Learning Objectives
In this section, you will:
Evaluate exponential functions.
Find the equation of an exponential function.
Use compound interest formulas.
Evaluate exponential functions with base ee .
India is the second most populous country in the world with a population of about 1.39 1.39 billion people in 2021. The population is growing at a rate of about 1.2% 1.2% each year2. If this rate continues, the population of India will exceed China’s population by the year 2027. 2027. When populations grow rapidly, we often say that the growth is “exponential,” meaning that something is growing very rapidly. To a mathematician, however, the term exponential growth has a very specific meaning. In this section, we will take a look at exponential functions, which model this kind of rapid growth.
Identifying Exponential Functions
When exploring linear growth, we observed a constant rate of change—a constant number by which the output increased for each unit increase in input. For example, in the equation f(x)=3x+4, f(x)=3x+4, the slope tells us the output increases by 3 each time the input increases by 1. The scenario in the India population example is different because we have a percent change per unit time (rather than a constant change) in the number of people.
Defining an Exponential Function
A study found that the percent of the population who are vegans in the United States doubled from 2009 to 2011. In 2011, 2.5% of the population was vegan, adhering to a diet that does not include any animal products—no meat, poultry, fish, dairy, or eggs. If this rate continues, vegans will make up 10% of the U.S. population in 2015, 40% in 2019, and 80% in 2021.
What exactly does it mean to grow exponentially? What does the word double have in common with percent increase? People toss these words around errantly. Are these words used correctly? The words certainly appear frequently in the media.
Percent change refers to a change based on a percent of the original amount.
Exponential growth refers to an increase based on a constant multiplicative rate of change over equal increments of time, that is, a percent increase of the original amount over time.
Exponential decay refers to a decrease based on a constant multiplicative rate of change over equal increments of time, that is, a percent decrease of the original amount over time.
For us to gain a clear understanding of exponential growth, let us contrast exponential growth with linear growth. We will construct two functions. The first function is exponential. We will start with an input of 0, and increase each input by 1. We will double the corresponding consecutive outputs. The second function is linear. We will start with an input of 0, and increase each input by 1. We will add 2 to the corresponding consecutive outputs. See Table 1.
row: x x | f(x)= 2 x f(x)= 2 x | g(x)=2x g(x)=2x
row: 0 | 1 | 0
row: 1 | 2 | 2
row: 2 | 4 | 4
row: 3 | 8 | 6
row: 4 | 16 | 8
row: 5 | 32 | 10
row: 6 | 64 | 12
1. ਤਬੀਲ 1 ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ, ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ ਰੇਖੀ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਪਿੱਛੇ ਛੱਡ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
2. ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਮਿਲਦੇ ਬਰਾਬਰ ਵਾਧਿਆਂ ਦੌਰਾਨ ਰੇਂਜ ਦੇ ਮੂਲ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
3. ਰੇਖੀ ਵਾਧਾ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਮਿਲਦੇ ਬਰਾਬਰ ਵਾਧਿਆਂ ਦੌਰਾਨ ਰੇਂਜ ਦੇ ਮੂਲ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
4. ਜ਼ਾਹਰ ਹੈ, "ਇੱਕੋ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ" ਅਤੇ "ਇੱਕੋ ਮਾਤਰਾ" ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਅੰਤਰ ਕਾਫ਼ੀ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਲਈ, ਬਰਾਬਰ ਵਾਧਿਆਂ ਦੌਰਾਨ, ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਸਥਿਰ ਗੁਣਾਤਮਕ ਦਰ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਇਨਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਾ ਵਾਧਾ ਹੋਣ 'ਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਸੀ। ਰੇਖੀ ਵਾਧੇ ਲਈ, ਬਰਾਬਰ ਵਾਧਿਆਂ ਦੌਰਾਨ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਸਥਿਰ ਜੋੜੀ ਦਰ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਇਨਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਾ ਵਾਧਾ ਹੋਣ 'ਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵਿੱਚ 2 ਦਾ ਵਾਧਾ ਹੁੰਦਾ ਸੀ।
5. ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ f(x)=a b x ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a ਕੋਈ ਵੀ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, b ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
6. ਜੇਕਰ b>1, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਪਣੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ।
7. ਜੇਕਰ 0<b<1, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਪਣੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਦਰ ਨਾਲ ਘਟਦਾ ਹੈ।
8. ਆਓ ਆਪਣੇ ਉਦਾਹਰਨ ਤੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 2 x ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ। ਅਸੀਂ -3 ਤੋਂ 3 ਤੱਕ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਸੰਗਤ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਤਬੀਲ (ਤਬੀਲ 2) ਬਣਾਵਾਂਗੇ।
9. ਕਤਾਰ: x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3
10. ਕਤਾਰ: f(x)= 2 x | 2 −3 = 1/8 | 2 −2 = 1/4 | 2 −1 = 1/2 | 2 0 =1 | 2 1 =2 | 2 2 =4 | 2 3 =8
11. ਆਓ ਅਸੀਂ ਤਬੀਲ ਵਿੱਚ ਦੇਖੇ ਗਏ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਿਆਂ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਕੁਝ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੀਏ।
12. ਆਓ ਅਸੀਂ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 2 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੀਏ ਅਤੇ ਇਸਦੀਆਂ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਉਜਾਗਰ ਕਰੀਏ।
13. ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ) ਹੈ,
14. ਰੇਂਜ ( 0,∞ ) ਹੈ,
15. ਜਿਵੇਂ x→∞, f(x)→∞,
16. ਜਿਵੇਂ x→−∞, f(x)→0,
17. f(x) ਹਮੇਸ਼ਾ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ,
18. f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕਦੇ ਨਹੀਂ ਛੂਹੇਗਾ ਕਿਉਂਕਿ ਦੋ ਦੇ ਅਧਾਰ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ ਨਾਲ ਕਦੇ ਵੀ ਜ਼ੀਰੋ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦਾ।
19. y=0 ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹੈ।
20. y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ 1 ਹੈ।
21. ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ
22. ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ x ਲਈ, ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਸ ਰੂਪ ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
23. ਜਿੱਥੇ
24. a ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ
1. b b ਕੋਈ ਵੀ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ b≠1। b≠1।
2. f f ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੈ।
3. ਜੇਕਰ a>0, ਤਾਂ f f ਦਾ ਪਰਿਸਰ ਸਾਰੀਆਂ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੈ।
4. ਜੇਕਰ a<0, ਤਾਂ f f ਦਾ ਪਰਿਸਰ ਸਾਰੀਆਂ ਰਿਣ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੈ।
5. y-ਅੰਤਰਖੰਡ ( 0,a ) ਹੈ, ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਟੋਟ y=0 ਹੈ।
6. ਉਦਾਹਰਨ 1
7. ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
8. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਿਹੜੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਫਲਨਾਂ ਨਹੀਂ ਹਨ?
9. f(x)= 4 3( x−2 )
10. g(x)= x 3
11. h(x)= ( 1 3 ) x
12. j(x)= ( −2 ) x
13. ਹੱਲ
14. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਕ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਫਲਨ ਦਾ ਆਧਾਰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਘਾਤ ਇੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਚਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, g(x)= x 3 ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਫਲਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਆਧਾਰ ਇੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਚਲ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, g(x)= x 3 ਇੱਕ ਘਾਤ ਫਲਨ ਹੈ।
15. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਫਲਨ ਦਾ ਆਧਾਰ b ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਧਨ ਸਥਿਰ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ b≠1। ਇਸ ਲਈ, j(x)= ( −2 ) x ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਫਲਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਆਧਾਰ, −2, 0 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ।
16. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
17. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਿਹੜੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ?
18. f(x)=2 x 2 −3x+1
19. g(x)= 0.875 x
20. h(x)=1.75x+2
21. j(x)= 1095.6 −2x
22. ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ
23. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਫਲਨ ਦਾ ਆਧਾਰ 1 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਇੱਕ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਆਧਾਰ b ਨੂੰ ਧਨ ਮੁੱਲਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਿਉਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ? ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਨਤੀਜੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੋਣ। ਦੇਖੋ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਆਧਾਰ ਧਨ ਨਾ ਹੋਵੇ:
24. ਮੰਨ ਲਓ b=−9 ਅਤੇ x= 1 2 । ਤਾਂ f(x)=f( 1 2 )= ( −9 ) 1 2 = −9 , ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਬੇਸ ਨੂੰ 1 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਿਉਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ? 1? ਕਿਉਂਕਿ ਬੇਸ 1 1 ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਦੇਖੋ ਕਿ ਜੇ ਬੇਸ 1 ਹੈ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: 1:
ਮੰਨ ਲਓ b=1. b=1. ਫਿਰ ਕਿਸੇ ਵੀ x ਦੇ ਮੁੱਲ ਲਈ f(x)= 1 x =1 f(x)= 1 x =1 ਹੋਵੇਗਾ। x.
f(x)= b x , f(x)= b x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ x x ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਣ ਵਾਲੀ ਸ਼ਕਤੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ:
ਮੰਨ ਲਓ f(x)= 2 x . f(x)= 2 x . f(3) ਕੀ ਹੈ? f(3)?
ਬੁਨਿਆਦੀ ਰੂਪ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ:
ਮੰਨ ਲਓ f(x)=30 ( 2 ) x . f(x)=30 ( 2 ) x . f(3) ਕੀ ਹੈ? f(3)?
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜੇ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਨਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੁੰਦੀ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਗਲਤ ਹੁੰਦਾ:
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਮੰਨ ਲਓ f( x )=5 ( 3 ) x+1 . f( x )=5 ( 3 ) x+1 . ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ f( 2 ) f( 2 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ। ਬਰੈਕਟਾਂ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦੇਣਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਮੰਨ ਲਓ f( x )=8 ( 1.2 ) x−5 . f( x )=8 ( 1.2 ) x−5 . ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f( 3 ) f( 3 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ
ਕਿਉਂਕਿ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਬਹੁਤ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, "ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ" ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਆਮ ਬੋਲਚਾਲ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਚੀਜ਼ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜੋ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਅਰਥਾਂ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਮੌਜੂਦ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਮੌਜੂਦ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x x ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ a a ਅਤੇ b b ਲਈ ਜਿੱਥੇ b≠1, b≠1, ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
a a ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਜਾਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਹੈ।
b b ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ x x ਲਈ ਵਾਧਾ ਗੁਣਕ ਜਾਂ ਵਾਧਾ ਗੁਣਕ ਹੈ।
ਹੋਰ ਆਮ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਬੇਸ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਰੇਖੀ ਅਤੇ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਕਰਨ ਲਈ, ਆਓ ਦੋ ਕੰਪਨੀਆਂ, A ਅਤੇ B 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ। ਕੰਪਨੀ A ਕੋਲ 100 ਸਟੋਰ ਹਨ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 50 ਨਵੇਂ ਸਟੋਰ ਖੋਲ੍ਹ ਕੇ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ A( x )=100+50x ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। A( x )=100+50x. ਕੰਪਨੀ B ਕੋਲ 100 ਸਟੋਰ ਹਨ ਅਤੇ ਹਰ ਸਾਲ 50% ਦੁਆਰਾ ਸਟੋਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧਾ ਕੇ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ B(x)=100 ( 1+0.5 ) x ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। B(x)=100 ( 1+0.5 ) x .
ਇਹਨਾਂ ਕੰਪਨੀਆਂ ਲਈ ਕੁਝ ਸਾਲਾਂ ਦਾ ਵਾਧਾ ਸਾਰਣੀ 3 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸਾਲ, x x | ਸਟੋਰ, ਕੰਪਨੀ A | ਸਟੋਰ, ਕੰਪਨੀ B
row: 0 0 | 100+50( 0 )=100 100+50( 0 )=100 | 100 ( 1+0.5 ) 0 =100 100 ( 1+0.5 ) 0 =100
row: 1 1 | 100+50( 1 )=150 100+50( 1 )=150 | 100 ( 1+0.5 ) 1 =150 100 ( 1+0.5 ) 1 =150
row: 2 2 | 100+50( 2 )=200 100+50( 2 )=200 | 100 ( 1+0.5 ) 2 =225 100 ( 1+0.5 ) 2 =225
row: 3 3 | 100+50( 3 )=250 100+50( 3 )=250 | 100 ( 1+0.5 ) 3 =337.5 100 ( 1+0.5 ) 3 =337.5
row: x x | A( x )=100+50x A( x )=100+50x | B(x)=100 ( 1+0.5 ) x B(x)=100 ( 1+0.5 ) x
The graphs comparing the number of stores for each company over a five-year period are shown in Figure 2. We can see that, with exponential growth, the number of stores increases much more rapidly than with linear growth.
Figure 2: The graph shows the numbers of stores Companies A and B opened over a five-year period.
Notice that the domain for both functions is [0,∞), [0,∞), and the range for both functions is [100,∞). [100,∞). After year 1, Company B always has more stores than Company A.
Now we will turn our attention to the function representing the number of stores for Company B, B(x)=100 ( 1+0.5 ) x . B(x)=100 ( 1+0.5 ) x . In this exponential function, 100 represents the initial number of stores, 0.50 represents the growth rate, and 1+0.5=1.5 1+0.5=1.5 represents the growth factor. Generalizing further, we can write this function as B(x)=100 ( 1.5 ) x , B(x)=100 ( 1.5 ) x , where 100 is the initial value, 1.5 1.5 is called the base, and x x is called the exponent.
Example 3
Evaluating a Real-World Exponential Model
At the beginning of this section, we learned that the population of India was about 1.25 1.25 billion in the year 2013, with an annual growth rate of about 1.2%. 1.2%. This situation is represented by the growth function P(t)=1.25 ( 1.012 ) t , P(t)=1.25 ( 1.012 ) t , where t t is the number of years since 2013. 2013. To the nearest thousandth, what will the population of India be in 2031? 2031?
Solution
To estimate the population in 2031, we evaluate the models for t=18, t=18, because 2031 is 18 18 years after 2013. Rounding to the nearest thousandth,
There will be about 1.549 billion people in India in the year 2031.
Try It #3
The population of China was about 1.39 billion in the year 2013, with an annual growth rate of about 0.6%. 0.6%. This situation is represented by the growth function P(t)=1.39 ( 1.006 ) t , P(t)=1.39 ( 1.006 ) t , where t t is the number of years since 2013. 2013. To the nearest thousandth, what will the population of China be for the year 2031? How does this compare to the population prediction we made for India in Example 3?
Finding Equations of Exponential Functions
In the previous examples, we were given an exponential function, which we then evaluated for a given input. Sometimes we are given information about an exponential function without knowing the function explicitly. We must use the information to first write the form of the function, then determine the constants a a and b, b, and evaluate the function.
How To
Given two data points, write an exponential model.
If one of the data points has the form ( 0,a ), ( 0,a ), then a a is the initial value. Using a, a, substitute the second point into the equation f(x)=a ( b ) x , f(x)=a ( b ) x , and solve for b. b.
If neither of the data points have the form ( 0,a ), ( 0,a ), substitute both points into two equations with the form f(x)=a ( b ) x . f(x)=a ( b ) x . Solve the resulting system of two equations in two unknowns to find a a and b. b.
Using the a a and b b found in the steps above, write the exponential function in the form f(x)=a ( b ) x . f(x)=a ( b ) x .
4. ਉਦਾਹਰਨ 4
2. ਜਦੋਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ ਲਿਖਣਾ
3. 2006 ਵਿੱਚ, 80 ਹਿਰਨ ਇੱਕ ਜੰਗਲੀ ਜੀਵ ਆਸਰੇ ਵਿੱਚ ਛੱਡੇ ਗਏ। 2012 ਤੱਕ, ਆਬਾਦੀ ਵਧ ਕੇ 180 ਹਿਰਨ ਹੋ ਗਈ ਸੀ। ਆਬਾਦੀ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਧ ਰਹੀ ਸੀ। ਸਮਾਂ t ਉੱਤੇ ਹਿਰਨਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ (N) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ N(t) ਲਿਖੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ t ਨੂੰ 2006 ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ-ਆਉਟਪੁਟ ਜੋੜਿਆਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: (0, 80) ਅਤੇ (6, 180)। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਇਨਪੁਟ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ 2006 ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਸਾਲਾਂ ਵਜੋਂ ਮਾਪ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ, a=80, ਦਿੱਤਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ b ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ N(t)=80 b^t ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
6. ਨੋਟ: ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਗੋਲ ਨਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ ਲਈ ਅੰਤਿਮ ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਚਾਰ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
7. ਹਿਰਨਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਲਈ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ N(t)=80 (1.1447)^t ਹੈ। (ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇਹ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਥੋੜ੍ਹੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਵੱਡੇ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਆਉਟਪੁਟ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਵੇਗਾ, ਇਸ ਲਈ ਇੰਨਾ ਵੱਡਾ ਕਿ ਮਾਡਲ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਉਪਯੋਗੀ ਨਾ ਹੋਵੇ।)
8. ਅਸੀਂ ਆਸਰੇ ਵਿੱਚ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਹਿਰਨਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਵੇਖਣ ਲਈ ਆਪਣੇ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂਆਂ, (0,80) ਅਤੇ (6,180) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਡੋਮੇਨ [0,∞) ਹੈ, ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਰੇਂਜ [80,∞) ਹੈ।
9. ਚਿੱਤਰ 3: ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਹਿਰਨਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਗ੍ਰਾਫ, N(t)=80 (1.1447)^t, 2006 ਤੋਂ ਬਾਅਦ t ਸਾਲ
10. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
11. ਬਘਿਆੜਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਧ ਰਹੀ ਹੈ। 2011 ਵਿੱਚ, 129 ਬਘਿਆੜ ਗਿਣੇ ਗਏ। 2013 ਤੱਕ, ਆਬਾਦੀ 236 ਬਘਿਆੜਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਗਈ ਸੀ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹੜੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ? ਸਮਾਂ t ਉੱਤੇ ਬਘਿਆੜਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ N ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
12. ਉਦਾਹਰਨ 5
13. ਜਦੋਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਨਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ ਲਿਖਣਾ
14. ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (−2,6) ਅਤੇ (2,1) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
15. ਹੱਲ
16. ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਸੀਂ f(x)=a b^x ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਦੋਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ a ਅਤੇ b ਲਈ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
17. (−2,6) ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ 6=a b^{-2} ਮਿਲਦਾ ਹੈ
18. (2,1) ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ 1=a b^2 ਮਿਲਦਾ ਹੈ
19. b ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ a ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
20. ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ a ਨੂੰ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ b ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ:
21. a ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ b ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
22. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ f(x)=2.4492 (0.6389)^x ਹੈ।
23. ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ ਆਪਣੇ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂਆਂ, (−2,6) ਅਤੇ (2,1) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਘਾਤੀ ਕਮਜ਼ੋਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ।
24. ਚਿੱਤਰ 4: f(x)=2.4492 (0.6389)^x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਘਾਤੀ ਕਮਜ਼ੋਰੀ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
1. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
2. ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (1,3) ਅਤੇ (2,4.5) ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ, ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
Q&A
3. ਕੀ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਨ?
4. ਹਾਂ, ਬਸ਼ਰਤੇ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਬਿੰਦੂ ਜਾਂ ਤਾਂ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਹੋਣ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਹੋਣ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ x-ਸੰਯੋਜਕ ਵੱਖਰੇ ਹੋਣ। ਪਰ ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਵੀ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼, ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਹਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਜੋ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਮਾਡਲ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਹੈ ਜੋ x ਦੇ ਹਰੇਕ ਇਕਾਈ ਵਾਧੇ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਾਧਾ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਸਲ-ਵਿਸ਼ਵ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
5. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
6. ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ, ਇਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
7. ਪਹਿਲਾਂ, ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਜਦੋਂ ਵੀ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ, ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਜੋਂ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਚੁਣੋ। ਗੋਲ-ਆਫ ਗਲਤੀ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਲਈ ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ ਦੂਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਚੁਣਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ।
8. ਜੇਕਰ ਡਾਟਾ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,a) ਹੈ, ਤਾਂ a ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਹੈ। a ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ f(x)=a(b)^x ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ b ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
9. ਜੇਕਰ ਡਾਟਾ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ (0,a) ਰੂਪ ਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੋਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ f(x)=a(b)^x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। a ਅਤੇ b ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋ ਅਣਜਾਣਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਨਤੀਜੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
10. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ, f(x)=a(b)^x ਲਿਖੋ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 6
12. ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਲਿਖਣਾ
13. ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
14. ਹੱਲ
15. ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ, (0,3), ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਪਹਿਲੇ ਬਿੰਦੂ ਵਜੋਂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ, a=3 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ, (0,3) ਤੋਂ ਕੁਝ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣੋ ਜਿਸਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਸੰਯੋਜਕ ਹੋਣ। ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (2,12) ਹੈ।
16. ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ b ਦੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ b=2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ a ਅਤੇ b ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਸਮੀਕਰਨ f(x)=3(2)^x ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।
17. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
18. ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
19. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
20. ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਕਰ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ, ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
Press [STAT].
21. ਕਾਲਮ L1 ਜਾਂ L2 ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੌਜੂਦਾ ਐਂਟਰੀਆਂ ਨੂੰ ਸਾਫ਼ ਕਰੋ।
22. L1 ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ x-ਸੰਯੋਜਕ ਦਰਜ ਕਰੋ।
23. L2 ਵਿੱਚ, ਸੰਬੰਧਿਤ y-ਸੰਯੋਜਕ ਦਰਜ ਕਰੋ।
24. [STAT] ਦੁਬਾਰਾ ਦਬਾਓ। CALC ਵੱਲ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਕੁਰਸਰ ਕਰੋ, ExpReg (Exponential Regression) ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਸਕ੍ਰੋਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ [ENTER] ਦਬਾਓ।
ਸਕਰੀਨ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y=a⋅ b x ਦੇ 'a' ਅਤੇ 'b' ਦੇ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (2,24.8) ਅਤੇ (5,198.4) ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਉਪਰੋਕਤ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ। ਪਹਿਲਾਂ [STAT], [EDIT], [1: Edit…] ਦਬਾਓ, ਅਤੇ ਸੂਚੀਆਂ L1 ਅਤੇ L2 ਨੂੰ ਸਾਫ਼ ਕਰੋ। ਅੱਗੇ, L1 ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ, x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ, 2 ਅਤੇ 5 ਦਰਜ ਕਰੋ। L2 ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ, 24.8 ਅਤੇ 198.4 ਲਈ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਕਰੋ।
ਹੁਣ [STAT], [CALC], [0: ExpReg] ਦਬਾਓ ਅਤੇ [ENTER] ਦਬਾਓ। a=6.2 ਅਤੇ b=2 ਦੇ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾਣਗੇ। ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y=6.2⋅ 2 x ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (3, 75.98) ਅਤੇ (6, 481.07) ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਚੱਕਰਵ੍ਰਿਤੀ-ਵਿਆਜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
ਬੱਚਤ ਸਾਧਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਕਮਾਈਆਂ ਲਗਾਤਾਰ ਮੁੜ-ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਮਿਉਚੁਅਲ ਫੰਡ ਅਤੇ ਰਿਟਾਇਰਮੈਂਟ ਖਾਤੇ, ਚੱਕਰਵ੍ਰਿਤੀ-ਵਿਆਜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਚੱਕਰਵ੍ਰਿਤੀ ਸ਼ਬਦ ਨਾ ਸਿਰਫ਼ ਮੂਲ ਮੁੱਲ 'ਤੇ, ਸਗੋਂ ਖਾਤੇ ਦੇ ਜਮ੍ਹਾਂ ਹੋਏ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਵੀ ਕਮਾਏ ਗਏ ਵਿਆਜ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਖਾਤੇ ਦੀ ਸਾਲਾਨਾ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦਰ (APR), ਜਿਸਨੂੰ ਨਾਮਾਤਰ ਦਰ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਨਿਵੇਸ਼ ਖਾਤੇ ਦੁਆਰਾ ਕਮਾਈ ਗਈ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ ਹੈ। ਨਾਮਾਤਰ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਦੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਚੱਕਰਵ੍ਰਿਤੀ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਾਰ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਵਾਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ ਵਿਆਜ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਚੱਕਰਵ੍ਰਿਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਭਾਵੀ ਵਿਆਜ ਦਰ ਨਾਮਾਤਰ ਦਰ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ! ਇਹ ਨਿਵੇਸ਼ ਲਈ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਸਾਧਨ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਚੱਕਰਵ੍ਰਿਤੀ-ਵਿਆਜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਚੱਕਰਵ੍ਰਿਤੀ-ਵਿਆਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਵੇਰੀਏਬਲ ਸਮਾਂ t, ਮੂਲ P, APR r, ਅਤੇ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਚੱਕਰਵ੍ਰਿਤੀ ਦੀਆਂ ਮਿਆਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ n ਦਾ ਇੱਕ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ:
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਾਰਣੀ 4 ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ $1,000 ਨੂੰ 10% 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਾਲ ਲਈ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਚੱਕਰਵ੍ਰਿਤੀ ਦੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਵਧਣ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਵਧਦਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ | 1 ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਮੁੱਲ
ਸਤਰ: ਸਾਲਾਨਾ | $1100
ਸਤਰ: ਅਰਧ-ਸਾਲਾਨਾ | $1102.50
ਸਤਰ: ਤਿਮਾਹੀ | $1103.81
ਸਤਰ: ਮਾਸਿਕ | $1104.71
ਸਤਰ: ਰੋਜ਼ਾਨਾ | $1105.16
ਚੱਕਰਵ੍ਰਿਤੀ-ਵਿਆਜ ਫਾਰਮੂਲਾ
ਚੱਕਰਵ੍ਰਿਤੀ-ਵਿਆਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
A(t) ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੈ,
ਸਮਾਂ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ,
P P ਖਾਤੇ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਰਕਮ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਕਸਰ ਮੂਲਧਨ, ਜਾਂ ਹੋਰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮੌਜੂਦਾ ਮੁੱਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ,
r r ਸਲਾਨਾ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦਰ (APR) ਹੈ ਜੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਅਤੇ
n n ਇੱਕ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਅਵਧੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਵਿਆਜ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 3% ਵਿਆਜ ਵਾਲੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ $3,000 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਤਿਮਾਹੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ 10 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕਿੰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ?
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ $3,000 ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, P=3000। P=3000। ਸਾਡੀ ਵਿਆਜ ਦਰ 3% ਹੈ, ਇਸ ਲਈ r=0.03। r=0.03। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਤਿਮਾਹੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਸਾਲ ਵਿੱਚ 4 ਵਾਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ n=4। n=4। ਅਸੀਂ 10 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ A(10), A(10), ਉਹ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ t=10। t=10।
ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ 10 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ $4,045.05 ਹੋਵੇਗਾ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
12% ਵਿਆਜ 'ਤੇ $100,000 ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਨਿਵੇਸ਼ ਹਫਤਾਵਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਸਾਲ ਵਿੱਚ 52 ਹਫਤੇ ਵਰਤੋ)। 30 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਸ਼ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ?
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਮੂਲਧਨ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਵਿਆਜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
529 ਯੋਜਨਾ ਇੱਕ ਕਾਲਜ-ਸੇਵਿੰਗ ਯੋਜਨਾ ਹੈ ਜੋ ਰਿਸ਼ਤੇਦਾਰਾਂ ਨੂੰ ਬੱਚੇ ਦੀ ਭਵਿੱਖੀ ਕਾਲਜ ਦੀ ਫੀਸ ਦਾ ਭੁਗਤਾਨ ਕਰਨ ਲਈ ਪੈਸੇ ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ; ਖਾਤਾ ਟੈਕਸ-ਮੁਕਤ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਲਿਲੀ ਆਪਣੀ ਨਵੀਂ ਪੋਤੀ ਲਈ 529 ਖਾਤਾ ਸਥਾਪਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਖਾਤਾ 18 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ $40,000 ਤੱਕ ਵਧੇ। ਉਸਨੂੰ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਹੈ ਕਿ ਖਾਤਾ ਅਰਧ-ਸਲਾਨਾ (ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵਾਰ) ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਹੋਣ 'ਤੇ 6% ਕਮਾਏਗਾ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਡਾਲਰ ਤੱਕ, ਲਿਲੀ ਨੂੰ ਹੁਣ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ?
ਹੱਲ
ਨਾਮਾਤਰ ਵਿਆਜ ਦਰ 6% ਹੈ, ਇਸ ਲਈ r=0.06। r=0.06। ਵਿਆਜ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵਾਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ n=2। n=2।
ਅਸੀਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਨਿਵੇਸ਼, P, P, ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ 18 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ $40,000 ਹੋਵੇ। ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਵਿਆਜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ P ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। P।
18 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ $40,000 ਹੋਣ ਲਈ ਲਿਲੀ ਨੂੰ $13,801 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9
ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿਓ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਡਾਲਰ ਤੱਕ, ਲਿਲੀ ਨੂੰ ਕਿੰਨਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ ਜੇਕਰ ਖਾਤਾ ਤਿਮਾਹੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
ਬੇਸ e ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਖਾਤੇ 'ਤੇ ਕਮਾਈ ਗਈ ਰਕਮ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਵਧਣ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਸਾਰਣੀ 5 ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਲਾਨਾ ਤੋਂ ਅਰਧ-ਸਲਾਨਾ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਤੱਕ ਵਾਧਾ ਮਾਸਿਕ ਤੋਂ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਤੱਕ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨਾਲੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਪੁੱਛਣ ਲਈ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਇਹ ਪੈਟਰਨ ਜਾਰੀ ਰਹੇਗਾ।
ਸਾਰਣੀ 5 ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾਵਾਂ 'ਤੇ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਹੋਣ ਵਾਲੇ 1 ਸਾਲ ਲਈ 100% ਵਿਆਜ 'ਤੇ $1 ਦੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਤੀ ਕਤਾਰ: ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ | A(n)= ( 1+ 1 n ) n A(n)= ( 1+ 1 n ) n | ਮੁੱਲ
ਸਾਲਾਨਾ | ( 1+ 1 1 ) 1 ( 1+ 1 1 ) 1 | $2
ਅਰਧ-ਸਾਲਾਨਾ | ( 1+ 1 2 ) 2 ( 1+ 1 2 ) 2 | $2.25
ਤਿਮਾਹੀ | ( 1+ 1 4 ) 4 ( 1+ 1 4 ) 4 | $2.441406
ਮਾਸਿਕ | ( 1+ 1 12 ) 12 ( 1+ 1 12 ) 12 | $2.613035
ਰੋਜ਼ਾਨਾ | ( 1+ 1 365 ) 365 ( 1+ 1 365 ) 365 | $2.714567
ਘੰਟੇਵਾਰ | ( 1+ 1 8760 ) 8760 ( 1+ 1 8760 ) 8760 | $2.718127
ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਇੱਕ ਵਾਰ | ( 1+ 1 525600 ) 525600 ( 1+ 1 525600 ) 525600 | $2.718279
ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਇੱਕ ਵਾਰ | ( 1+131536000 ) 31536000 ( 1+131536000 ) 31536000 | $2.718282
ਇਹ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ n n ਬੇਅੰਤ ਵੱਧਦਾ ਹੈ। ਵਾਸਤਵ ਵਿੱਚ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ n n ਵੱਡਾ ਅਤੇ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨ ( 1+ 1 n ) n ( 1+ 1 n ) n ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ਜੋ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਇੰਨੀ ਵਾਰ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦਾ ਆਪਣਾ ਨਾਮ ਹੈ: ਅੱਖਰ e। e। ਇਸ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦਾ ਦਸ਼ਮਲਵ ਵਿਸਥਾਰ ਬਿਨਾਂ ਦੁਹਰਾਏ ਹਮੇਸ਼ਾ ਲਈ ਚਲਦਾ ਹੈ। ਛੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਇਸਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਹੇਠਾਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਅੰਕ e e
ਅੱਖਰ e ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ
ਅੱਖਰ e ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਘਾਤ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਲਈ ਅਧਾਰ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਧਾਰ e ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, e≈2.718282। e≈2.718282। ਇਹ ਸਥਿਰਾਂਕ ਸਵਿਸ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਲਿਓਨਹਾਰਡ ਯੂਲਰ (1707–1783) ਦੁਆਰਾ ਨਾਮ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸੀ ਜਿਸਨੇ ਪਹਿਲਾਂ ਇਸਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਅਤੇ ਖੋਜ ਕੀਤੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
e ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
e 3.14 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। e 3.14। ਪੰਜ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ, [ e x ] ਲੇਬਲ ਵਾਲਾ ਬਟਨ ਦਬਾਓ। [ e x ]। ਵਿੰਡੋ [ e^( ] ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ। [ e^( ]। 3.14 3.14 ਟਾਈਪ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਬਰੈਕਟ ਬੰਦ ਕਰੋ, [ ) ]। [ ) ]। [ENTER] ਦਬਾਓ। 5 5 ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, e 3.14 ≈23.10387। e 3.14 ≈23.10387। ਸਾਵਧਾਨੀ: ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਵਿਗਿਆਨਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ "Exp" ਬਟਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦਾਖਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ e ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਹੀਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। e।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #10
e −0.5 ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। e −0.5। ਪੰਜ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧੇ ਦੀ ਜਾਂਚ
ਹੁਣ ਤੱਕ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਪਰਿਮੇਯ ਅਧਾਰਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਲਈ, e ਨੂੰ ਘਾਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਅਧਾਰ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। e ਨੂੰ ਅਧਾਰ ਵਜੋਂ ਵਰਤਣ ਵਾਲੇ ਘਾਤ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧਾ ਜਾਂ ਕਮੀ ਮਾਡਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਮਾਡਲਾਂ ਨੂੰ ਵਿੱਤ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ, ਅਤੇ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਵਿਗਿਆਨਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ, ਜ਼ਹਿਰੀਲੇਪਣ, ਅਤੇ ਤਰਲ ਗਤੀਸ਼ੀਲਤਾ ਵਿੱਚ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧਾ/ਕਮੀ ਫਾਰਮੂਲਾ
ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ t, t, ਅਤੇ ਸਾਰੇ ਧਨ ਨੰਬਰਾਂ a a ਅਤੇ r, r ਲਈ, ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧਾ ਜਾਂ ਕਮੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
a a ਆਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲ ਹੈ,
r r ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਸਮੇਂ ਲਈ ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧਾ ਦਰ ਹੈ,
ਅਤੇ t t ਬੀਤਿਆ ਹੋਇਆ ਸਮਾਂ ਹੈ।
ਜੇ r>0 r>0 , ਤਾਂ ਫਾਰਮੂਲਾ ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ r<0 r<0 , ਤਾਂ ਫਾਰਮੂਲਾ ਨਿਰੰਤਰ ਹਾਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਕਾਰੋਬਾਰੀ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਲਈ, ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧੇ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਯੋਜਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
P P ਮੁੱਖ ਜਾਂ ਆਰੰਭਿਕ ਨਿਵੇਸ਼ ਹੈ,
r r ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਸਮੇਂ ਲਈ ਵਾਧਾ ਜਾਂ ਵਿਆਜ ਦਰ ਹੈ,
ਅਤੇ t t ਨਿਵੇਸ਼ ਦੀ ਮਿਆਦ ਜਾਂ ਅਰਸਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਆਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲ, ਵਾਧੇ ਜਾਂ ਹਾਸ ਦੀ ਦਰ, ਅਤੇ ਸਮੇਂ t, t, ਨਾਲ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧੇ ਜਾਂ ਹਾਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲ, a a , ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ r. r. ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇ ਸਮੱਸਿਆ ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧੇ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ r>0. r>0. ਜੇ ਸਮੱਸਿਆ ਨਿਰੰਤਰ ਹਾਸ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ r<0. r<0.
ਸਮੇਂ t. t. ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧੇ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ ਅਤੇ A(t). A(t). ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧੇ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਨੇ ਨਿਰੰਤਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਯੋਜਿਤ 10% ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਦੇ ਨਾਮਾਤਰ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ $1,000 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤਾ। ਇੱਕ ਸਾਲ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਸੀ?
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਇਹ r=0.10. r=0.10. ਦੀ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਯੋਜਨ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ। ਆਰੰਭਿਕ ਨਿਵੇਸ਼ $1,000 ਸੀ, ਇਸ ਲਈ P=1000. P=1000. ਅਸੀਂ t=1 t=1 ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਯੋਜਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇੱਕ ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ $1,105.17 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #11
ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ $100,000 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ 12% ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਦੇ ਨਾਮਾਤਰ ਵਿਆਜ ਦਰ 'ਤੇ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਯੋਜਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 30 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਸ਼ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ?
1. ਉਦਾਹਰਨ 12
2. ਨਿਰੰਤਰ ਘਾਟ ਦੀ ਗਣਨਾ
3. ਰੇਡਾਨ-222 ਰੋਜ਼ਾਨਾ 17.3% ਦੀ ਨਿਰੰਤਰ ਦਰ ਨਾਲ ਘਟਦਾ ਹੈ। 100 ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਰੇਡਾਨ-222 3 ਦਿਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਘੱਟ ਜਾਵੇਗਾ?
4. ਹੱਲ
5. ਕਿਉਂਕਿ ਪਦਾਰਥ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਦਰ, 17.3%, ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, r=−0.173। ਰੇਡਾਨ-222 ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮਾਤਰਾ 100 ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਸੀ, ਇਸ ਲਈ a=100। ਅਸੀਂ t=3 ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਰੰਤਰ ਘਾਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
6. ਇਸ ਲਈ 59.5115 ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਰੇਡਾਨ-222 ਬਚੇਗਾ।
7. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #12
8. ਉਦਾਹਰਨ 12 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਕਿੰਨਾ ਰੇਡਾਨ-222 ਬਚੇਗਾ?
9. ਮੀਡੀਆ
10. ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
11. ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ ਫੰਕਸ਼ਨ
12. ਚੱਕਰਵਰਤੀ ਵਿਆਜ
13. ਜ਼ੁਬਾਨੀ
14. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਇੱਕ ਵਧ ਰਹੇ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਆਖਰਕਾਰ ਇੱਕ ਵਧ ਰਹੇ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਕਿਉਂ ਪਛਾੜ ਦੇਣਗੇ।
15. ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਕੀ ਸਿਰਫ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਧਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘਟਦਾ ਹੈ? ਸਮਝਾਓ।
16. ਆਕਸਫੋਰਡ ਡਿਕਸ਼ਨਰੀ ਸ਼ਬਦ ਨਾਮਾਤਰ ਨੂੰ "ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਜਾਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਪਰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਕਿ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਬਿਲਕੁਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੋਵੇ" ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ।3 ਇੱਕ ਨਿਵੇਸ਼ ਖਾਤੇ ਦੀ ਸਾਲਾਨਾ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਨਾਮਾਤਰ ਦਰ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਉਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਵਾਜਬ ਦਲੀਲ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰੋ ਜੋ ਵਿਆਜ ਨੂੰ ਚੱਕਰਵਰਤੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।
17. ਅਲਜਬਰਾ
18. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਕਥਨ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਮਝਾਓ।
19. ਬਘਿਆੜਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਝੁੰਡ ਦੀ ਔਸਤ ਸਾਲਾਨਾ ਆਬਾਦੀ ਵਾਧਾ 25 ਹੈ।
20. ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਇੱਕ ਆਬਾਦੀ ਹਰ 24 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ 1/8 ਦੇ ਕਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਘਟਦੀ ਹੈ।
21. ਸਿੱਕਿਆਂ ਦੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਿਛਲੇ 20 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਲਾਨਾ 3.25% ਵਧਿਆ ਹੈ।
22. ਹਰੇਕ ਸਿਖਲਾਈ ਸੈਸ਼ਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਨਿੱਜੀ ਟ੍ਰੇਨਰ ਆਪਣੇ ਗਾਹਕਾਂ ਤੋਂ ਪਿਛਲੇ ਸਿਖਲਾਈ ਸੈਸ਼ਨ ਨਾਲੋਂ $5 ਘੱਟ ਚਾਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ।
23. ਸਮਾਂ t 'ਤੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਦੀ ਉਚਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨ h(t)=−4.9 t 2 +18t+40 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ।
24. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ: ਹਰੇਕ ਸਾਲ t ਲਈ, ਦਰਖਤਾਂ ਦੇ ਜੰਗਲ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ A(t)=115 (1.025) t ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ। ਇੱਕ ਗੁਆਂਢੀ ਜੰਗਲ ਵਿੱਚ, ਉਸੇ ਕਿਸਮ ਦੇ ਦਰਖਤ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ B(t)=82 (1.029) t ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ। (ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
1. ਕਿਹੜੇ ਜੰਗਲ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵੱਧ ਰਹੀ ਹੈ?
2. ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਕਿਹੜੇ ਜੰਗਲ ਵਿੱਚ ਦਰੱਖਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧੇਰੇ ਸੀ? ਕਿੰਨੇ ਨਾਲ?
3. ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਮਾਡਲ ਜੰਗਲਾਂ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਰਹਿਣਗੇ, 2020 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਕਿਹੜੇ ਜੰਗਲ ਵਿੱਚ ਦਰੱਖਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧੇਰੇ ਹੋਵੇਗੀ? ਕਿੰਨੇ ਨਾਲ?
4. ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਮਾਡਲ ਜੰਗਲਾਂ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਰਹਿਣਗੇ, 100 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਕਿਹੜੇ ਜੰਗਲ ਵਿੱਚ ਦਰੱਖਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧੇਰੇ ਹੋਵੇਗੀ? ਕਿੰਨੇ ਨਾਲ?
5. ਪਿਛਲੀਆਂ ਚਾਰ ਕਸਰਤਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰੋ। ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਮਾਡਲ ਜੰਗਲਾਂ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਰਹਿਣਗੇ, ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਕਿਹੜੇ ਜੰਗਲ ਵਿੱਚ ਦਰੱਖਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧੇਰੇ ਹੋਵੇਗੀ? ਕਿਉਂ? ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਮਾਡਲ ਦੀ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਵੈਧਤਾ ਨੂੰ ਕਿਹੜੇ ਕਾਰਕ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ?
6. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ, ਘਾਤੀ ਕਮੀ, ਜਾਂ ਕੋਈ ਵੀ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
7. y=300 (1−t)5
8. y=220 (1.06)x
9. y=16.5 (1.025)1/x
10. y=11,701 (0.97)t
11. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
12. (0,6) ਅਤੇ (3,750)
13. (0,2000) ਅਤੇ (2,20)
14. (−1, 3/2) ਅਤੇ (3,24)
15. (−2,6) ਅਤੇ (3,1)
16. (3,1) ਅਤੇ (5,4)
17. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਟੇਬਲ ਇੱਕ ਰੇਖੀ, ਘਾਤੀ, ਜਾਂ ਕੋਈ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਰਸਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਘਾਤੀ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
18. x | 1 | 2 | 3 | 4
19. f(x) | 70 | 40 | 10 | -20
20. x | 1 | 2 | 3 | 4
21. h(x) | 70 | 49 | 34.3 | 24.01
22. x | 1 | 2 | 3 | 4
23. m(x) | 80 | 61 | 42.9 | 25.61
24. x | 1 | 2 | 3 | 4
row: f(x) f(x) | 10 | 20 | 40 | 80
row: x x | 1 | 2 | 3 | 4
row: g(x) g(x) | -3.25 | 2 | 7.25 | 12.5
For the following exercises, use the compound interest formula, A(t)=P ( 1+ r n ) nt . A(t)=P ( 1+ r n ) nt .
After a certain number of years, the value of an investment account is represented by the equation A= 10,250 ( 1+ 0.04 12 ) 120 . A= 10,250 ( 1+ 0.04 12 ) 120 . What is the value of the account?
What was the initial deposit made to the account in the previous exercise?
How many years had the account from the previous exercise been accumulating interest?
An account is opened with an initial deposit of $6,500 and earns 3.6% 3.6% interest compounded semi-annually. What will the account be worth in 20 20 years?
How much more would the account in the previous exercise have been worth if the interest were compounding weekly?
Solve the compound interest formula for the principal, P P .
Use the formula found in the previous exercise to calculate the initial deposit of an account that is worth $14,472.74 $14,472.74 after earning 5.5% 5.5% interest compounded monthly for 5 5 years. (Round to the nearest dollar.)
How much more would the account in the previous two exercises be worth if it were earning interest for 5 5 more years?
Use properties of rational exponents to solve the compound interest formula for the interest rate, r. r.
Use the formula found in the previous exercise to calculate the interest rate for an account that was compounded semi-annually, had an initial deposit of $9,000 and was worth $13,373.53 after 10 years.
Use the formula found in the previous exercise to calculate the interest rate for an account that was compounded monthly, had an initial deposit of $5,500, and was worth $38,455 after 30 years.
For the following exercises, determine whether the equation represents continuous growth, continuous decay, or neither. Explain.
y=3742 ( e ) 0.75t y=3742 ( e ) 0.75t
y=150 ( e ) 3.25 t y=150 ( e ) 3.25 t
y=2.25 ( e ) −2t y=2.25 ( e ) −2t
Suppose an investment account is opened with an initial deposit of $12,000 $12,000 earning 7.2% 7.2% interest compounded continuously. How much will the account be worth after 30 30 years?
How much less would the account from Exercise 42 be worth after 30 30 years if it were compounded monthly instead?
Numeric
For the following exercises, evaluate each function. Round answers to four decimal places, if necessary.
f(x)=2 ( 5 ) x , f(x)=2 ( 5 ) x , for f( −3 ) f( −3 )
f(x) = − 4 2x+3 , f(−1) = − 4 2(−1)+3 = − 4 −2+3 = − 4 1 = −4
f(x) = e x , f(3) = e 3
f(x) = −2 e x−1 , f(−1) = −2 e −1−1 = −2 e −2
f(x) = 2.7 ( 4 ) −x+1 +1.5, f(−2) = 2.7 ( 4 ) −(−2)+1 +1.5 = 2.7 ( 4 ) 3 +1.5 = 2.7 ( 64 ) +1.5 = 172.8 +1.5 = 174.3
f(x) = 1.2 e 2x −0.3, f(3) = 1.2 e 2(3) −0.3 = 1.2 e 6 −0.3
f(x) = − 3 2 ( 3 ) −x + 3 2 , f(2) = − 3 2 ( 3 ) −2 + 3 2 = − 3 2 ( 1 9 ) + 3 2 = − 1 6 + 3 2 = − 1 6 + 9 6 = 8 6 = 4 3
ਤਕਨਾਲੋਜੀ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਕਰਵ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
(0,3) ਅਤੇ (3,375)
(3,222.62) ਅਤੇ (10,77.456)
(20,29.495) ਅਤੇ (150,730.89)
(5,2.909) ਅਤੇ (13,0.005)
(11,310.035) ਅਤੇ (25,356365.2)
ਵਿਸਥਾਰ
ਨਿਵੇਸ਼ ਖਾਤੇ ਦੀ ਸਲਾਨਾ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਉਪਜ (APY) ਇੱਕ ਮਿਸ਼ਰਿਤ ਖਾਤੇ 'ਤੇ ਕਮਾਈ ਗਈ ਅਸਲ ਵਿਆਜ ਦਰ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਸਾਲ ਦੀ ਮਿਸ਼ਰਣ ਮਿਆਦ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਹੈ। ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਮਾਸਿਕ ਮਿਸ਼ਰਣ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਖਾਤੇ ਦਾ APY ਫਾਰਮੂਲੇ APY = ( 1 + r 12 ) 12 −1 ਦੁਆਰਾ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਨੂੰ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਮਿਸ਼ਰਣ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਖਾਤੇ ਦੇ APY ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੁਹਰਾਓ। ਇਸ ਅਤੇ ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਖਾਤੇ ਲਈ APY ਲਈ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ I(n) ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰੋ ਜੋ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ n ਵਾਰ ਮਿਸ਼ਰਣ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੋਈ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜੋ f(x) = a ⋅ b x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a ਅਤੇ b ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ b ≠ 1। ਕੋਈ ਵੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ b, ਕਿਸੇ ਮੁੱਲ n ਲਈ b = e n ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਬੇਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ e ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਲਈ ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਘਾਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਘਾਤ ਦਾ ਬੇਸ 0 ਅਤੇ 1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਕੁਝ ਸੰਖਿਆ b > 1 ਲਈ, ਘਾਤੀ ਘਾਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ f(x) = a ⋅ ( 1 b ) x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ, ਇਸ ਤੱਥ ਦੇ ਨਾਲ ਕਿ b = e n, ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਘਾਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੁਝ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ n ਲਈ f(x) = a ( e ) −nx ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਤਤਕਾਲੀਨ ਵਿਆਜ ਦਰ r 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ A ਰਾਸ਼ੀ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ A(t) = a ( e ) rt ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a ਇੱਕ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਜਮ੍ਹਾਂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਮੁੱਖ ਰਾਸ਼ੀ ਹੈ ਜੋ ਤਤਕਾਲੀਨ ਮਿਸ਼ਰਣ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਾਬਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਮੁੱਖ ਰਾਸ਼ੀ ਪ੍ਰਤੀ ਵਿਆਜ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ I(t) = e rt −1 ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨਾਲ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਅਸਲ-ਸੰਸਾਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
ਇੱਕ ਖਾਸ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਲੂੰਬੜੀ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਕਾਸ ਦਰ 9% ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਹੈ। ਸਾਲ 2012 ਵਿੱਚ, ਉਸ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ 23,900 ਲੂੰਬੜੀਆਂ ਗਿਣੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਨ। ਸਾਲ 2020 ਵਿੱਚ ਲੂੰਬੜੀ ਦੀ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਆਬਾਦੀ ਕੀ ਹੋਵੇਗੀ?
ਇੱਕ ਵਿਗਿਆਨੀ 100 ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਪਦਾਰਥ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਘਟਦਾ ਹੈ। 35 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ, 50mg ਪਦਾਰਥ ਬਚਿਆ ਹੈ। 54 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਕਿੰਨੇ ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਬਚਣਗੇ?
ਸਾਲ 1985 ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਘਰ ਦਾ ਮੁੱਲ $110,000 ਸੀ। ਸਾਲ 2005 ਤੱਕ, ਮੁੱਲ $145,000 ਤੱਕ ਵੱਧ ਗਿਆ ਸੀ। 1985 ਅਤੇ 2005 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਕੀ ਸੀ? ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਮੁੱਲ ਉਸੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦੁਆਰਾ ਵਧਦਾ ਰਿਹਾ। ਸਾਲ 2010 ਵਿੱਚ ਘਰ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੀ ਸੀ?
ਸਾਲ 2007 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਾਰ ਦਾ ਮੁੱਲ $38,000 ਸੀ। 2013 ਤੱਕ, ਮੁੱਲ $11,000 ਤੱਕ ਘੱਟ ਗਿਆ ਸੀ। ਜੇਕਰ ਕਾਰ ਦਾ ਮੁੱਲ ਉਸੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਨਾਲ ਘੱਟਦਾ ਰਹੇ, ਤਾਂ 2017 ਤੱਕ ਇਸਦੀ ਕੀਮਤ ਕੀ ਹੋਵੇਗੀ?
1. ਜੇਲਨ ਘਰ ਖਰੀਦਣ ਲਈ ਡਾਊਨ ਪੇਮੈਂਟ ਵਜੋਂ $54,000 ਬਚਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ। 5 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਟੀਚੇ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਉਸਨੂੰ 8.2% APR ਵਾਲੇ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ, ਜਿਸਦਾ ਵਿਆਜ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਚੱਕਰਵਿਰਧਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
2. ਕਿਓਕੋ ਕੋਲ $10,000 ਹਨ ਜੋ ਉਹ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਬੈਂਕ ਕੋਲ ਚੁਣਨ ਲਈ ਕਈ ਨਿਵੇਸ਼ ਖਾਤੇ ਹਨ, ਜੋ ਸਾਰੇ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਚੱਕਰਵਿਰਧਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਸਦਾ ਟੀਚਾ 6 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰੈਜੂਏਟ ਸਕੂਲ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੱਕ $15,000 ਹੋਣਾ ਹੈ। ਆਪਣੇ ਟੀਚੇ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਉਸਦੀ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ ਕਿੰਨੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਸੈਂਕੜੇ ਦੇ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ? (ਸੰਕੇਤ: ਵਿਆਜ ਦਰ ਲਈ ਚੱਕਰਵਿਰਧਿਤ ਵਿਆਜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।)
3. ਅਲਿਸਾ ਨੇ ਸਾਲ 2000 ਵਿੱਚ 7.25% APR ਨਾਲ ਇੱਕ ਰਿਟਾਇਰਮੈਂਟ ਖਾਤਾ ਖੋਲ੍ਹਿਆ। ਉਸਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ $13,500 ਸੀ। ਜੇਕਰ ਵਿਆਜ ਮਾਸਿਕ ਚੱਕਰਵਿਰਧਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ 2025 ਵਿੱਚ ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕਿੰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ? ਜੇਕਰ ਵਿਆਜ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵਿਰਧਿਤ ਹੁੰਦਾ ਤਾਂ ਉਸਨੇ ਕਿੰਨਾ ਹੋਰ ਕਮਾਇਆ ਹੁੰਦਾ?
4. 7% ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਨਿਵੇਸ਼ ਖਾਤਾ $4,000 ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ ਨਾਲ ਖੋਲ੍ਹਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। 9 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਖਾਤੇ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਵਿਆਜ ਸਾਲਾਨਾ, ਤਿਮਾਹੀ, ਮਾਸਿਕ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵਿਰਧਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।