ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਕਾਰਜਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵਿੱਤ, ਫੋਰੈਂਸਿਕਸ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ, ਅਤੇ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਜੀਵਨ ਵਿਗਿਆਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਜੋ ਇੱਕ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਸਮਾਂ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਮੀਕਰਨ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਕਾਫ਼ੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਅਸੀਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਦੀਆਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂ ਰਾਹੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਬਾਰੇ ਬਹੁਤ ਕੁਝ ਸਿੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਹੀ ਕਾਰਨ ਹੈ ਕਿ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਸਾਧਨ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਭਵਿੱਖ ਦੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਸੂਝ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਪੱਧਰ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਨਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। f(x) = b^x ਰੂਪ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਯਾਦ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਆਧਾਰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ f(x) = 2^x ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਦੇਖੋ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 1 ਵਿੱਚ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁੱਟ 1 ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3
ਸਾਰਣੀ: f(x) = 2^x | 1/8 | 1/4 | 1/2 | 1 | 2 | 4 | 8
ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਪਿਛਲੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਅਤੇ ਆਧਾਰ, 2, ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਆਧਾਰ 2 ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਅਨੁਪਾਤ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਦਰਅਸਲ, f(x) = a*b^x ਰੂਪ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, b ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਥਿਰ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁੱਟ 1 ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ, a ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ, ਆਧਾਰ ਅਤੇ ਪਿਛਲੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੋਵੇਗਾ।
ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ
ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਸਾਰੇ x ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹਨ;
ਜਿਵੇਂ x ਵਧਦਾ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਵਧਦੇ ਹਨ; ਅਤੇ
ਜਿਵੇਂ x ਘਟਦਾ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਘੱਟਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 1 ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 2^x ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਕਦੇ ਵੀ ਇਸਨੂੰ ਛੂੰਹਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ।
f(x) = 2^x ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰ ਹਨ, ਰੇਂਜ (0,∞) ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸੈਂਪਟੋਟ y=0 ਹੈ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਘਾਟ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ f(x) = b^x ਰੂਪ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਆਧਾਰ ਜ਼ੀਰੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ g(x) = (1/2)^x ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਦੇਖੋ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 2 ਵਿੱਚ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁੱਟ 1 ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3
ਸਾਰਣੀ: g(x) = (1/2)^x | 8 | 4 | 2 | 1 | 1/2 | 1/4 | 1/8
ਦੁਬਾਰਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਨਪੁੱਟ 1 ਨਾਲ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਪਿਛਲੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਅਤੇ ਆਧਾਰ, ਜਾਂ ਸਥਿਰ ਅਨੁਪਾਤ 1/2, ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ
ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਸਾਰੇ x ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹਨ;
ਜਿਵੇਂ x ਵਧਦਾ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਘੱਟਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ; ਅਤੇ
ਜਿਵੇਂ x ਘਟਦਾ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਵਧਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 2 ਘਾਤ ਅਲੋਪਨ ਫਲਨ, g(x)= ( 1 2 ) x , ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। g(x)= ( 1 2 ) x ।
g(x)= ( 1 2 ) x ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅੰਕ ਹਨ, ਰੇਂਜ ( 0,∞ ) ਹੈ, ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤ y=0 ਹੈ। y=0।
ਮੂਲ ਫਲਨ f(x)= b x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ। f(x)= b x ।
f(x)= b x ਰੂਪ ਦਾ ਘਾਤ ਫਲਨ, f(x)= b x , ਜਿੱਥੇ b>0, b>0, b≠1, b≠1, ਇਹਨਾਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ:
ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫਲਨ
ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤ: y=0 y=0
ਡੋਮੇਨ: (–∞, ∞) (–∞, ∞)
ਰੇਂਜ: (0,∞) (0,∞)
x-ਅੰਤਰਖੰਡ: ਕੋਈ ਨਹੀਂ
y-ਅੰਤਰਖੰਡ: ( 0,1 ) ( 0,1 )
ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ b>1 b>1
ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ b<1 b<1
ਚਿੱਤਰ 3 ਘਾਤ ਵਾਧੇ ਅਤੇ ਘਾਤ ਅਲੋਪਨ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ
f(x)= b x ਰੂਪ ਦੇ ਘਾਤ ਫਲਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, f(x)= b x , ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ।
ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚੋਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 3 ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ( 0,1 ) ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ( 0,1 )।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ।
ਡੋਮੇਨ, ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), ਰੇਂਜ, ( 0,∞ ), ( 0,∞ ), ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤ, y=0, ਦੱਸੋ। y=0।
ਉਦਾਹਰਨ 1
f(x) = bx ਰੂਪ ਦੇ ਘਾਤ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
f(x)= 0.25 x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। f(x)= 0.25 x । ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ, ਅਤੇ ਅਸੀਮਤ ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਲਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ।
ਕਿਉਂਕਿ b=0.25, ਜੋ ਕਿ ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਬੇਅੰਤ ਵਧੇਗਾ, ਅਤੇ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ y=0 ਦੀ ਅਸੀਮਤ ਰੇਖਾ ਵੱਲ ਵਧੇਗਾ। y=0।
ਪੁਆਇੰਟਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 3 ਵਿੱਚ ਹੈ। x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 f(x)= 0.25^x | 64 | 16 | 4 | 1 | 0.25 | 0.0625 | 0.015625 ਸਾਰਣੀ 3
y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ, (0,1), ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਦੋ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ (-1,4) ਅਤੇ (1,0.25) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। (1,0.25)।
ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ।
ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ); ਰੇਂਜ ( 0,∞ ); ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸੀਮਤ y=0 ਹੈ। y=0।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
f(x)= 4^x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸੀਮਤ ਦੱਸੋ।
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮੇਸ਼ਨ
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮੇਸ਼ਨ, ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੋਰ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b^x 'ਤੇ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਚਾਰ ਕਿਸਮਾਂ—ਸ਼ਿਫਟ, ਰਿਫਲੈਕਸ਼ਨ, ਸਟ੍ਰੈਚ, ਅਤੇ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ—ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਬਦਲਾਅ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਿਫਟ, ਰਿਫਲੈਕਟ, ਸਟ੍ਰੈਚ, ਜਾਂ ਕੰਪ੍ਰੈਸ ਹੋਣ 'ਤੇ ਆਪਣਾ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਆਕਾਰ ਬਰਕਰਾਰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੀ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਆਪਣੇ ਆਮ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਬਰਕਰਾਰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
ਪਹਿਲਾ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮੇਸ਼ਨ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b^x ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ d ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਸਾਈਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ d ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ, f(x)= 2^x, ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਦੋ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, d=3 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ: d=3: ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ, g(x)= 2^x +3 ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ, h(x)= 2^x −3। ਦੋਵੇਂ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
f(x)= 2^x ਨੂੰ ਵਰਟੀਕਲੀ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ:
ਡੋਮੇਨ, ( −∞,∞ ), ਬਦਲਿਆ ਨਹੀਂ ਰਹਿੰਦਾ।
ਜਦੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ g(x)= 2^x +3 ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ (0,4) ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਮਤ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ y=3 ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਰੇਂਜ ( 3,∞ ) ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ h(x)= 2^x −3 ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ (0,−2) ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਮਤ ਵੀ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ y=−3 ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਰੇਂਜ ( −3,∞ ) ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
