ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਲਈ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਲਈ ਅਧਾਰ-ਬਦਲੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਲਿਟਮਸ ਪੇਪਰ ਨਾਲ ਹਾਈਡਰੋਕਲੋਰਿਕ ਐਸਿਡ ਦੇ pH ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ। (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: ਡੇਵਿਡ ਬੇਰਾਰਡਨ)
ਰਸਾਇਣ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, pH ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਅੰਮਲਤਾ ਜਾਂ ਖਾਰੀਅਤਾ ਦੇ ਮਾਪ ਵਜੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। pH ਪੈਮਾਨਾ 0 ਤੋਂ 14 ਤੱਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 7 ਤੋਂ ਘੱਟ pH ਵਾਲੇ ਪਦਾਰਥਾਂ ਨੂੰ ਅੰਮਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ 7 ਤੋਂ ਵੱਧ pH ਵਾਲੇ ਪਦਾਰਥਾਂ ਨੂੰ ਖਾਰਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਸਰੀਰ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਨੂੰ ਐਨਜ਼ਾਈਮਾਂ ਦੇ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਲਗਭਗ 7.35 pH ਬਣਾਈ ਰੱਖਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਕੁਝ ਆਮ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੇ pH ਪੱਧਰਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਕੇ ਅੰਮਲ ਅਤੇ ਖਾਰੀ ਕੀ ਹੈ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਮਹਿਸੂਸ ਕਰੋ:
ਬੈਟਰੀ ਐਸਿਡ: 0.8
ਢਿੱਡ ਦਾ ਐਸਿਡ: 2.7
ਸੰਤਰੇ ਦਾ ਰਸ: 3.3
ਸ਼ੁੱਧ ਪਾਣੀ: 7 (25° C 'ਤੇ)
ਮਨੁੱਖੀ ਲਹੂ: 7.35
ਤਾਜ਼ਾ ਨਾਰੀਅਲ: 7.8
ਸੋਡੀਅਮ ਹਾਈਡ੍ਰੋਕਸਾਈਡ (ਲਾਈ): 14
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੋਈ ਘੋਲ ਅੰਮਲ ਹੈ ਜਾਂ ਖਾਰਾ, ਅਸੀਂ ਇਸਦਾ pH ਪਤਾ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਘੋਲ ਵਿੱਚ ਸਰਗਰਮ ਧਨ ਹਾਈਡਰੋਜਨ ਆਇਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਮਾਪ ਹੈ। pH ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ H+ H+ ਘੋਲ ਵਿੱਚ ਹਾਈਡਰੋਜਨ ਆਇਨ ਦੀ ਸੰਗਣਤਾ ਹੈ।
−log( [ H + ] ) −log( [ H + ] ) ਅਤੇ log( 1 [ H + ] ) log( 1 [ H + ] ) ਦੀ ਸਮਾਨਤਾ ਲਘੂਗਣਕ ਗੁਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ।
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਲਘੂਗਣਕੀ ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ "ਅਨਡੂ" ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਗੁਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਗੁਣ ਇੱਥੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਪਹਿਲਾਂ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, log 5 1=0 log 5 1=0 ਕਿਉਂਕਿ 5 0 =1। 5 0 =1। ਅਤੇ log 5 5=1 log 5 5=1 ਕਿਉਂਕਿ 5 1 =5। 5 1 =5।
ਅੱਗੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਉਲਟ ਗੁਣ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, log( 100 ) log( 100 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ log 10 ( 10 2 ) log 10 ( 10 2 ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਲਟ ਗੁਣ log b ( b x )=x log b ( b x )=x ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ log 10 ( 10 2 )=2। log 10 ( 10 2 )=2। ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
e ln( 7 ) , e ln( 7 ) , ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ e log e 7 , e log e 7 , ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਲਟ ਗੁਣ b log b x =x b log b x =x ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ e log e 7 =7. e log e 7 =7 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਹੈ।
ਅਸੀਂ x ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ log 3 ( 3x )= log 3 ( 2x+5 ) log 3 ( 3x )= log 3 ( 2x+5 ) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਆਧਾਰ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਤਰਕਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਪਰ ਸਮੀਕਰਨ log 3 ( 3x )+ log 3 ( 2x+5 )=2? log 3 ( 3x )+ log 3 ( 2x+5 )=2? ਬਾਰੇ ਕੀ? ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸਾਡੀ ਮਦਦ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: x a x b = x a+b . x a x b = x a+b . ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਗੁਣ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਲਘੂਗਣਕ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਲਘੂਗਣਕ ਘਾਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਆਧਾਰਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਲਈ ਉਲਟ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x x ਅਤੇ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ M,N, M,N, ਅਤੇ b, b, ਜਿੱਥੇ b≠1, b≠1, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ
ਮੰਨ ਲਓ m= log b M m= log b M ਅਤੇ n= log b N. n= log b N. ਘਾਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ b m =M b m =M ਅਤੇ b n =N. b n =N ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਸਿੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੇ ਵਾਰ-ਵਾਰ ਉਪਯੋਗ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਕਾਰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, log b (wxyz). log b (wxyz). 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਕਾਰਕਾਂ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਤਰਕ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਕਾਰਕ ਬਣਾਓ, ਹਰੇਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਕਾਰਕ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਹਰੇਕ ਕਾਰਕ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
log 3 ( 30x( 3x+4 ) ). log 3 ( 30x( 3x+4 ) ). ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ 30 30 ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਤਰਕ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਕਾਰਕ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਕਾਰਕ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
log b (8k). log b (8k). ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
ਭਾਗਫਲ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਨਿਯਮ ਹੈ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਘਟਾ ਕੇ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: x a x b = x a−b . x a x b = x a−b . ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਲਘੂਗਣਕ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਲਈ ਉਲਟ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
Given any real number x x and positive real numbers M, M, N, N, and b, b, where b≠1, b≠1, we will show
Let m= log b M m= log b M and n= log b N. n= log b N. In exponential form, these equations are b m =M b m =M and b n =N. b n =N. It follows that
For example, to expand log( 2 x 2 +6x 3x+9 ), log( 2 x 2 +6x 3x+9 ), we must first express the quotient in lowest terms. Factoring and canceling we get,
Next we apply the quotient rule by subtracting the logarithm of the denominator from the logarithm of the numerator. Then we apply the product rule.
The Quotient Rule for Logarithms
The quotient rule for logarithms can be used to simplify a logarithm or a quotient by rewriting it as the difference of individual logarithms.
How To
Given the logarithm of a quotient, use the quotient rule of logarithms to write an equivalent difference of logarithms.
Express the argument in lowest terms by factoring the numerator and denominator and canceling common terms.
Write the equivalent expression by subtracting the logarithm of the denominator from the logarithm of the numerator.
Check to see that each term is fully expanded. If not, apply the product rule for logarithms to expand completely.
Example 2
Using the Quotient Rule for Logarithms
Expand log 2 ( 15x(x−1) (3x+4)(2−x) ). log 2 ( 15x(x−1) (3x+4)(2−x) ).
Solution
First we note that the quotient is factored and in lowest terms, so we apply the quotient rule.
Notice that the resulting terms are logarithms of products. To expand completely, we apply the product rule, noting that the prime factors of the factor 15 are 3 and 5.
Analysis
There are exceptions to consider in this and later examples. First, because denominators must never be zero, this expression is not defined for x=− 4 3 x=− 4 3 and x=2. x=2. Also, since the argument of a logarithm must be positive, we note as we observe the expanded logarithm, that x>0, x>0, x>1, x>1, x>− 4 3 , x>− 4 3 , and x<2. x<2. Combining these conditions is beyond the scope of this section, and we will not consider them here or in subsequent exercises.
Try It #2
Expand log 3 ( 7 x 2 +21x 7x( x−1 )( x−2 ) ). log 3 ( 7 x 2 +21x 7x( x−1 )( x−2 ) ).
Using the Power Rule for Logarithms
We’ve explored the product rule and the quotient rule, but how can we take the logarithm of a power, such as x 2 ? x 2 ? One method is as follows:
Notice that we used the product rule for logarithms to find a solution for the example above. By doing so, we have derived the power rule for logarithms, which says that the log of a power is equal to the exponent times the log of the base. Keep in mind that, although the input to a logarithm may not be written as a power, we may be able to change it to a power. For example,
ਲਘੂਰਕ ਦਾ ਘਾਤ ਨਿਯਮ
ਲਘੂਰਕ ਦਾ ਘਾਤ ਨਿਯਮ, ਘਾਤ ਦੇ ਲਘੂਰਕ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕ ਗੁਣਾ ਲਘੂਰਕ ਦੇ ਆਧਾਰ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਕੇ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਘਾਤ ਦੇ ਲਘੂਰਕ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਲਘੂਰਕ ਦੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਲਘੂਰਕ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਗੁਣਨਫਲ ਲਿਖੋ।
ਦਲੀਲ ਨੂੰ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ, ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ।
ਬਰਾਬਰ ਦੇ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕ ਗੁਣਾ ਲਘੂਰਕ ਦੇ ਆਧਾਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਲਿਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਘਾਤਾਂ ਨਾਲ ਲਘੂਰਕ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ
log 2 x 5 . log 2 x 5 . ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਦਲੀਲ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਲਿਖੀ ਗਈ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅੰਕ, 5, ਅਤੇ ਆਧਾਰ, x, x, ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਬਰਾਬਰ ਦੇ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕ ਗੁਣਾ ਲਘੂਰਕ ਦੇ ਆਧਾਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ln x 2 . ln x 2 . ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣਾ
log 3 ( 25 ) log 3 ( 25 ) ਦਾ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਦਲੀਲ ਨੂੰ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ log 3 ( 25 )= log 3 ( 5 2 ). log 3 ( 25 )= log 3 ( 5 2 ). ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅੰਕ, 2, ਅਤੇ ਆਧਾਰ, 5, ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਬਰਾਬਰ ਦੇ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕ ਗੁਣਾ ਲਘੂਰਕ ਦੇ ਆਧਾਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ln( 1 x 2 ). ln( 1 x 2 ). ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਉਲਟੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਵਰਤਣਾ
4ln(x) 4ln(x) ਨੂੰ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਲਘੂਰਕ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਜਿਸਦਾ ਅਗਲਾ ਗੁਣਾਂਕ 1 ਹੋਵੇ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਘਾਤ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ, ਆਧਾਰ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਘਾਤ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਸਿੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਘਾਤ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। 4ln(x) ਦੇ ਪਦ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਕ, 4, ਨੂੰ ਘਾਤ ਅਤੇ ਆਰਗੂਮੈਂਟ, x, ਨੂੰ ਆਧਾਰ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਘਾਤ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ: 4ln(x)=ln( x 4 )।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
2 log 3 4 ਨੂੰ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਲਈ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਲਘੂਗਣਕ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਮੋਹਰੀ ਗੁਣਕ 1 ਹੋਵੇ।
ਲਘੂਗਣਕ ਪਦਾਂ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ
ਇਕੱਠੇ, ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ, ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ, ਅਤੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਅਕਸਰ “ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ” ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ:
ਅਸੀਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਭਿੰਨ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਲਘੂਗਣਕ ਪਦਾਂ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਕਲਪਕ ਸਬੂਤ ਇੱਥੇ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਤੱਥ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਉਲਟਾ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
ਅਸੀਂ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਨੂੰ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਵੀ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਭਿਆਸ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਲਘੂਗਣਕ ਪਦ ਨੂੰ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਮਾਨਸਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅੰਤਿਮ ਉੱਤਰ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿਰਫ ਗੁਣਨਫਲਾਂ, ਭਾਗਫਲਾਂ, ਘਾਤਾਂ, ਅਤੇ ਜੜ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਹੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ—ਕਦੇ ਵੀ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਆਰਗੂਮੈਂਟ ਦੇ ਅੰਦਰ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਨਾਲ ਨਹੀਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਗੁਣਨਫਲ, ਭਾਗਫਲ, ਅਤੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ
ln( x 4 y 7 ) ਨੂੰ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਫਿਰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇਖ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਪਦ 'ਤੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
log( x 2 y 3 z 4 ) ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਰੈਡੀਕਲ ਪਦ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ
log( x ) ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ln( x 2 3 ) ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
Q&A
Can we expand ln( x 2 + y 2 )? ln( x 2 + y 2 )?
No. There is no way to expand the logarithm of a sum or difference inside the argument of the logarithm.
Example 8
Expanding Complex Logarithmic Expressions
Expand log 6 ( 64 x 3 ( 4x+1 ) ( 2x−1 ) ). log 6 ( 64 x 3 ( 4x+1 ) ( 2x−1 ) ).
Solution
We can expand by applying the Product and Quotient Rules.
Try It #8
Expand ln( (x−1) (2x+1) 2 ( x 2 −9) ). ln( (x−1) (2x+1) 2 ( x 2 −9) ).
Condensing Logarithmic Expressions
We can use the rules of logarithms we just learned to condense sums, differences, and products with the same base as a single logarithm. It is important to remember that the logarithms must have the same base to be combined. We will learn later how to change the base of any logarithm before condensing.
How To
Given a sum, difference, or product of logarithms with the same base, write an equivalent expression as a single logarithm.
Apply the power property first. Identify terms that are products of factors and a logarithm, and rewrite each as the logarithm of a power.
Next apply the product property. Rewrite sums of logarithms as the logarithm of a product.
Apply the quotient property last. Rewrite differences of logarithms as the logarithm of a quotient.
Example 9
Using the Product and Quotient Rules to Combine Logarithms
Write log 3 ( 5 )+ log 3 ( 8 )− log 3 ( 2 ) log 3 ( 5 )+ log 3 ( 8 )− log 3 ( 2 ) as a single logarithm.
Solution
Using the product and quotient rules
This reduces our original expression to
Then, using the quotient rule
Try It #9
ਲੌਗ3−ਲੌਗ4+ਲੌਗ5−ਲੌਗ6 ਦਾ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ। ਲੌਗ3−ਲੌਗ4+ਲੌਗ5−ਲੌਗ6।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਜਟਿਲ ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ
ਲੌਗ 2 ( x 2 )+ 1 2 ਲੌਗ 2 ( x−1 )−3 ਲੌਗ 2 ( ( x+3 ) 2 ) ਦਾ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ। ਲੌਗ 2 ( x 2 )+ 1 2 ਲੌਗ 2 ( x−1 )−3 ਲੌਗ 2 ( ( x+3 ) 2 )।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਉੱਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਘਾਟ ਉੱਤੇ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #10
ਲੌਗ( 5 )+0.5ਲੌਗ( x )−ਲੌਗ( 7x−1 )+3ਲੌਗ( x−1 ) ਨੂੰ ਇੱਕ ਲਘੂਗਣਕ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। ਲੌਗ( 5 )+0.5ਲੌਗ( x )−ਲੌਗ( 7x−1 )+3ਲੌਗ( x−1 )
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਇੱਕ ਲਘੂਗਣਕ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਣਾ
2ਲੌਗx−4ਲੌਗ(x+5)+ 1 x ਲੌਗ( 3x+5 ) ਨੂੰ ਇੱਕ ਲਘੂਗਣਕ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। 2ਲੌਗx−4ਲੌਗ(x+5)+ 1 x ਲੌਗ( 3x+5 )
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਮੁੜ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਜੋੜ ਉੱਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਘਾਟ ਉੱਤੇ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #11
4( 3ਲੌਗ( x )+ਲੌਗ( x+5 )−ਲੌਗ( 2x+3 ) ) ਦਾ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ। 4( 3ਲੌਗ( x )+ਲੌਗ( x+5 )−ਲੌਗ( 2x+3 ) )।
ਉਦਾਹਰਨ 12
ਲੌਗ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦਾ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ, ਰਸਾਇਣ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, pH=−ਲੌਗ[ H + ]। pH=−ਲੌਗ[ H + ]। ਜੇਕਰ ਹਾਈਡਰੋਜਨ ਆਇਨਾਂ ਦੀ ਸੰਗਤਿ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ pH ਉੱਤੇ ਕੀ ਪ੍ਰਭਾਵ ਪੈਂਦਾ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ C C ਹਾਈਡਰੋਜਨ ਆਇਨਾਂ ਦੀ ਮੂਲ ਸੰਗਤਿ ਹੈ, ਅਤੇ P P ਤਰਲ ਦਾ ਮੂਲ pH ਹੈ। ਤਾਂ P=–ਲੌਗ(C)। P=–ਲੌਗ(C)। ਜੇਕਰ ਸੰਗਤਿ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਵੀਂ ਸੰਗਤਿ 2C ਹੈ। 2C। ਤਾਂ ਨਵੇਂ ਤਰਲ ਦਾ pH ਹੈ
ਲਘੂਰਕ (logarithm) ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਕਿਉਂਕਿ P = –log(C), P = –log(C), ਨਵਾਂ pH ਹੈ
ਜਦੋਂ ਹਾਈਡਰੋਜਨ ਆਇਨਾਂ ਦੀ ਸੰਗਣਤਾ (concentration) ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ pH ਲਗਭਗ 0.301 ਘੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #12
pH ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਧਨ ਹਾਈਡਰੋਜਨ ਆਇਨਾਂ ਦੀ ਸੰਗਣਤਾ ਅੱਧੀ ਘਟਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ?
ਲਘੂਰਕਾਂ (logarithms) ਲਈ ਅਧਾਰ-ਬਦਲੀ ਸੂਤਰ (Change-of-Base Formula) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਸਿਰਫ਼ ਆਮ (common) ਅਤੇ ਕੁਦਰਤੀ (natural) ਲਘੂਰਕਾਂ ਦਾ ਹੀ ਮੁੱਲ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਨ। 10 ਜਾਂ e ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਅਧਾਰ ਵਾਲੇ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅਧਾਰ-ਬਦਲੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਘੂਰਕ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹੋਰ ਅਧਾਰ ਦੇ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ (quotient) ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ; ਜਦੋਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਆਮ ਜਾਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਅਧਾਰ-ਬਦਲੀ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲਘੂਰਕਾਂ ਲਈ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ (one-to-one property) ਅਤੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ (power rule) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕੋਈ ਵੀ ਧਨ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ M, b, ਅਤੇ n ਦਿੱਤੀਆਂ ਹੋਣ, ਜਿੱਥੇ n≠1 ਅਤੇ b≠1, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ
ਮੰਨ ਲਓ y = log<sub>b</sub> M. ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਅਧਾਰ b ਨਾਲ ਘਾਤਾਂਕ (exponentiating) ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਘਾਤ ਰੂਪ (exponential form) ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ, ਭਾਵ b<sup>y</sup> = M. ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ ਕਿ
ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ log<sub>5</sub> 36 ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਆਮ ਜਾਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਆਮ ਲਘੂਰਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਅਧਾਰ-ਬਦਲੀ ਸੂਤਰ
ਅਧਾਰ-ਬਦਲੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਧਾਰ ਵਾਲੇ ਲਘੂਰਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਕੋਈ ਵੀ ਧਨ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ M, b, ਅਤੇ n ਦਿੱਤੀਆਂ ਹੋਣ, ਜਿੱਥੇ n≠1 ਅਤੇ b≠1,
ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਧਾਰ-ਬਦਲੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਧਾਰ ਵਾਲੇ ਲਘੂਰਕ ਨੂੰ ਆਮ ਜਾਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਅਤੇ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
log<sub>b</sub> M ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲਘੂਰਕ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਇਸਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨ ਅਧਾਰ n, ਜਿੱਥੇ n≠1, ਦੇ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਅਧਾਰ-ਬਦਲੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਨਵਾਂ ਅਧਾਰ n ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ, ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਆਮ ਲਘੂਰਕ, log(x), ਦਾ ਅਧਾਰ 10 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕ, ln(x), ਦਾ ਅਧਾਰ e ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਧਾਰ-ਬਦਲੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਘੂਰਕ ਨੂੰ ਇੱਕ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਧਾਰ n ਅਤੇ ਅਰਗੂਮੈਂਟ M ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਲਘੂਰਕ ਹੋਵੇਗਾ। ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਹਰ (denominator) ਅਧਾਰ n ਅਤੇ ਅਰਗੂਮੈਂਟ b ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਲਘੂਰਕ ਹੋਵੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 13
ਲਘੂਰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ
log<sub>5</sub> 3 ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਲਾਗ 5 3 ਲਾਗ 5 3 ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਲਾਗਾਰਿਥਮ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਾਂਗੇ, ਨਵਾਂ ਅਧਾਰ, n=e ਹੈ। n=e ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਬਦਲਾਅ-ਦੇ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਾਗ ਨੂੰ ਇੱਕ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਅੰਸ਼ ਕੁਦਰਤੀ ਲਾਗ ਹੋਵੇਗਾ ਜਿਸਦਾ ਤਰਕ 3 ਹੈ। ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਹਰ ਕੁਦਰਤੀ ਲਾਗ ਹੋਵੇਗਾ ਜਿਸਦਾ ਤਰਕ 5 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #13
ਲਾਗ 0.5 8 ਲਾਗ 0.5 8 ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਲਾਗਾਰਿਥਮ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
Q&A
ਕੀ ਅਸੀਂ ਆਮ ਲਾਗਾਰਿਥਮ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਲਾਗਾਰਿਥਮ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਹਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਲਾਗ9 ਲਾਗ9 ਦਾ ਮਤਲਬ ਲਾਗ 10 9 ਹੈ। ਲਾਗ 10 9। ਇਸ ਲਈ, ਲਾਗ9= ln9 ln10। ਲਾਗ9= ln9 ln10।
ਉਦਾਹਰਨ 14
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਨਾਲ ਬਦਲਾਅ-ਦੇ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਬਦਲਾਅ-ਦੇ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਾਗ 2 (10) ਲਾਗ 2 (10) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਬਦਲਾਅ-ਦੇ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਅਸੀਂ ਲਾਗ ਅਧਾਰ 2 ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਅਧਾਰ ਦੇ ਲਾਗਾਰਿਥਮ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਕੁਦਰਤੀ ਲਾਗ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਾਗਾਰਿਥਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਲਾਗ ਅਧਾਰ e ਹੈ। e।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #14
ਬਦਲਾਅ-ਦੇ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਾਗ 5 (100) ਲਾਗ 5 (100) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਲਾਗਾਰਿਥਮ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਲਾਗਾਰਿਥਮ ਦੇ ਗੁਣ
ਲਾਗਾਰਿਥਮਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ
ਕੁਦਰਤੀ ਲਾਗਾਰਿਥਮਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਸ਼ਬਦਿਕ
ਲਾਗਾਰਿਥਮ ਲਈ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਲਾਗਾਰਿਥਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਰੂਪ ਲਾਗ ਬੀ ( x ਐਨ ) ਹੈ? ਲਾਗ ਬੀ ( x ਐਨ )?
ਬਦਲਾਅ-ਦੇ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕੀ ਕਰਦਾ ਹੈ? ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਇਹ ਕਿਉਂ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ?
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਲਾਗਾਰਿਥਮ ਦਾ ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਲਾਗ ਦੇ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਜਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਲਾਗ ਬੀ ( 7x⋅2y ) ਲਾਗ ਬੀ ( 7x⋅2y )
ln( 3ab⋅5c ) ln( 3ab⋅5c )
log b ( 13 17 ) log b ( 13 17 )
log 4 ( x z w ) log 4 ( x z w )
ln( 1 4 k ) ln( 1 4 k )
log 2 ( y x ) log 2 ( y x )
For the following exercises, condense to a single logarithm if possible.
ln( 7 )+ln( x )+ln( y ) ln( 7 )+ln( x )+ln( y )
log 3 (2)+ log 3 (a)+ log 3 (11)+ log 3 (b) log 3 (2)+ log 3 (a)+ log 3 (11)+ log 3 (b)
log b (28)− log b (7) log b (28)− log b (7)
ln( a )−ln( d )−ln( c ) ln( a )−ln( d )−ln( c )
− log b ( 1 7 ) − log b ( 1 7 )
1 3 ln( 8 ) 1 3 ln( 8 )
For the following exercises, use the properties of logarithms to expand each logarithm as much as possible. Rewrite each expression as a sum, difference, or product of logs.
log( x 15 y 13 z 19 ) log( x 15 y 13 z 19 )
ln( a −2 b −4 c 5 ) ln( a −2 b −4 c 5 )
log( x 3 y −4 ) log( x 3 y −4 )
ln( y y 1−y ) ln( y y 1−y )
log( x 2 y 3 x 2 y 5 3 ) log( x 2 y 3 x 2 y 5 3 )
For the following exercises, condense each expression to a single logarithm using the properties of logarithms.
log( 2 x 4 )+log( 3 x 5 ) log( 2 x 4 )+log( 3 x 5 )
ln(6 x 9 )−ln(3 x 2 ) ln(6 x 9 )−ln(3 x 2 )
2log(x)+3log(x+1) 2log(x)+3log(x+1)
log(x)− 1 2 log(y)+3log(z) log(x)− 1 2 log(y)+3log(z)
4 log 7 ( c )+ log 7 ( a ) 3 + log 7 ( b ) 3 4 log 7 ( c )+ log 7 ( a ) 3 + log 7 ( b ) 3
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਆਧਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਾਗਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
2. ਲਾਗ 7 (15) ਨੂੰ ਆਧਾਰ e ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
3. ਲਾਗ 14 (55.875) ਨੂੰ ਆਧਾਰ 10 ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
4. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਲਾਗ 5 (6) = a ਅਤੇ ਲਾਗ 5 (11) = b ਹੈ। ਲਾਗਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਬਦਲ-ਆਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ a ਅਤੇ b ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਕਦਮ ਦਿਖਾਓ।
5. ਲਾਗ 11 (5)
6. ਲਾਗ 6 (55)
7. ਲਾਗ 11 (6/11)
8. ਸੰਖਿਆਤਮਕ
9. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਗਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
10. ਲਾਗ 3 (1/9) - 3 ਲਾਗ 3 (3)
11. 6 ਲਾਗ 8 (2) + ਲਾਗ 8 (64) / 3 ਲਾਗ 8 (4)
12. 2 ਲਾਗ 9 (3) - 4 ਲਾਗ 9 (3) + ਲਾਗ 9 (1/729)
13. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੁਦਰਤੀ ਲਾਗਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਦਲ-ਆਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਪੰਜ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
14. ਲਾਗ 3 (22)
15. ਲਾਗ 8 (65)
16. ਲਾਗ 6 (5.38)
17. ਲਾਗ 4 (15/2)
18. ਲਾਗ 1/2 (4.7)
19. ਵਿਸਥਾਰ
20. ਲਾਗਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਹ ਸਾਰੇ x ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਲਾਗ 12 (2x+6) + ਲਾਗ 12 (x+2) = 2 ਹੈ। ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਕਦਮ ਦਿਖਾਓ।
21. ਲਾਗਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਹ ਸਾਰੇ x ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਲਾਗ 6 (x+2) - ਲਾਗ 6 (x-3) = 1 ਹੈ। ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਕਦਮ ਦਿਖਾਓ।
22. ਕੀ ਲਾਗਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨ b^x = m ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਕਾਰਨ ਦੱਸੋ। ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਿਰਮਾਣ ਦਿਖਾਓ।
23. ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਲਾਗ b (n) = 1 / ਲਾਗ n (b) ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ b > 1 ਅਤੇ n > 1 ਲਈ।
24. ਕੀ ਲਾਗ 81 (2401) = ਲਾਗ 3 (7) ਹੈ? ਦਾਅਵੇ ਨੂੰ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਕਰੋ।