ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਲਘੂਰਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਲਘੂਰਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਮਾਡਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਬਣਾਉਣਾ ਸਾਨੂੰ ਭਵਿੱਖ ਦੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਹੋਰ ਪੱਧਰ ਦੀ ਸਮਝ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਲਘੂਰਤਕ ਗ੍ਰਾਫ ਸਾਨੂੰ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਸਮਝ ਦਿੰਦੇ ਹਨ? ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ ਲਘੂਰਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਹਰ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨੂੰ ਲਘੂਰਤਕ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਉਲਟਾ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਇਨਪੁੱਟ ਵਜੋਂ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਲਘੂਰਤਕ ਕਾਰਨ ਲਈ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ ਦੇਣ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ $2500 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ 5% ਦੀ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ ਦੀ ਪੇਸ਼ਕਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਨਿਰੰਤਰ ਮਿਸ਼ਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਾਲ t ਲਈ ਸਾਡੇ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਬਕਾਇਆ A=2500 e 0.05t ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਪਰ ਜੇ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਕਾਇਆ ਲਈ ਸਾਲ ਜਾਨਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ? ਸਾਨੂੰ ਇਨਪੁੱਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧਿਤ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ; ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਲਘੂਰਤਕ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ। ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਇਨਪੁੱਟ (ਖਾਤੇ ਦਾ ਬਕਾਇਆ) ਲਈ ਆਉਟਪੁੱਟ (ਸਾਲ) ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇ ਅਸੀਂ ਜਾਨਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਨਿਵੇਸ਼ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਸਾਲ ਲੱਗਣਗੇ? ਚਿੱਤਰ 1 ਲਘੂਰਤਕ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਲਘੂਰਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਲਘੂਰਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਵੱਲ ਆਪਣਾ ਧਿਆਨ ਦੇਵਾਂਗੇ।
ਲਘੂਰਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਲੱਭਣਾ
ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ (ਡੋਮੇਨ) 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰਾਂਗੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਲਘੂਰਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ।
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x ਅਤੇ ਸਥਿਰ b>0, b≠1 ਲਈ y= b x ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ
y ਦਾ ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ) ਹੈ।
y ਦਾ ਰੇਂਜ ( 0,∞ ) ਹੈ।
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਿਆ ਕਿ ਲਘੂਰਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨ y= log b ( x ) ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y= b x ਦਾ ਉਲਟਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਉਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਜੋਂ:
y= log b ( x ) ਦਾ ਡੋਮੇਨ y= b x ਦਾ ਰੇਂਜ ਹੈ: ( 0,∞ )।
y= log b ( x ) ਦਾ ਰੇਂਜ y= b x ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਹੈ: ( −∞,∞ )।
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y= log b ( x ) ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਹੋਰ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੇ ਚਾਰ ਕਿਸਮਾਂ - ਸ਼ਿਫਟ, ਖਿੱਚ, ਸੰਕੁਚਨ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਕੁਝ ਪਰਿਵਰਤਨ y= b x ਦੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y= log b ( x ) 'ਤੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਨਾਲ ਡੋਮੇਨ ਬਦਲ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਲਘੂਰਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਵੇਲੇ, ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਭਾਵ, ਲਘੂਰਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਰਗੂਮੈਂਟ ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x)= log 4 ( 2x−3 ) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ x ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਆਰਗੂਮੈਂਟ, ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ 2x−3, ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਡੋਮੇਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇੰਟਰਵਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, f(x)= log 4 ( 2x−3 ) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ( 1.5,∞ ) ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਲਘੂਰਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਡੋਮੇਨ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਆਰਗੂਮੈਂਟ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਦਿਖਾਉਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।
x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
Write the domain in interval notation.
Example 1
Identifying the Domain of a Logarithmic Shift
What is the domain of f(x)= log 2 (x+3)? f(x)= log 2 (x+3)?
Solution
The logarithmic function is defined only when the input is positive, so this function is defined when x+3>0. x+3>0. Solving this inequality,
The domain of f(x)= log 2 (x+3) f(x)= log 2 (x+3) is ( −3,∞ ). ( −3,∞ ).
Try It #1
What is the domain of f(x)= log 5 (x−2)+1? f(x)= log 5 (x−2)+1?
Example 2
Identifying the Domain of a Logarithmic Shift and Reflection
What is the domain of f(x)=log(5−2x)? f(x)=log(5−2x)?
Solution
The logarithmic function is defined only when the input is positive, so this function is defined when 5–2x>0. 5–2x>0. Solving this inequality,
The domain of f(x)=log(5−2x) f(x)=log(5−2x) is ( –∞, 5 2 ). ( –∞, 5 2 ).
Try It #2
What is the domain of f(x)=log(x−5)+2? f(x)=log(x−5)+2?
Graphing Logarithmic Functions
Now that we have a feel for the set of values for which a logarithmic function is defined, we move on to graphing logarithmic functions. The family of logarithmic functions includes the parent function y= log b ( x ) y= log b ( x ) along with all its transformations: shifts, stretches, compressions, and reflections.
We begin with the parent function y= log b ( x ). y= log b ( x ). Because every logarithmic function of this form is the inverse of an exponential function with the form y= b x , y= b x , their graphs will be reflections of each other across the line y=x. y=x. To illustrate this, we can observe the relationship between the input and output values of y= 2 x y= 2 x and its equivalent x= log 2 (y) x= log 2 (y) in Table 1.
row: x x | −3 −3 | −2 −2 | −1 −1 | 0 0 | 1 1 | 2 2 | 3 3
row: 2 x =y 2 x =y | 1 8 1 8 | 1 4 1 4 | 1 2 1 2 | 1 1 | 2 2 | 4 4 | 8 8
row: log 2 ( y )=x log 2 ( y )=x | −3 −3 | −2 −2 | −1 −1 | 0 0 | 1 1 | 2 2 | 3 3
Using the inputs and outputs from Table 1, we can build another table to observe the relationship between points on the graphs of the inverse functions f(x)= 2 x f(x)= 2 x and g(x)= log 2 (x). g(x)= log 2 (x). See Table 2.
f(x) = 2^x | (−3, 1/8) | (−2, 1/4) | (−1, 1/2) | (0,1) | (1,2) | (2,4) | (3,8)
g(x) = log₂(x) | (1/8,−3) | (1/4,−2) | (1/2,−1) | (1,0) | (2,1) | (4,2) | (8,3)
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ x- ਅਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਉਲਟੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 2 f ਅਤੇ g ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ f(x) = 2^x ਅਤੇ g(x) = log₂(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ y=x ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹਨ।
ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ:
f(x) = 2^x ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,1) 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ g(x) = log₂(x) ਦਾ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (1,0) 'ਤੇ ਹੈ।
f(x) = 2^x, (−∞,∞), ਦਾ ਡੋਮੇਨ, g(x) = log₂(x) ਦੀ ਰੇਂਜ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
f(x) = 2^x, (0,∞), ਦੀ ਰੇਂਜ, g(x) = log₂(x) ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ, f(x) = log<0xE2><0x82><0x99>(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ:
ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x ਅਤੇ ਸਥਿਰ b>0, b≠1 ਲਈ, ਅਸੀਂ f(x) = log<0xE2><0x82><0x99>(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਲੰਬੀਅਸਮਤੋਟ: x=0
ਡੋਮੇਨ: (0,∞)
ਰੇਂਜ: (−∞,∞)
x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ: (1,0) ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂ (b,1)
y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ: ਕੋਈ ਨਹੀਂ
ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ b>1
ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ 0<b<1
ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 4, f(x) = log<0xE2><0x82><0x99>(x) ਵਿੱਚ ਅਧਾਰ b ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਲੰਬਵਤ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਧਾਰ ਦਾ ਮੁੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। (ਨੋਟ: ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ln(x) ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅਧਾਰ e≈2.718 ਹੈ।)
ਚਿੱਤਰ 4: ਤਿੰਨ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਅਧਾਰਾਂ ਨਾਲ, ਸਾਰੇ 1 ਤੋਂ ਵੱਡੇ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
f(x) = log<0xE2><0x82><0x99>(x) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਲੰਬੀਅਸਮਤੋਟ, x=0, ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਬਿੰਦੂ (1,0) ਨੂੰ ਦਰਸਾਓ। (1,0)।
ਬਿੰਦੂ (b,1) ਨੂੰ ਦਰਸਾਓ। (b,1)।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ।
ਡੋਮੇਨ (0,∞), (0,∞), ਰੇਂਜ (−∞,∞), (−∞,∞), ਅਤੇ ਲੰਬੀ ਅਸਮਤੋਟ, x=0, x=0 ਦੱਸੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
f(x) = logb(x) ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਲਘੂਗਣਕ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ।
f(x)= log 5 (x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। f(x)= log 5 (x)। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ, ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟ ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਕਿਉਂਕਿ b=5, b=5 ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫਲਨ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਲੰਬੀ ਅਸਮਤੋਟ x=0, x=0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚੇਗਾ, ਅਤੇ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਹੌਲੀ-ਹੌਲੀ ਵਧੇਗਾ।
x-ਅੰਤਰਨ (1,0) ਹੈ। (1,0)।
ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂ (5,1) (5,1) ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਅਸਮਤੋਟ ਨੂੰ ਖਿੱਚਦੇ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 5 ਦੇਖੋ)।
ਡੋਮੇਨ (0,∞), (0,∞), ਰੇਂਜ (−∞,∞), (−∞,∞), ਅਤੇ ਲੰਬੀ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਹੈ। x=0।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #3
f(x)= log 1/5 (x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। f(x)= log 1/5 (x)। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ, ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟ ਦੱਸੋ।
ਲਘੂਗਣਕ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਲਘੂਗਣਕ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਦੂਜੇ ਮੂਲ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫਲਨ y= log b (x) y= log b (x) ਨੂੰ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੇ ਬਿਨਾਂ ਖਿੱਚ, ਖਿੱਚ, ਸੰਕੋਚ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
f(x) = logb(x) ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸ਼ਿਫਟ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਜਦੋਂ ਮੂਲ ਫਲਨ f(x)=logb(x) f(x)=logb(x) ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ c c ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ c ਉੱਤੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ c ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫਲਨ f(x)= log b (x) f(x)= log b (x) ਦੇ ਆਮ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ c>0 c>0 ਲਈ ਖੱਬੇ ਸ਼ਿਫਟ, g(x)= log b (x+c), g(x)= log b (x+c), ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਸ਼ਿਫਟ, h(x)= log b (x−c) h(x)= log b (x−c) ਦੇ ਨਾਲ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇਖੋ।
ਮੂਲ ਫਲਨ f(x)= log b (x) f(x)= log b (x) ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸ਼ਿਫਟ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਰਾਂਕ c ਲਈ, c, ਫਲਨ f(x)= log b (x+c) f(x)= log b (x+c)
ਜੇਕਰ c>0 c>0 ਹੈ ਤਾਂ ਮੂਲ ਫਲਨ y= log b (x) y= log b (x) ਨੂੰ c c ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ c<0 c<0 ਹੈ ਤਾਂ ਮੂਲ ਫਲਨ y= log b (x) y= log b (x) ਨੂੰ c c ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਦੀ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟ x=−c ਹੈ। x=−c।
ਦਾ ਡੋਮੇਨ ( −c,∞ ) ਹੈ। ( −c,∞ )।
ਦੀ ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ) ਹੈ। ( −∞,∞ )।
ਕਿਵੇਂ
ਜੇਕਰ f(x)= log b ( x+c ) ਰੂਪ ਦਾ ਲਘੂਰਿਦਮਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, f(x)= log b ( x+c ), ਤਾਂ ਟ੍ਰਾਂਸਲੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਹੋਰਿਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ: ਜੇਕਰ c>0, c>0, ਤਾਂ f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ c c ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ c<0, c<0, ਤਾਂ f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ c c ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ।
ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟ x=−c ਬਣਾਓ। x=−c।
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਨਵੇਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਲੱਭੋ, x x ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਵਿੱਚੋਂ c c ਘਟਾ ਕੇ।
ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਡੋਮੇਨ ( −c,∞ ) ਹੈ, ( −c,∞ ), ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ) ਹੈ, ( −∞,∞ ), ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟ x=−c ਹੈ। x=−c।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y = logb(x) ਦੀ ਹੋਰਿਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ
f(x)= log 3 (x−2) f(x)= log 3 (x−2) ਦੀ ਹੋਰਿਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਸਕੈਚ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਅਸਿੰਪਟੋਟਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸਿੰਪਟੋਟ ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= log 3 (x−2) ਹੈ, f(x)= log 3 (x−2), ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x+( −2 )=x–2। x+( −2 )=x–2।
ਇਸ ਲਈ c=−2, c=−2, ਇਸ ਲਈ c<0। c<0। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ f(x)= log 3 (x) f(x)= log 3 (x) ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਾਂਗੇ।
ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟ x=−(−2) x=−(−2) ਜਾਂ x=2 ਹੈ। x=2।
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ( 1 3 ,−1 ), ( 1 3 ,−1 ), ( 1,0 ), ( 1,0 ), ਅਤੇ ( 3,1 )। ( 3,1 )।
ਨਵੇਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ x x ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਵਿੱਚ 2 ਜੋੜ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ( 7 3 ,−1 ), ( 7 3 ,−1 ), ( 3,0 ), ( 3,0 ), ਅਤੇ ( 5,1 ) ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ। ( 5,1 )।
ਡੋਮੇਨ ( 2,∞ ) ਹੈ, ( 2,∞ ), ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ) ਹੈ, ( −∞,∞ ), ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟ x=2 ਹੈ। x=2।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
f(x)= log 3 (x+4) f(x)= log 3 (x+4) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਸਕੈਚ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਅਸਿੰਪਟੋਟਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸਿੰਪਟੋਟ ਦੱਸੋ।
f(x) = logb(x) ਦੀ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਸਥਿਰ d ਨੂੰ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= log b ( x ) ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ d ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ d ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= log b ( x ) ਦੇ ਆਮ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ, g(x)= log b ( x )+d ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ, h(x)= log b ( x )−d ਦੇ ਨਾਲ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 8 ਵੇਖੋ।
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y= log b ( x ) ਦੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਰ d ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= log b ( x )+d
ਜੇ d>0, ਤਾਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y= log b ( x ) ਨੂੰ d ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਜੇ d<0, ਤਾਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y= log b ( x ) ਨੂੰ d ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ x=0 ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ ( 0,∞ ) ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ) ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
f(x)= log b ( x )+d ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਨੁਵਾਦ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ: ਜੇ d>0, ਤਾਂ f(x)= log b ( x ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ d ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ। ਜੇ d<0, ਤਾਂ f(x)= log b ( x ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ d ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ x=0 ਬਣਾਓ।
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। y ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਵਿੱਚ d ਜੋੜ ਕੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਨਵੇਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਲੱਭੋ।
ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਡੋਮੇਨ ( 0,∞ ), ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ), ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ x=0 ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = logb(x) ਦੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
f(x)= log 3 (x)−2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਸਕੈਚ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ, ਅਤੇ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= log 3 (x)−2 ਹੈ, ਅਸੀਂ d=–2 ਦੇਖਾਂਗੇ। ਇਸ ਲਈ d<0।
ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= log 3 (x) ਨੂੰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਾਂਗੇ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ x=0 ਹੈ।
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ, ( 1 3 ,−1 ), ( 1,0 ), ਅਤੇ ( 3,1 ) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਨਵੇਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ y ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 2 ਘਟਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
1. ਬਿੰਦੂਆਂ ( 1 3 ,−3 ), ( 1 3 ,−3 ), ( 1,−2 ), ( 1,−2 ), ਅਤੇ ( 3,−1 ) ( 3,−1 ) ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
2. ਡੋਮੇਨ ( 0,∞ ), ( 0,∞ ) ਹੈ, ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ) ਹੈ, ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਹੈ। x=0 ਹੈ।
3. ਡੋਮੇਨ ( 0,∞ ), ( 0,∞ ) ਹੈ, ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ) ਹੈ, ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਹੈ। x=0 ਹੈ।
4. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
5. f(x)= log 2 (x)+2 f(x)= log 2 (x)+2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇਸਦੇ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਖਿੱਚੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ, ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟ ਦੱਸੋ।
6. f(x) = logb(x) f(x) = logb(x) ਦੀਆਂ ਖਿੱਚਾਂ ਅਤੇ ਸੰਕੋਚਨਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
7. ਜਦੋਂ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ a>0, a>0 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਸਟ੍ਰੈਚ ਜਾਂ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਟ੍ਰੈਚਾਂ ਅਤੇ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ a>1 a>1 ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) ਦੇ ਆਮ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਵਰਟੀਕਲ ਸਟ੍ਰੈਚ, g(x)=a log b ( x ) g(x)=a log b ( x ) ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ, h(x)= 1 a log b ( x ) ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। h(x)= 1 a log b ( x )। ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇਖੋ।
8. ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ y= log b ( x ) y= log b ( x ) ਦੇ ਵਰਟੀਕਲ ਸਟ੍ਰੈਚ ਅਤੇ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ
9. ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਰਾਂਕ a>1, a>1 ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=a log b ( x ) f(x)=a log b ( x )
10. ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ y= log b ( x ) y= log b ( x ) ਨੂੰ a a ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ a>1। a>1।
11. ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ y= log b ( x ) y= log b ( x ) ਨੂੰ a a ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਸੰਕੋਚਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ 0<a<1। 0<a<1।
12. ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਹੈ। x=0 ਹੈ।
13. x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ( 1,0 ) ਹੈ। ( 1,0 ) ਹੈ।
14. ਡੋਮੇਨ ( 0,∞ ) ਹੈ। ( 0,∞ ) ਹੈ।
15. ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ) ਹੈ। ( −∞,∞ ) ਹੈ।
16. ਕਿਵੇਂ
17. f(x)=a log b ( x ), a>0, a>0 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਨੁਵਾਦ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
18. ਵਰਟੀਕਲ ਸਟ੍ਰੈਚ ਜਾਂ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ: ਜੇਕਰ |a|>1, |a|>1, ਤਾਂ f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ a a ਇਕਾਈਆਂ ਦੁਆਰਾ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ |a|<1, |a|<1, ਤਾਂ f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ a a ਇਕਾਈਆਂ ਦੁਆਰਾ ਸੰਕੋਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
19. ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਬਣਾਓ। x=0 ਬਣਾਓ।
20. ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। y y ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ a a ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਨਵੇਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਲੱਭੋ।
21. ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
22. ਡੋਮੇਨ ( 0,∞ ), ( 0,∞ ) ਹੈ, ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ) ਹੈ, ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਹੈ। x=0 ਹੈ।
23. ਉਦਾਹਰਨ 6
24. ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = logb(x) f(x) = logb(x) ਦੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੋਚਨ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
Sketch a graph of f(x)=2 log 4 (x) f(x)=2 log 4 (x) alongside its parent function. Include the key points and asymptote on the graph. State the domain, range, and asymptote.
Solution
Since the function is f(x)=2 log 4 (x), f(x)=2 log 4 (x), we will notice a=2. a=2.
This means we will stretch the function f(x)= log 4 (x) f(x)= log 4 (x) by a factor of 2.
The vertical asymptote is x=0. x=0.
Consider the three key points from the parent function, ( 1 4 ,−1 ), ( 1 4 ,−1 ), ( 1,0 ), ( 1,0 ), and ( 4,1 ). ( 4,1 ).
The new coordinates are found by multiplying the y y coordinates by 2.
Label the points ( 1 4 ,−2 ), ( 1 4 ,−2 ), ( 1,0 ), ( 1,0 ), and ( 4,2 ). ( 4,2 ).
The domain is ( 0,∞ ), ( 0,∞ ), the range is ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), and the vertical asymptote is x=0. x=0. See Figure 11.
The domain is ( 0,∞ ), ( 0,∞ ), the range is ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), and the vertical asymptote is x=0. x=0.
Try It #6
Sketch a graph of f(x)= 1 2 log 4 (x) f(x)= 1 2 log 4 (x) alongside its parent function. Include the key points and asymptote on the graph. State the domain, range, and asymptote.
Example 7
Combining a Shift and a Stretch
Sketch a graph of f(x)=5log(x+2). f(x)=5log(x+2). State the domain, range, and asymptote.
Solution
Remember: what happens inside parentheses happens first. First, we move the graph left 2 units, then stretch the function vertically by a factor of 5, as in Figure 12. The vertical asymptote will be shifted to x=−2. x=−2. The x-intercept will be (−1,0). (−1,0). The domain will be ( −2,∞ ). ( −2,∞ ). Two points will help give the shape of the graph: (−1,0) (−1,0) and (8,5). (8,5). We chose x=8 x=8 as the x-coordinate of one point to graph because when x=8, x=8, x+2=10, x+2=10, the base of the common logarithm.
The domain is ( −2,∞ ), ( −2,∞ ), the range is ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), and the vertical asymptote is x=−2. x=−2.
Try It #7
Sketch a graph of the function f(x)=3log(x−2)+1. f(x)=3log(x−2)+1. State the domain, range, and asymptote.
Graphing Reflections of f(x) = logb(x)
When the parent function f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) is multiplied by −1, −1, the result is a reflection about the x-axis. When the input is multiplied by −1, −1, the result is a reflection about the y-axis. To visualize reflections, we restrict b>1, b>1, and observe the general graph of the parent function f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) alongside the reflection about the x-axis, g(x)= −log b ( x ) g(x)= −log b ( x ) and the reflection about the y-axis, h(x)= log b ( −x ). h(x)= log b ( −x ).
Reflections of the Parent Function y= log b ( x ) y= log b ( x )
The function f(x)= −log b ( x ) f(x)= −log b ( x )
reflects the parent function y= log b ( x ) y= log b ( x ) about the x-axis.
has domain, ( 0,∞ ), ( 0,∞ ), range, ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), and vertical asymptote, x=0, x=0, which are unchanged from the parent function.
The function f(x)= log b ( −x ) f(x)= log b ( −x )
reflects the parent function y= log b ( x ) y= log b ( x ) about the y-axis.
has domain ( −∞,0 ). ( −∞,0 ).
has range, ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), and vertical asymptote, x=0, x=0, which are unchanged from the parent function.
How To
Given a logarithmic function with the parent function f(x)= log b ( x ), f(x)= log b ( x ), graph a translation.
row: If f(x)=− log b (x) If f(x)=− log b (x) | If f(x)= log b (−x) If f(x)= log b (−x)
row: 1. Draw the vertical asymptote, x=0. x=0. | 1. Draw the vertical asymptote, x=0. x=0.
row: 2. Plot the x-intercept, ( 1,0 ). ( 1,0 ). | 2. Plot the x-intercept, ( 1,0 ). ( 1,0 ).
row: 3. Reflect the graph of the parent function f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) about the x-axis. | 3. Reflect the graph of the parent function f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) about the y-axis.
row: 4. Draw a smooth curve through the points. | 4. Draw a smooth curve through the points.
row: 5. State the domain, (0, ∞), the range, (−∞, ∞), and the vertical asymptote x=0 x=0. | 5. State the domain, (−∞, 0) the range, (−∞, ∞) and the vertical asymptote x=0. x=0.
Example 8
Graphing a Reflection of a Logarithmic Function
Sketch a graph of f(x)=log(−x) f(x)=log(−x) alongside its parent function. Include the key points and asymptote on the graph. State the domain, range, and asymptote.
Solution
Before graphing f(x)=log(−x), f(x)=log(−x), identify the behavior and key points for the graph.
Since b=10 b=10 is greater than one, we know that the parent function is increasing. Since the input value is multiplied by −1, −1, f f is a reflection of the parent graph about the y-axis. Thus, f(x)=log(−x) f(x)=log(−x) will be decreasing as x x moves from negative infinity to zero, and the right tail of the graph will approach the vertical asymptote x=0. x=0.
The x-intercept is ( −1,0 ). ( −1,0 ).
We draw and label the asymptote, plot and label the points, and draw a smooth curve through the points.
The domain is ( −∞,0 ), ( −∞,0 ), the range is ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), and the vertical asymptote is x=0. x=0.
Try It #8
Graph f(x)=−log(−x). f(x)=−log(−x). State the domain, range, and asymptote.
How To
Given a logarithmic equation, use a graphing calculator to approximate solutions.
Press [Y=]. Enter the given logarithm equation or equations as Y1= and, if needed, Y2=.
Press [GRAPH] to observe the graphs of the curves and use [WINDOW] to find an appropriate view of the graphs, including their point(s) of intersection.
To find the value of x, x, we compute the point of intersection. Press [2ND] then [CALC]. Select “intersect” and press [ENTER] three times. The point of intersection gives the value of x, x, for the point(s) of intersection.
Example 9
Approximating the Solution of a Logarithmic Equation
Solve 4ln( x )+1=−2ln( x−1 ) 4ln( x )+1=−2ln( x−1 ) graphically. Round to the nearest thousandth.
Solution
Press [Y=] and enter 4ln( x )+1 4ln( x )+1 next to Y1=. Then enter −2ln( x−1 ) −2ln( x−1 ) next to Y2=. For a window, use the values 0 to 5 for x x and –10 to 10 for y. y. Press [GRAPH]. The graphs should intersect somewhere a little to right of x=1. x=1.
For a better approximation, press [2ND] then [CALC]. Select [5: intersect] and press [ENTER] three times. The x-coordinate of the point of intersection is displayed as 1.3385297. (Your answer may be different if you use a different window or use a different value for Guess?) So, to the nearest thousandth, x≈1.339. x≈1.339.
Try It #9
Solve 5log( x+2 )=4−log( x ) 5log( x+2 )=4−log( x ) graphically. Round to the nearest thousandth.
Summarizing Translations of the Logarithmic Function
Now that we have worked with each type of translation for the logarithmic function, we can summarize each in Table 4 to arrive at the general equation for translating exponential functions.
row: Transformations of the Parent Function y= log b ( x ) y= log b ( x )
row: Transformation | Form
row: Shift Horizontally c c units to the left Vertically d d units up | y= log b ( x+c )+d y= log b ( x+c )+d
row: Stretch and Compress Stretch if | a |>1 | a |>1 Compression if | a |<1 | a |<1 | y=a log b ( x ) y=a log b ( x )
row: Reflect about the x-axis | y=− log b ( x ) y=− log b ( x )
row: Reflect about the y-axis | y= log b ( −x ) y= log b ( −x )
row: General equation for all translations | y=a log b (x+c)+d y=a log b (x+c)+d
Transformations of Logarithmic Functions
All transformations of the parent logarithmic function, y= log b ( x ), y= log b ( x ), have the form
where the parent function, y= log b ( x ),b>1, y= log b ( x ),b>1, is
shifted vertically up d d units.
shifted horizontally to the left c c units.
stretched vertically by a factor of | a | | a | if | a |>0. | a |>0.
compressed vertically by a factor of | a | | a | if 0<| a |<1. 0<| a |<1.
reflected about the x-axis when a<0. a<0.
For f( x )=log( −x ), f( x )=log( −x ), the graph of the parent function is reflected about the y-axis.
Example 10
Finding the Vertical Asymptote of a Logarithm Graph
What is the vertical asymptote of f(x)=−2 log 3 (x+4)+5? f(x)=−2 log 3 (x+4)+5?
Solution
The vertical asymptote is at x=−4. x=−4.
Analysis
The coefficient, the base, and the upward translation do not affect the asymptote. The shift of the curve 4 units to the left shifts the vertical asymptote to x=−4. x=−4.
Try It #10
What is the vertical asymptote of f(x)=3+ln(x−1)? f(x)=3+ln(x−1)?
Example 11
Finding the Equation from a Graph
Find a possible equation for the common logarithmic function graphed in Figure 15.
Solution
This graph has a vertical asymptote at x=–2 x=–2 and has been vertically reflected. We do not know yet the vertical shift or the vertical stretch. We know so far that the equation will have form:
It appears the graph passes through the points ( –1,1 ) ( –1,1 ) and ( 2,–1 ). ( 2,–1 ). Substituting ( –1,1 ), ( –1,1 ),
Next, substituting in ( 2,–1 ) ( 2,–1 ) ,
This gives us the equation f(x)=– 2 log(4) log(x+2)+1. f(x)=– 2 log(4) log(x+2)+1.
Analysis
We can verify this answer by comparing the function values in Table 5 with the points on the graph in Figure 15.
row: x x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3
row: f(x) f(x) | 1 | 0 | −0.58496 | −1 | −1.3219
row: x x | 4 | 5 | 6 | 7 | 8
row: f(x) f(x) | −1.5850 | −1.8074 | −2 | −2.1699 | −2.3219
Try It #11
Give the equation of the natural logarithm graphed in Figure 16.
Q&A
Is it possible to tell the domain and range and describe the end behavior of a function just by looking at the graph?
Yes, if we know the function is a general logarithmic function. For example, look at the graph in Figure 16. The graph approaches x=−3 x=−3 (or thereabouts) more and more closely, so x=−3 x=−3 is, or is very close to, the vertical asymptote. It approaches from the right, so the domain is all points to the right, {x|x>−3}. {x|x>−3}. The range, as with all general logarithmic functions, is all real numbers. And we can see the end behavior because the graph goes down as it goes left and up as it goes right. The end behavior is that as x→− 3 + ,f(x)→−∞ x→− 3 + ,f(x)→−∞ and as x→∞,f(x)→∞. x→∞,f(x)→∞.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with graphing logarithms.
Graph an Exponential Function and Logarithmic Function
Match Graphs with Exponential and Logarithmic Functions
Find the Domain of Logarithmic Functions
Verbal
The inverse of every logarithmic function is an exponential function and vice-versa. What does this tell us about the relationship between the coordinates of the points on the graphs of each?
What type(s) of translation(s), if any, affect the range of a logarithmic function?
What type(s) of translation(s), if any, affect the domain of a logarithmic function?
Consider the general logarithmic function f(x)= log b ( x ). f(x)= log b ( x ). Why can’t x x be zero?
Does the graph of a general logarithmic function have a horizontal asymptote? Explain.
Algebraic
For the following exercises, state the domain and range of the function.
f(x)= log 3 ( x+4 ) f(x)= log 3 ( x+4 )
h(x)=ln( 1 2 −x ) h(x)=ln( 1 2 −x )
g(x)= log 5 ( 2x+9 )−2 g(x)= log 5 ( 2x+9 )−2
h(x)=ln( 4x+17 )−5 h(x)=ln( 4x+17 )−5
f(x)= log 2 ( 12−3x )−3 f(x)= log 2 ( 12−3x )−3
For the following exercises, state the domain and the vertical asymptote of the function.
f(x)= log b (x−5) f(x)= log b (x−5)
g(x)=ln(3−x) g(x)=ln(3−x)
f(x)=log(3x+1) f(x)=log(3x+1)
f(x)=3log(−x)+2 f(x)=3log(−x)+2
g(x)=−ln(3x+9)−7 g(x)=−ln(3x+9)−7
For the following exercises, state the domain, vertical asymptote, and end behavior of the function.
f(x)=ln( 2−x ) f(x)=ln( 2−x )
f(x)=log( x− 3 7 ) f(x)=log( x− 3 7 )
h(x)=−log( 3x−4 )+3 h(x)=−log( 3x−4 )+3
g(x)=ln( 2x+6 )−5 g(x)=ln( 2x+6 )−5
f(x)= log 3 ( 15−5x )+6 f(x)= log 3 ( 15−5x )+6
For the following exercises, state the domain, range, and x- and y-intercepts, if they exist. If they do not exist, write DNE.
h(x)= log 4 ( x−1 )+1 h(x)= log 4 ( x−1 )+1
f(x)=log( 5x+10 )+3 f(x)=log( 5x+10 )+3
g(x)=ln( −x )−2 g(x)=ln( −x )−2
f(x)= log 2 ( x+2 )−5 f(x)= log 2 ( x+2 )−5
h(x)=3ln( x )−9 h(x)=3ln( x )−9
Graphical
For the following exercises, match each function in Figure 17 with the letter corresponding to its graph.
d(x)=log( x ) d(x)=log( x )
f(x)=ln(x) f(x)=ln(x)
g(x)= log 2 ( x ) g(x)= log 2 ( x )
h(x)= log 5 ( x ) h(x)= log 5 ( x )
j(x)= log 25 ( x ) j(x)= log 25 ( x )
For the following exercises, match each function in Figure 18 with the letter corresponding to its graph.
f(x)= log 1 3 ( x ) f(x)= log 1 3 ( x )
g(x)= log 2 ( x ) g(x)= log 2 ( x )
h(x)= log 3 4 ( x ) h(x)= log 3 4 ( x )
For the following exercises, sketch the graphs of each pair of functions on the same axis.
f(x)=log(x) f(x)=log(x) and g(x)= 10 x g(x)= 10 x
f(x)=log(x) f(x)=log(x) and g(x)= log 1 2 (x) g(x)= log 1 2 (x)
f(x)= log 4 (x) f(x)= log 4 (x) and g(x)=ln(x) g(x)=ln(x)
f(x)= e x f(x)= e x and g(x)=ln(x) g(x)=ln(x)
For the following exercises, match each function in Figure 19 with the letter corresponding to its graph.
f(x)= log 4 ( −x+2 ) f(x)= log 4 ( −x+2 )
g(x)=− log 4 ( x+2 ) g(x)=− log 4 ( x+2 )
h(x)= log 4 ( x+2 ) h(x)= log 4 ( x+2 )
For the following exercises, sketch the graph of the indicated function.
f(x)= log 2 (x+2) f(x)= log 2 (x+2)
f(x)=2log(x) f(x)=2log(x)
f(x)=ln(−x) f(x)=ln(−x)
g(x)=log( 4x+16 )+4 g(x)=log( 4x+16 )+4
g(x)=log( 6−3x )+1 g(x)=log( 6−3x )+1
h(x)=− 1 2 ln( x+1 )−3 h(x)=− 1 2 ln( x+1 )−3
For the following exercises, write a logarithmic equation corresponding to the graph shown.
Use y= log 2 (x) y= log 2 (x) as the parent function.
Use f(x)= log 3 (x) f(x)= log 3 (x) as the parent function.
Use f(x)= log 4 (x) f(x)= log 4 (x) as the parent function.
Use f(x)= log 5 (x) f(x)= log 5 (x) as the parent function.
Technology
For the following exercises, use a graphing calculator to find approximate solutions to each equation.
log( x−1 )+2=ln( x−1 )+2 log( x−1 )+2=ln( x−1 )+2
log( 2x−3 )+2=−log( 2x−3 )+5 log( 2x−3 )+2=−log( 2x−3 )+5
ln( x−2 )=−ln( x+1 ) ln( x−2 )=−ln( x+1 )
2ln( 5x+1 )= 1 2 ln( −5x )+1 2ln( 5x+1 )= 1 2 ln( −5x )+1
1 3 log( 1−x )=log( x+1 )+ 1 3 1 3 log( 1−x )=log( x+1 )+ 1 3
Extensions
Let b b be any positive real number such that b≠1. b≠1. What must log b 1 log b 1 be equal to? Verify the result.
Explore and discuss the graphs of f(x)= log 1 2 ( x ) f(x)= log 1 2 ( x ) and g(x)=− log 2 ( x ). g(x)=− log 2 ( x ). Make a conjecture based on the result.
Prove the conjecture made in the previous exercise.
What is the domain of the function f(x)=ln( x+2 x−4 )? f(x)=ln( x+2 x−4 )? Discuss the result.
Use properties of exponents to find the x-intercepts of the function f(x)=log( x 2 +4x+4 ) f(x)=log( x 2 +4x+4 ) algebraically. Show the steps for solving, and then verify the result by graphing the function.