ਅਗਲਾ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮੇਸ਼ਨ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b^x ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ c ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਸਾਈਨ ਦੇ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ c ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 2^x ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਦੋ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, c=3 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ: c=3: ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ, g(x)= 2^(x+3), ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ, h(x)= 2^(x-3)। ਦੋਵੇਂ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
f(x)= 2^x ਨੂੰ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲੀ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ:
ਡੋਮੇਨ, ( −∞,∞ ), ਬਦਲਿਆ ਨਹੀਂ ਰਹਿੰਦਾ।
ਅਸੀਮਤ, y=0, ਬਦਲਿਆ ਨਹੀਂ ਰਹਿੰਦਾ।
y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਜਦੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ g(x)= 2^(x+3) ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,8) ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 2^(x+3) = 8 * 2^x, ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ 8 ਹੈ। ਜਦੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ h(x)= 2^(x-3) ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0, 1/8) ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੁਬਾਰਾ, ਦੇਖੋ ਕਿ 2^(x-3) = (1/8) * 2^x, ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ 1/8 ਹੈ।
ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = b^x ਦੇ ਸ਼ਿਫਟ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਰਾਂਕ c ਅਤੇ d ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b^(x+c) +d ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b^x ਨੂੰ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦਾ ਹੈ
d ਇਕਾਈਆਂ ਵਰਟੀਕਲੀ, d ਦੇ ਸਾਈਨ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ।
c c ਇਕਾਈਆਂ, c c ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ। c c।
y-ਅੰਤਰਖੰਡ ( 0, b c +d ) ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ( 0, b c +d )।
ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤ y=d ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। y=d।
ਪ੍ਰਾਪਤੀ ( d,∞ ) ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ( d,∞ )।
ਡੋਮੇਨ, ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), ਅਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
f(x)= b x+c +d, f(x)= b x+c +d ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਅਨੁਵਾਦ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤ y=d ਬਣਾਓ। y=d।
ਖਿਸਕਾਅ ਨੂੰ ( −c,d ) ਵਜੋਂ ਪਛਾਣੋ। ( −c,d )। ਜੇਕਰ c c ਧਨਾਤਮਕ ਹੈ ਤਾਂ f(x)= b x f(x)= b x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ c c ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ c c ਰਿਣਾਤਮਕ ਹੈ ਤਾਂ c c ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾਓ।
ਜੇਕਰ d d ਧਨਾਤਮਕ ਹੈ ਤਾਂ f(x)= b x f(x)= b x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ d d ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ d d ਰਿਣਾਤਮਕ ਹੈ ਤਾਂ d d ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕਾਓ।
ਡੋਮੇਨ, ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), ਪ੍ਰਾਪਤੀ, ( d,∞ ), ( d,∞ ), ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤ y=d ਦੱਸੋ। y=d।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦੇ ਖਿਸਕਾਅ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
f(x)= 2 x+1 −3, f(x)= 2 x+1 −3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਡੋਮੇਨ, ਪ੍ਰਾਪਤੀ, ਅਤੇ ਅਸੀਮਤ ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ f(x)= b x+c +d, f(x)= b x+c +d ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ b=2, b=2, c=1, c=1, ਅਤੇ d=−3। d=−3।
ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤ y=d y=d ਬਣਾਓ, ਇਸ ਲਈ y=−3 ਬਣਾਓ। y=−3।
ਖਿਸਕਾਅ ਨੂੰ ( −c,d ), ( −c,d ) ਵਜੋਂ ਪਛਾਣੋ, ਇਸ ਲਈ ਖਿਸਕਾਅ ( −1,−3 ) ਹੈ। ( −1,−3 )।
f(x)= b x f(x)= b x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 1 ਇਕਾਈ ਖੱਬੇ ਅਤੇ 3 ਇਕਾਈ ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕਾਓ।
ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ); ( −∞,∞ ); ਪ੍ਰਾਪਤੀ ( −3,∞ ); ( −3,∞ ); ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤ y=−3 ਹੈ। y=−3।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
f(x)= 2 x−1 +3, f(x)= 2 x−1 +3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਡੋਮੇਨ, ਪ੍ਰਾਪਤੀ, ਅਤੇ ਅਸੀਮਤ ਦੱਸੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
x, x ਲਈ f(x)= b x+c +d f(x)= b x+c +d ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਹੱਲ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1. [Y=] ਦਬਾਓ। "Y1=" ਸਿਰਲੇਖ ਵਾਲੀ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਰਜ ਕਰੋ।
Enter the given value for f(x) f(x) in the line headed “Y2=”.
2. [WINDOW] ਦਬਾਓ। y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ "Y2=" ਲਈ ਦਰਜ ਕੀਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੇ।
3. ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਨਿਰਧਾਰਤ f(x) ਮੁੱਲ ਲਈ ਲਾਈਨ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰਨ ਲਈ [GRAPH] ਦਬਾਓ। f(x)।
4. x ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। [2ND] ਫਿਰ [CALC] ਦਬਾਓ। "intersect" ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਵਾਰ [ENTER] ਦਬਾਓ। ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਲਈ x ਦਾ ਮੁੱਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
5. ਉਦਾਹਰਨ 3
6. ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ
7. 42=1.2 ( 5 ) x +2.8 42=1.2 ( 5 ) x +2.8 ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲੀ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
8. ਹੱਲ
9. [Y=] ਦਬਾਓ ਅਤੇ Y1= ਦੇ ਅੱਗੇ 1.2 ( 5 ) x +2.8 1.2 ( 5 ) x +2.8 ਦਰਜ ਕਰੋ। ਫਿਰ Y2= ਲਈ 42 ਦਰਜ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਵਿੰਡੋ ਲਈ, x ਲਈ –3 ਤੋਂ 3 ਅਤੇ y ਲਈ –5 ਤੋਂ 55 ਤੱਕ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। y। [GRAPH] ਦਬਾਓ। ਗ੍ਰਾਫ x=2 ਦੇ ਨੇੜੇ ਕਿਤੇ ਵੀ ਇੰਟਰਸੈਕਟ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। x=2।
10. ਬਿਹਤਰ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ, [2ND] ਫਿਰ [CALC] ਦਬਾਓ। [5: intersect] ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਵਾਰ [ENTER] ਦਬਾਓ। ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂ ਦਾ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ 2.1661943 ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਵੱਖਰੀ ਵਿੰਡੋ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋ ਜਾਂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ ਵੱਖਰਾ ਮੁੱਲ ਵਰਤਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਤੁਹਾਡਾ ਜਵਾਬ ਵੱਖਰਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ?) ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ, x≈2.166। x≈2.166।
11. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
12. 4=7.85 ( 1.15 ) x −2.27 4=7.85 ( 1.15 ) x −2.27 ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲੀ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
13. ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
14. ਜਦੋਂ ਕਿ ਹਰੀਜ਼ਟਲ ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇਨਪੁਟ ਜਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰਾਂਕ ਜੋੜਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਨ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b x f(x)= b x ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ |a|>0 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। |a|>0। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 2 x , f(x)= 2 x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਖਿੱਚ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, a=3, a=3 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, g(x)=3 ( 2 ) x g(x)=3 ( 2 ) x ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਨ, a= 1 3 , a= 1 3 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, h(x)= 1 3 ( 2 ) x h(x)= 1 3 ( 2 ) x ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
15. ਚਿੱਤਰ 8: (a) g(x)=3 ( 2 ) x g(x)=3 ( 2 ) x f(x)= 2 x f(x)= 2 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਵਰਟੀਕਲੀ 3 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। 3। (b) h(x)= 1 3 ( 2 ) x h(x)= 1 3 ( 2 ) x f(x)= 2 x f(x)= 2 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਵਰਟੀਕਲੀ 1 3 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। 1 3।
16. ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b x f(x)= b x ਦੀਆਂ ਖਿੱਚਾਂ ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਨ
17. ਕਿਸੇ ਵੀ ਗੁਣਕ a>0, a>0 ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=a ( b ) x f(x)=a ( b ) x
18. ਜੇਕਰ |a|>1 ਹੈ ਤਾਂ a ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਵਰਟੀਕਲੀ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। |a|>1।
19. ਜੇਕਰ |a|<1 ਹੈ ਤਾਂ a ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਵਰਟੀਕਲੀ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। |a|<1।
20. ( 0,a ) ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ( 0,a )।
21. y=0, y=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ਟਲ ਅਸੈਂਪਟੋਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ( 0,∞ ), ( 0,∞ ) ਦੀ ਇੱਕ ਰੇਂਜ, ਅਤੇ ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ) ਦਾ ਇੱਕ ਡੋਮੇਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਅਟੱਲ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ।
22. ਉਦਾਹਰਨ 4
23. ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਖਿੱਚ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
24. f(x)=4 ( 1 2 ) x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। f(x)=4 ( 1 2 ) x । ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸੈਂਪਟੋਟ ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਵਿਵਹਾਰ ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਕਿਉਂਕਿ b= 1 2 ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਖੱਬੀ ਪੂਛ ਬੇਅੰਤ ਵਧੇਗੀ ਜਿਵੇਂ x ਘਟਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸੱਜੀ ਪੂਛ x-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚੇਗੀ ਜਿਵੇਂ x ਵਧਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ a=4, f(x)= ( 1 2 ) x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ 4 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਵੇਗਾ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) =4 ( 1 2 ) x 32 16 8 4 2 1 0.5 ਸਾਰਣੀ 4
y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ, ( 0,4 ), ਦੇ ਨਾਲ ਦੋ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ ਪਲਾਟ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ( −1,8 ) ਅਤੇ ( 1,2 ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ); ਰੇਂਜ ( 0,∞ ); ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਐਸਿਮਪਟੋਟ y=0 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
f(x)= 1 2 ( 4 ) x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਐਸਿਮਪਟੋਟ ਦੱਸੋ।
ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ
ਸ਼ਿਫਟਿੰਗ, ਕੰਪ੍ਰੈਸਿੰਗ ਅਤੇ ਸਟ੍ਰੈਚਿੰਗ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਜਾਂ y-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਵੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b x ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਨਪੁਟ ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 2 x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। x-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ, g(x)= −2 x , ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ h(x)= 2 −x , ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 10: (a) g(x)=− 2 x , f(x)= 2 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। (b) g(x)= 2 −x , f(x)= 2 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b x ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=− b x
ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b x ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
( 0,−1 ) ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੈ।
( −∞,0 ) ਦੀ ਰੇਂਜ ਹੈ।
y=0 ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਐਸਿਮਪਟੋਟ ਅਤੇ ( −∞,∞ ) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਹੈ, ਜੋ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਬਦਲਿਆ ਨਹੀਂ ਗਿਆ ਹੈ।
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b −x
ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b x ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
( 0,1 ) ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ, y=0 ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਐਸਿਮਪਟੋਟ, ( 0,∞ ) ਦੀ ਰੇਂਜ, ਅਤੇ ( −∞,∞ ) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਹੈ, ਜੋ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਬਦਲਿਆ ਨਹੀਂ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਇੱਕ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਨੂੰ ਲਿਖਣਾ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ
1. f(x) = (1/4)^x ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਇਸਦੇ ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟ ਦੱਸੋ। g(x) = - (1/4)^x ਡੋਮੇਨ: (-∞, ∞) ਰੇਂਜ: (-∞, 0) ਅਸਮਤੋਟ: y = 0
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਮਾਪਿਆਂ ਦੇ ਫਲਨ f(x)= ( 1 4 ) x ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ f(x) ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ g(x)=− ( 1 4 ) x ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ। ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਸਾਰਣੀ 5 ਵਾਂਗ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
1. ਕਤਾਰ: x x | −3 −3 | −2 −2 | −1 −1 | 0 0 | 1 1 | 2 2 | 3 3
1. ਕਤਾਰ: g(x) = −(1/4)x | −64 | −16 | −4 | −1 | −0.25 | −0.0625 | −0.0156
1. y-intercept, ( 0,−1 ), ( 0,−1 ), ਦੇ ਨਾਲ ਦੋ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ( −1,−4 ) ( −1,−4 ) ਅਤੇ ( 1,−0.25 ) ( 1,−0.25 ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੀ ਇੱਕ ਸੁਚਾਰੂ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ:
ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ); ( −∞,∞ ); ਰੇਂਜ ( −∞,0 ); ( −∞,0 ); ਖਿਤਿਜੀ ਅਸਮਤੋਟ y=0. y=0.
1. ਇਹ ਇੱਕ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਹੈ।
1. y-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ f(x) = 1.25x ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ, g(x), ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਇਸਦੇ ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸੀਮਟੋਟ ਦੱਸੋ। g(x) = -1.25x ਡੋਮੇਨ: ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (-∞, ∞) ਰੇਂਜ: ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (-∞, ∞) ਅਸੀਮਟੋਟ: ਕੋਈ ਨਹੀਂ
1. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨ ਦਾ ਸਾਰੰਸ਼ ਅਨੁਵਾਦ
1. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਫਲਨ (exponential function) ਲਈ ਹਰੇਕ ਕਿਸਮ ਦੇ ਅਨੁਵਾਦ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰ ਲਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਫਲਨ ਲਈ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ (general equation) ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਾਰਣੀ 6 ਵਿੱਚ ਸਾਰੰਸ਼ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
1. ਕਤਾਰ: ਮੂਲ ਫਲਨ f(x)= b x ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ f(x)= b x
1. ਰੂਪਾਂਤਰਣ | ਸਰੂਪ
1. ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ c c ਇਕਾਈਆਂ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਤੇ ਉੱਪਰ d d ਇਕਾਈਆਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕਰੋ | f(x)= b x+c +d f(x)= b x+c +d
1. ਸਤਰ: ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕਰੋ ਖਿੱਚੋ ਜੇਕਰ | a |>1 | a |>1 ਸੰਕੁਚਨ ਜੇਕਰ 0<| a |<1 0<| a |<1 | f(x)=a b x f(x)=a b x
1. ਧੁਰਾ: x-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ | f(x)=− b x f(x)=− b x
1. ਕਤਾਰ: y-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਚਿੰਤਨ ਕਰੋ | f(x)= b −x = ( 1 b ) x f(x)= b −x = ( 1 b ) x
1. ਸਾਰੀਆਂ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਲਈ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ | f(x)=a b x+c +d
1. ਘਾਤੰਕੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਅਨੁਵਾਦ
1. ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕ ਦਾ ਅਨੁਵਾਦ ਰੂਪ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ ਮਾਪਿਆਂ ਦਾ ਫਲਨ, y= b x , y= b x , b>1, b>1, ਹੈ
ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਗੀ ਗ ਇਕਾਈਆਂ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ।
ਇੱਕ ਗੁਣਾ | a | | a | ਜੇਕਰ | a |>0. | a |>0.
1. | a | ਜੇਕਰ 0<| a |<1 ਹੋਵੇ ਤਾਂ | a | ਦੇ ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਸੰਕੁਚਿਤ। 0<| a |<1।
2. d ਇਕਾਈਆਂ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ।
3. ਜੇਕਰ a<0 ਹੋਵੇ ਤਾਂ x-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ। a<0।
4. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਥਾਨਾਂਤਰਨ, ਪਰਿਵਰਤਨ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦਾ ਹੈ।
5. ਉਦਾਹਰਨ 6
6. ਵਰਣਨ ਤੋਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖਣਾ
7. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵਰਣਨ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਟੋਟ, ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦਿਓ।
8. f(x)= e x f(x)= e x ਨੂੰ 2 ਦੇ ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, y-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
9. ਹੱਲ
10. ਅਸੀਂ f(x)=a b x+c +d ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। f(x)=a b x+c +d। ਅਸੀਂ a, a, b, b, c, c, ਅਤੇ d ਲੱਭਣ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਰਣਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। d।
11. ਸਾਨੂੰ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= e x , f(x)= e x ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ b=e। b=e।
12. ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 2 ਦੇ ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ a=2। a=2।
13. ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ x ਨੂੰ −x ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ: e −x । e −x ।
14. ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਲੰਬਵਤ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ d=4। d=4।
15. ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ 'ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,
16. ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ); ( −∞,∞ ); ਰੇਂਜ ( 4,∞ ); ( 4,∞ ); ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਟੋਟ y=4 ਹੈ। y=4।
17. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
18. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਟੋਟ, ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦਿਓ।
19. f(x)= e x f(x)= e x ਨੂੰ 1 3 ਦੇ ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, x-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
20. ਮੀਡੀਆ
21. ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
22. ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
23. ਜ਼ੁਬਾਨੀ
24. ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਟੋਟ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਅੰਤਲੇ ਵਿਵਹਾਰ ਬਾਰੇ ਦੱਸਣ ਵਿੱਚ ਕੀ ਭੂਮਿਕਾ ਹੈ?
What is the advantage of knowing how to recognize transformations of the graph of a parent function algebraically?
Algebraic
The graph of f(x)= 3 x f(x)= 3 x is reflected about the y-axis and stretched vertically by a factor of 4. 4. What is the equation of the new function, g(x)? g(x)? State its y-intercept, domain, and range.
The graph of f(x)= ( 1 2 ) −x f(x)= ( 1 2 ) −x is reflected about the y-axis and compressed vertically by a factor of 1 5 . 1 5 . What is the equation of the new function, g(x)? g(x)? State its y-intercept, domain, and range.
The graph of f(x)= 10 x f(x)= 10 x is reflected about the x-axis and shifted upward 7 7 units. What is the equation of the new function, g(x)? g(x)? State its y-intercept, domain, and range.
The graph of f(x)= ( 1.68 ) x f(x)= ( 1.68 ) x is shifted right 3 3 units, stretched vertically by a factor of 2, 2, reflected about the x-axis, and then shifted downward 3 3 units. What is the equation of the new function, g(x)? g(x)? State its y-intercept (to the nearest thousandth), domain, and range.
The graph of fx=-12(14)x-2+4fx=-12(14)x-2+4 is shifted downward 4 4 units, and then shifted left 2 2 units, stretched vertically by a factor of 4, 4, and reflected about the x-axis. What is the equation of the new function, g(x)? g(x)? State its y-intercept, domain, and range.
Graphical
For the following exercises, graph the function and its reflection about the y-axis on the same axes, and give the y-intercept.
f(x)=3 ( 1 2 ) x f(x)=3 ( 1 2 ) x
g(x)=−2 ( 0.25 ) x g(x)=−2 ( 0.25 ) x
h(x)=6 ( 1.75 ) −x h(x)=6 ( 1.75 ) −x
For the following exercises, graph each set of functions on the same axes.
f(x)=3 ( 1 4 ) x , f(x)=3 ( 1 4 ) x , g(x)=3 ( 2 ) x , g(x)=3 ( 2 ) x , and h(x)=3 ( 4 ) x h(x)=3 ( 4 ) x
f(x)= 1 4 ( 3 ) x , f(x)= 1 4 ( 3 ) x , g(x)=2 ( 3 ) x , g(x)=2 ( 3 ) x , and h(x)=4 ( 3 ) x h(x)=4 ( 3 ) x
For the following exercises, match each function with one of the graphs in Figure 12.
f( x )=2 ( 0.69 ) x f( x )=2 ( 0.69 ) x
f( x )=2 ( 1.28 ) x f( x )=2 ( 1.28 ) x
f( x )=2 ( 0.81 ) x f( x )=2 ( 0.81 ) x
f( x )=4 ( 1.28 ) x f( x )=4 ( 1.28 ) x
f( x )=2 ( 1.59 ) x f( x )=2 ( 1.59 ) x
f( x )=4 ( 0.69 ) x f( x )=4 ( 0.69 ) x
For the following exercises, use the graphs shown in Figure 13. All have the form f( x )=a b x . f( x )=a b x .
Which graph has the largest value for b? b?
1. ਕਿਹੜੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ b ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਹੈ? b?
2. ਕਿਹੜੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ a ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ? a?
3. ਕਿਹੜੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ a ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਹੈ? a?
4. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
5. f(x)= 1 2 ( 4 ) x
6. f(x)=3 ( 0.75 ) x −1
7. f(x)=−4 ( 2 ) x +2
8. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, f(x)= 2 x ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ। ਖਿਤਿਜੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ, ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦਿਓ।
9. f( x )= 2 −x
10. h( x )= 2 x +3
11. f( x )= 2 x−2
12. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
13. f( x )=−5 ( 4 ) x −1
14. f( x )=3 ( 1 2 ) x −2
15. f( x )=3 ( 4 ) −x +2
16. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, f( x )= 4 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖੋ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਬਣਦਾ ਹੈ।
17. f(x) ਨੂੰ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖਿਸਕਾਓ
18. f(x) ਨੂੰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖਿਸਕਾਓ
19. f(x) ਨੂੰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾਓ
20. f(x) ਨੂੰ 5 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾਓ
21. f(x) ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰੋ
22. f(x) ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰੋ
23. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ y= 2 x ਦਾ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਹੈ। ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
24. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲਈ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
1. ਅੰਕ
2. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, x ਦੇ ਦਰਸਾਏ ਮੁੱਲ ਲਈ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
3. g(x)= 1 3 ( 7 ) x−2 , g(6) ਲਈ।
4. f(x)=4 (2) x−1 −2 , f(5) ਲਈ।
5. h(x)=− 1 2 ( 1 2 ) x +6 , h(−7) ਲਈ।
6. ਤਕਨਾਲੋਜੀ
7. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
8. −50=− ( 1 2 ) −x
9. 116= 1 4 ( 1 8 ) x
10. 12=2 ( 3 ) x +1
11. 5=3 ( 1 2 ) x−1 −2
12. −30=−4 ( 2 ) x+2 +2
13. ਵਿਸਥਾਰ
14. F(x)= ( b ) x ਅਤੇ G(x)= ( 1 b ) x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ b>0 ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ b x ਅਤੇ ( 1 b ) x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
15. ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਵਿੱਚ ਕੀਤੇ ਗਏ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰੋ।
16. f(x)= 4 x , g(x)= 4 x−2 , ਅਤੇ h(x)=( 1 16 ) 4 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ n ਅਤੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ b>0 ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ b x ਅਤੇ ( 1 b n ) b x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
17. ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਵਿੱਚ ਕੀਤੇ ਗਏ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰੋ।