ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਕੋਣ ਬਣਾਓ।
ਡਿਗਰੀਆਂ ਅਤੇ ਰੇਡੀਅਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲੋ।
ਸਹਿ-ਟਰਮੀਨਲ ਕੋਣ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਚੱਕਰੀ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭੋ।
ਰੇਖੀ ਅਤੇ ਕੋਣੀ ਗਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰੀ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਗਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਗੋਲਫਰ ਰੇਤ ਦੇ ਟੋਏ ਦੇ ਉੱਪਰੋਂ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਹਿੱਟ ਕਰਨ ਲਈ ਸਵਿੰਗ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਗ੍ਰੀਨ 'ਤੇ ਪਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਏਅਰਲਾਈਨ ਪਾਇਲਟ ਇੱਕ ਤੰਗ ਰਨਵੇ ਵੱਲ ਇੱਕ ਜਹਾਜ਼ ਨੂੰ ਮੈਨੂਵਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਡਰੈੱਸ ਡਿਜ਼ਾਈਨਰ ਨਵੀਨਤਮ ਫੈਸ਼ਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਸਾਰਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕੀ ਸਾਂਝਾ ਹੈ? ਉਹ ਸਾਰੇ ਕੋਣਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਕਿਸੇ ਨਾ ਕਿਸੇ ਸਮੇਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ ਯੰਤਰਾਂ ਨਾਲ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਮਾਪਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹੋਰ ਸਮੇਂ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅੱਖਾਂ ਨਾਲ ਜੱਜ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਹੀ ਕੋਣ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਕੰਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਫਲਤਾ ਅਤੇ ਅਸਫਲਤਾ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਫਰਕ ਲਿਆ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ।
ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਕੋਣ ਬਣਾਉਣਾ
ਇੱਕ ਕੋਣ ਨੂੰ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਕਿਰਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇੱਕ ਕਿਰਨ ਇੱਕ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਫੈਲੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਬਣੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਪਹਿਲੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਕਿਰਨ ਦਾ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਇਸ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਜ਼ਿਕਰ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਖਾਸ ਕਿਰਨ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਕਿਰਨ ਨੂੰ ਕਿਰਨ EF, ਜਾਂ ਪ੍ਰਤੀਕ ਰੂਪ EF→.EF→ ਦਾ ਨਾਮ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਕੋਣ ਦੋ ਕਿਰਨਾਂ ਦਾ ਸੰਗਮ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਕੋਣ ਦਾ ਸਿਖਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੋ ਕਿਰਨਾਂ ਕੋਣ ਦੇ ਪਾਸੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਕੋਣ ED → ED → ਅਤੇ EF → . EF → ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੈ। ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਨਾਮ ਹਰੇਕ ਕਿਰਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕੋਣ DEF, ਜਾਂ ਪ੍ਰਤੀਕ ਰੂਪ ∠DEF. ∠DEF ਦਾ ਨਾਮ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਯੂਨਾਨੀ ਅੱਖਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਕਸਰ ਕੋਣ ਦੇ ਮਾਪ ਲਈ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਜੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਸਾਰਣੀ 1 ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਯੂਨਾਨੀ ਅੱਖਰਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਮੂਨਾ ਕੋਣ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: θ θ | φorϕ φorϕ | α α | β β | γ γ
ਸਾਰਣੀ: ਥੀਟਾ | ਫਾਈ | ਅਲਫਾ | ਬੀਟਾ | ਗਾਮਾ
ਚਿੱਤਰ 3: ਕੋਣ ਥੀਟਾ, ∠θ ∠θ ਵਜੋਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ
ਕੋਣ ਬਣਾਉਣਾ ਇੱਕ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੋ ਕਿਰਨਾਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਉੱਤੇ ਪਈਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਸਥਿਰ ਕਿਰਨ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਾਸਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਘੁੰਮਾਈ ਗਈ ਕਿਰਨ ਟਰਮੀਨਲ ਪਾਸਾ ਹੈ। ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਵਾਂਗ ਸਿਖਰ ਦੇ ਨੇੜੇ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਚਾਪ ਅਤੇ ਤੀਰ ਨਾਲ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਸੀ, ਕੋਣਾਂ ਲਈ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਹਨ, ਪਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਵਰਤਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਟਰਮੀਨਲ ਪਾਸੇ ਤੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਹੈ। ਸ਼ਾਇਦ ਕੋਣ ਮਾਪ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਜਾਣੀ-ਪਛਾਣੀ ਇਕਾਈ ਡਿਗਰੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਡਿਗਰੀ ਇੱਕ ਚੱਕਰੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦਾ 1/360 ਹਿੱਸਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਪੂਰੀ ਚੱਕਰੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ 360 ਡਿਗਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪੇ ਗਏ ਕੋਣ ਵਿੱਚ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਬਾਅਦ "ਡਿਗਰੀ" ਇਕਾਈ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਜਾਂ ਡਿਗਰੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ° ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 90 ਡਿਗਰੀ = 90°।
ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਰਸਮੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ x-y ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ 'ਤੇ ਕੋਣ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਕੋਣ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਤੁਲਨਾ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ ਲਈ, ਪਰੰਪਰਾ ਜਦੋਂ ਵੀ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਕੋਣ ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸਦਾ ਸਿਖਰ ਮੂਲ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਾਸਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਫੈਲਿਆ ਹੋਵੇ। ਚਿੱਤਰ 5 ਦੇਖੋ।
ਜੇਕਰ ਕੋਣ ਨੂੰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਟਰਮੀਨਲ ਪਾਸੇ ਤੱਕ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੋਣ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਕੋਣ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਣ ਨੂੰ ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੋਣ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਕੋਣ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਣ ਬਣਾਉਣਾ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕੋ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ—ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਾਸਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਬਣਾਓ। ਕੋਣ ਦੇ ਟਰਮੀਨਲ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਰੱਖਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪੂਰੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ ਜੋ ਕੋਣ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਕੋਣ ਮਾਪ ਨੂੰ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ 360° ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 90° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 90°/360° = 1/4। 90°/360° = 1/4। ਇਸ ਲਈ, ਟਰਮੀਨਲ ਪਾਸਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਚਲਦੇ ਹੋਏ, ਚੱਕਰ ਦੇ ਇੱਕ-ਚੌਥਾਈ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਹੋਵੇਗਾ। 360° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 360°/360° = 1। 360°/360° = 1। ਇਸ ਲਈ ਟਰਮੀਨਲ ਪਾਸਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਚਲਦੇ ਹੋਏ, ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੁਆਲੇ 1 ਪੂਰੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਾਸਾ ਅਤੇ ਟਰਮੀਨਲ ਪਾਸਾ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਉੱਤੇ ਆ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇਖੋ।
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਣ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਾਸੇ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕਿਸਮ ਦਾ ਕੋਣ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਟਰਮੀਨਲ ਪਾਸਾ ਇੱਕ ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਪਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਚਤੁਰਭੁਜੀ ਕੋਣ। ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ 0°, 90°, 180°, 270° ਜਾਂ 360° ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 7 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 7: ਚਤੁਰਭੁਜੀ ਕੋਣ ਉਹ ਕੋਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਟਰਮੀਨਲ ਪਾਸਾ ਇੱਕ ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਪਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
ਚਤੁਰਭੁਜੀ ਕੋਣ
ਚਤੁਰਭੁਜੀ ਕੋਣ ਉਹ ਕੋਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਟਰਮੀਨਲ ਪਾਸਾ ਇੱਕ ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਪਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ 0°, 90°, 180°, 270°, ਜਾਂ 360° ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਕੋਣ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਖਿੱਚੋ।
ਕੋਣ ਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ 360° ਦੇ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਘਟਾਓ।
ਇੱਕ ਕੋਣ ਖਿੱਚੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਚੱਕਰ ਦਾ ਉਹੋ ਭਿੰਨ ਹੋਵੇ, ਜੋ ਧਨਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਧਨਾਤਮਕ ਕੋਣਾਂ ਲਈ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਰਿਣਾਤਮਕ ਕੋਣਾਂ ਲਈ ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਚੱਲਦਾ ਹੋਵੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪੇ ਗਏ ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਕੋਣ ਖਿੱਚਣਾ
ⓐ ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ 30° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਓ।
ⓑ ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ −135° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ⓐ ਕੋਣ ਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ 360° ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ। 30° 360° = 1 12 30° 360° = 1 12 ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਭਿੰਨ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਛਾਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 1 12 = 1 3 ( 1 4 ) 1 12 = 1 3 ( 1 4 ) ਇੱਕ-ਬਾਰ੍ਹਵਾਂ ਇੱਕ-ਚੌਥਾਈ ਦਾ ਇੱਕ-ਤਿਹਾਈ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ-ਚੌਥਾਈ ਘੁੰਮਣ ਨੂੰ ਤਿਹਾਈਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ 30° 'ਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 8
ⓑ ਕੋਣ ਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ 360° ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ। −135° 360° =− 3 8 −135° 360° =− 3 8 ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਛਾਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ − 3 8 =− 3 2 ( 1 4 ) − 3 8 =− 3 2 ( 1 4 ) ਰਿਣਾਤਮਕ ਤਿੰਨ-ਅੱਠਵੇਂ ਇੱਕ-ਚੌਥਾਈ ਦਾ ਡੇਢ ਗੁਣਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਚੌਥਾਈ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਚੌਥਾਈ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਚੱਲ ਕੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 9
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ 240° ਦਾ ਕੋਣ ਦਿਖਾਓ।
ਡਿਗਰੀਆਂ ਅਤੇ ਰੇਡੀਅਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਣਾ
ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਨੂੰ 360 ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਚੋਣ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਜਾਣੀ-ਪਛਾਣੀ ਡਿਗਰੀ ਮਾਪ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਵੰਡਣ ਦੇ ਹੋਰ ਤਰੀਕੇ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਹੋਰ ਇਕਾਈ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ। ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਚੱਕਰ ਦੇ ਪੂਰਾ ਹੋਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਰੁਕ ਜਾਂਦੇ ਹੋ। ਜੋ ਹਿੱਸਾ ਤੁਸੀਂ ਖਿੱਚਿਆ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਇੱਕ ਚਾਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਚਾਪ ਇੱਕ ਪੂਰੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਹਿੱਸਾ, ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਚੱਕਰ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਪੂਰੇ ਚੱਕਰ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪੂਰੇ ਘੁੰਮਣ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਪੂਰੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੀ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਉਸ ਚੱਕਰ ਦਾ ਘੇਰਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਘੇਰਾ C=2πr ਹੈ। C=2πr। ਜੇ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ r ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, r, ਅਸੀਂ ਘੇਰੇ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਹਮੇਸ਼ਾ 2π 2π ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ। ਇਸ ਲਈ ਕਿਸੇ ਵੀ ਚੱਕਰ ਦਾ ਘੇਰਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ 2π≈6.28 2π≈6.28 ਗੁਣਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜੇ ਅਸੀਂ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਜਿੰਨੀ ਲੰਬੀ ਇੱਕ ਡੋਰੀ ਲਈਏ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਘੇਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਲਗਾਤਾਰ ਲੰਬਾਈਆਂ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਲਈ ਵਰਤੀਏ, ਤਾਂ ਛੇ ਪੂਰੀਆਂ ਡੋਰੀ-ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਸੱਤਵੀਂ ਦੇ ਇੱਕ-ਚੌਥਾਈ ਤੋਂ ਥੋੜ੍ਹੀ ਜ਼ਿਆਦਾ ਲਈ ਜਗ੍ਹਾ ਹੋਵੇਗੀ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 10 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਸਾਡੇ ਨਵੇਂ ਕੋਣ ਮਾਪ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਰੇਡੀਅਨ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਹੈ ਜੋ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਚਾਪ ਨੂੰ ਰੋਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਦੋ ਅਰਧ-ਵਿਆਸਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣਿਆ ਕੋਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਕੁੱਲ ਘੇਰਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਦਾ 2π 2π ਗੁਣਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਚੱਕਰੀ ਘੁੰਮਣ 2π 2π ਰੇਡੀਅਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ
ਚਿੱਤਰ 11 ਦੇਖੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਕੋਣ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਇਕਾਈ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 3 ਦਾ ਕੋਣ ਮਾਪ 3 ਰੇਡੀਅਨ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਦਰਅਸਲ, ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਬੇ-ਅਯਾਮੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਲੰਬਾਈ (ਘੇਰਾ) ਨੂੰ ਇੱਕ ਲੰਬਾਈ (ਅਰਧ-ਵਿਆਸ) ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇਣ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਲੰਬਾਈ ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਰੱਦ ਹੋ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 11: ਕੋਣ t t ਇੱਕ ਰੇਡੀਅਨ ਦਾ ਮਾਪ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਰੋਕੀ ਗਈ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਚਾਪ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਨੂੰ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਨਾਲ ਜੋੜਨਾ
ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ s s ਚਾਪ ਦੇ ਨਾਲ ਵਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਪੂਰਾ ਘੇਰਾ ਹਮੇਸ਼ਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅਨੁਪਾਤ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਦੁਆਰਾ ਪੈਦਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਵੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ, ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਸਬੰਧ ਰੱਖਦੀ ਹੈ।
ਇਹ ਅਨੁਪਾਤ, ਜਿਸਨੂੰ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ—ਇਹ ਸਿਰਫ ਕੋਣ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੋਣ ਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ s s ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ r r ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 12 ਦੇਖੋ।
ਜੇ s=r, s=r, ਤਾਂ θ= r r = 1 ਰੇਡੀਅਨ। θ= r r = 1 ਰੇਡੀਅਨ।
1. ਚਿੱਤਰ 12: (a) 1 ਰੇਡੀਅਨ ਦੇ ਕੋਣ ਵਿੱਚ, ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ s ਰੇਡੀਅਸ r ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। (b) 2 ਰੇਡੀਅਨ ਦੇ ਕੋਣ ਦੀ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ s=2r ਹੈ। (c) ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਚੱਕਰ 2π ਜਾਂ ਲਗਭਗ 6.28 ਰੇਡੀਅਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
2. ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਹੋਰ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਸਮਝਾਉਣ ਲਈ, ਦੋ ਚੱਕਰਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਇੱਕ ਜਿਸਦਾ ਰੇਡੀਅਸ 2 ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਜਿਸਦਾ ਰੇਡੀਅਸ 3 ਹੈ। ਚੱਕਰ ਦੀ ਪਰਿਧੀ C=2πr ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ r ਰੇਡੀਅਸ ਹੈ। ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਪਰਿਧੀ 2π(2)=4π ਹੋਵੇਗੀ ਅਤੇ ਵੱਡੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਪਰਿਧੀ 2π(3)=6π ਹੋਵੇਗੀ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 13 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ, ਦੋਵਾਂ ਚੱਕਰਾਂ 'ਤੇ 45° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
3. ਚਿੱਤਰ 13: 45° ਦੇ ਕੋਣ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੀ ਪਰਿਧੀ ਦਾ ਅੱਠਵਾਂ ਹਿੱਸਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਚਾਹੇ ਰੇਡੀਅਸ ਕੁਝ ਵੀ ਹੋਵੇ।
4. ਦੇਖੋ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਚੱਕਰ ਦੇ ਰੇਡੀਅਸ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੀਏ।
5. ਕਿਉਂਕਿ ਦੋਵੇਂ ਅਨੁਪਾਤ 1/4π ਹਨ, ਦੋਵਾਂ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਮਾਪ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਭਾਵੇਂ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਰੇਡੀਅਸ ਵੱਖਰੇ-ਵੱਖਰੇ ਹੋਣ।
6. ਰੇਡੀਅਨ
7. ਇੱਕ ਰੇਡੀਅਨ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਭੁਜਾ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਭੁਜਾ ਵਿਚਕਾਰ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਚੱਕਰ ਦੇ ਰੇਡੀਅਸ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਚੱਕਰ (360°) 2π ਰੇਡੀਅਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਅੱਧਾ ਚੱਕਰ (180°) π ਰੇਡੀਅਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
8. ਇੱਕ ਕੋਣ ਦਾ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ, ਕੋਣ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈ ਗਈ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਰੇਡੀਅਸ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ s ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ, ਅਤੇ r ਚੱਕਰ ਦਾ ਰੇਡੀਅਸ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸ ਚਾਪ ਨੂੰ ਘੇਰਨ ਵਾਲੇ ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ s/r ਰੇਡੀਅਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 1 ਰੇਡੀਅਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ, ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
Q&A
9. 1 ਰੇਡੀਅਨ ਦਾ ਮਾਪ ਲਗਭਗ 60° ਜਾਪਦਾ ਹੈ। ਕੀ ਇਹ ਸਹੀ ਹੈ?
10. ਹਾਂ। ਇਹ ਲਗਭਗ 57.3° ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ 2π ਰੇਡੀਅਨ 360° ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, 1 ਰੇਡੀਅਨ 360° / 2π ≈ 57.3° ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
11. ਰੇਡੀਅਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
12. ਕਿਉਂਕਿ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਦੋ ਲੰਬਾਈਆਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ, ਇਹ ਇੱਕ ਇਕਾਈ-ਰਹਿਤ ਮਾਪ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਰੇਡੀਅਸ 2 ਇੰਚ ਸੀ ਅਤੇ ਚਾਪ ਦੇ ਨਾਲ ਦੂਰੀ ਵੀ 2 ਇੰਚ ਸੀ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕੋਣ ਦਾ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਗਿਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ "ਇੰਚ" ਕੈਂਸਲ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ ਇਕਾਈਆਂ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਇੱਕ ਨਤੀਜਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਦੇ ਬਾਅਦ "ਰੇਡੀਅਨ" ਲੇਬਲ ਲਿਖਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਕੋਈ ਕੋਣ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ "ਡਿਗਰੀ" ਜਾਂ ਡਿਗਰੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਲੇਬਲ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਮੰਨ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਹੈ।
13. ਸਭ ਤੋਂ ਬੁਨਿਆਦੀ ਕੇਸ, ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ (1 ਰੇਡੀਅਸ ਵਾਲਾ ਚੱਕਰ) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 1 ਚੱਕਰ 360 ਡਿਗਰੀ, 360° ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਪਰਿਧੀ C=2πr, ਅਤੇ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਲਈ C=2π, ਲੱਭ ਕੇ ਵੀ ਟਰੈਕ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਇਹ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕੇ ਸਾਨੂੰ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
14. ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਮਾਪੇ ਗਏ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
15. ਇੱਕ ਚੌਥਾਈ ਚੱਕਰ, ਅੱਧੇ ਚੱਕਰ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਪੂਰੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਡਿਗਰੀ ਅਤੇ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪਾਂ ਨੂੰ ਜਾਣਨ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਅਕਸਰ ਸਾਹਮਣੇ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਕੋਣ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਜਾਣੂ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। 30, 45, 60, ਅਤੇ 90 ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਗੁਣਜਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਨਾ ਆਮ ਹੈ। ਇਹ ਮੁੱਲ ਚਿੱਤਰ 14 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰਨਾ ਬਹੁਤ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਕੋਣਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
16. ਚਿੱਤਰ 14: ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪੇ ਗਏ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਾਹਮਣੇ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਕੋਣ
17. ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 14 ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤੇ ਗਏ ਚੱਕਰ ਦੇ ਆਮ ਮਾਪਾਂ ਲਈ ਸੰਬੰਧਿਤ ਰੇਡੀਅਨ ਮੁੱਲ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਚਿੱਤਰ 15 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਮਾਪ ਨੂੰ ਤਸਦੀਕ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
18. ਚਿੱਤਰ 15: ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਮਾਪੇ ਗਏ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਾਹਮਣੇ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਕੋਣ
19. ਉਦਾਹਰਨ 2
20. ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਲੱਭਣਾ
21. ਇੱਕ ਪੂਰੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਇੱਕ-ਤਿਹਾਈ ਦਾ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਲੱਭੋ।
22. ਹੱਲ
23. ਕਿਸੇ ਵੀ ਚੱਕਰ ਲਈ, ਅਜਿਹੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਨਾਲ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਰਿਧੀ ਦਾ ਇੱਕ-ਤਿਹਾਈ ਹੋਵੇਗੀ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
24. ਇਸ ਲਈ,
ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਰੇਡੀਅਸ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ 'ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇਗਾ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #2
ਪੂਰਨ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਤਿੰਨ-ਚੌਥਾਈ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਰੇਡੀਅਨ ਅਤੇ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਤਬਦੀਲੀ
ਕਿਉਂਕਿ ਡਿਗਰੀਆਂ ਅਤੇ ਰੇਡੀਅਨ ਦੋਵੇਂ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਮਾਪਦੇ ਹਨ, ਸਾਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਤਬਦੀਲੀ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਅਨੁਪਾਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਹ ਅਨੁਪਾਤ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਕੋਣ θ ਦਾ ਮਾਪ 180 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕੀਤਾ ਗਿਆ, ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਕੋਣ θ ਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ π ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਜਾਂ, ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਡਿਗਰੀਆਂ 180 ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਰੇਡੀਅਨ π ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ ਹਨ।
ਰੇਡੀਅਨ ਅਤੇ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਤਬਦੀਲੀ
ਡਿਗਰੀਆਂ ਅਤੇ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿਚਕਾਰ ਤਬਦੀਲੀ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਨੁਪਾਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਰੇਡੀਅਨ ਤੋਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ
ਹਰੇਕ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਨੂੰ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
π 6
3
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਨੂੰ ਰੇਡੀਅਨ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅਨੁਪਾਤ ਸਥਾਪਤ ਕਰਕੇ ਇਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ⓐ ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। θ 180 = θ R π θ 180 = π 6 π θ= 180 6 θ= 30 ∘
ⓑ ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। θ 180 = θ R π θ 180 = 3 π θ= 3(180) π θ≈ 172 ∘
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #3
− 3π 4 ਰੇਡੀਅਨ ਨੂੰ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਡਿਗਰੀਆਂ ਤੋਂ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ
15 ਡਿਗਰੀਆਂ ਨੂੰ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਰੇਡੀਅਨ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਦੁਬਾਰਾ ਇੱਕ ਅਨੁਪਾਤ ਸਥਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣ ਦਾ ਇਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਹੈ ਕਿ 30 ∘ = π 6 ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ 15 ∘ = 1 2 ( 30 ∘ ), ਅਸੀਂ ਇਹ ਪਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 1 2 ( π 6 ) π 12 ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #4
126° ਨੂੰ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਸਹਿ-ਟਰਮੀਨਲ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਡਿਗਰੀਆਂ ਅਤੇ ਰੇਡੀਅਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਣਾ ਕੁਝ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਣਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਬਣਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕਿਸਮ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਕੋਣ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪੂਰੇ ਘੁੰਮਣ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਕੋਣ 0° ਤੋਂ 360°, ਜਾਂ 0 ਤੋਂ 2π ਦੀ ਰੇਂਜ ਵਿੱਚ ਆਉਣ ਵਾਲਿਆਂ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਅਜੀਬ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਬਾਹਰ-ਰੇਂਜ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਰੈਜ਼ੋਲੂਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਅਨੁਸਾਰੀ ਕੋਣ ਨਾਲ ਬਦਲਣਾ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੋਵੇਗਾ।
ਇੱਕੋ ਟਰਮੀਨਲ ਸਾਈਡ ਹੋਣ ਲਈ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕੋਣਾਂ ਲਈ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 16 ਦੇਖੋ। 140° ਦਾ ਕੋਣ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਕੋਣ ਹੈ, ਜੋ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। –220° ਦਾ ਕੋਣ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਕੋਣ ਹੈ, ਜੋ ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪਰ ਦੋਵਾਂ ਕੋਣਾਂ ਦੀ ਟਰਮੀਨਲ ਸਾਈਡ ਇੱਕੋ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੀ ਟਰਮੀਨਲ ਸਾਈਡ ਇੱਕੋ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਸਹਿ-ਟਰਮੀਨਲ ਕੋਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। 360° ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਜਾਂ 0° ਤੋਂ ਘੱਟ ਹਰ ਕੋਣ 0° ਅਤੇ 360° ਦੀ ਰੇਂਜ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਕੋਣ ਦੇ ਨਾਲ ਸਹਿ-ਟਰਮੀਨਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਰੇਂਜ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਇੱਕ ਕੋਣ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ 0° ਤੋਂ 360° ਦੀ ਰੇਂਜ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਹਿ-ਟਰਮੀਨਲ ਕੋਣ ਲੱਭਣਾ ਅਕਸਰ ਵਧੇਰੇ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 16: 140° ਦਾ ਕੋਣ ਅਤੇ –220° ਦਾ ਕੋਣ ਸਹਿ-ਟਰਮੀਨਲ ਕੋਣ ਹਨ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੋਣ ਦੇ ਅਨੰਤ ਸਹਿ-ਟਰਮੀਨਲ ਕੋਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਉਸ ਕੋਣ ਵਿੱਚ 360° ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ—ਜਾਂ ਇਸ ਤੋਂ 360° ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ—ਤਾਂ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਟਰਮੀਨਲ ਸਾਈਡ ਉਸੇ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 100° ਅਤੇ 460° ਇਸ ਕਾਰਨ ਕਰਕੇ ਸਹਿ-ਟਰਮੀਨਲ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ −260° ਹੈ। ਇਹ ਪਛਾਣਨਾ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੋਣ ਦੇ ਅਨੰਤ ਸਹਿ-ਟਰਮੀਨਲ ਕੋਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿੱਚ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਆਕਾਰ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਕੋਣ ਦਾ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ, t′, ਕੋਣ t ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਬਣਿਆ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ, ਸਕਾਰਾਤਮਕ, ਨਿਊਨਤਮ ਕੋਣ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣਾਂ ਦੀਆਂ ਟਰਮੀਨਲ ਸਾਈਡਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ ਪੈਂਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਹੋਰ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਣਾਂ ਲਈ ਮਾਡਲ ਵਜੋਂ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਵੱਖ-ਵੱਖ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਣਾਂ ਲਈ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 17 ਦੇਖੋ।
ਸਹਿ-ਟਰਮੀਨਲ ਅਤੇ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ
ਸਹਿ-ਟਰਮੀਨਲ ਕੋਣ ਦੋ ਕੋਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਸਟੈਂਡਰਡ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਟਰਮੀਨਲ ਸਾਈਡ ਇੱਕੋ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਇੱਕ ਕੋਣ ਦਾ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ, t′, ਕੋਣ t ਦੀ ਟਰਮੀਨਲ ਸਾਈਡ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਬਣਿਆ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਨਿਊਨਤਮ ਕੋਣ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
360° ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਕੋਣ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, 0° ਅਤੇ 360° ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਹਿ-ਟਰਮੀਨਲ ਕੋਣ ਲੱਭੋ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਵਿੱਚੋਂ 360° ਘਟਾਓ।
ਜੇਕਰ ਨਤੀਜਾ ਅਜੇ ਵੀ 360° ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ 0° ਅਤੇ 360° ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਣ ਤੱਕ ਦੁਬਾਰਾ 360° ਘਟਾਓ।
ਨਤੀਜੇ ਵਾਲਾ ਕੋਣ ਅਸਲ ਕੋਣ ਦੇ ਨਾਲ ਸਹਿ-ਟਰਮੀਨਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
360° ਤੋਂ ਵੱਧ ਮਾਪ ਵਾਲੇ ਕੋਣ ਦੇ ਨਾਲ ਸਹਿ-ਟਰਮੀਨਲ ਕੋਣ ਲੱਭਣਾ
ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਕੋਣ θ ਲੱਭੋ ਜੋ 800° ਮਾਪ ਵਾਲੇ ਕੋਣ ਦੇ ਨਾਲ ਸਹਿ-ਟਰਮੀਨਲ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ 0°≤θ<360°।
ਹੱਲ
800° ਮਾਪ ਵਾਲਾ ਕੋਣ 800 − 360 = 440° ਮਾਪ ਵਾਲੇ ਕੋਣ ਦੇ ਨਾਲ ਸਹਿ-ਟਰਮੀਨਲ ਹੈ, ਪਰ 440° ਅਜੇ ਵੀ 360° ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਹਿ-ਟਰਮੀਨਲ ਕੋਣ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੁਬਾਰਾ 360° ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ: 440 − 360 = 80°।
ਕੋਣ θ=80° 800° ਦੇ ਨਾਲ ਸਹਿ-ਟਰਮੀਨਲ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਕਹਿਣ ਲਈ, 800° 80° ਪਲੱਸ ਦੋ ਪੂਰੇ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 18 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #5
2. ਇੱਕ ਕੋਣ α ਲੱਭੋ ਜੋ 870° ਦੇ ਕੋਣ ਨਾਲ ਸਮਕੋਣੀ ਹੋਵੇ, ਜਿੱਥੇ 0°≤α<360°।
3. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
4. 0° ਤੋਂ ਘੱਟ ਮਾਪ ਵਾਲੇ ਕੋਣ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, 0° ਅਤੇ 360° ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਮਾਪ ਵਾਲਾ ਸਮਕੋਣੀ ਕੋਣ ਲੱਭੋ।
5. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਵਿੱਚ 360° ਜੋੜੋ।
6. ਜੇਕਰ ਨਤੀਜਾ ਅਜੇ ਵੀ 0° ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ 0° ਅਤੇ 360° ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਣ ਤੱਕ 360° ਦੁਬਾਰਾ ਜੋੜਦੇ ਰਹੋ।
7. ਨਤੀਜਾ ਕੋਣ ਮੂਲ ਕੋਣ ਨਾਲ ਸਮਕੋਣੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
8. ਉਦਾਹਰਨ 6
9. 0° ਤੋਂ ਘੱਟ ਮਾਪ ਵਾਲੇ ਕੋਣ ਨਾਲ ਸਮਕੋਣੀ ਕੋਣ ਲੱਭਣਾ
10. -45° ਮਾਪ ਵਾਲੇ ਕੋਣ ਨੂੰ ਇੱਕ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਦਿਖਾਓ ਅਤੇ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਸਮਕੋਣੀ ਕੋਣ α ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਲਈ 0° ≤ α < 360° ਹੋਵੇ।
11. ਹੱਲ
12. ਕਿਉਂਕਿ 45° 90° ਦਾ ਅੱਧਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਧਨਾਤਮਕ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ 90° ਦੇ ਕੋਣ ਦੇ ਅੱਧੇ ਨੂੰ ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਮਾਪ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
13. ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ 360° ਦੇ ਇੱਕ ਪੂਰੇ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਜਾਂ ਘਟਾ ਕੇ ਸਮਕੋਣੀ ਕੋਣ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ 360° ਜੋੜ ਕੇ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਸਮਕੋਣੀ ਕੋਣ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
14. ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਚਿੱਤਰ 19 ਵਾਂਗ, ਕੋਣ ਨੂੰ ਇੱਕ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਦਿਖਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
15. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #6
16. ਇੱਕ ਕੋਣ β ਲੱਭੋ ਜੋ -300° ਦੇ ਕੋਣ ਨਾਲ ਸਮਕੋਣੀ ਹੋਵੇ ਜਿਸ ਲਈ 0°≤β<360° ਹੋਵੇ।
17. ਰੇਡੀਅਨਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪੇ ਗਏ ਸਮਕੋਣੀ ਕੋਣ ਲੱਭਣਾ
18. ਅਸੀਂ ਰੇਡੀਅਨਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪੇ ਗਏ ਸਮਕੋਣੀ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭੇ ਹਨ। ਦੋਵਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪੂਰੇ ਚੱਕਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਜਾਂ ਘਟਾ ਕੇ ਸਮਕੋਣੀ ਕੋਣ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
19. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
20. 2π ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਕੋਣ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, 0 ਅਤੇ 2π ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣੀ ਕੋਣ ਲੱਭੋ।
21. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਵਿੱਚੋਂ 2π ਘਟਾਓ।
22. ਜੇਕਰ ਨਤੀਜਾ ਅਜੇ ਵੀ 2π ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ 0 ਅਤੇ 2π ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਣ ਤੱਕ 2π ਦੁਬਾਰਾ ਘਟਾਉਂਦੇ ਰਹੋ।
23. ਨਤੀਜਾ ਕੋਣ ਮੂਲ ਕੋਣ ਨਾਲ ਸਮਕੋਣੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 7
ਰੇਡੀਅਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮ-ਅੰਤਿਮ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਇੱਕ ਕੋਣ β ਲੱਭੋ ਜੋ 19π/4 ਦੇ ਸਮ-ਅੰਤਿਮ ਹੋਵੇ, ਜਿੱਥੇ 0 ≤ β < 2π।
ਹੱਲ
ਜਦੋਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ 360 ਡਿਗਰੀ, ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਚੱਕਰ, ਜੋੜ ਕੇ ਜਾਂ ਘਟਾ ਕੇ ਸਮ-ਅੰਤਿਮ ਕੋਣ ਲੱਭੇ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਰੇਡੀਅਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ 2π ਰੇਡੀਅਨ ਦੇ ਪੂਰੇ ਚੱਕਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਜਾਂ ਘਟਾ ਕੇ ਸਮ-ਅੰਤਿਮ ਕੋਣ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
11π/4 ਕੋਣ ਸਮ-ਅੰਤਿਮ ਹੈ, ਪਰ 2π ਤੋਂ ਘੱਟ ਨਹੀਂ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਚੱਕਰ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ:
3π/4 ਕੋਣ 19π/4 ਦੇ ਸਮ-ਅੰਤਿਮ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 20 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
θ ਮਾਪ ਦਾ ਇੱਕ ਕੋਣ ਲੱਭੋ ਜੋ -17π/6 ਮਾਪ ਦੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸਮ-ਅੰਤਿਮ ਹੋਵੇ, ਜਿੱਥੇ 0 ≤ θ < 2π।
ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਕੋਣ ਦਾ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ θ, ਇੱਕ ਚੱਕਰੀ ਚਾਪ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ s ਅਤੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ r ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, θ = s/r। ਇਸ ਸਬੰਧ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਨਾਲ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇੱਕ ਕੋਣ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
r ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ, θ ਮਾਪ ਦੇ ਕੋਣ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈ ਗਈ ਚਾਪ s ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਰੇਡੀਅਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਚਿੱਤਰ 21 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਹ ਹੈ:
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
r ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ θ ਮਾਪ ਦੇ ਕੋਣ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈ ਗਈ ਚਾਪ s ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ θ ਨੂੰ ਰੇਡੀਅਨਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
r ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਨੂੰ θ ਦੇ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: s = rθ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸੂਰਜ ਦੁਆਲੇ ਬੁੱਧ ਦੀ ਕੱਕੀ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਚੱਕਰ ਹੈ। ਬੁੱਧ ਸੂਰਜ ਤੋਂ ਲਗਭਗ 36 ਮਿਲੀਅਨ ਮੀਲ ਦੂਰ ਹੈ।
ⓐ ਇੱਕ ਧਰਤੀ ਦਿਨ ਵਿੱਚ, ਬੁੱਧ ਆਪਣੇ ਕੁੱਲ ਚੱਕਰ ਦਾ 0.0114 ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਦਿਨ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਮੀਲ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ?
ⓑ ਭਾਗ (a) ਤੋਂ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਧਰਤੀ ਦਿਨ ਵਿੱਚ ਬੁੱਧ ਦੀ ਗਤੀ ਲਈ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ⓐ ਆਓ ਬੁੱਧ ਦੀ ਕੱਕੀ ਦੀ ਪ੍ਰਿਧੀ ਲੱਭ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ। C = 2πr = 2π(36 ਮਿਲੀਅਨ ਮੀਲ) ≈ 226 ਮਿਲੀਅਨ ਮੀਲ। ਕਿਉਂਕਿ ਬੁੱਧ ਇੱਕ ਧਰਤੀ ਦਿਨ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਕੁੱਲ ਚੱਕਰ ਦਾ 0.0114 ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: (0.0114)226 ਮਿਲੀਅਨ ਮੀਲ = 2.58 ਮਿਲੀਅਨ ਮੀਲ।
ⓑ ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਰੇਡੀਅਨਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ: ਰੇਡੀਅਨ = ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ / ਅਰਧ ਵਿਆਸ = 2.58 ਮਿਲੀਅਨ ਮੀਲ / 36 ਮਿਲੀਅਨ ਮੀਲ = 0.0717।
8. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #8
2. 215° ਦੇ ਕੋਣ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ 10 ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
3. ਚੱਕਰ ਦੇ ਸੈਕਟਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣਾ
4. ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸੈਕਟਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਸੈਕਟਰ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਦੋ ਅਰਧ ਵਿਆਸਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਚਾਪ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪੀਜ਼ਾ ਜਾਂ ਪਾਈ ਦਾ ਟੁਕੜਾ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ r ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ A=π r² ਸੂਤਰ ਨਾਲ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਦੋ ਅਰਧ ਵਿਆਸ θ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ θ/2π ਕੋਣ ਦੇ ਮਾਪ ਦਾ ਪੂਰੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਮਾਪ ਨਾਲ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ, ਸੈਕਟਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਨਾਲ ਅਨੁਪਾਤ ਵੀ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸੈਕਟਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ θ/2π ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (ਹਮੇਸ਼ਾ ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇਹ ਸੂਤਰ ਕੇਵਲ ਉਦੋਂ ਹੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ θ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ।)
5. ਸੈਕਟਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
6. r ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸੈਕਟਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ, ਜੋ θ ਕੋਣ ਦੁਆਰਾ ਬਣਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਹ ਹੈ
7. ਚਿੱਤਰ 22 ਦੇਖੋ।
8. ਚਿੱਤਰ 22: ਸੈਕਟਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ, ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਵਰਗ ਦਾ ਅੱਧਾ ਗੁਣਾ ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ (ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
9. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
10. r ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ θ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸੈਕਟਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
11. ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ θ ਨੂੰ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
12. θ ਦੇ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਦਾ ਅੱਧਾ ਗੁਣਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ r ਦੇ ਵਰਗ ਨਾਲ ਕਰੋ: A = 1/2 θ r²।
13. ਉਦਾਹਰਨ 9
14. ਸੈਕਟਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣਾ
15. ਇੱਕ ਆਟੋਮੈਟਿਕ ਲਾਅਨ ਸਪ੍ਰਿੰਕਲਰ 30 ਡਿਗਰੀ ਘੁੰਮਦੇ ਹੋਏ 20 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ ਤੱਕ ਪਾਣੀ ਛਿੜਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 23 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਸਪ੍ਰਿੰਕਲਰ ਦੁਆਰਾ ਸਿੰਜੇ ਗਏ ਘਾਹ ਦੇ ਸੈਕਟਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿੰਨਾ ਹੈ?
16. ਚਿੱਤਰ 23: ਸਪ੍ਰਿੰਕਲਰ 30° ਦੇ ਚਾਪ ਦੇ ਅੰਦਰ 20 ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਪਾਣੀ ਛਿੜਕਦਾ ਹੈ।
17. ਹੱਲ
18. ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਕੋਣ ਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ 30 ਡਿਗਰੀ ਸਾਡੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਇਸਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਬਦਲ ਵੀ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
19. ਸੈਕਟਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਫਿਰ ਹੈ
20. ਇਸ ਲਈ ਖੇਤਰਫਲ ਲਗਭਗ 104.72 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ।
21. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #9
22. ਕੇਂਦਰੀ ਪਿਵਟ ਸਿੰਚਾਈ ਵਿੱਚ, ਪਹੀਆਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵੱਡਾ ਸਿੰਚਾਈ ਪਾਈਪ ਇੱਕ ਕੇਂਦਰੀ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਕਿਸਾਨ ਕੋਲ 400 ਮੀਟਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਕੇਂਦਰੀ ਪਿਵਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੈ। ਜੇ ਪਾਣੀ ਦੀਆਂ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਉਸਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ ਸਿਰਫ 150 ਹਜ਼ਾਰ ਵਰਗ ਮੀਟਰ ਸਿੰਜਣ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਸਨੂੰ ਕਿੰਨਾ ਕੋਣ ਸੈੱਟ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਉਹ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਕਵਰ ਕਰ ਸਕੇ? ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
23. ਚੱਕਰੀ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਗਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਰੇਖੀ ਅਤੇ ਕੋਣੀ ਗਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
24. ਸੈਕਟਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਵਸਤੂ ਦੀ ਗਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਚੱਕਰੀ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਯਾਤਰਾ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਵਸਤੂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀ ਗਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਰੇਖੀ ਗਤੀ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਲਾਈਨ ਦੇ ਨਾਲ ਗਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਇਸਦੇ ਦੁਆਰਾ ਕਵਰ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ (ਇਸਦਾ ਵਿਸਥਾਪਨ) ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇ 5 ਇੰਚ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਪਹੀਆ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਇੱਕ ਵਾਰ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਹੀਏ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹਰ ਸਕਿੰਟ ਘੇਰੇ, ਜਾਂ 10π ਇੰਚ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਰੇਖੀ ਗਤੀ 10π ਇੰਚ/ਸ ਹੈ। ਰੇਖੀ ਗਤੀ ਲਈ ਸੂਤਰ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ ਜਿੱਥੇ v ਰੇਖੀ ਗਤੀ ਹੈ, s ਵਿਸਥਾਪਨ ਹੈ, ਅਤੇ t ਸਮਾਂ ਹੈ।
Angular speed results from circular motion and can be determined by the angle through which a point rotates in a given time interval. In other words, angular speed is angular rotation per unit time. So, for instance, if a gear makes a full rotation every 4 seconds, we can calculate its angular speed as 360 degrees 4 seconds = 360 degrees 4 seconds = 90 degrees per second. Angular speed can be given in radians per second, rotations per minute, or degrees per hour for example. The equation for angular speed is as follows, where ω ω (read as omega) is angular speed, θ θ is the angle traversed, and t t is time.
Combining the definition of angular speed with the arc length equation, s=rθ, s=rθ, we can find a relationship between angular and linear speeds. The angular speed equation can be solved for θ, θ, giving θ=ωt. θ=ωt. Substituting this into the arc length equation gives:
Substituting this into the linear speed equation gives:
Angular and Linear Speed
As a point moves along a circle of radius r, r, its angular speed, ω, ω, is the angular rotation θ θ per unit time, t. t.
The linear speed, v, v, of the point can be found as the distance traveled, arc length s, s, per unit time, t. t.
When the angular speed is measured in radians per unit time, linear speed and angular speed are related by the equation
This equation states that the angular speed in radians, ω, ω, representing the amount of rotation occurring in a unit of time, can be multiplied by the radius r r to calculate the total arc length traveled in a unit of time, which is the definition of linear speed.
How To
Given the amount of angle rotation and the time elapsed, calculate the angular speed.
If necessary, convert the angle measure to radians.
Divide the angle in radians by the number of time units elapsed: ω= θ t ω= θ t.
The resulting speed will be in radians per time unit.
Water wheels have been used for thousands of years to transfer the power of flowing water to other devices. The image below depicts the design of the the 3rd century Roman water wheel in Hierapolis, a city in what is now Turkey. Water turned the wheel, which in turn rotated a crank connected to two saws used to cut blocks. These design elements were used in water wheel applications throughout the world, and even provided the underlying principle for the steam engine, invented about 1500 years later.
Example 10
Finding Angular Speed
A water wheel, shown in Figure 24, completes 1 rotation every 5 seconds. Find the angular speed in radians per second.
Solution
The wheel completes 1 rotation, or passes through an angle of 2π 2π radians in 5 seconds, so the angular speed would be ω= 2π 5 ≈1.257 ω= 2π 5 ≈1.257 radians per second.
Try It #10
A vintage vinyl record is played on a turntable rotating clockwise at a rate of 45 rotations per minute. Find the angular speed in radians per second.
How To
Given the radius of a circle, an angle of rotation, and a length of elapsed time, determine the linear speed.
Convert the total rotation to radians if necessary.
Divide the total rotation in radians by the elapsed time to find the angular speed: apply ω= θ t . ω= θ t .
Multiply the angular speed by the length of the radius to find the linear speed, expressed in terms of the length unit used for the radius and the time unit used for the elapsed time: apply v=rω. v=rω.
Example 11
Finding a Linear Speed
A bicycle has wheels 28 inches in diameter. A tachometer determines the wheels are rotating at 180 RPM (revolutions per minute). Find the speed the bicycle is traveling down the road.
Solution
Here, we have an angular speed and need to find the corresponding linear speed, since the linear speed of the outside of the tires is the speed at which the bicycle travels down the road.
We begin by converting from rotations per minute to radians per minute. It can be helpful to utilize the units to make this conversion:
Using the formula from above along with the radius of the wheels, we can find the linear speed:
Remember that radians are a unitless measure, so it is not necessary to include them.
Finally, we may wish to convert this linear speed into a more familiar measurement, like miles per hour.
Try It #11
A satellite is rotating around Earth at 0.25 radians per hour at an altitude of 242 km above Earth. If the radius of Earth is 6378 kilometers, find the linear speed of the satellite in kilometers per hour.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with angles, arc length, and areas of sectors.
Angles in Standard Position
Angle of Rotation
Coterminal Angles
Determining Coterminal Angles
Positive and Negative Coterminal Angles
Radian Measure
Coterminal Angles in Radians
Arc Length and Area of a Sector
Verbal
Draw an angle in standard position. Label the vertex, initial side, and terminal side.
Explain why there are an infinite number of angles that are coterminal to a certain angle.
State what a positive or negative angle signifies, and explain how to draw each.
How does radian measure of an angle compare to the degree measure? Include an explanation of 1 radian in your paragraph.
Explain the differences between linear speed and angular speed when describing motion along a circular path.
Graphical
For the following exercises, draw an angle in standard position with the given measure.
30°
300°
−80°
135°
−150°
2π 3 2π 3
7π 4 7π 4
5π 6 5π 6
π 2 π 2
− π 10 − π 10
415°
For the following exercises, draw an angle in standard position with the given measure as well as a coterminal angle.
−120°
−315°
22π 3 22π 3
− π 6 − π 6
− 4π 3 − 4π 3
For the following exercises, refer to Figure 25. Round to two decimal places.
Find the arc length.
Find the area of the sector.
For the following exercises, refer to Figure 26. Round to two decimal places.
Find the arc length.
Find the area of the sector.
Algebraic
For the following exercises, convert angles in radians to degrees.
3π 4 3π 4 radians
π 9 π 9 radians
− 5π 4 − 5π 4 radians
π 3 π 3 radians
− 7π 3 − 7π 3 radians
− 5π 12 − 5π 12 radians
11π 6 11π 6 radians
For the following exercises, convert angles in degrees to radians.
90°
100°
−540°
−120°
180°
−315°
150°
For the following exercises, use to given information to find the length of a circular arc. Round to two decimal places.
Find the length of the arc of a circle of radius 12 inches subtended by a central angle of π 4 π 4 radians.
Find the length of the arc of a circle of radius 5.02 miles subtended by the central angle of π 3 . π 3 .
Find the length of the arc of a circle of diameter 14 meters subtended by the central angle of 5π 6 . 5π 6 .
Find the length of the arc of a circle of radius 10 centimeters subtended by the central angle of 50°.
Find the length of the arc of a circle of radius 5 inches subtended by the central angle of 220°.
Find the length of the arc of a circle of diameter 12 meters subtended by the central angle is 63°.
For the following exercises, use the given information to find the area of the sector. Round to four decimal places.
A sector of a circle has a central angle of 45° and a radius 6 cm.
A sector of a circle has a central angle of 30° and a radius of 20 cm.
A sector of a circle with diameter 10 feet and an angle of π 2 π 2 radians.
A sector of a circle with radius of 0.7 inches and an angle of π π radians.
For the following exercises, find the angle between 0° and 360° that is coterminal to the given angle.
−40°
−110°
700°
1400°
For the following exercises, find the angle between 0 and 2π 2π in radians that is coterminal to the given angle.
− π 9 − π 9
10π 3 10π 3
13π 6 13π 6
44π 9 44π 9
Real-World Applications
A truck with 32-inch diameter wheels is traveling at 60 mi/h. Find the angular speed of the wheels in rad/min. How many revolutions per minute do the wheels make?
A bicycle with 24-inch diameter wheels is traveling at 15 mi/h. Find the angular speed of the wheels in rad/min. How many revolutions per minute do the wheels make?
A wheel of radius 8 inches is rotating 15°/s. What is the linear speed v, v, the angular speed in RPM, and the angular speed in rad/s?
A wheel of radius 14 inches is rotating 0.5 rad/s. What is the linear speed v,v, the angular speed in RPM, and the angular speed in deg/s?
A computer hard drive disc has diameter of 120 millimeters. When playing audio, the angular speed varies to keep the linear speed constant where the disc is being read. When reading along the outer edge of the disc, the angular speed is about 200 RPM (revolutions per minute). Find the linear speed.
When being burned in a writable CD-R drive, the angular speed of a CD varies to keep the linear speed constant where the disc is being written. When writing along the outer edge of the disc, the angular speed of one drive is about 4,800 RPM (revolutions per minute. Find the linear speed if the CD has diameter of 120millimeters.
A person is standing on the equator of Earth (radius 3960 miles). What are their linear and angular speeds?
Find the distance along an arc on the surface of Earth that subtends a central angle of 5 minutes ( 1 minute= 1 60 degree ) ( 1 minute= 1 60 degree ). The radius of Earth is 3960 miles.
Find the distance along an arc on the surface of Earth that subtends a central angle of 7 minutes ( 1 minute= 1 60 degree ). ( 1 minute= 1 60 degree ). The radius of Earth is 3960 3960 miles.
Consider a clock with an hour hand and minute hand. What is the measure of the angle the minute hand traces in 20 20 minutes?
Extensions
Two cities have the same longitude. The latitude of city A is 9 degrees north and the latitude of city B is 30 degree north. Assume the radius of the earth is 3960 miles. Find the distance between the two cities.
A city is located at 40 degrees north latitude. Assume the radius of the earth is 3960 miles and the earth rotates once every 24 hours. Find the linear speed of a person who resides in this city. Refer to Unit Circle: Sine and Cosine Functions for information on trigonometric functions.
A city is located at 75 degrees north latitude. Assume the radius of the earth is 3960 miles and the earth rotates once every 24 hours. Find the linear speed of a person who resides in this city. Refer to Unit Circle: Sine and Cosine Functions for information on trigonometric functions.
Find the linear speed of the moon if the average distance between the earth and moon is 239,000 miles, assuming the orbit of the moon is circular and requires about 28 days. Express answer in miles per hour.
A bicycle has wheels 28 inches in diameter. A tachometer determines that the wheels are rotating at 180 RPM (revolutions per minute). Find the speed the bicycle is travelling down the road.
A car travels 3 miles. Its tires make 2640 revolutions. What is the radius of a tire in inches?
A wheel on a tractor has a 24-inch diameter. How many revolutions does the wheel make if the tractor travels 4 miles?