, since (1,6) (1,6) is on the graph of f, f, then (6,1) (6,1) is on the graph of f –1 . f –1 . See Figure 4.
Try It #2
Find the inverse function of f(x)= x+4 3 . f(x)= x+4 3 .
Restricting the Domain to Find the Inverse of a Polynomial Function
So far, we have been able to find the inverse functions of cubic functions without having to restrict their domains. However, as we know, not all cubic polynomials are one-to-one. Some functions that are not one-to-one may have their domain restricted so that they are one-to-one, but only over that domain. The function over the restricted domain would then have an inverse function. Since quadratic functions are not one-to-one, we must restrict their domain in order to find their inverses.
Restricting the Domain
If a function is not one-to-one, it cannot have an inverse. If we restrict the domain of the function so that it becomes one-to-one, thus creating a new function, this new function will have an inverse.
How To
Given a polynomial function, restrict the domain of a function that is not one-to-one and then find the inverse.
Restrict the domain by determining a domain on which the original function is one-to-one.
Replace f(x)withy. f(x)withy.
Interchange xandy. xandy.
Solve for y, y, and rename the function or pair of function f −1 (x). f −1 (x).
Revise the formula for f −1 (x) f −1 (x) by ensuring that the outputs of the inverse function correspond to the restricted domain of the original function.
Example 3
Restricting the Domain to Find the Inverse of a Polynomial Function
Find the inverse function of f: f:
f(x)= (x−4) 2 ,x≥4 f(x)= (x−4) 2 ,x≥4
f(x)= (x−4) 2 ,x≤4 f(x)= (x−4) 2 ,x≤4
Solution
The original function f(x)= (x−4) 2 f(x)= (x−4) 2 is not one-to-one, but the function is restricted to a domain of x≥4 x≥4 or x≤4 x≤4 on which it is one-to-one. See Figure 5.
To find the inverse, start by replacing f(x) f(x) with the simple variable y. y.
This is not a function as written. We need to examine the restrictions on the domain of the original function to determine the inverse. Since we reversed the roles of x x and y y for the original f(x), f(x), we looked at the domain: the values x x could assume. When we reversed the roles of x x and y, y, this gave us the values y y could assume. For this function, x≥4, x≥4, so for the inverse, we should have y≥4, y≥4, which is what our inverse function gives.
1. ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ x≥4, x≥4 ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਸੀ, ਇਸ ਲਈ ਉਲਟ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵੀ ਉਹੀ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, f(x)≥4, f(x)≥4, ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ + ਕੇਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ: f⁻¹(x)=4+√x f⁻¹(x)=4+√x
2. ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ x≤4, x≤4 ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਸੀ, ਇਸ ਲਈ ਉਲਟ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵੀ ਉਹੀ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, f(x)≤4, f(x)≤4, ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ – ਕੇਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ: f⁻¹(x)=4−√x f⁻¹(x)=4−√x
3. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
4. ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਅਕਸ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਕੱਠੇ ਗ੍ਰਾਫ y=x ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ। y=x। ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਾ (4,0) (4,0) f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ f ਅਤੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਾ (0,4) (0,4) f⁻¹ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ। f⁻¹। ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੇ ਲਈ, ਜੇਕਰ (a,b) (a,b) f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ, f, ਤਾਂ (b,a) (b,a) f⁻¹ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ। f⁻¹। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਦੇਖੋ ਕਿ f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ f⁻¹ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ y=x ਲਾਈਨ 'ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। y=x। f ਅਤੇ f⁻¹ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਪੁਆਇੰਟ ਹਮੇਸ਼ਾ y=x ਲਾਈਨ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੋਣਗੇ। y=x।
5. ਉਦਾਹਰਨ 4
6. ਇੱਕ ਕੁਆਡਰੇਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ ਜਦੋਂ ਰਿਸਟ੍ਰਿਕਸ਼ਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ
7. ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ
8. ਹੱਲ
9. ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ (2,–3) (2,–3) 'ਤੇ ਸਿਖਰ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਪਰਬਲ ਹੈ ਜੋ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਸਿਖਰ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ 'ਤੇ ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੋਵੇਗਾ, ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ x≥2 ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਕਰਕੇ। x≥2।
10. ਉਲਟ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕੁਆਡਰੇਟਿਕ ਦੇ ਸਿਖਰ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ f(x) ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ, y, ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। x।
11. ਹੁਣ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਕੇਸ ਵਰਤਣਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ x≥2 ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ, x≥2, ਉਲਟ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵੀ ਉਹੀ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ + ਕੇਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ।
12. ਜੇ ਕੁਆਡਰੇਟਿਕ ਨੂੰ ਸਿਖਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਸਿਖਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਹੁੰਦਾ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਿਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਖਰ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
13. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
14. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ x≥2 'ਤੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਿਤ ਕਰਨ ਦਾ ਮਨਮਾਨੇ ਢੰਗ ਨਾਲ ਫੈਸਲਾ ਕੀਤਾ ਹੈ। x≥2। ਅਸੀਂ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ x≤2 'ਤੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਿਤ ਕਰਨ ਦਾ ਵਿਕਲਪ ਵੀ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਸੀ, x≤2, ਜਿਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ f⁻¹(x)=2−√x+3 ਹੋਵੇਗਾ। f⁻¹(x)=2−√x+3। ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਅਕਸ 'ਤੇ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਦੇਖੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ y=x ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ। y=x। ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਾ (2,–3) (2,–3) f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ f ਅਤੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਾ (–3,2) (–3,2) f⁻¹ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ। f⁻¹। ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਅਕਸ 'ਤੇ ਦੋਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਦੇਖੋ ਕਿ
15. ਅਤੇ
16. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਦੇਖੋ ਕਿ f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ f⁻¹ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ y=x ਲਾਈਨ ਦੇ ਨਾਲ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। y=x।
17. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3
18. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x²+1, f(x)=x²+1, ਦਾ ਉਲਟ ਡੋਮੇਨ x≥0 'ਤੇ ਲੱਭੋ। x≥0।
19. ਰੇਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
20. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪਿਛਲੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਾਰੇ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਸਨ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟ ਰੇਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਨ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਉੱਤਰ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ ਕਿਉਂਕਿ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਸੀਮਿਤ ਹੈ।
21. ਕਿਵੇਂ
22. ਇੱਕ ਰੇਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਲਟ ਲੱਭੋ।
23. ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
24. f(x) ਨੂੰ y, y, ਨਾਲ ਬਦਲੋ, ਫਿਰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। x।
ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਰੇਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ
ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x−4 ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ। f(x)= x−4।
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ f(x)≥0 ਹੈ। f(x)≥0। f(x) ਨੂੰ y ਨਾਲ ਬਦਲੋ, ਫਿਰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। x।
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਦੇਖੋ ਕਿ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ, y=x ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ। y=x। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਰਫ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹਨ, ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਰਫ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਇਨਪੁੱਟ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 2x+3 ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ। f(x)= 2x+3।
ਰੇਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਭੌਤਿਕ ਮਾਡਲਾਂ ਵਿੱਚ ਆਮ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸੈਕਸ਼ਨ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਸੀ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੁਣ ਸੈਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਸਾਧਨ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਕਿਊਬਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਇੱਕ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਪਾਰਕ ਰੇਂਜਰ ਇੱਕ ਕੋਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਗਰੇਵਲ ਦਾ ਇੱਕ ਢੇਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜਿਸਦੀ ਉਚਾਈ ਅੱਧੀ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕੋਨ ਦਾ ਆਇਤਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਫੰਕਸ਼ਨ V= 2 3 π r 3 ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ ਜੋ ਕੋਨ ਦੇ ਆਇਤਨ V ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ r ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। r। ਫਿਰ 100 ਘਣ ਫੁੱਟ ਮਾਪਣ ਵਾਲੇ ਗਰੇਵਲ ਦੇ ਅਜਿਹੇ ਢੇਰ ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। π=3.14 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। π=3.14।
ਹੱਲ
V ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। V। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਅਰਥਪੂਰਨ ਡੋਮੇਨ r≥0 ਹੈ r≥0 ਕਿਉਂਕਿ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਇਸ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਸਮਝਦਾਰ ਨਹੀਂ ਹੋਣਗੇ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ (ਇਸ ਲਈ, ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ) V≥0 ਹੈ, ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰੋ। V≥0। ਪਿਛਲੇ ਰੂਪਰੇਖਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਢੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, V ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ r ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। r।
ਇਹ ਸੈਕਸ਼ਨ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਨਤੀਜਾ ਹੈ। ਹੁਣ V=100 ਅਤੇ π=3.14 ਲਈ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। V=100 π=3.14।
ਇਸ ਲਈ, ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਲਗਭਗ 3.63 ਫੁੱਟ ਹੈ।
ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਰੇਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਰੇਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਡੋਮੇਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਰੇਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਰੇਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰਚਨਾ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਲੱਭਣਾ
f(x)= (x+2)(x−3) (x−1) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਲੱਭੋ। f(x)= (x+2)(x−3) (x−1) ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਵਰਗਮੂਲ ਸਿਰਫ਼ ਉਦੋਂ ਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਰੈਡੀਕਲ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੀ ਮਾਤਰਾ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ (x+2)(x−3) (x−1) ≥0 ਕਿੱਥੇ ਹੈ। (x+2)(x−3) (x−1) ≥0। ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਾਈਮਪਟੋਟਸ 'ਤੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲ ਸਕਦਾ ਹੈ (ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਤੋਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਉਲਟ)। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ xx = –2, 1, ਅਤੇ 3 'ਤੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਗੱਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਕਿਹੜੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਰੈਸ਼ਨਲ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਪਹੁੰਚਾਂ ਬਰਾਬਰ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਦੋ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਦੋਵੇਂ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਦੇ ਨੇੜੇ ਲੀਨੀਅਰ ਵਿਵਹਾਰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਾਈਮਪਟੋਟ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਫੈਕਟਰ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ; ਇਹ ਵਿਵਹਾਰ ਬੇਸਿਕ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੋਈ ਹారిਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਾਈਮਪਟੋਟ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਹੈ। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0, 6) 'ਤੇ ਹੈ। (0, 6)।
y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਅਤੇ x=−2 'ਤੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸਾਈਮਪਟੋਟ 'ਤੇ ਵਿਵਹਾਰ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਹੜੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣਗੇ, ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾ ਸਕੀਏ ਕਿ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) f(x) ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੋਵੇਗਾ। f(x) f(x) ਦਾ ਡੋਮੇਨ −2≤x<1 ਜਾਂ x≥3 ਹੈ, −2≤x<1 ਜਾਂ x≥3 ਹੈ, ਜਾਂ ਇੰਟਰਵਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, [−2,1)∪[3,∞)। [−2,1)∪[3,∞)।
ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣਾ
ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣ ਵਾਂਗ, ਕਦੇ-ਕਦੇ ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣਾ ਫਾਇਦੇਮੰਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਜੋ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕੰਸੈਂਟਰੇਸ਼ਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ C= 20+0.4n 100+n C= 20+0.4n 100+n 100 mL 20% ਘੋਲ ਵਿੱਚ 40% ਘੋਲ ਦੇ n mL ਜੋੜਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਐਸਿਡ ਘੋਲ ਦੀ ਕੰਸੈਂਟਰੇਸ਼ਨ C ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭੋ; ਯਾਨੀ, C ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ n ਲਈ ਇੱਕ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਲੱਭੋ। C। ਫਿਰ ਅੰਤਿਮ ਮਿਸ਼ਰਣ 35% ਘੋਲ ਬਣ ਜਾਵੇ ਇਸ ਲਈ 40% ਘੋਲ ਦੀ ਕਿੰਨੀ ਮਾਤਰਾ ਜੋੜੀ ਜਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਆਪਣੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ C ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ n ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ। C।
ਹੁਣ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ C=0.35(35%) ਲਈ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। C=0.35(35%)।
ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 40% ਘੋਲ ਦੇ 300 mL ਜੋੜੇ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x+3 x−2 ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭੋ। f(x)= x+3 x−2 ।
ਮੀਡੀਆ
ਇਨਵਰਸ ਅਤੇ ਰੈਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਬੇਸਿਕ ਸਕੁਏਅਰ ਰੂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ
ਸਕੁਏਅਰ ਰੂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭੋ
ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭੋ
ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੈਲਿਊ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭੋ
ਵਿਲੋਮ ਫਲਨ
ਕਿਰਿਆਤਮਕ
ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨਾਂ ਲਈ ਵਿਲੋਮ ਫਲਨ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫਲਨ ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਸਦੇ ਵਿਲੋਮ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਅਜਿਹਾ ਕਿਉਂ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ?
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਮੂਲ ਫਲਨ ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਨੂੰ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕਿਹੜੀ ਸੀਮਾ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ?
ਕਿਸੇ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫਲਨ ਦਾ ਵਿਲੋਮ ਹਮੇਸ਼ਾ ਕਿਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ?
ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਉੱਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਵਿਲੋਮ ਲੱਭੋ।
f( x )= ( x−4 ) 2 ,[4,∞)
f( x )= ( x+2 ) 2 ,[−2,∞)
f(x)= ( x+1 ) 2 −3,[−1,∞)
f(x)=2− 3+x
f(x)=3 x 2 +5,( − ∞,0 ]
f( x )=12− x 2 ,[0,∞)
f( x )=9− x 2 ,[0,∞)
f(x)=2 x 2 +4,[0,∞)
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਵਿਲੋਮ ਲੱਭੋ।
f(x)= x 3 +5
f( x )=3 x 3 +1
f(x)=4− x 3
f( x )=4−2 x 3
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਵਿਲੋਮ ਲੱਭੋ।
f(x)= 2x+1
f(x)= 3−4x
f(x)=9+4x−4
f(x)=6x−8+5
f(x)=9+2x^3
f(x)=3−x^3
f(x)=2x+8
f(x)=3x−4
f(x)=x+3x+7
f(x)=x−2x+7
f(x)=3x+4/5−4x
f(x)=5x+1/2−5x
f(x)=x^2+2x,[−1,∞)
f(x)=x^2+4x+1,[−2,∞)
f(x)=x^2−6x+3,[3,∞)
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਉਲਟ ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
f(x)=x^2+2,x≥0
f(x)=4−x^2,x≥0
f(x)=(x+3)^2,x≥−3
f(x)=(x−4)^2,x≥4
f(x)=x^3+3
f(x)=1−x^3
f(x)=x^2+4x,x≥−2
f(x)=x^2−6x+1,x≥3
f(x)=2x
f(x) = 1/x², x ≥ 0
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ (domain) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ (graph) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
f(x) = (x+1)(x-1)/x
f(x) = (x+2)(x-3)/(x-1)
f(x) = x(x+3)/(x-4)
f(x) = (x²-x-20)/(x-2)
f(x) = (9-x²)/(x+4)
ਤਕਨੀਕ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ (calculator) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਫਿਰ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਉਲਟ ਫਲਨ (inverse function) ਦੇ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ (points) ਦੱਸੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ (y-coordinates) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।
f(x) = x³-x-2, y=1, 2, 3
f(x) = x³+x-2, y=0, 1, 2
f(x) = x³+3x-4, y=0, 1, 2
f(x) = x³+8x-4, y=-1, 0, 1
f(x) = x⁴+5x+1, y=-1, 0, 1
ਵਿਸਤਾਰ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, a, b, c ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (positive real numbers) ਵਾਲੇ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟ (inverse) ਪਤਾ ਕਰੋ।
f(x) = ax³+b
f(x) = x²+bx
f(x) = ax²+b
f(x) = ax+b³/³
f(x) = (ax+b)/(x+c)
ਵਾਸਤਵਿਕ-ਜਗਤ ਅਰਜ਼ੀਆਂ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਰਣਿਤ ਫਲਨ (function) ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦਾ ਉੱਤਰ ਦੇਣ ਲਈ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
200 ਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੋਂ ਸੁੱਟੀ ਗਈ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਦਾ t ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਉਚਾਈ, h(t), ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ ਕਿ h(t)=200−4.9t²। t ਨੂੰ ਉਚਾਈ, h, ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ 50 ਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਦਾ ਸਮਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. $h(t)=600−16 t^2$ ਨੂੰ $t$ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਉਚਾਈ $h$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਓ ਅਤੇ 400 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਦਾ ਸਮਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ। $t = \sqrt{\frac{600-h}{16}}$ $t = \sqrt{\frac{600-400}{16}} = \sqrt{\frac{200}{16}} = \sqrt{12.5} \approx 3.54$ ਸਕਿੰਟ।
2. ਗੋਲੇ ਦਾ ਆਇਤਨ, $V$, ਉਸਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ, $r$, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, $V(r)= \frac{4}{3} \pi r^3$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। $r$ ਨੂੰ $V$ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਓ ਅਤੇ 200 ਘਣ ਫੁੱਟ ਆਇਤਨ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ। $r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}$ $r = \sqrt[3]{\frac{3(200)}{4\pi}} = \sqrt[3]{\frac{150}{\pi}} \approx \sqrt[3]{47.75} \approx 3.63$ ਫੁੱਟ।
3. ਗੋਲੇ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ, $A$, ਉਸਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ, $r$, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, $A(r)=4\pi r^2$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। $r$ ਨੂੰ $A$ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਓ ਅਤੇ 1000 ਵਰਗ ਇੰਚ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ। $r = \sqrt{\frac{A}{4\pi}}$ $r = \sqrt{\frac{1000}{4\pi}} = \sqrt{\frac{250}{\pi}} \approx \sqrt{79.58} \approx 8.92$ ਇੰਚ।
4. ਇੱਕ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ 100 ਮਿ.ਲੀ. ਘੋਲ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ 25 ਮਿ.ਲੀ. ਐਸਿਡ ਹੈ। ਜੇ 60% ਐਸਿਡ ਵਾਲੇ ਘੋਲ ਦੇ $n$ ਮਿ.ਲੀ. ਜੋੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ $C(n)=\frac{25+.6n}{100+n}$ ਸੰਘਣਤਾ, $C$, ਨੂੰ ਜੋੜੇ ਗਏ ਮਿ.ਲੀ. ਦੀ ਸੰਖਿਆ, $n$, ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। $n$ ਨੂੰ $C$ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਓ ਅਤੇ 50% ਐਸਿਡ ਵਾਲਾ ਘੋਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਮਿ.ਲੀ. ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ। $n = \frac{100C-25}{0.6-C}$ $n = \frac{100(0.50)-25}{0.6-0.50} = \frac{50-25}{0.10} = \frac{25}{0.10} = 250$ ਮਿ.ਲੀ.।
5. ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਪੈਂਡੂਲਮ ਦਾ ਸਮਾਂ ਅੰਤਰਾਲ $T$, ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਉਸਦੀ ਲੰਬਾਈ $l$, ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ, $T(l)=\frac{2\pi l}{\sqrt{32.2}}$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। $l$ ਨੂੰ $T$ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਓ ਅਤੇ 2 ਸਕਿੰਟ ਦੇ ਸਮਾਂ ਅੰਤਰਾਲ ਵਾਲੇ ਪੈਂਡੂਲਮ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ। $l = \frac{T\sqrt{32.2}}{2\pi}$ $l = \frac{2\sqrt{32.2}}{2\pi} = \frac{\sqrt{32.2}}{\pi} \approx \frac{5.67}{\pi} \approx 1.80$ ਫੁੱਟ।
6. ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਆਇਤਨ, $V$, ਅਰਧ ਵਿਆਸ, $r$, ਅਤੇ ਉਚਾਈ, $h$, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, $V=\pi r^2 h$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇ ਸਿਲੰਡਰ ਦੀ ਉਚਾਈ 6 ਮੀਟਰ ਹੈ, ਤਾਂ $V$ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਰਸਾਓ ਅਤੇ 300 ਘਣ ਮੀਟਰ ਆਇਤਨ ਵਾਲੇ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ। $r = \sqrt{\frac{V}{6\pi}}$ $r = \sqrt{\frac{300}{6\pi}} = \sqrt{\frac{50}{\pi}} \approx \sqrt{15.92} \approx 3.99$ ਮੀਟਰ।
7. ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ, $A$, ਅਰਧ ਵਿਆਸ, $r$, ਅਤੇ ਉਚਾਈ, $h$, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, $A=2\pi r^2 +2\pi rh$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇ ਸਿਲੰਡਰ ਦੀ ਉਚਾਈ 4 ਫੁੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ $A$ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਰਸਾਓ ਅਤੇ ਜੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ 200 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ ਤਾਂ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ। $r = \frac{-4\pi \pm \sqrt{16\pi^2 + 8\pi A}}{4\pi}$ (ਸਿਰਫ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਲਓ) $r = \frac{-4\pi + \sqrt{16\pi^2 + 8\pi (200)}}{4\pi} = \frac{-4\pi + \sqrt{16\pi^2 + 1600\pi}}{4\pi} \approx \frac{-12.57 + \sqrt{157.91 + 5026.55}}{12.57} \approx \frac{-12.57 + \sqrt{5184.46}}{12.57} \approx \frac{-12.57 + 72.00}{12.57} \approx \frac{59.43}{12.57} \approx 4.73$ ਫੁੱਟ।
8. ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਵ੍ਰਿੱਤੀ ਕੋਨ ਦਾ ਆਇਤਨ, $V$, ਉਸਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ, $r$, ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਉਚਾਈ, $h$, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, $V= \frac{1}{3} \pi r^2 h$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇ ਕੋਨ ਦੀ ਉਚਾਈ 12 ਇੰਚ ਹੈ, ਤਾਂ $V$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ $r$ ਦਰਸਾਓ ਅਤੇ 50 ਘਣ ਇੰਚ ਆਇਤਨ ਵਾਲੇ ਕੋਨ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ। $r = \sqrt{\frac{3V}{12\pi}} = \sqrt{\frac{V}{4\pi}}$ $r = \sqrt{\frac{50}{4\pi}} = \sqrt{\frac{25}{2\pi}} \approx \sqrt{3.98} \approx 1.99$ ਇੰਚ।
9. 30 ਫੁੱਟ ਉਚਾਈ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਕੋਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। $V$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਰਧ ਵਿਆਸ, $r$, ਦਰਸਾਓ ਅਤੇ 1000 ਘਣ ਫੁੱਟ ਆਇਤਨ ਵਾਲੇ ਕੋਨ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ। $V = \frac{1}{3} \pi r^2 (30) = 10\pi r^2$ $r = \sqrt{\frac{V}{10\pi}}$ $r = \sqrt{\frac{1000}{10\pi}} = \sqrt{\frac{100}{\pi}} \approx \sqrt{31.83} \approx 5.64$ ਫੁੱਟ।